Đang tải... (xem toàn văn)
de thi hsg toan 12 tinh bac lieu 20072 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). Giải phương trình: ( ) 2 2009 1 x x x+ − = 1. Câu 2 (4,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ( ) 2 ( 1) 1 x y m y x xy m x + = + + = + Câu 3 (2,0 điểm). Cho ba số dương , ,x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9x y z x y y z x z + + ≥ + + + Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số ( ) n x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i, 1 x = 2 ii, 1 2 1 2 2 . ( 1) ( 1) n n x x n x x n n − + + + − = − với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính limu n với u n = (n+1) 3 . n x Câu 5 (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất. Câu 6 (3,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM. Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng 2f(x) + x 2 ≥ 2 với mọi số thực x thuộc ; 2 2 π π − . - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Đề thi chính thức ONTHIONLINE.NET SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Đề thi đề nghị (Gồm câu) KỲ THI HSG ĐBSCL LẦN THỨ 16 - NĂM 2009 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM: Câu 1) ( điểm ) Giải phương trình (1) 3x − 4 x3 + 18 = Ta thấy x ≤ không nghiệm phương trình (1) (0,5đ) 18 Với x > , (1) ⇔ x − 4 + = x 18 (2) (0,5đ) ⇔ x + = 44 x x x x 18 Do x > nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số: ; ; ; ta có: 3 x 18 x x x 18 18 (1đ) x + = + + + ≥ 44 = 44 x 3 x 3 x 18 Do (2) xãy khi: = ⇔ x = 54 ⇔ x = 54 ( x > ) x Vậy phương trình cho có nghiệm x = 54 (1đ) -Câu 2) ( điểm ) Không tính tổng quát ta giả sử: AB ≤ AC ≤ BC Gọi K = MM '∩ NN ' I giao điểm đường thẳng PK với BC • Ta chứng minh M ' ∈ AC : Thật giả sử M’ đoạn AC M ' ∈ AB : 1 Nên BM + BM ' = BC + BM ' < BC + BA 2 1 = ( BC + AB + AB ) ≤ ( AB + BC + CA ) 2 A M' N P B N' M I C P' • Tương tự ta chứng minh N ' ∈ BC : (1đ) 1 • Ta lại có: CM ' = ( AB + BC + CA ) − CM = ( AB + CA ) 2 1 Suy CM '− CN = CM '− CA = AB ⇒ M ' N = AB = MN (0,5đ) 2 Tương tự MN ' = AB = MN suy tam giác MNM’ cân N, tam giác NMN’ cân M (0,5đ) KNP · · 'N · · 'N MNN = MN ' = MN ( s.l.t ) ⇒ mà nên MK, NK phân giác · · 'M · · 'M ' = NM NMM KMP = NM ( s.l.t ) tam giác MNP ( NP // MI ) · · · = IPN = MIP Suy MPI (0,5đ) ⇒ ∆IMP cân M ⇒ MI = MP = AC ( AB + BC + AC ) ⇒ P ' ≡ I Vậy MM1, NN1, PP1 đồng qui điểm (đpcm) Câu 3) ( điểm ) Giả sử có số nguyên a để (a + 1)Mp ta có: a ≡ −1( mod p ) ⇒ BP + BI = BP + BM + MI = Suy a p −1 ≡ ( −1) p −1 ( mod p ) hay: a p −1 − ≡ ( −1) p −1 p −1 Nhưng theo định lí Fhec-ma thì: a − ≡ ( mod p ) Nên ( −1) p −1 (0,5đ) (0,25đ) − 1( mod p ) (0,5đ) (0,5đ) − ≡ ( mod p ) (*) mà p số nguyên tố dạng 4k + nên: (*) ⇔ −2 ≡ ( mod p ) (0,5đ) (0,25đ) Điều vô lí suy toán chứng minh Câu 4) ( điểm ) Ta có dãy { an } dãy tăng thực sự, (0,5đ) Thật vậy: tồn số tự nhiên k cho ak +1 ≤ ak giả thiết a k +1 > ak ak + ta thu ak +1 > ak + (do ak ∈ N * ) ta dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều xãy dãy { an } dãy vô hạn Do a1 > a0 ≥ nên theo phương pháp quy nạp ta có an > n, ∀n ∈ N * Suy ra: Đặt n + + + < n a1 a2 an (1đ) (0,5đ) 11 n + + + ÷ = un < un < n a1 a2 an n 11 n + + + ÷ = (theo nguyên lí kẹp) Vậy lim n→∞ n a1 a2 an (0,5đ) (0,5đ) Câu 5) ( điểm ) Chọn hàng cây, đánh dấu A Có hai trường hợp sau xãy ra: Trường hợp 1: Cây A không bị chặt Khi xét hàng gồm 16 lại Ta chặt số 16 cho hai kề bị chặt (0,5đ) Giả sử chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng lại 12 (không kể A) Việc phục hồi lại hàng đặt chặt vào vị trí chặt, số cách làm với số cách đặt vào số 13 vị trí xen kẽ 12 (kể đầu), nên: Số cách chặt trường hợp là: C13 = 715 (cách) (1đ) Trường hợp 2: Cây A bị chặt Khi hàng lại 16 Ta chặt số 16 lại cho hai kề bị chặt ( hai hai phía A không chặt) (0,5đ) Giả sử chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng lại 13 Do hai hai phía A vừa chặt không chặt nên ta xét hàng gồm 11 lại Lập luận tương tự trường hợp 1, ta có số cách chặt là: C12 = 220 (cách) Suy ra: số cách chặt thỏa yêu cầu đề là: 715 + 220 = 935 (cách) (1đ) -Câu 6) ( điểm ) x ∀x ∈ R ta có: f ( x ) + f ÷ = − x ⇔ 2 2x x x f ( x) + f ÷= − − 3 2 x x 2x f ( x) + = − f ÷+ 3 ⇔ Từ (1) ta có: f ( ) = 2x Đặt g ( x) = f ( x ) + , ta có: (2) (0,5đ) (0,5đ) x g ( ) = , g(x) liên tục R g ( x) = − g ÷, ∀x ∈ R (do(2)) (0,5đ) 2 n x x x Suy ra: g ( x ) = − g ÷ = g ÷ = = ( −1) g n ÷ với n ∈ N , mà g(x) liên tục R, g ( ) = 2 2 2 nên: g ( x ) = 0, ∀x ∈ R (0,5đ) 2x Suy ra: f ( x ) = − , ∀x ∈ R (0,5đ) 2x Thử lại, ta thấy f ( x ) = − thỏa (1), có hàm số thỏa yêu cầu đề (0,5đ) Câu 7) ( điểm ) ur uu r uu r uu r Trong mặt phẳng Oxy, đặt u1 = ( a; b ) , u2 = ( c; d ) , u3 = ( x; y ) , u4 = ( z; t ) (0,5đ) ur uu r ur uu r ur uu r Ta có: u1.u2 = ac + bd , u1.u3 = ax + by, u1.u4 = az + bt , uu r uu r uu r uu r uu r uu r u2 u3 = cx + dy, u2 u4 = cz + dt , u3 u4 = xz + yt (1đ) ur uu r uu r uu r Vì góc tạo vectơ u1 , u2 , u3 , u4 có góc không vượt 900 nên tồn cặp ur uu r ur uu r ui u j ur uu r r ≥0 vectơ ui , u j ( ≤ i < j ≤ ) cho cos ui ; u j = ur uu (1đ) ui u j ur uu r Suy ui u j ≥ ta có điều phải chứng minh (0,5đ) ( ) - SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). Giải phương trình: ( ) 2 2009 1 x x x+ − = 1. Câu 2 (4,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ( ) 2 ( 1) 1 x y m y x xy m x + = + + = + Câu 3 (2,0 điểm). Cho ba số dương , ,x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9x y z x y y z x z + + ≥ + + + Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số ( ) n x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i, 1 x = 2 ii, 1 2 1 2 2 . ( 1) ( 1) n n x x n x x n n − + + + − = − với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính limu n với u n = (n+1) 3 . n x Câu 5 (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất. Câu 6 (3,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM. Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng 2f(x) + x 2 ≥ 2 với mọi số thực x thuộc ; 2 2 π π − . - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Đề thi chính thức SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH AN GIANG Khóa ngày : 27/11/2010 Môn : TOÁN Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,0 điểm) Cho hàm số : 2 3 1 x mx y x + + = + ( m là tham số). Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng : 2 1 0d x y+ - = . Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình: 1/ 2 2 2 2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + = 2/ 3 3 2 2 5 5 2 2 6 30 32 x y x y xy x y xy ì ï + + + = ï ï í ï + + = ï ï ỵ Bài 3: (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: max( , )MN A D BC£ . Bài 4: (7,0 điểm) 1/ Cho dãy thực ( ) n u được xác định như sau: 2 1 1 1 ; ln(1 ) 2010; 1 2 n n u a u u n + = = + -Ỵ ³¡ . Chứng minh rằng dãy ( ) n u hội tụ. 2/ Với , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện 1a b³ ³ ; 3a £ ; 6ab £ ; 6ab c£ . Chứng minh rằng 4a b c+ - £ . Bài 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, 3SA a= vng góc với mặt phẳng đáy. Một điểm B’ di chuyển trên đoạn SB. Mặt phẳng (AB’D) cắt SC tại C’. Đặt x = SB’. 1/ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D theo a và x. 2/ Tìm x để tứ giác AB’C’D có diện tích bé nhất. -------- Hết -------- ĐỀ CHÍNH THỨC SBD : ………… PHÒNG :…… ………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán-lớp 9. Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Câu I (4,0 điểm). Cho biểu thức 2 1 2 1 ( ). 1 1 2 1 x x x x x x x x A x x x x + − − + − = + − − − − . 1. Tìm các giá trị của x để 6 6 5 A − = . 2. Chứng minh rằng 2 3 A > với mọi x thoả mãn 1 0, 1, 4 x x x≥ ≠ ≠ . Câu II (4,0 điểm). 1. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a 2 + c 2 = b 2 + d 2 Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số . 2. Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn: 2 ( 3) ( 3)x xy− +M Câu III (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2 1 3 1x x x+ − = − . 2. Cho phương trình: 4 2 2 6 24 0x mx+ + = (m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4 , , ,x x x x phân biệt thỏa mãn: 4 4 4 4 1 2 3 4 144x x x x+ + + = . Câu IV (6,0 điểm). Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Một đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất kì (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D. 1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân. 2. Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu V (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 4 1 111 ≤ + + + + + b ca a bc c ab . ----------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: .Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC - Trang 1- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề gồm 02 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: VẬT LÍ - LỚP 12 PHỔ THÔNG Ngày thi: 31/3/2013 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm) Vật nặng có khối lượng m nằm trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối với một lò xo có độ cứng k, lò xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A (Hình 1a). Vật đang đứng cân bằng thì chịu tác dụng của một lực không đổi F hướng theo trục lò xo như hình vẽ. a) Hãy tìm quãng đường mà vật nặng đi được và thời gian vật đi hết quãng đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất. b) Nếu lò xo không gắn vào điểm A mà được nối với một vật khối lượng M (Hình 1b), hệ số ma sát giữa M và mặt ngang là . Hãy xác định độ lớn của lực F để sau đó vật m dao động điều hòa. Câu 2. (3,0 điểm) Hai nguồn kết hợp S 1 , S 2 trên mặt nước cách nhau 12cm phát ra hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số f = 20Hz, cùng biên độ a = 2cm và cùng pha ban đầu bằng không. Xét điểm M trên mặt nước cách S 1 , S 2 những khoảng tương ứng: d 1 = 4,2cm; d 2 = 9cm. Coi biên độ sóng không đổi, biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là v = 32cm/s. a) Viết phương trình sóng tổng hợp tại điểm M. Điểm M thuộc cực đại hay cực tiểu giao thoa? b) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua trung điểm của S 1 S 2 . Tính số điểm cực đại, cực tiểu trên đoạn MM’ (không kể M và M’). c) Giữ nguyên tần số f và các vị trí S 1 , M. Hỏi muốn điểm M nằm trên đường cực tiểu giao thoa thì phải dịch chuyển nguồn S 2 dọc theo phương S 1 S 2 , ra xa S 1 từ vị trí ban đầu một khoảng nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Câu 3. (2,0 điểm) Cho mạch điện có sơ đồ như Hình 2 : Hai tụ C 1 và C 2 có cùng điện dung C; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L; nguồn có suất điện động E, bỏ qua điện trở thuần của nguồn, dây nối, khoá K. Ban đầu khoá K ở chốt a, sau đó đóng sang chốt b. Hãy viết biểu thức của điện tích trên các bản tụ C 1 , C 2 phụ thuộc vào thời gian khi đóng K sang chốt b. Chọn gốc thời gian lúc K đóng vào chốt b. Câu 4. (4,0 điểm) Cho mạch điện như Hình 3: A là ampekế nhiệt, điện trở R 0 = 100, X là hộp kín chứa 2 trong 3 phần tử (R, L, C) mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu M, N của mạch điện một điện áp xoay chiều có biểu thức : u MN = 200 2 cos2ft (V), tần số f thay đổi được. Bỏ qua điện trở ampekế, khoá K và dây nối. F m k Hình 1a A F m k Hình 1b M K M N C 0 A D R 0 X Hình 3 b E C 1 C 2 L K a Hình 2 - Trang 2- 1) a. Với f = 50Hz thì khi đóng K, ampekế chỉ 1A. Tính điện dung C 0 của tụ điện. b. Ngắt K, thay đổi tần số thì thấy khi f = 50Hz, ampekế chỉ giá trị cực đại và điện áp tức thời giữa hai đầu X lệch pha /2 so với điện áp giữa 2 điểm M và D. Hỏi hộp X chứa những phần tử nào? Tính các giá trị của chúng. 2) Khoá K vẫn ngắt, thay đổi f thì thấy ampekế chỉ cùng trị số khi f = f 1 hoặc f = f 2 . Biết f 1 + f 2 = 125Hz. Tính f 1 , f 2 và viết biểu thức cường độ dòng điện qua mạch khi đó. Câu 5. (3,0 điểm) Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng bằng khe Y-âng, hai khe cách nhau a = 0,5mm, khoảng cách từ mặt phẳng hai khe đến màn D = 2m. Nguồn S phát ra đồng thời ba ánh sáng đơn sắc có bước sóng lần lượt là 1 λ = 0,4μm, 2 λ = 0,5μm, 3 λ = 0,6μm chiếu vào hai khe S 1 S 2 . Trên màn, ta thu được một trường giao thoa có bề rộng 20cm. a) Hỏi trên màn quan sát có tổng cộng bao nhiêu vân sáng cùng màu với vân sáng chính giữa của trường giao thoa? b) Trong khoảng ... chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng lại 12 (không kể A) Việc phục hồi lại hàng đặt chặt vào vị trí chặt, số cách làm với số cách đặt vào số 13 vị trí xen kẽ 12 (kể đầu), nên: Số cách chặt trường... điểm ) Ta có dãy { an } dãy tăng thực sự, (0,5đ) Thật vậy: tồn số tự nhiên k cho ak +1 ≤ ak giả thi t a k +1 > ak ak + ta thu ak +1 > ak + (do ak ∈ N * ) ta dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều... chặt không chặt nên ta xét hàng gồm 11 lại Lập luận tương tự trường hợp 1, ta có số cách chặt là: C12 = 220 (cách) Suy ra: số cách chặt thỏa yêu cầu đề là: 715 + 220 = 935 (cách) (1đ) -Câu