de thi chon doi tuyen toan 11 THPT duc tho

Bài 1. (4 điểm) Cho phương trình os os π π +     = − +  ÷  ÷     4 4 2011 2011 4 sin 2 2 tan tan 4 4 4 x c x x x c x (1) 1. Giải phương trình (1). 2. Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010] Bài 2. (4điểm) 1. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội 1 2 . Chứng minh rằng = + 1 1 1 AB BC CA . 2. Cho tam giác nhọn ABC thoả mãn hệ thức: 3 3 3 tan tan tan 1 tan tan tan A B C B C A + + = . Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 3. (4 điểm) 1. Cho dãy ( ) n u với * n N∈ và (1). (3) (2 1) , 1;2;3; (2). (4) (2 ) n f f f n u n f f f n − = = Trong đó : f(n) = (n 2 + n + 1) 2 + 1. Chứng minh rằng : 2 lim 2 n n u = 2. Tính giới hạn sau : 2 2 1 2 1 5 4 2 lim 1 x x x x I x → − + − − = − Bài 4. ( 4 điểm) 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. 2. Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho 2 2 2 2 MA MB MC MD+ + + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5. (2 điểm) Giả sử , 0x y > , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 7 ( )x y xy x y A xy x y + + + = + Hết SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 180 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Câu Nội dung Điểm I 4.0đ 1 3.0đ Điều kiện: 8 4 4 2 x k x k π π π π  ≠ +     ≠ +   (1) os os 4 4 4 sin 2 2 1 4 x c x c x + = os os 4 4 4 4 2 2 sin 2 2 4 2sin 4 3sin 4 0 sin 4 0 3 sin 4 2 sin 4 0 4 4 x c x c x x x x x x x k x k π π ⇔ + = ⇔ − =  =  ⇔  =   ⇔ = ⇔ = ⇔ = Kết hợp với điều kiện ta được: 2 x k π = , k ∈¢ . 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 1.0đ [1;2010] 1 2010 1 1279 2 x k k π ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , vì k ∈¢ . Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là 1279.1280 (1 2 1279) . 409280 2 2 2 π π π + + + = = 0.5 0.5 II 4.0đ 1 2.0đ có: 4 7 2 2 7 2 7 A A B C A B B B C C π π π π   =   + + =     = ⇔ =       = =     Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: π π    ÷ + = + = +  ÷  ÷   1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 sin 2 sin 2 sin sin 7 7 BC CA R A R B R π π π π π π     +  ÷  ÷ = + =  ÷  ÷  ÷  ÷     4 2 sin sin 1 1 1 1 7 7 4 2 4 2 2 2 sin sin sin sin 7 7 7 7 R R os os π π π π π π = = = 3 sin . 1 1 1 7 7 4 2 sin .sin . 2 sin 7 7 7 7 c R AB c R 0.5 0.5 0.5 0.5 2 2.0đ Do tam giác ABC nhọn nên tanA > 0 ,tanB > 0 , tanC > 0. Viết lại bất đẳng thức : 3 3 3 cot cot cot 1 cot cot cot B C A A B C + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3 2 cot cot .cot 2cot cot B A B B A + ≥ 3 2 cot cot .cot 2cot cot C B C C B + ≥ 3 2 cot cot .cot 2cot cot A C A A C + ≥ Suy ra : 3 3 3 2 2 2 cot cot cot 2( cot cot cot ) 1 cot cot cot B C A A B C A B C + + ≥ + + − vì cotAcotB + cotBcotC+ cotCcotA = 1 Ta lại có 2 2 2 cot cot cot cotAcotB cotBcotC cotCcotA 1 A B C+ + ≥ + + ≥ Từ đó suy ra : 3 3 3 cot cot cot 1 cot cot cot B C A A B C + + ≥ 0.5 0.5 0.5 0.5 III 5.0đ 1 2.0đ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 1 1 1 2 2 f n n n n n n n n n n n n   = + + + = + + +   = + + + + + = + + + Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 1 2 1 1 (2 1) (2 ) 4 4 2 4 1 2 1 1 - + + - + - = = + + + + + i i i i f i f i i i i i (1). (3) (2 1) (2). (4) (2 ) n f f f n u f f f n − ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 5 1 2 1 1 2 2 1 1 3 1 5 1 7 1 2 1 1 1 2 2 1 n n n u n n u n n   + + + − +   ⇒ = =   + + + + + + +   ⇔ = + + 2 2 2 1 2 lim lim lim 2 2 1 2 2 1 2 n n n n u n n n n n →∞ ⇒ = = = + + + + 0.5 0.5 0.5 0.5 2 3.0đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 5 4 2 2 1 1 5 4 1 lim lim 1 1 1 1 2 2 4 4 lim 2 1 2 1 1 1 5 4 1 x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x → → →   − − + − − − − − −  ÷ = = + −  ÷ − − − −     − −  ÷ = + −  ÷ − − + − − +   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 5 lim 2 2 1 2 1 1 1 5 4 1 x x x x x →    ÷ = − − = −  ÷ + − + + − +   1.0 1.0 1.0 IV 1 3.0đ Chứng minh được MNPQ là hình bình hành MNPQ là hình vuông MN NP MP NQ =  ⇔  =  ⇔ M là trung điểm của AB và a = c. Lúc đó S MNPQ = 2 1 4 b . 1.0 1.0 1.0 2 2.0đ Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) 4 MA MB MC MD M A MB MC MD MG GA MG GB MG GC MG GD MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD MG GA GB GC GD GA GB + + + = + + + = + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + ≥ + uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 GC GD+ + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡ G. Vậy: 2 2 2 2 MA MB MC MD+ + + đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện. 0.5 0.5 0.5 0.5 V 2.0đ Áp dụng bất thức côsi có + + ≥ + 3 2 ( ) 4 4 ( )x y xy xy x y + + + + = + ≤ = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 xy xy x y xy xy x y xy x y xy x y Suy ra ≥ 8 2A . Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi x = y 1.0 1.0 . + + = + Hết SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 180 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Câu Nội dung. CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thi t diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thi t diện trong trường hợp đó. 2. Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian. Bài 1. (4 điểm) Cho phương trình os os π π +     = − +  ÷  ÷     4 4 2 011 2 011 4 sin 2 2 tan tan 4 4 4 x c x x x c x (1) 1. Giải phương trình (1). 2. Tính tổng các nghiệm