de thi chon doi tuyen toan 11 thpt duc tho 76512

de thi chon doi tuyen toan 11 thpt duc tho 76512 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

Trờng Tiểu học Vân Phú Đề thi chọn đội tuyển toán tuổi thơ lớp 1 Thời gian: 40 phút (Không kể thời gian chép đề) Năm học: 2008 2009. Bài 1: Điền vào ô trống 19 > 12 + > 17 13 < - 4 < 15 Bài 2: Tùng có 18 quả bóng, Tùng cho An một số quả bóng, Tùng còn lại 12 quả bóng. Hỏi Tùng cho An bao nhiêu quả bóng. Bài 3: Đoạn thẳng thứ nhất dài 17 cm. Đoạn thẳng thứ 2 ngắn hơn đoạn thẳng thứ nhất 3 cm. Đoạn thẳng thứ ba dài hơn đoạn thẳng thứ hai 4 cm. Hỏi đoạn thẳng thứ ba dài bao nhiêu cm. Bài 4: Hà hỏi Lan: Năm nay bạn mấy tuổi. Lan đáp: Chị mình vừa tròn chục tuổi. Chị mình hơn mình 4 tuổi. Hỏi Lan mấy tuổi. Bài 5: Trên hình vẽ bên có: a. Mấy hình tam giác. b. Mấy hình vuông onthionline.net Trường THPT Đức Thọ Tổ Toán - tin ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 11 LẦN I Thời gian: 120 phút Bài a) Giải phương trình: −2sin x − 6cos3 x + cos x + 3sin x = b) Giải phương trình: (sinx − 2cos x)cos2 x + sinx = (cos4 x − 1)cos x + cos2 x 2sinx Bài a) Cho tam giác ABC có góc A, B, C thoả mãn hệ thức: 1 + + = cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C b) Cho tam giác ABC có sin2A, sin2B, sin2C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh B ≤ 600 Bài a) Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: Cn1 + Cn2 + L + Cnn ≤ n(2n − 1) b) Tìm n biết: 256(2C12n + 23C32n + + 22n-1C2n-12n) - 254( C02n + 22C22n + + 22nC2n2n) = 474 Bài Cho số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: x3 + y + z ≥ x + y + z Giáo viên đề: Đặng Ngọc Giáp Trường THCS Nhơn Mỹ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN H.S.G CẤP TRƯỜNG Tổ Toán - Lý Môn Toán lớp 9 - Năm học 2008- 2009 Thời gian làm bài: 180 phút. ……………………………………  ……………………………………… Bài 1: (4 điểm) a) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp mà trong chúng không có số nào là số nguyên tố . b) Tìm tất cả các giá trò tự nhiên của n để tổng 2 A = n n + 6+ có giá trò là số chính phương . Bài 2: (5 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a 3 a + b + c≤ + + + + + < . b) 2 2 2 a b c a + b + c b + c c+ a a + b 2 + + ≥ . Bài 3: (5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3 24 + x 12 - x 6+ = . b) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 5 x + 6 x + 8 x + 9 40= . Bài 4: (3 điểm) Cho △ABC không là tam giác vuông có BI và CK là hai đường cao ( I ∈ AC ; K ∈ AB). Vẽ đường tròn tâm B bán kính BK và đường tròn tâm C bán kính CI . Đường thẳng IK lần lượt cắt đường tròn ( B ; BK ) và đường tròn ( C ; CI ) tại các điểm khác là D và E . Chứng tỏ rằng KD = IE . Bài 5: (3 điểm) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ; qua M kẽ các tiếp tuyến MB và MD với đường tròn (O) (B và D là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại C và A ( C nằm giữa M và A ). Gọi I là trung điểm của dây BD. Chứng minh rằng: a) AB . CD = AD . BC ; b) · · IAB MAD= . Huỳnh Thanh Tâm 1 ………………………… Hết ……………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a) * Đặt a = 2.3.4.5…2009.2010 (tích của 2009 số tự nhiên); khi đó dễ thấy: a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 là dãy gồm 2009 số tự nhiên liên tiếp . * Dễ thấy: a + 2 > 2 (1) ( ) a 2 a + 2 2(theo tính chất chia hết của một tổng) (2) 2 2  ⇒   M M M * Từ (1) & (2) chứng tỏ a + 2 có ước thực sự là 2 nên a + 2 là hợp số (tức không là số nguyên tố). * Tương tự ta cũng có a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 đều là hợp số. * Vậy tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp (chẳng hạn như dãy trên) mà trong chúng không có số nào là số nguyên tố . b) * Giả sử A là số chính phương suy ra tồn tại m ∈ ¥ sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 n + n + 6 = m 4 n + n + 6 = 4m 2m - 2n + 1 = 23 2m - 2n - 1 2m + 2n + 1 = 23 (*) ⇔ ⇔ ⇔ * Do m, n ∈ ¥ nên dễ thấy 2m - 2n -1 và 2m + 2n + 1 là các số nguyên , ngoài ra 23 > 0 và 2m + 2n + 1 1≥ ; 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 suy ra 1 ≤ 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 . * Căn cứ các lập luận trên và chú ý 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra hệ sau: 2m - 2n - 1 = 1 2m + 2n + 1 = 23 4n + 2 = 22 n = 5    ⇒ ⇔ * Với n = 5 thì A = 36 = 6 2 thõa là số chính phương. * Vậy n = 5 là giá trò tự nhiên duy nhất cần tìm . Bài 2: a) * p dụng BĐT Bunhiacopsky cho bốn số với chú ý a, b, c > 0 ; ta có: * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b 1 1 a b (Dấu "=" a = b) a + b 2 a b (1) Tương tự ta cũng có: b + c 2 b c (2) c + a 2 c a (3) ≤ + + ⇔ ⇔ ≤ + ≤ + ≤ + * Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta được: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a≤ + + + + + * p dụng BĐT trong tam giác, ta có: Huỳnh Thanh Tâm 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a-b c a-b c a b c 2ab a b c 2ab (4) < ⇔ < ⇔ + < + ⇔ + < + * Tương tự ta cũng có: 2 2 2 2 2 2 b c a 2bc (5) c a b 2ca (6) + < + + < + * Cộng (4), (5) & (6) vế theo vế suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a c 2ab a 2bc b 2ca (7)+ + + + + < + + + + + * p dụng BĐT Bunhiacôpsky lần nữa cho sáu số, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z 1 1 1 x y z x + y + z 3 x y z≤ + + + + ⇒ ≤ + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 a + b + c (8)⇒ ≤ = * Từ (7) & (8) suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 3 a + b + c+ + + + + < b) * p dụng BĐT Cau-chy cho hai số dương ta có: ( ) 2 2 a b + c a b + c + 2 . = a Dấu "=" 2a = b + c b + c 4 b + c 4 ≥ ⇔ (9) * Phòng GD& ĐT Thuận Thành Đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 9 Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(6đ) Cho biểu thức A= ( 32 2 2 2 2 3 :) 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x + + a) Rút gọn A b) Tìm x để AA > c) Tính giá trị của A biết 57 = x Bài 2(4đ) a) Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. Chứng minh : abc 3 c 1 b 1 a 1 333 =++ b) Giải phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 Bài 3(4đ) a) Chứng minh : a 5 -a chia hết cho 30 với a Z b) Chứng minh rằng : x 5 -x+2 không là số chính phơng với mọi x Z + Bài4 (4đ) Cho tam giác cân ABC đỉnh A, đờng cao AH. Gọi D, F lần lợt lợt là trung điểm của AB và AC, O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC. G và E tơng ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Từ G kẻ đ- ờng thẳng song song với AC cắt BC tại I. a) Chứng minh: DO HI AD GH = b) Chứng minh: OE vuông góc với CD Bài 5:(2đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi H;K;I lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC; AC; AB. Xác định trí của M để AI 2 + BH 2 + CK 2 nhỏ nhất. Hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: a) (2đ) Rút gọn A đkxđ: x 3;2;2;0 (0.25đ) A= )3( )2( . )2)(2( )2(4)2( 2222 + ++ xx xx xx xxx (0.5đ) = 3 . 2 44444 222 + ++++ x x x xxxxx (0.5đ) = 3 . 2 )2(4 + + x x x xx (0.5đ) = 3 4 2 x x (0.25đ) b)(2đ) Tìm x để AA > để AA > thì A<0 hay 3 4 2 x x <0 (0.5đ) Vì 4x 2 >0 với mọi x đkxđ nên x-3<0 (0.75đ) Hay x<3 (0.25đ) đối chiếu đkxđ ta thấy với x<0; x 2;2;0 thì AA > (0.5đ) c)(2đ) - Từ 57 = x tính đợc x = 12 và 2 (mỗi giá trị cho 0.5đ) - đối chiếu đkxđ loại x=2 (0.25đ) - Thay x=12 vào A tính đúng giá trị (0.75đ) Nếu HS nào thay cả x=2 vào thì trừ điểm Bài 2 (4đ) a)(2đ) Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. =++ 0bcacab 0 abc bcacab = ++ (0.75đ) 0 c 1 b 1 a 1 =++ Đặt : z c 1 ;y b 1 ;x a 1 === (0.5đ) áp dụng bài toán cơ bản ta có Nếu x+y+z=0 thì: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz đpcm (0.75đ) b)(2đ)phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 9)x2x8)(1x16x64( 22 =+ `(0.5đ) 72)x16x64)(1x16x64( 22 =+ đặt :64x 2 -16x+0,5=k (0.5đ) Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 5,8k25,72k 2 = (0.5đ) Với k=8,5 Ta có x= 2 1 x; 4 1 = Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm vậy phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 (0.5đ) Bài 3(4đ) a) (2đ) có: a 5 -a=a(a 4 -1)=a(a 2 -1)(a 2 +1)=a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5) =a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) (0.75đ) vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 30 ; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30 đpcm ( mỗi ý cho0.5đ) (Kết luận cho 0.25đ) b) (2đ) Từ bài toán trên ta có: x 5 -x 5 (0.75 đ) x 5 - x+2 chia 5 d 2 (0.5đ) x 5 -x+2 có tận cùng là 2 hoặc 7 (không có số chính phơng nào có tận cùng là 2hoặc 7) (0.5đ) Vậy x 5 -x+2 không thế là số chính phơng với mọi x + Z (0.25đ) Bài 4 a) (2đ) Chỉ ra tan giác GHI đồng dạng tam giác ADO (1.5đ) Lập tỷ số DO HI AD GH = (0.5đ) F E D O G C IH B A b) (2®) Tõ trªn ta cã DO AD HI HG = mµ DE = 2/3 DF = 2/3 HC = 2 HI (0.5®) GH=1/2 AG Suy ra DO AD DE AG HI GH == mµ ODEDAG ∠=∠ suy ra ADG ∆ ®ång d¹ng DOE ∆ (1®) Suy ra DEOAGD ∠=∠ suy ra EO vu«ng gãc víi CD (0.5®) Bµi 5(2®) I K H M C B A Chøng minh ®îc AI 2 + BH 2 + CK 2 = BI 2 + CH 2 + AK 2 (0.5®) Ta cã (AI – IB) 2 ≥ 0 suy ra 2 (AI 2 + IB 2 ) ≥ (AI + IB) 2 hay 2(AI 2 + IB 2 ) ≥ AB 2 Chøng minh t¬ng tù ta cã 2( BH 2 + CH 2 ) ≥ BC 2 2 ( CK 2 + KA 2 ) ≥ AC 2 (0.75®) Tõ 3 ®iÒu trªn suy ra 2 (AL 2 +BH 2 + CK 2 ) + 2 (BI 2 + CH 2 + AK 2 ) ≥ AB 2 + BC 2 + CA 2 Suy ra AI 2 + BH 2 + CK 2 4 1 ( AB 2 + BC 2 + CA 2 ) không đổi (0.5đ) dấu bằng xảy ra khi I;K;H đều là trung điểm của các cạnh hay M là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC suy ra cực trị cần tìm (0.25đ) Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Điểm của học sinh để nguyên đến 0.25 đ không làm tròn số. - Học sinh không vẽ Trường THPT Đức Thọ Tổ Toán - tin ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 11 LẦN I Thời gian: 120 phút Bài 1. a) Giải phương trình: 3 3 2sin 6cos cos 3sin 0x x x x− − + + = b) Giải phương trình: os2 (sinx 2cos ) os2 sinx ( os4 1)cos 2sinx c x x c x c x x− + = − + Bài 2. a) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức: 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 CBA CBA ++=++ b) Cho tam giác ABC có sin 2 A, sin 2 B, sin 2 C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng B ≤ 60 0 . Bài 3. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1 ta luôn có: 1 2 (2 1) n n n n n C C C n+ + + ≤ −L b) Tìm n biết: 256(2C 1 2n + 2 3 C 3 2n + + 2 2n-1 C 2n-1 2n ) - 254( C 0 2n + 2 2 C 2 2n + + 2 2n C 2n 2n ) = 474 Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 x y z x y z+ + ≥ + + Giáo viên ra đề: Đặng Ngọc Giáp Bài 1. (4 điểm) Cho phương trình os os π π +     = − +  ÷  ÷     4 4 2011 2011 4 sin 2 2 tan tan 4 4 4 x c x x x c x (1) 1. Giải phương trình (1). 2. Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010] Bài 2. (4điểm) 1. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội 1 2 . Chứng minh rằng = + 1 1 1 AB BC CA . 2. Cho tam giác nhọn ABC thoả mãn hệ thức: 3 3 3 tan tan tan 1 tan tan tan A B C B C A + + = . Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 3. (4 điểm) 1. Cho dãy ( ) n u với * n N∈ và (1). (3) (2 1) , 1;2;3; (2). (4) (2 ) n f f f n u n f f f n − = = Trong đó : f(n) = (n 2 + n + 1) 2 + 1. Chứng minh rằng : 2 lim 2 n n u = 2. Tính giới hạn sau : 2 2 1 2 1 5 4 2 lim 1 x x x x I x → − + − − = − Bài 4. ( 4 điểm) 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. 2. Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho 2 2 2 2 MA MB MC MD+ + + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5. (2 điểm) Giả sử , 0x y > , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 7 ( )x y xy x y A xy x y + + + = + Hết SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 180 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Câu Nội dung Điểm I 4.0đ 1 3.0đ Điều kiện: 8 4 4 2 x k x k π π π π  ≠ +     ≠ +   (1) os os 4 4 4 sin 2 2 1 4 x c x c x + = os os 4 4 4 4 2 2 sin 2 2 4 2sin 4 3sin 4 0 sin 4 0 3 sin 4 2 sin 4 0 4 4 x c x c x x x x x x x k x k π π ⇔ + = ⇔ − =  =  ⇔  =   ⇔ = ⇔ = ⇔ = Kết hợp với điều kiện ta được: 2 x k π = , k ∈¢ . 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 1.0đ [1;2010] 1 2010 1 1279 2 x k k π ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , vì k ∈¢ . Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là 1279.1280 (1 2 1279) . 409280 2 2 2 π π π + + + = = 0.5 0.5 II 4.0đ 1 2.0đ có: 4 7 2 2 7 2 7 A A B C A B B B C C π π π π   =   + + =     = ⇔ =       = =     Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: π π    ÷ + = + = +  ÷  ÷   1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 sin 2 sin 2 sin sin 7 7 BC CA R A R B R π π π π π π     +  ÷  ÷ = + =  ÷  ÷  ÷  ÷     4 2 sin sin 1 1 1 1 7 7 4 2 4 2 2 2 sin sin sin sin 7 7 7 7 R R os os π π π π π π = = = 3 sin . 1 1 1 7 7 4 2 sin .sin . 2 sin 7 7 7 7 c R AB c R 0.5 0.5 0.5 0.5 2 2.0đ Do tam giác ABC nhọn nên tanA > 0 ,tanB > 0 , tanC > 0. Viết lại bất đẳng thức : 3 3 3 cot cot cot 1 cot cot cot B C A A B C + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3 2 cot cot .cot 2cot cot B A B B A + ≥ 3 2 cot cot .cot 2cot cot C B C C B + ≥ 3 2 cot cot .cot 2cot cot A C A A C + ≥ Suy ra : 3 3 3 2 2 2 cot cot cot 2( cot cot cot ) 1 cot cot cot B C A A B C A B C + + ≥ + + − vì cotAcotB + cotBcotC+ cotCcotA = 1 Ta lại có 2 2 2 cot cot cot cotAcotB cotBcotC cotCcotA 1 A B C+ + ≥ + + ≥ Từ đó suy ra : 3 3 3 cot cot cot 1 cot cot cot B C A A B C + + ≥ 0.5 0.5 0.5 0.5 III 5.0đ 1 2.0đ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 1 1 1 2 2 f n n n n n n n n n n n n   = + + + = + + +   = + + + + + = + + + Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 1 2 1 1 (2 1) (2 ) 4 4 2 4 1 2 1 1 - + + - + - = = + + + + + i i i i f i f i i i i i (1). (3) (2 1) (2). (4) (2 ) n f f f n u f f f n − ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 5 1 2 1 1 2 2 1 1 3 1 5 1 7 1 2 1 1 1 2 2 1 n n n u n n u n n   + + + − +   ⇒ = =   + + + + + + +   ⇔ = + + 2 2 2 1 2 lim lim lim 2 2 1 2 2 1 2 n n n n u n n n n n →∞ ⇒ = = = + + + + 0.5 0.5 0.5 0.5 2 3.0đ ( ) (