Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng b Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (6,0 điểm) a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. b) Chứng minh rằng: 3 sinx cosx x > ữ , với x (0; ) 2 . Bài 2. (6,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 2 y x 1 x= + b) Giải hệ: x y sinx e sin y sin 2y cos2y sin x cos x 1 x, y 0; 4 = = + ữ Bài 3. (2,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 2 cos 3x 9x 160x 800 1. 8 + + = Bài 4. (5,5 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x y 8 = 0. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x 2 + y 2 2x 4y + 4 = 0 và đờng thẳng có phơng trình: x y 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ thuộc đờng thẳng kẻ hai tiếp tuyến MT 1 , MT 2 đến (C) (T 1 , T 2 là tiếp điểm) . Chứng minh rằng: đờng thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên . -----------Hết ----------- Họ và tên thí sinh: SBD: Đề chính thức ONTHIONLINE.NET Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A (Thời gian làm 180 phút) Bài 1: (7 điểm) 1) Xét tính đơn điệu hàm số: y= (2 − 3x)2 (x-5) ax2 + bx+ c x− Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị x=1 2) Cho hàm số y= đường tiệm cận xiên đồ thị vuông góc với đường 1− x 3)Giải bất phương trình: thẳng y= x x − 5x − 3x2 +2x > 2x.3 − 5x − 3x2 + 4x Bài 2: (4 điểm) Trong tất nghiệm bất phương trình: logx + y (x + y) ≥ 2 Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn Bài 3(5 điểm) Giải phương trình: 1) 1+ 1− x2 [ ] (1+ x)3 − (1− x)3 = + 1− x2 2) sin3x.(1- 4sin2x) = Bài 4:(4 điểm) ABC tam giác cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) A, lấy điểm S với AS = h 1) Hy đường thẳng qua trực tâm H tam giác SBC vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng tỏ S di động Ax đường thẳng Hy luôn qua điểm cố định 2) Hy cắt Ax S' Xác định h theo a để SS' ngắn Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi Lớp 12 Bài 1: Câu 1: (2 điểm) Tập xác định: D=R 0,25 điểm 2 − (x-5) + ( − x ) ( − x ) 0,25 − 6x + 30 − 5x + 12 + 3(2-3x) = 33 − 3x − 3x 0,25 y'= (-3) điểm = điểm 12 Điểm tới hạn: x= ; x= điểm x -∞ y' 0,25 2/3 + 12/5 - +∞ + y 0,5 điểm Hàm số đồng biến khoảng (-∞; 2/3) ∪ (12/5; +∞) 0,25 điểm Hàm số nghịch biến khoảng (2/3; 12/5) điểm 0,25 Câu 2: (2 điểm) ax2 + bx+ c Đường tiệm cận xiên có hệ số góc k = lim =a 0,25 x→∞ x− điểm 1 Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng y= − x + 2 ta có a=2 0,25 điểm 2x2 + bx+ c Xét y= x− 2x2 − 8x − 2b − c y' = (x − 2)2 0,25 điểm Để hàm số có cực trị x=1 điều kiện cần là: y'(1) = −6 − 2b − c = y(1) = −(2 + b + c) = 0,5 điểm b = −3 => c = 0,25 điểm Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số 2x2 − 3x thoả mãn điều kiện x− điểm y= 0,25 Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25 điểm Câu 3: (3 điểm) Bất phương trình trở thành: ( − 5x − 3x2 +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 điểm Tập xác định: -2 ≤ x≤ điểm 0,25 − 5x − 3x2 + 2x > (I ) x 1− 2x.3 > (*) ⇔ (II ) − 5x − 3x + 2x < 1− 2x.3x < (1) (2) 0,5 (3) (4) điểm Xét hệ (I): Giải (1) ta -1< x ≤ 1/3 0,5 điểm Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thấy: -1 ≤ x ≤ hiển nhiên f(x)>1 0,25 điểm Khi 0 Nghiệm (I) là: − 1< x ≤ 0,25 điểm Xét hệ (II): Giải (3) ta − ≤ x ≤ −1 0,25 điểm Nhưng f(x) = 1-2x.3x > ∀x≤ nên bất phương trình (4) không thỏa mãn với giá trị x thuộc khoảng nghiệm (3) Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm 0,25 điểm Tóm lại, bất phương trình cho có nghiệm − 1< x ≤ điểm Bài 2: (4 điểm) Xét trường hợp: +TH1: x2+ y2 > dễ thấy bất phương trình 0,25 logx + y (x + y) ≥ (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm Ta có (1) ⇔ x+y≥ x2+ y2 ⇔ x+2y ≥ x2 + y2 + y (2) 0,5 điểm Gọi S= x+2y ⇔ x=S - 2y thay vào (2) ta S≥ (S-2y)2 +y2+y ⇔ 5y2 -(4S-1)y +S2 - S ≤ (3) 0,5 điểm Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có ∆≥ 0, − 10 + 10 ≤ S≤ 2 điểm 4S − 1 3+ 10 = + Với S = ∆= (3) ⇔ y= 10 10 điểm Suy x= S -2y = + (thỏa mãn x2+ y2 > 1) 10 điểm +TH2: 0< x2 + y2 < Khi (1) ⇔ AS' = 2h điểm 0,5 a a2 Vậy SS' = SA + AS' = h+ ≥ =a 2 2h 0,75 điểm a2 a Dấu "=" xảy h= => h= 2h 0,25 điểm Chú ý: 1)Bài hình hình vẽ không chấm 2)Nếu học sinh làm cách khác mà người chấm cho điểm tương ứng phần SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT CẨM THỦY 2 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn : Toán12 Chương trình: Cơ bản ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Bài Đáp án Điểm Bài1a 3,0đ +, TXĐ: D=R +, Ta có : 34' 2 +−= xxy = = ⇔= 3 1 0' x x y +, BBT: Từ BBT suy ra: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1;(−∞ và );3( +∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và 3 1 = CĐ y Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và 1−= CT y 0,25đ 0,75đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài1b 2,5đ +TXĐ: { } 1\ −= RD + Ta có: 10 )1( 3 ' 2 −≠∀> + = x x y + BBT: Vậy: Hàm số đồng biến trên D Hàm số không có cực trị. 0,25đ 0,5đ 1,0đ 0,75đ Bài 2 Ta có xxy 164' 3 −= −∈±= −∈= ⇔= )3;1(2 )3;1(0 0' x x y 0,25đ 0,75đ x y’ y ∞− 1 3 + 0 0 + _- + ∞− 3 1 -1 + x y’ y ∞− 1 3 + 0 0 + _- + ∞− 3 1 -1 + x y’ y ∞− -1 + ∞ + + + ∞ - ∞ 2 2 2,5đ 8)3(;17)2(;1)0(;8)1( =−=±−=−=− yyyy Vậy : [ ] 8 3;1 = − Maxy tại x=3 [ ] 17 3;1 −= − Miny tại 2±=x 1,0đ 0,5đ Bài 3 2,0 Phân chia khối hình lăng trụ tam giác thành ba tứ diện là: A’ABC, BCA’C’ và BA’B’C’ 0,5 1,5đ Ghi chú: * HS làm đúng kết quả các bài theo cách khác vẫn cho điểm tương đương * HS không vẽ hình hoặc vẽ sai hình bài 4 thì không chấm điểm bài 4 Cẩm thủy, ngày 10 tháng 9 năm 2010 Duyệt của BGH Hiệu phó Phạm Đăng Nhị Duyệt của nhóm Người làm đáp án Đinh Thế Vân B’ A C B C’ A’ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT CẨM THỦY 2 KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: Toán –Khối 12 Chương trình: Cơ bản Thời gian làm bài: 45 phút ( không kể thời gian phát đề ) Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến và tìm các điểm cực trị của các hàm số sau a, 13x2xx 3 1 y 23 −+−= b, 1x 12x y + − = Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số 18xxy 24 −−= trên đoạn [ ] 1;3 − Bài 3: Hãy phân chia khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ thành ba khối hình tứ diện. hết Cẩm thủy, ngày 10 tháng 9 năm 2010 Duyệt của BGH Hiệu phó Phạm Đăng Nhị Duyệt của nhóm Người ra đề Đinh Thế Vân KIỂM TRA HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 12 BAN CƠ BẢN Câu 1: (3đ) Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = − 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2 Câu 2: (1đ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 3 2 1 2 3 1 3 y x x x= − + + trên đoạn [-1;2] Câu 3: (2đ) 1/ Giải phương trình: 1 1 2 2 3 x x+ − − = 2/ Giải bất phương trình: 2 2 2 log 8 log log 2 4 x x x− + > Câu 4: (4đ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 0 a/ (1,5đ)Tính diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD b/ (2,5đ) Mặt phẳng ( α ) đi qua A song song với BD và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD theo thứ tự tại B’C’D’. 1. Chứng minh SO, AC’, B’D’ đồng quy 2. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 TXĐ: \{1} 2 1 ' 0 (1 ) y x x = > ∀ ∈ − \{1} Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ Hàm số không có cực trị 2 1 lim 2 1 x x x →±∞ − = − − , đường thẳng y = -2 tiệm cận ngang 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x + − → → − − = −∞ = +∞ − − , đường thẳng x = 1 tiệm cận đứng - ∞ + ∞ -2 -2 1 y y ' + ∞ - ∞ x Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: (0;-1); (1/2;0) y x 1 0,5 0,5 0,5 0’5 2 2 3x y= ⇒ = − 2 1 ' '(2) 1 (1 ) y y x = ⇒ = − Phương trình tiếp tuyến là: y = x - 5 0,25 0,25 0,5 2 y’ = x 2 – 4x +3 , y’ = 0 [ ] 1 3 1;2 x x = ⇔ = ∉ − y(-1) = 11 3 − , y(2) = 5 3 , y(1) = 7 3 [ ] [ ] 1;2 1;2 7 11 max min 3 3 y y − − = = − 0,25 0,25 0,25 0,25 3 1 1 1 2 2 2 3 2.2 3 2 x x x x + − − = ⇔ − = Đặt t = 2 x , t>0 ⇒ 2 2 3t t − = ⇔ 2t 2 -3t -2 = 0 ⇔ ( ) = − = 1 lo¹i 2 2 t t t= 2 ⇒ 2 x = 2 ⇔ x = 1 0,25 0,5 0,25 2 2 4 2 3 log 8 log log 2 2 x x x− + > (1) Điều kiện x > 0 2 2 2 2 2 1 1 3 (1) 3 log 2log log 2 2 2 1 log 1 2 log 2 4 x x x x x x ⇔ + − + − > ⇔ − > − ⇔ < ⇔ < 0,25 0,25 0,25 0,25 4 1 B' D' I O B D A C S C' E Gọi O là tâm của đáy thì SO ⊥ (ABCD) · 0 6 60 , 2 2 a SCO AC a S O= = ⇒ = Gọi E là trung điểm BC, 2 2 7 2 a SE SO OE⇒ = + = S xq = 2 1 7 4. . . 7 2 2 a a a= 0,5 0,5 0,5 2.1 ( ) α //BD ⇒ ( ) α cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’// BD Gọi I là giao điểm của SO và AC’ (1) 0,25 ' ( ) ' ' ( ) I AC I I B D I SO I SBD α ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ (2 ) (1) & (2) ⇒ SO, AC’, B’D’ đồng quy 0,5 0,25 2.2 ∆ SAC đều AC’ ⊥ SC ⇒ C’ là trung điểm của SC ⇒ I là trọng tâm ∆ SAC AC’=SO= 6 2 a ' ' 1 2 ' ' 3 3 B D a B D BD = ⇒ = SC’= 1 2 2 2 a SC = . ' ' ' 1 1 1 . ( '. ' '). ' 3 3 2 S AB C D V Bh AC B D SC= = 3 6 36 a = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT VINH LỘC ĐỀ KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM Môn: Toán Giải tích 12 - Cơ Thời gian làm bài: 45 phút; (25 câu trắc nghiệm)08/10/2016 Mã đề thi 109 (Thí sinh không sử dụng tài liệu) Họ, tên thí sinh: Lớp: Tất giá trị m để đường C : y x4 m 2 x2 x m bốn điểm phân biệt là: Câu 1: A m 2; m 1 B m 2 P : y mx2 x 1 cắt đường D 2 m 1 C m 1 Câu 2: Phương trình tiếp tuyến đường cong C : y x 3x điểm A 1; A y x B y x C y 3x D y x Câu 3: Điều kiện a, b, c để hàm số y ax3 bx c nghịch biến là: A ab 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D ab 0, c Câu 4: Cho hàm số y x3 3x 7x Kết luận sau đúng? A Hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung B Hàm số cực trị C Hàm số có cực đại cực tiểu nằm phía trục tung D Cả ba phương án A, B, C sai Câu 5: Cho hàm số y x3 (m 1) x (m2 4m 3) x có cực trị x1 , x2 Giá trị lớn biểu thức A x1 x2 2( x1 x2 ) bằng: A Câu 6: Cho hàm số y B C D 2x (1) Chọn khẳng định sai khẳng định sau: x2 A Hàm số (1) nghịch biến khoảng xác định B Hàm số (1) đồng biến khoảng xác định C Hàm số (1) có tập xác định D = \{2} D Đồ thị hàm số (1) có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = Câu 7: Chọn phát biểu phát biểu sau.Trên khoảng 0; hàm số y x A Có giá trị nhỏ Miny =1 C Có giá trị nhỏ Miny = B Có giá trị lớn Maxy = D Có giá trị lớn Maxy = : x Câu 8: Phương trình tiếp tuyến đường cong C : y x3 3x qua điểm A 1; 20 là: A y 3x 17 B y x 29 C y 3x 23 Câu 9: Hàm số y x4 x2 nghịch biến trên: A (; ) B 0; C ;0 Câu 10: Phương trình tiếp tuyến đường cong C : y C với đường thẳng d : y x A y x B y x D y 9 x 11 D \{0} x3 giao điểm có hoành độ âm 1 x C y x D y x Trang 1/3 - Mã đề thi 109 Câu 11: Gọi y1 , y2 giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y x 10 x Khi đó, y1 y2 bằng: B A 25 C D 2x 1 bằng: x 1 x 3 A B C D 2 2x Câu 13: Cho hàm số y có đồ thị (C) Đường thẳng d : y x cắt đồ thị (C) x 1 Câu 12: Tính giới hạn lim điểm phân biệt M N tung độ trung điểm I đoạn thẳng MN bằng: A B -2 C D -3 Câu 14: Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y x3 3x đoạn [0;3] là: A M = 3; m = B M = 6; m = C M = 0; m = D M = ; m = -1 2x 1 Câu 15: Tọa độ giao điểm có hoành độ nhỏ đường C : y đường thẳng x 1 d : y x là: A A 2; 1 B A 1;0 C A 0;1 D A 3; 2 Câu 16: Kết luận sau giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số A Có giá trị lớn có giá trị nhỏ B Có giá trị lớn giá trị nhỏ C Không có giá trị lớn giá trị nhỏ D Có giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 17: Đồ thị sau đồ thị tương ứng hàm số nào? A y 2 x x 1 B y x2 x 1 C y x x 1 D y y x2 ? 2 x x 1 Câu 18: Đồ thị sau đồ thị tương ứng hàm số nào? Trang 2/3 - Mã đề thi 109 B y x3 x 11 3 D y x x A y y x3 x 3 C y x x Câu 19: Số điểm cực tiểu hàm số y x4 2x 100 là: A B C D Câu 20: Số giao điểm đường cong C1 : y x x đường cong C2 : y x là: A B Câu 21: Trên đoạn [0;2] hàm số y A x = - C D x 1 đạt giá trị lớn x giá trị sau đây: 2x 1 B x = C x = Câu 22: Giá trị m để hàm số y x3 3mx2 cực trị là: A m B m C m x2 Câu 23: Tập xác định hàm số y là: x 1 A D \{1} B D \{-1} C ; 1 D x = D m D D Câu 24: Đồ thị sau đồ thị tương ứng hàm số nào? A y x x B y x4 x2 Câu 25: Đồ thị hàm số y C y x4 x D y x4 x x có đường tiệm cận là: x 1 A Tiệm cận đứng y = 1; tiệm cận ngang x = -1 B Tiệm cận đứng x = -1; tiệm cận ngang y = -1 C Tiệm cận đứng x = 1; tiệm cận ngang y = -1 D Tiệm cận đứng x = -1; tiệm cận ngang y = - HẾT Trang 3/3 - Mã đề thi 109 ... Vì cosx=0 nghiệm phương trình: π π π Vì cosx=0 => x= + kπ sin3( + kπ ).[1-4sin2( + kπ )]≠ 2 2 0,25 điểm Nhân hai vế phương trình với cosx ta được: Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) = cosx ⇔ 2sin3x(4cos... trình với cosx ta được: Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) = cosx ⇔ 2sin3x(4cos x-3cosx) = cosx 0,25 điểm ⇔ 2sin3x.cos3x = cosx 0,5 điểm π ⇔ sin6x =sin( -x) 0,5 điểm π π k2π x = − x + k π x = + ... học sinh giỏi Lớp 12 Bài 1: Câu 1: (2 điểm) Tập xác định: D=R 0,25 điểm 2 − (x-5) + ( − x ) ( − x ) 0,25 − 6x + 30 − 5x + 12 + 3(2-3x) = 33 − 3x − 3x 0,25 y'= (-3) điểm = điểm 12 Điểm tới hạn: