TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH)

TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết TIẾP TUYẾN đồ thị hàm số (NGUYỄN VŨ MINH) lý thuyết và ví dụ chi tiết

Nhận luyện thi THPTQG tại BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

Giáo viên: Th.S Nguyễn Vũ Minh

Đt : 0914449230 (zalo)

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

@@@@@@@

VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ Định lý : Đạo hàm của hàm số y f(x)= tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

với đồ thị tại điểm M(x ; y o o = f(xo)): k f '(x )= o

yêu cầu bài toán Phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến tại M(x ; y ) (C)o o ∈ y f '(x ).(x x ) y = o − o + o (1)

'( )o

k = f x :hệ số góc

Tiếp tuyến có

hệ số góc k cho trước _Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm

_Giải pt : f '( xo) = ⇒ k xo ⇒ yo

_Áp Dụng (1)

Tiếp tuyến song song

với đường thẳng (d) cho trước :

y = k xd + b

_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm _Giải pt : f '( x o)=k d ⇒ x o ⇒ y o

_Áp Dụng (1)

Tiếp tuyến vuông góc

với đường thẳng (d) trước :

y = k x bd +

_Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm

_Giải pt : '( )o 1 o

d

o

k

= − ⇒ ⇒ y

_Áp Dụng (1)

Tiếp tuyến đi qua điểm

( ;A A) ( )∉ C cho trước _Gọi M(x ; y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm

tt tại M là ( )Δ : (1)

_ ( )Δ qua A: thay tọa độ A vào

(1)⇒ x o ⇒ y o ⇒ PTTT

A x y

Lưu ý : hai đt : 1 1 vuông góc với nhau

2 2

y k x c

y k x c

⎧

⎨ = +

song song ⇔ k1 = k2 Với k k1, 2 là hệ số góc

VD1: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại M(2;3)

Lời giải: Ta có : y' 3x= 2 −3

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là y’(x0) = y’(2) = 9

Phương trình tiếp tuyến tại M: y – 3 = 9(x – 2) = 9x – 15

VD2: Cho (C) y = x3 – 3x + 1 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp

tuyến song song với (d): y = 9x – 4

Lời giải : Ta có hệ số góc của đường thẳng d là 9

Gọi M(x ;y ) (C)o o ∈ là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là ( ) 2

y' x =3x −3

Tiếp tuyến song song với (d) ( ) 2

y' x 9 3x 3 9 x 2

+ Với x0 = 2 ⇒ y0 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y – 3 = 9(x – 2) = 9x–15

+ Với x0 = –2 ⇒ y0 = –1 ⇒Phương trình tiếp tuyến : y +1= 9(x–2)= 9x +17

VD 3 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Giải : gọi M(x0; y0) ∈( )C là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = f’(x0) = 3 2 6 0 9

0 + x −

x

Ta có 3( 1)2 12 12 suy ra

= x

k kMIN = − 12 khi x0 = – 1 ⇔ M(–1; 16)

Phương trình tiếp tuyến : y – 16 = – 12.(x + 1)

VD 4 : y = x3 + mx2 + 1 (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao

cho các tiếp tiếp với (Cm) tại B và C vuông góc nhau

Giải : Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm) : x3 + mx2 + 1 = – x + 1

x.(x2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x 2 + mx + 1

⇔

(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

>

⇔

⎩

⎨

⎧

≠

=

>

−

= Δ

⇔

2

2 0

1 0

0 4

2

m

m g

m g

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

⎩

⎨

⎧

=

=

−

= +

=

⇒

1

C B

C B

x x P

m x

x S

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc ⇔ f ′( ) ( )x C f ′ x B = −1

3 2 3 2 1

[ 9 + 6 + + 4 2] = − 1

⇔ xBxC xBxC m xB xC m

( )

1 + − + 2 = −

⇔ m m m ⇔ m 2 2 = 10 ⇔ m = ± 5 (thỏa điều kiện)

VD 5 : Cho hàm số y = x3 −3x2 +m (1)

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục

Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

2

Giải

Với x0 =1⇒ y0 = m−2 M(1 ; m – 2)

Tiếp tuyến tại M là d: (3 2 6 0)( 0) 2

y

⇒ d: y = -3x + m + 2

- d cắt trục Ox tại A: 0 = −3x A +m+2 ⇔ x A = m3+ 2 ⇒ A⎜⎝⎛ +m3 2 ;0⎟⎠⎞

- d cắt trục Oy tại B : y B = m+2⇒ B(0; m+2)

S | OA || OB | | OA||OB | 3 2 3 ( 2) 9

m

+

⎢

⎣

⎡

−

=

=

⇔

⎢

⎣

⎡

−

= +

= +

⇔

5

1 3

2

3 2

m

m m

m

VD 6 : Gọi (Cm) hàm số:y = x3− 3mx + 2, với m là tham số thực Tìm m để

tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 vuông góc với đường thẳng

x 9y 1− + = 0

Giải : Đường thẳng x 9y 1 0 − + = có hệ số góc là 1/9

Cóy ' 3x= 2−3m

Để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 vuông góc với đường

thẳngx 9y 1 0 − + = cần và đủ là y '(1).1 1 (3 3m).1 1 m 4

Bài Tập :

Bài 1 : Cho hàm số có đồ thị là ( C ) Tìm hệ số góc và viết pttt với (C)

tại điểm

( )

y = f x

o M

a) (C) :

2 3 3 1

y

x

+ +

=

− với M o ∈ (C)có hoành độ x o = 2 b) (C) : y = x3+ +x 1 với M o( 2; 9) ( )− − ∈ C

c) (C) : y= x4 −2x2 + 5 với Mo∈ (C )có tung độ yo = 8

2 , M 1

x y

x

+

=

− − là giao điểm của (C) và Oy

e) (C) :

2

o

3 2

, M 3

y

x

− +

=

− là giao điểm của (C) và Ox f) (C) : y = x3 −2x+2, Molà giao điểm của (C) với đt y = 2

g) (C) : y = 2x3 −x,với Mo∈ (C)là giao điểm của (C) và Oy

h) (C) : y = 2x4 −5x2 + 3 với Mo∈ (C )là giao điểm của (C) và Ox

k) (C) : y= 3x 42x 3+

− tại điểm M(1; -7) (TN – THPT – 2007)

Bài 2 : Cho hàm số 3

2

x y x

−

= + ( C ),viết pttt với đths :

a) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ

b) Biết tiếp tuyến song song với đt y = 5 x + 2

Bài 3 : Cho hàm số y = x3 −3x2 + 4( C ),viết pttt với đths :

b) Tại M o ∈ (C )có hoành độ xo = − 2

c) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm (2;0) A

Bài 4 : Viết pttt với (C) trong các trường hợp sau :

a)

2

x 2x 1 y

x 1

=

x

2,

biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của hệ trục Oxy (ĐH Nông Nghiệp – 98)

(ĐS : y = − +x 1 và y = − +x 9)

b) y = − +x3 3 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −9x 1+

c) y = x3 −3x biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt y 1

3

(ĐS : )

d)

(ĐH An Ninh – 0

3x 1

y = − + 2

2x − 7

x 2

+

− biết tiếp tuyến song song với đt (d):

(ĐH Luật – 99)

y x 4 = + (ĐS : y = −x 3)

e)

3

2

x

3 , biết tiếp tuyến đó qua

2 3 1

, 2

y

x

− +

=

− biết tiếp tuyến song song với đt y = 2x+3

f)

Bài 5 : cho (C) :

2 x

x 4

,

x 1

=

− tìm pttt với (C) trong các trường hợp sau :

− y

a) Tiếp xúc với (C) tại A(2; 4)− b) Song song với ( ) :d1 y =13x+1

c) Vuông góc với 2

1 ( ) :

4

d y = − x d)Vẽ từ M(1;5)

Bài 6 : cho (C) :y x= 3 −3x2 + 2

a) Lập pttt với (C) tại điểm có hòanh độ x o = −3

b) Lập pttt với (C) biết tt vuông góc với đường thẳng 1 19

9

y= − x+

c) Lập pttt tại điểm uốn của (C) Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất

Bài 7 (TN- THPT – 2013) : Cho hàm số y x = 3 − 3 x − 1 ( ) C

Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9

Bài 8 : cho (C) : y = − +x3 3x2−5x+ 2

0

Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :

a) Song song với đt : 2x+ − =y 3

b) Vuông góc với đt : x−29y+ =2 0

Bài 9 :

2 2 2

x y

x

=

−1

1

Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :

a) Tại điểm có hoành độ xo =1

b) Song song với đt 8x 9y 1 0 − + =

c)Vuông góc với đt 25x 24y 2 0 + − =

Bài 10 : cho (C) : y = x3+4x2 +4x+ và điểm A (C) ∈ với x A = −1

Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến qua A

Bài 11 (Khối B – 2004) : cho (C) :

3

2

3

x

y = − x + x có đồ thị là ( C ) Viết pttt

với ( C ) tại điểm uốn Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

(C ) : y x x

3.Gọi M là điểm thuộc ( Cm)có hoành độ bằng 1

− Tìm m để tiếp tuyến của (C )m tại điểm M song song với đt 5 x − = y 0

Lưu ý :

Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm

của chúng có nghiệm kép

Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Bài 14: (C) : 3

1

x

= + Viết pttt với ( C ) biết :

a) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy b) Tại K có hoành độ bằng -2

c) Tiếp tuyến song song với đt y =4x+ d) Vuông góc với đt 4x+ − = y 3 0

Bài 15: Cho hàm số: y = − +x3 3x2 − 4 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là x = 12

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k 9

4

= c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng ( )d : y =3x+2010

Bài 16: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + 3 có

hệ số góc nhỏ nhất

Bài 17: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x3 + 3x + 2 có hệ số

góc lớn nhất

Bài 18: Cho hàm số (C) :y = 2x 1x 1−

− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho sao cho OA = 4OB

Bài 19 (Khối A – 2009): Cho hàm số y 2x 2

+

= + (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại

gốc tọa độ O

Bài 20 (Khối D – 2010): Cho hàm số : y = − −x4 x2 +6.Viết phương trình tiếp

tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 16 x− 1

VD 7 : Cho hàm số 1 3 2

3

y = − x + −x

3 có đồ thị là ( ) C Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( ) C có hoành độ x = 2.Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với

( ) C tại M song song với đường thẳng ( 2 ) 9 + 5

3

m

d y = m − +

Ta có (2) 4 2; 4

3

⎜

⎝ 3 ⎟⎠ Tiếp tuyến Δvới( )C tại M có phương trình :

y= y x− − ⇔ = −y x− − ⇔ y= −3x+

Ta có

2 4 3

1

m

m m

=

⎧

m

− = −

⎧

⎪

≠

⎪⎩ ⇔ ⎨⎩ ≠ ⇔ = − Vậy m = − 1

m

m 1 x m (C ): y

x m

− +

=

− Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm có hoành

độ x0 = 4 song song với đường phân giác thứ 2 của hệ trục tọa độ ( m = 2)

Bài 22 : Cho hàm số (C) :y = x 4x 1−

− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến tạo với đường thẳng (D1) : y = − 2x 2013 + góc 450

HD : 1 2

1 2

k k tan α

1 k k

−

=

− ta có k = 3 sau đó viết tiếp tuyến

3 2 y

Bài 23 : Cho hàm số (C) : = x −3x +2, Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho

2 ΔOAB

OB

18

Bài 24 : Cho hàm số (C) :y = 2x 2x 1+

− , Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến :

a/ Song song với đường thẳng y= −4x 2+ (ĐS : y= −4x 14+ )

b/ Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân (ĐS : y = − − x 1, y = − + x 7)

Bài 25 : Cho hàm số (C) :y = x 22x

a/ Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng

y 4x 3= + (ĐS : M( 1, 3) − − )

b/ Khoảng cách từ I ( 2, 2) − đến tiếp tuyến bằng 2 2

HD : Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (d) : ax + by + c = 0

d M,(d)

a +b

=

Bài 26 : Cho hàm số (C) :y x= 3 −3x2 + 2, Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãnOB 9.OA =

(Đs : y 9x 7= + , y 9x 25= − )

Bài 27 : Cho hàm số (Cm) :y x= 3 −2x2 +(m 1 x 2m− ) +

a/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với

đường thẳng y 3x 12= +

b/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (Cm) có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc với

đường thẳng ( )Δ : y 2x 1= + (ĐS : m 11

6

= )

VD 8 : Cho hàm số y = x 1

x− Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1)

Giải : Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0

0 1

x

x − ) có phương trình :

0 0

2 ( 1)

1

( x ) x

2 0

1

0

x

x y

(d) có vec – tơ chỉ phương 2

0

1

( 1)

u

x

= −

−

r

0

1 ( 1;

1

x

− )

uuur

Để (d) vuông góc IM điều kiện là :

0

0

2 ( 1) 1

x

x

=

⎡

= ⇔ − − + − − = ⇔ ⎢ =

⎣

r uuur

+ Với x0 = 0 ta có M(0,0) + Với x0 = 2 ta có M(2, 2)

Bài 28 (TN – THPT – 2008) : (C): y x= 4 −2x2 Viết pttt với (C) tại điểm có

hoành độ x 0 = –2

Bài 29 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị: y 2x1

x

=

− , biết

a Hệ số góc của tiếp tuyến bằng − 2 ĐS: y = − 2x+8, y = − 2x

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0

ĐS: 1 27, 1

y = − x+ y = − x−7

4

c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): 9x−2y +1=0

ĐS: 2 32, 2

y = − x+ y = − x+8

9

Bài 30 : Lập phương trình tiếp tuyến cả đồ thị (C): 2 3

1

x y

x

+

= + tại những điểm

thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x + 4y − 2 = 0 bằng 2

ĐS: y = x + 3, y = 9x− − − 13, 9 47, 1 2

y= − x+ y = − x+ 3

Bài 31 : Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) : 2

2

x y x

+

=

− , biết (d) đi

qua điểm A( 6;5) ĐS: y = − − x−1, 7

4 2

x

y = − +

Bài 32 : Cho hàm số Tìm m để tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A(2; 1)

y x = − (m 1)x − + (3m 1)x m 2 + + −

−

ĐS: m = 2 −

Bài 33 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f(x)= = x 3x 1−

+

Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5 Viết

phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M ĐS: y = 4x + 21

Bài 34 : Cho hàm số

4 2

= = + + (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = 2x−2 ĐS: y 2x= + 34

Bài 35 : Cho hàm số

3 2 2x

3

= − + + − 2 , gọi đồ thị của hàm số là (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất

ĐS: y = 92x−125

2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2;9)

ĐS: y = 8x + 25 −

Bài 36 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số

3 2 x

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Đs: y = 2x+1

b) Viết pttt của (C) vuông góc với đường thẳng x

y

5 2

= − +

ĐS: y 5x= +83

hoặc y = 5x – 8 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục

tung lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là góc tọa độ)

ĐS: y x= + 43

VD 8 : Cho hàm số 2 1

1

x y

x

−

=

− (C) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết

rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AB = 82.OB

Giải :

OB

OB AB

AB OB

OA

9

82 2 2

2 2

2

=

⇒

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

= +

⇒Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bởi k OB 19

OA

= ± = ±

Gọi M ( x0; y0)là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) và (C)

⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: /( 0) = k hay:

x f

0

2 0

9

2

x

x

x

−

⎣

VN

Với k = − và tiếp điểm 19 4; 7

3

⎛ ⎞

⎟

⎠

⎜

⎝ , ta có pt tiếp tuyến : ( )

1 7 1 25

4 hay

Với và tiếp điểm , ta có pt tiếp tuyến:

5 2;

3

⎜

⎝

1 9

⎠

1 ( 2 ) 5 hay 1

9

VD 9 : Cho hàm số 1

1

2 +

+

=

x

x

y ( C ); Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ

I( 1; 2) − tới tiếp tuyến của M là lớn nhất

1

1 2

;

0

x x

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− thì tiếp tuyến tại M có pt

)

( ) 1 (

1 1

1

0 0

x x x

x

+

= + +

hay ( ) ( 1) ( 2) ( 0 1) 0

2 0

x khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là

0 2

0

4 0

0 4

0

0 0

) 1 (

) 1 (

1

2 )

1 (

1

1 2

1 1

) 1 (

) 1

(

+ +

+

= +

+

+

= +

+

+

−

−

−

=

x x

x

x x

x x

2 )

1 (

)

1

(

0 2

0

≥ +

+

) 1 (

1

0

2 0

2 0

2 0

−

=

⇔

= +

⇔ +

=

suy ra M(−2;3) hoặc M(0;1)

Bài 37 : (C) : 2 3

1

x y

x

+

=

− Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết khoảng cách

từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng 5 26

13

Bài 38 : (C) : 1

x y

x

=

− Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết khoảng cách từ

tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến bằng là lớn nhất

VD 10 (Dự Bị -2007) Cho hàm số 1 1 ( )

x

+ + Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân

Giải : Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y( 0; 0), thì d :

( )2 ( 0) 0 0

0

1

= −

0

1

x x

+

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 tại điểm B : ( 00 )

1 1;

1

x B

x

⇒ ⎜⎜− ⎟⎟

+

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y =1 tại điểm A , thì : ⇒ A ( 2 x0 + 1;1 )

- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

− +

−

+

=

− +

−

⇔

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− +

−

= +

⇔

=

⇔

2 2

1 1 1

2 2

1 1

1

1 1

1 )

2 2

(

0 0

0

0 0

0 2

0

0 2

0 2

2

x x

x

x x

x

x

x x

IB IA

2

2

3

⎡

VD 11 : Cho hàm số y= − +x3 3x2 −1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d) : y 1x 2009

9

(d) : y 1x 2009

9

= − có hệ số góc là 1

9 Tiếp tuyến của (C) có dạng y−y0 = f x'( 0)(x− x0)

Tiếp tuyến vuông góc với (d) f'(x )0 1 = − ⇔ 1 f'(x )0 = − 9

9

= − ⇒ =

⎡

⎣

2

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của (C) thoả điều kiện là: ⎡ = − −

⎢ = − +

⎣

9 6

9 2