Đang tải... (xem toàn văn)
de thi chon doi tuyen toan 12 cuc hay 53066 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...
Trờng Tiểu học Vân Phú Đề thi chọn đội tuyển toán tuổi thơ lớp 1 Thời gian: 40 phút (Không kể thời gian chép đề) Năm học: 2008 2009. Bài 1: Điền vào ô trống 19 > 12 + > 17 13 < - 4 < 15 Bài 2: Tùng có 18 quả bóng, Tùng cho An một số quả bóng, Tùng còn lại 12 quả bóng. Hỏi Tùng cho An bao nhiêu quả bóng. Bài 3: Đoạn thẳng thứ nhất dài 17 cm. Đoạn thẳng thứ 2 ngắn hơn đoạn thẳng thứ nhất 3 cm. Đoạn thẳng thứ ba dài hơn đoạn thẳng thứ hai 4 cm. Hỏi đoạn thẳng thứ ba dài bao nhiêu cm. Bài 4: Hà hỏi Lan: Năm nay bạn mấy tuổi. Lan đáp: Chị mình vừa tròn chục tuổi. Chị mình hơn mình 4 tuổi. Hỏi Lan mấy tuổi. Bài 5: Trên hình vẽ bên có: a. Mấy hình tam giác. b. Mấy hình vuông Onthionline.net Bài1 : Xác đònh hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau: f(x+y) ≥ f(x).f(y) ≥ 2009x+y, với x, y ∈ R Bài 2: (4đ)Cho tứ diện ABCD tam giác BCD chọn điểm M kẻ qua M đường thẳng song song với cạnh AB,AC,AD cắt mặt (ACD), (ABD) (ABC) A1 , B1 , C1 Tìm vị trí M để thể tích hình tứ diện MA B1C1 lớn Bài ( 1,5 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh: MO MO + = CD AB b) Chứng minh: 1 + = AB CD MN Bài (3 điểm) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A M, I trung điểm BC SA, J điểm chia chia đoạn SB theo tỉ số -2 Biết BC = 2a, SA = SC = SM = a, ∠ ABC = 60o 1/ Mặt phẳng (P) chứa IJ song song với SC chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần 2/ Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng AB Trường THCS Nhơn Mỹ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN H.S.G CẤP TRƯỜNG Tổ Toán - Lý Môn Toán lớp 9 - Năm học 2008- 2009 Thời gian làm bài: 180 phút. …………………………………… ……………………………………… Bài 1: (4 điểm) a) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp mà trong chúng không có số nào là số nguyên tố . b) Tìm tất cả các giá trò tự nhiên của n để tổng 2 A = n n + 6+ có giá trò là số chính phương . Bài 2: (5 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a 3 a + b + c≤ + + + + + < . b) 2 2 2 a b c a + b + c b + c c+ a a + b 2 + + ≥ . Bài 3: (5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3 24 + x 12 - x 6+ = . b) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 5 x + 6 x + 8 x + 9 40= . Bài 4: (3 điểm) Cho △ABC không là tam giác vuông có BI và CK là hai đường cao ( I ∈ AC ; K ∈ AB). Vẽ đường tròn tâm B bán kính BK và đường tròn tâm C bán kính CI . Đường thẳng IK lần lượt cắt đường tròn ( B ; BK ) và đường tròn ( C ; CI ) tại các điểm khác là D và E . Chứng tỏ rằng KD = IE . Bài 5: (3 điểm) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ; qua M kẽ các tiếp tuyến MB và MD với đường tròn (O) (B và D là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại C và A ( C nằm giữa M và A ). Gọi I là trung điểm của dây BD. Chứng minh rằng: a) AB . CD = AD . BC ; b) · · IAB MAD= . Huỳnh Thanh Tâm 1 ………………………… Hết ……………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a) * Đặt a = 2.3.4.5…2009.2010 (tích của 2009 số tự nhiên); khi đó dễ thấy: a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 là dãy gồm 2009 số tự nhiên liên tiếp . * Dễ thấy: a + 2 > 2 (1) ( ) a 2 a + 2 2(theo tính chất chia hết của một tổng) (2) 2 2 ⇒ M M M * Từ (1) & (2) chứng tỏ a + 2 có ước thực sự là 2 nên a + 2 là hợp số (tức không là số nguyên tố). * Tương tự ta cũng có a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 đều là hợp số. * Vậy tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp (chẳng hạn như dãy trên) mà trong chúng không có số nào là số nguyên tố . b) * Giả sử A là số chính phương suy ra tồn tại m ∈ ¥ sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 n + n + 6 = m 4 n + n + 6 = 4m 2m - 2n + 1 = 23 2m - 2n - 1 2m + 2n + 1 = 23 (*) ⇔ ⇔ ⇔ * Do m, n ∈ ¥ nên dễ thấy 2m - 2n -1 và 2m + 2n + 1 là các số nguyên , ngoài ra 23 > 0 và 2m + 2n + 1 1≥ ; 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 suy ra 1 ≤ 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 . * Căn cứ các lập luận trên và chú ý 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra hệ sau: 2m - 2n - 1 = 1 2m + 2n + 1 = 23 4n + 2 = 22 n = 5 ⇒ ⇔ * Với n = 5 thì A = 36 = 6 2 thõa là số chính phương. * Vậy n = 5 là giá trò tự nhiên duy nhất cần tìm . Bài 2: a) * p dụng BĐT Bunhiacopsky cho bốn số với chú ý a, b, c > 0 ; ta có: * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b 1 1 a b (Dấu "=" a = b) a + b 2 a b (1) Tương tự ta cũng có: b + c 2 b c (2) c + a 2 c a (3) ≤ + + ⇔ ⇔ ≤ + ≤ + ≤ + * Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta được: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a≤ + + + + + * p dụng BĐT trong tam giác, ta có: Huỳnh Thanh Tâm 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a-b c a-b c a b c 2ab a b c 2ab (4) < ⇔ < ⇔ + < + ⇔ + < + * Tương tự ta cũng có: 2 2 2 2 2 2 b c a 2bc (5) c a b 2ca (6) + < + + < + * Cộng (4), (5) & (6) vế theo vế suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a c 2ab a 2bc b 2ca (7)+ + + + + < + + + + + * p dụng BĐT Bunhiacôpsky lần nữa cho sáu số, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z 1 1 1 x y z x + y + z 3 x y z≤ + + + + ⇒ ≤ + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 a + b + c (8)⇒ ≤ = * Từ (7) & (8) suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 3 a + b + c+ + + + + < b) * p dụng BĐT Cau-chy cho hai số dương ta có: ( ) 2 2 a b + c a b + c + 2 . = a Dấu "=" 2a = b + c b + c 4 b + c 4 ≥ ⇔ (9) * Phòng GD& ĐT Thuận Thành Đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 9 Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(6đ) Cho biểu thức A= ( 32 2 2 2 2 3 :) 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x + + a) Rút gọn A b) Tìm x để AA > c) Tính giá trị của A biết 57 = x Bài 2(4đ) a) Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. Chứng minh : abc 3 c 1 b 1 a 1 333 =++ b) Giải phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 Bài 3(4đ) a) Chứng minh : a 5 -a chia hết cho 30 với a Z b) Chứng minh rằng : x 5 -x+2 không là số chính phơng với mọi x Z + Bài4 (4đ) Cho tam giác cân ABC đỉnh A, đờng cao AH. Gọi D, F lần lợt lợt là trung điểm của AB và AC, O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC. G và E tơng ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Từ G kẻ đ- ờng thẳng song song với AC cắt BC tại I. a) Chứng minh: DO HI AD GH = b) Chứng minh: OE vuông góc với CD Bài 5:(2đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi H;K;I lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC; AC; AB. Xác định trí của M để AI 2 + BH 2 + CK 2 nhỏ nhất. Hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: a) (2đ) Rút gọn A đkxđ: x 3;2;2;0 (0.25đ) A= )3( )2( . )2)(2( )2(4)2( 2222 + ++ xx xx xx xxx (0.5đ) = 3 . 2 44444 222 + ++++ x x x xxxxx (0.5đ) = 3 . 2 )2(4 + + x x x xx (0.5đ) = 3 4 2 x x (0.25đ) b)(2đ) Tìm x để AA > để AA > thì A<0 hay 3 4 2 x x <0 (0.5đ) Vì 4x 2 >0 với mọi x đkxđ nên x-3<0 (0.75đ) Hay x<3 (0.25đ) đối chiếu đkxđ ta thấy với x<0; x 2;2;0 thì AA > (0.5đ) c)(2đ) - Từ 57 = x tính đợc x = 12 và 2 (mỗi giá trị cho 0.5đ) - đối chiếu đkxđ loại x=2 (0.25đ) - Thay x=12 vào A tính đúng giá trị (0.75đ) Nếu HS nào thay cả x=2 vào thì trừ điểm Bài 2 (4đ) a)(2đ) Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c 0. =++ 0bcacab 0 abc bcacab = ++ (0.75đ) 0 c 1 b 1 a 1 =++ Đặt : z c 1 ;y b 1 ;x a 1 === (0.5đ) áp dụng bài toán cơ bản ta có Nếu x+y+z=0 thì: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz đpcm (0.75đ) b)(2đ)phơng trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 9)x2x8)(1x16x64( 22 =+ `(0.5đ) 72)x16x64)(1x16x64( 22 =+ đặt :64x 2 -16x+0,5=k (0.5đ) Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 5,8k25,72k 2 = (0.5đ) Với k=8,5 Ta có x= 2 1 x; 4 1 = Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm vậy phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 (0.5đ) Bài 3(4đ) a) (2đ) có: a 5 -a=a(a 4 -1)=a(a 2 -1)(a 2 +1)=a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5) =a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) (0.75đ) vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 30 ; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30 đpcm ( mỗi ý cho0.5đ) (Kết luận cho 0.25đ) b) (2đ) Từ bài toán trên ta có: x 5 -x 5 (0.75 đ) x 5 - x+2 chia 5 d 2 (0.5đ) x 5 -x+2 có tận cùng là 2 hoặc 7 (không có số chính phơng nào có tận cùng là 2hoặc 7) (0.5đ) Vậy x 5 -x+2 không thế là số chính phơng với mọi x + Z (0.25đ) Bài 4 a) (2đ) Chỉ ra tan giác GHI đồng dạng tam giác ADO (1.5đ) Lập tỷ số DO HI AD GH = (0.5đ) F E D O G C IH B A b) (2®) Tõ trªn ta cã DO AD HI HG = mµ DE = 2/3 DF = 2/3 HC = 2 HI (0.5®) GH=1/2 AG Suy ra DO AD DE AG HI GH == mµ ODEDAG ∠=∠ suy ra ADG ∆ ®ång d¹ng DOE ∆ (1®) Suy ra DEOAGD ∠=∠ suy ra EO vu«ng gãc víi CD (0.5®) Bµi 5(2®) I K H M C B A Chøng minh ®îc AI 2 + BH 2 + CK 2 = BI 2 + CH 2 + AK 2 (0.5®) Ta cã (AI – IB) 2 ≥ 0 suy ra 2 (AI 2 + IB 2 ) ≥ (AI + IB) 2 hay 2(AI 2 + IB 2 ) ≥ AB 2 Chøng minh t¬ng tù ta cã 2( BH 2 + CH 2 ) ≥ BC 2 2 ( CK 2 + KA 2 ) ≥ AC 2 (0.75®) Tõ 3 ®iÒu trªn suy ra 2 (AL 2 +BH 2 + CK 2 ) + 2 (BI 2 + CH 2 + AK 2 ) ≥ AB 2 + BC 2 + CA 2 Suy ra AI 2 + BH 2 + CK 2 4 1 ( AB 2 + BC 2 + CA 2 ) không đổi (0.5đ) dấu bằng xảy ra khi I;K;H đều là trung điểm của các cạnh hay M là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC suy ra cực trị cần tìm (0.25đ) Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Điểm của học sinh để nguyên đến 0.25 đ không làm tròn số. - Học sinh không vẽ PHÒNG GD&ĐT CẨM XUYÊN TRƯỜNG THCS HUY NAM YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học 2010 – 2011 Môn: Toán (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Đề ra: Bài 1 Tính tổng: (3 điểm) a) 53 53 53 53 − + + + − b) 2487245 +−+− Bài 2 (6 điểm) Cho biểu thức: 1 1 1 2 1 1 ++ + − − + − − + = xx x xx x x x y a) Rút gọn y b) Tìm giá trị của x để 3 1 −= y c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y A += 2 Bài 3 (4 điểm) Cho hàm số y=(m+4)x-m+6 (m là tham số) a) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến (Thí sinh chọn một trong hai câu b hoặc c) b) Xác định m để đồ thị của hàm số cắt hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 5 c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đồ thị của hàm số y luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 (7 điểm) Cho hình thang vuông AOCD ( Â=90 0 , AB//CD). E là trung điểm của AD và góc BEC bằng 90 0 . Cho biết AD=2a. Chứng minh rằng: a) AB.CD=a 2 b) Tam giác EAB đồng dạng với tam giác CEB c) Gọi F là hình chiếu của điểm E trên đường thẳng BC. Tính số đo góc AFD Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2009-2010 Môn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngày thi: 23/10/2009 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:1. Lập bảng biến thiên của hàm số 22 2 − + = x xx y .Sử dụng bảng biến thiên biện luận theo m số nghiệm của phương trình . 22 2 m x xx = − + 2.Giải bất phương trình 4 211 2 x xx −≤−++ Bài 2: 1. Tìm a, b để hệ phương trình =− =− bxy ayx 2 2 1 1 có nghiệm 2. Giải phương trình sinx – 2sin2x – sin3x = 22 Bài 3: 1. Cho bốn biến số a, b , c , d nhận bốn giá trị khác nhau trong tập{14; 15; 11; 2009}. Đặt M = 2222 )()()()( addccbba −+−+−+− Tìm giá trị của các biến a, b, c, d sao cho biểu thức M nhận giá trị nhỏ nhất. 2. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng 2 tan; 2 tan; 2 tan CBA lập thành một cấp số cộng theo thứ tự trên khi và chỉ khi CBA cos;cos;cos cũng theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Bài 4: 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = R 2 và một điểm M(x 0 ;y 0 ) nằm ngoài đường tròn (C). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT 1 và MT 2 tới đường tròn (T 1 , T 2 là hai tiếp điểm). a.Viết phương trình đường thẳng T 1 T 2 . b. Giả sử M chạy trên đường thẳng (d) cố định,không cắt đường tròn (C). Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định. 2. Trên mặt phẳng (P) cho hai tia ox; oy vuông góc với nhau.Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại O lấy một điểm S sao cho SO = a (a là hằng số dương). M, N lần lượt là hai điểm chuyển động trên hai tia ox, oy sao cho luôn có OM + ON = a. Tìm quĩ tích tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN. Chứng minh rằng khi tứ diện SOMN có thể tích lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp của nó có bán kính nhỏ nhất. Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước tồn tại không quá một số tự nhiên 1 −≤ nk sao cho 1+ = k n k n CC . Hết Số báo danh TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHON ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 Môn Toán –Lớp 12 THPT Bài câu Bài giải Biểu điểm B1(6đ) 1(3đ) Lập bảng biến thiên của hàm số 22 2 − + = x xx y .Sử dụng bảng biến thiên biện luận theo m số nghiệm của phương trình . 22 2 m x xx = − + Lời giải Tập xác định R \ { } 1 ( ) < − ++− = > − −− = =⇒ < − + = > − + = = 1 )22( 242 1 22 242 1 22 1 22 2 2 , 2 2 2 , 1 , 2 2 2 1 xKhi x xx y xkhi x xx y y xKhi x xx y xkhi x xx y y 210,210 , 2 , 1 −=⇔=+=⇔= xyxy +∞= ±∞→x lim , +∞=−∞= +− →→ yy xx 11 lim,lim Bảng biến thiên + ∞ y y ' y 2 ' y 1 ' x 3 2 + 2 3 2 - 2 + + - - 0 0 0 0 - - + + 1 1+ 2 1- 2 + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ - ∞ Biện luận: + 2 2 3 −−<m Phương trình vô nghiệm. + 2 2 3 −−=m Phương trình có 1 nghiệm. + - 2 2 3 2 2 3 +<<− m Phương trình có 2 nghiệm. + m = 2 2 3 + Phương trình có 3 nghiệm. + m > 2 2 3 + Phương trình có 4 nghiệm. 1,0 1,0 1,0 2(3đ) Giải bất phương trình 4 211 2 x xx −≤−++ Lời giải: Điều kiện: 1≤x Bất phương trình đã cho tương đương với phương trình )11(2) 16 1( 16 4122 2 2 2 4 22 x x x x xx −−≤−⇔+−≤−+ Nhân cả hai vế của phương trình với 011 2 >−+ x ta có 2 2 2 11)( 16 1( x x x −+− ) 2 2x≤ Nhận thấy bất phương trình nghiệm đúng với x = 0 (1) Với 0≠x chia hai vế của bất phương trình cho x 2 ta được 2)11)( 16 1( 2 2 ≤−+− x x Vì 2111 16 10 2 2 <−+<−< xvà x với { } 2)11)( 16 1(0\]1;1[ 2 2 <−+−⇒−∈∀ x x x Vậy { } 0\]1;1[−∈∀x đều là nghiệm của bất phương trình đã cho (2) Từ (1) và (2) suy ra nghiệm bất phương trình đã cho là ]1;1[−∈x 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 B2(3đ) 1(1đ) Tìm a, b để hệ phương trình =− =− bxy ayx 2 2 1 1 có nghiệm Lời giải: +Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm là );( 00 yx tức là có =− =− )2(1 )1(1 2 00 2 00 bxy ayx Nhận thấy 11 00 ≤≤ yv àx Đặt = = β α sin sin 0 0 y x với 2 , 2 π βα π ≤≤− Từ (1) và (2) ta có (