Chứng minh tam giác ABC đều.. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.. Cho tứ diện ABCD.. Tìm M trong k
Trang 1Bài 1 (4 điểm)
Cho phương trình os
os
4
1 Giải phương trình (1).
2 Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010]
Bài 2 (4điểm)
1 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội 1
2 Chứng minh rằng 1 = 1 + 1
AB BC CA .
2 Cho tam giác nhọn ABC thoả mãn hệ thức: tan3 tan3 tan3 1
B + C + A = .
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 3. (4 điểm)
1 Cho dãy ( ) u với n n N ∈ * và (1) (3) (2 1) , 1;2;3;
(2) (4) (2 )
n
−
Trong đó : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 Chứng minh rằng : lim 2
2
n
n u =
2 Tính giới hạn sau :
2 2
1
lim
1
x
I
x
→
=
−
Bài 4 ( 4 điểm)
1 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là điểm tùy ý trên cạnh
AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó.
2 Cho tứ diện ABCD Tìm M trong không gian sao cho MA2+MB2+MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 (2 điểm)
Giả sử , x y > 0 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y xy x y A
xy x y
=
+
-Hết -SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
I
4.0đ
1
3.0đ
Điều kiện: 8 4
4 2
≠ +
≠ +
os
4
sin 2 2
1 4
2
2sin 4 3sin 4 0 sin 4 0
3 sin 4
2 sin 4 0 4
4
x x x
x k
x k
π π
⇔ =
Kết hợp với điều kiện ta được:
2
x k= π
, k∈¢
0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
2
1.0đ
[1;2010] 1 2010 1 1279
2
, vì k∈¢ Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là
1279.1280 (1 2 1279) 409280
0.5 0.5
II
4.0đ
1
2.0đ
có:
4 7 2
A
A B C A
B
π π
π π
+ + =
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 sin 2 sin 2 sin sin
sin sin
2 sin sin 2 sin sin
os
os
3 sin
4
2 sin sin 2 sin
c
0.5
0.5
0.5
0.5
Trang 32.0đ
Do tam giác ABC nhọn nên tanA > 0 ,tanB > 0 , tanC > 0 Viết lại bất đẳng thức :
cot cot cot
1 cot cot cot
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
3
2
cot
cot cot 2cot cot
B
3
2
cot
cot cot 2cot cot
C
3
2
cot
cot cot 2cot cot
A
2( cot cot cot ) 1 cot cot cot
vì cotAcotB + cotBcotC+ cotCcotA = 1
Ta lại có cot2 A+cot2B+cot2C≥cotAcotB cotBcotC cotCcotA 1 + + ≥
Từ đó suy ra :
cot cot cot
1 cot cot cot
0.5
0.5
0.5 0.5
III
5.0đ
1
2.0đ
2
2
2
2
(2 1)
f i
(1) (3) (2 1) (2) (4) (2 )
n
u
−
2
2 2
2
1 1 3 1 5 1 2 1 1 2
2 1 1
3 1 5 1 7 1 2 1 1 1
n
n
n u
n n
u
2
n n
n
→∞
0.5
0.5
0.5 0.5
2
3.0đ
2 2
1
x
x
I
→
1
2
1.0
1.0
1.0
Trang 4IV 1
3.0đ
Chứng minh được MNPQ là hình bình hành MNPQ là hình vuông MN NP
MP NQ
=
⇔M là trung điểm của AB và a = c.
Lúc đó SMNPQ = 1 2
4b
1.0 1.0 1.0
2
2.0đ
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:
2
4
uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur uuur
2+GC2+GD2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡G
Vậy: MA2+MB2 +MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện
0.5
0.5 0.5 0.5
V
2.0đ
Áp dụng bất thức côsi có (x y+ )3+4xy≥4 xy x y( + )2
Suy ra A≥8 2 Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi x = y
1.0 1.0