tiep tuyen do thi 80208

Sheet1 Page 1 GSP4 t²/@ô HẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KIẾN THỨC Phương pháp: -) Dạng 1: Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = f ( x ) M ( x0 ; y0 ) , có phương trình : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( ) -) Dạng 2: Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k ta gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ f ' ( x0 ) = k (1) Giải phương trình (1) tìm x0 suy y0 = f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý : Hệ số góc tiếp tuyến M ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) k = f ′ ( x0 ) = tan α Trong α góc theo chiều dương trục hoành tiếp tuyến Hai đường thẳng song song với hệ số góc chúng Hai đường thẳng vuông góc tích hệ số góc (nếu có) chúng −1 -) Dạng 3: Khi Biết tiếp tuyến qua điểm A ( x1 ; y1 ) : Viết phương trình tiếp tuyến y = f ( x ) M ( x0 ; y0 ) : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 (1) Vì tiếp tuyến qua A( x1 ; y1 ) ⇒ y1 = f ' ( x0 ) ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) (*) Giải phương trình(*) tìm x0 vào (1) suy phương trình tiếp tuyến Ghi chú: Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) a = f ' ( x ) ax + b = f ( x ) Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ  II BÀI TẬP Dạng Hàm đa thức bậc ba Bài Cho hàm số y = − x + x − , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường thẳng d: y = − x − Bài Cho hàm số y = ( x − 1) ( − x ) , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn (C) Bài Cho hàm số y = x3 + x + mx + m − , đồ thị (C) a) KS vẽ (C) m = b) Gọi A giao điểm (C) trục tung Viết phương trình tiếp tuyến d (C) A Bài Cho hàm số y = x3 − x − , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết hệ số góc tiếp tuyến Bài Cho hàm số y = − x3 − x − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = -3x Bài Cho hàm số y = x3 − x + , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x + y − = Bài Cho hàm số y = x − x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;0) Bài Cho hàm số y = x − x , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ Dạng Hàm đa thức bậc bốn trùng phương −1 Bài Cho hàm số y = x + x + , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến 4 với (C) tiếp điểm có hoành độ x = Bài 10 Cho hàm số y = x − x + , gọi đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm cực đại (C) Bài 11 Cho hàm số y = x + ax + b a) KS vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a = -1/2 b = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Bài 12 Cho hàm số y = x − ax + b a) KS vẽ (C) a = 1, b= -3/2 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục Ox Bài 13 Cho hàm số y = x − x + , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến 2 (C) điểm uốn Bài 14 Cho hàm số y = x + kx − k − (1), đồ thị (C) a) KS vẽ (C) k = -1 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x −1 Bài 15 Cho hàm số y = x − x + , đồ thị (C) Tìm tiếp tuyến (C) 2 qua điểm A(0;3/2) Dạng Hàm phân thức bậc 1/1 Bài 16 Cho hàm số y = −x + , đồ thị (C) 2x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung Bài 17 Cho hàm số y = −2 x + , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến x −1 (C) giao điểm (C) đường thẳng y = x- 2x +1 , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) x −1 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 2015 2x +1 Bài 19 Cho hàm số y = , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ x +1 Bài 18 Cho hàm số y = thị (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;3) Bài 20 Cho hàm số y = 2x −1 , đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) x +1 biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) Nguyễn Hồng Hải Trường THPT Tống Văn Trân TIẾP TUYẾN A.Lí thuyết: 1.Tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M(x o ; y o ) là: y – y o = f’(x o ).(x – x o ) Chú ý: +) M gọi là tọa độ tiếp điểm và y o = f(x o ) +) f’(x o ) gọi là hệ số góc của tiếp tuyến. 2. Tiếp tuyến của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có HSG k. Gọi M(x o ; y o ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến Ta có x o là nghiệm của phương trình f’(x o ) = k (1) Giải PT (1) tìm được x o rồi suy ra M(x o ; y o ) với y o = f(x o ) KL: PTTT là: y – y 0 = k.(x - x o ) 3. Tiếp tuyến của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua M(x 1 ; y 1 ) Gọi d đi qua M(x 1 ; y 1 ) và có HSG k. PTĐT d: y = k.(x – x 1 ) + y 1 Đt d là tiếp tuyến của (C)    = +−= ⇔ kxf yxxkxf )(' )()( 11 có nghiệm. Chú ý: +) Giải hệ trên ta tìm được hoành độ tiếp điểm x o và hệ số góc k. +) ĐK để (C) tiếp xúc (H): y = g(x)    = = ⇔ )(')(' )()( xgxf xgxf có nghiệm. B.Bài tập: Bài 1(D.05)Cho (C m ): 3 1 23 1 23 +−= x m xy và M ∈ (C m ) có hoành độ x = 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại M là song song với đường thẳng d: 5x – y = 0. Bài 2:(B.06)Viết PTTT của (C): 2 1 2 + −+ = x xx y biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của (C) Bài 3:(D.02) Tìm m để (C m ): 1 )12( 2 − −− = x mxm y tiếp xúc với đường thẳng d: y = x. Bài 4: Tìm m để tiếp tuyến của (C m ): 2 2 2 + ++ = x mxx y tại giao điểm của nó với trục hoành là vuông góc. Bài 5: Cho (C m ): y = x 3 + 1 – m(x + 1). Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại giao điểm của nó với trục tung tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác có S = 8. Bài 6: 1. CMR d: y = m(x + 1) + 2 luôn cắt (C): y = x 3 – 3x tại một điểm cố định A. 2. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C và tiếp tuyến của (C) tại B và C là vuông góc. Bài 7: Tìm m để d: y = -x + 1 cắt (C m ): y = x 3 + mx 2 + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, C và tiếp tuyến tại B và C của (C m ) là vuông góc. Bài 8: Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới 1 Nguyễn Hồng Hải Trường THPT Tống Văn Trân (C): y = x 3 -3x 2 + 2 và các tiêp tuyến đó là vuông góc. Bài 9: Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C): y = -x 3 + 3x + 2 Bài 10: Cho (C): y = x 3 – 12x + 12. Tìm trên đường thẳng d : y = -4 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C). Bài 11: Từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới (C): y = x 3 - 6x 2 + 9x - 1 Bài 12: Cho (C): y = x 4 - x 2 + 1. Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới (C) Bài 13: Cho (C): y = -x 4 + 2 x 2 - 1. Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới (C) Bài 14: Cho (C): 1 12 − − = x x y và M nằm trên (C). Gọi I là giao hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M của (C) cắt các tiệm cận tại A, B. 1.CMR M là trung điểm của AB. 2.CMR diện tích tam giác IAB không đổi. 3.Tìm M để chu vi của tam giác IAB là nhỏ nhất. 4. CMR tích khoảng cách từ M tới hai tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 15: Cho (C): 1 23 − − = x x y . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một góc bằng 45 0 Bài 16: (C): 52 73 +− − = x x y Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết : a.Tiếp tuyến song song với TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ (Các hàm số đã học ) LAISAC biên soạn. Lập phương trình tiếp tuyến Δ của của đường cong (C) có hàm số y = f(x). Lập phương trình Δ là ta tìm Hệ số góc k ( khi cho biết tiếp điểm) hoặc ngược lại tìm Tiếp điểm (x 0 ;y 0 ) (khi cho biết hệ số góc k). Ta thường thấy các dạng toán yêu cầu lập phương trình tiểp tuyến Vấn đề 1 .Tại điểm M 0 (x 0; y 0 ) )(C ∈ . Trường hợp này M 0 chính là tiếp điểm , có duy nhất một tiếp tuyến có phương trình y = f’(x 0 ).(x – x 0 ) + y 0 . (1) Lưu ý : (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm. và f’(x 0 )= k là hệ số góc của tiếp tuyến. Vấn đề 2. Qua điểm N(x 1 ;y 1 ). Trường hợp này N(x 1 ;y 1 ) không nhất thiết là tiếp điểm nên có thể có nhiều hơn một tiếp tuyến qua N , ta thường sử dụng hai cách giải sau : +Dùng công thức (1).Tiếp tuyến qua N nên thoả y 1 = f’(x 0 ).(x 1 – x 0 ) + y 0 . Giải phương trình này ta tìm x 0 , suy ra các toạ độ tiếp điểm rồi vận dụng trường hợp 1. +Hệ tiếp xúc. Giả sử k là hệ số góc nên phương trình tiếp tuyến Δ qua N có dạng y = k.(x – x 1 ) + y 1 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ phương trình: )2( )(' )()( 11 ⎩ ⎨ ⎧ = +−= kxf yxxkxf Suy ra f(x) = f’(x)(x – x 1 ) + y 1 (3). Chú ý : Đối với các hàm số đã học ở chương trình phổ thông, thông thường ta có: +Phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm (tiếp điểm) là có bấy nhiêu tiếp tuyến. +Điểm N(x 1 ;y 1 ) có thể thuộc đường cong. Vấn đề 3.Có hệ số góc k cho trước. a .Cho trực tiếp ,hệ số k = a (hằng số) cho trước. b.Cho gián tiếp . Ví dụ : Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d): ax + by + c = 0 ⇒ suy ra hệ số góc Δ b a k −= (song song) hoặc a b k = ( vuông góc) c. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α cho trước.(có hai đường thẳng Δ lần lượt có hệ số góc α α tgktgk −== 21 ; ,) Phương pháp giải có thể vận dụng phương trình (1) hoặc hệ (2). Tất cả hai trường hợp này đều giải phương trình k = f’(x) để tìm x (tiếp điểm). Vấn đề 4.Tìm trên trục ,đường thẳng cho trước những điềm qua đó kẽ đến (C) một tiếp tuyến ,hai tiếp tuyến vv… Phương pháp giải:Đưa về hệ (2) )3())((')( )(' )()( 11 11 yxxxfxf kxf yxxkxf +−=⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = +−= Qua N có bao nhiêu tiếp tuyến khi và chỉ khi phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm. Các ví dụ, bài tập minh hoạ : Bài 1. Cho đường cong (C) có hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 . 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C). 2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0 ; 3). 3. Lập tiếp tuyến của (C) song song với đường phân giác thứ hai của hệ trục Oxy. 4. Tìm trên trục tung các điểm từ đó kẽ đến (C) đúng hai tiếp tuyến phân biệt. Bài 2.Cho đường cong (C) cóhàm số 2 1 2 + −+ = x xx y . Gọi M là một điểm bất kì trên (C),Giả sử tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B.Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. 1.Chứng minh :IA = IB. 2 Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. Bài 3.Giả sử A và B là hai điểm trên đồ thị (C) có hàm số 1 22 2 − +− = x xx y ,lần lượt có hoành độ tương ứng là x 1 ,x 2 sao cho x 1 + x 2 = 2. Chứng minh rằng TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ • • TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ • • • Tiếp tuyến đồ thị hàm số TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Cho hàm số 3 1 x y x + = − (C) .Cho điểm 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB 2. Cho hàm số 3 2 3 ( 1) 1y x mx m x= + + + + . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 1x = − đi qua A(1;2) 3. Cho hàm số 2 2 ( ) 1 x y C x + = − . a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất c. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến của (C) đi qua tâm đối xứng của (C) 4. Cho hàm số 2 ( ) 2 x y C x = + . a. Trên đồ thị (C) tồn tại bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng 4 3y x= + b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 18 c. Viết phương trình tiếp tuyến của của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến lớn nhất d. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM 5. Chứng minh trên (C): 3 2 2 2 9y x x x= − + + không có hai điểm nào mà hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau 6. Xác định m để đường thẳng 2y x m= + cắt đồ thị (C): 1 1 x y x + = − tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau 7. Cho hàm số 3 1 ( 1)y x k x= − − − . Tìm k để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung , tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 8. Cho hàm số ( ) 3 2 3 9 5 y x x x C= + − + . Trong tất cả các tiếp tuyến của (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 9. Cho hàm số 4 2 2 1 ( )y x x C= − − a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 24 1 0d x y− + = b. Tìm M oy∈ sao cho từ M vẽ đến (C) đúng 3 tiếp tuyến c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt 1 Tiếp tuyến đồ thị hàm số 10. Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x + = − và điểm A(0;m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox 11. Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + − (C) . Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C) 12. Cho hàm số 3 2 3 1y x x mx= + + + (1) Tìm m để đường thẳng 1y = cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I(0;1), A và B sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau 13. Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + (C) . a. Tìm các điểm trên đường thẳng 2y = − mà từ đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau b. Trên (C) có những cặp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc k , chứng minh trung điểm của ác đoạn thẳng nối từng cặp điểm đó là điểm cố định 14. Cho hàm số 4 2 5 3 2 2 x y x= − + có đồ thị là (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ M x a= . Giả sử d cắt lại (C) tại hai điểm khác nhau và khác M. Chứng minh rằng hoành độ điểm P và Q là nghiệm của phương trình : 2 2 2 3 6 0.x ax a+ + − = Với điều kiện nào của a thì P và Q tồn tại. 15. Cho hàm số 3 3 4y x= + . Viets phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d ) : 3 6 0x y− + = một góc 30 0 . 16. Cho hàm