ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO TỈNH QUẢNG TRỊ (2008 - 2009) Bài 1 : Tính a) 2 2 2 2 (649 13.180 ) 13(2.649.180)A = + − b) 3 3 3 3 3 3 54 18 200 126 2 6 2 1 2 1 2 B = + + + − + + c) 4 4 4 2 4 3 5 2 25 125 C = − + − Bài 2 : Giải phương trình (lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy) 2 2 2007 2008 0,1 20 2008 2007 0,1x x x x+ + + = + − + + Bài 3 : Tìm giá trị của x,y viết dưới dạng phân số (hoặc hỗn số ) từ các phương trình sau : 2 5 4 2 3 1 6 4 5 3 8 5 7 5 7 9 8 9 x x + = + + + + + + + ; 2 1 1 1 3 1 1 4 5 6 7 y y + = + + + + Bài 4 : Một sinh viên được gia đình gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền là 50000000 đ (năm mươi triệu đồng ) với lãi suất tiết kiệm là 0,4% tháng . Nếu mỗi tháng anh ta rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng ang ta rút ra bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm (60 tháng ) số tiền gửi tiết kiệm vừa hết Bài 5 : Tam giác ABC vuông ở A có AB = c = 23,82001 cm ; AC = b = 29,1945 cm Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , A’,B’,C’ là hình chiếu vuông góc của G xuống các cạnh BC , AC, AB . Gọi S và S’ là diện tích hai tam giác ABC và A’B’C’ 1) Tính tỉ số 'S S 2) Tính S’ Bài 6 1) Trục căn thức ở mẫu số : 3 3 2 1 2 2 3 9 M = + − − 2) Tính giá trị của biểu thức M (chính xác đến 10 chữ số) Bài 7 Cho đa thức 9 7 5 3 1 1 1 82 32 ( ) 630 21 30 63 35 P x x x x x x= − + − + a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4;-3;-2;0;1;2;3;4 b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên 1) Tính các cạnh AB , AC 2) Tính diện tích tam giác ABC Bài 8 Tính gần đùng các nghiệm của hệ : 2 2 2 5 2 5 x y y x − = − = Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 và AD = 3 . Trên cạnh AB lấy điểm M sao AM = 1,5 và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BN = 1,8 . Gọi I là giao điểm của CM và AN . Tính IA,IB,IC (chính xác đến 4 chữ số thập phân) Bài 10 Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức: (6 2 7) (6 2 7) 4 7 n n n u + − − = 1,2,3 n = a) Tính các giá trị u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6, u 7, u 8 b) Xác lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 Onthionline.net đềthi HọC Kỳ II Năm học 2008 - 2009 Môn: Toán Thời gian : 90 phút Bài 1(3 điểm): (2 x − 3)( x −1) − 4(2 x − 3) Cho biểu thức A = ( x +1) ( x − 3) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = Bài 2(3 điểm): Cho phương trình x2-2(m+1)x+ m2-5 = a) Giải m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3(4 điểm): Cho (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn (O ’) đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M kẻ dây cung DE⊥AB Gọi I giao DC với (O’) a) Chứng minh ADBE hình thoi b) BI// AD c) I,B,E thẳng hàng đềthi HọC Kỳ II Năm học 2008 - 2009 Môn: Toán Thời gian : 90 phút Bài 1(3 điểm): Cho biểu thức A = (2 x − 3)( x −1) − 4(2 x − 3) ( x +1) ( x − 3) a) Rút gọn A b)Tìm x để A = Bài 2(3 điểm): Cho phương trình x2-2(m+1)x+ m2-5 = a)Giải m = b)Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3(4 điểm): Cho (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn (O’) đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ m kẻ dây cung DE⊥AB Gọi I giao DC với (O’) Onthionline.net a)Chứng minh ADBE hình thoi b)BI// AD c)I,B,E thẳng hàng Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định: x 3 2 ≠ − + y’ = ( ) 2 1 3 0 x 2 2x 3 − < ∀ ≠ − + + Tiệm cận Vì x x 2 1 lim 2x 3 2 →∞ + = + nên tiệm cận ngang là y = 1 2 Vì 3 3 x x 2 2 x 2 x 2 lim ; lim 2x 3 2x 3 + − →− →− ÷ ÷ + + = +∞ = −∞ + + nên tiệm cận đứng là x = - 3 2 Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại 2 0; 3 ÷ và cắt Ox tại (-2; 0) 1 2. Ta có 2 1 y' (2x 3) − = + nên phương trình tiếp tuyến tại 0 x x= (với 0 3 x 2 ≠ − ) là: y - f( 0 x ) = f’( 0 x )(x - 0 x ) 2 0 0 2 2 0 0 2x 8x 6 x y (2x 3) (2x 3) + + − = + + + Do đó tiếp tuyến cắt Ox tại A( 2 0 0 2x 8x 6+ + ;0) và cắt Oy tại B(0; 2 0 0 2 0 2x 8x 6 (2x 3) + + + ) Tam giác OAB cân tại O OA OB ⇔ = (với OA > 0) 2 2 0 0 A B 0 0 2 0 2x 8x 6 x y 2x 8x 6 (2x 3) + + ⇔ = ⇔ + + = + 0 2 0 0 0 x 1(L) (2x 3) 1 2x 3 1 x 2(TM) = − ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − Với 0 x 2= − ta có tiếp tuyến y = −x − 2 Câu II. 2 1. ĐKXĐ: 5 1 x k2 ;x k2 sinx 6 6 2 sinx 1 x 2l 2 π − π ≠ − + π ≠ + π ≠ − ⇔ π ≠ ≠ + π Phương trình ⇔ cosx - 2sinxcosx = 3 (1 – sinx + 2sinx – 2sin 2 x) ⇔ cosx – sin2x = 3 + 3 sinx - 2 3 sin 2 x ⇔ 3− sinx + cosx = sin2x + 3 (1 – 2sin 2 x) = sin2x + 3 cos2x ⇔ - 3 1 1 3 sin x cos x sin 2x cos 2x 2 2 2 2 + = + ⇔ 5 5 sin x.cos cos x.sin sin 2x.cos cos 2x.sin 6 6 3 3 π π π π + = + ⇔ 5 sin x sin 2x 6 3 π π + = + ÷ ÷ ⇔ 5 x 2x m2 6 3 5 x 2x n2 6 3 π π + = + + π π π + = π − − + π ⇔ x m2 x m2 2 2 2 3x n2 x n 6 18 3 π π − = − + π = − π ⇔ π π π = − + π = − + Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm của pt là: x = ( ) 2 n n 18 3 π π − + ∈ ¢ 2. Đkxđ: 6 6 5x 0 x 5 − ≥ ⇔ ≤ (*) Đặt 3 3 3 2 2 2u 3v 8 u 3x 2 u 3x 2 (v 0) 5u 3v 8 v 6 5x v 6 5x + = = − = − ≥ ⇒ ⇒ + = = − = − 3 2 8 2u v 3 5u 3v 8 − = ⇒ + = 3 2 15u 64 32u 4u 24 0⇒ + − + − = 3 3 2 2 2 2 0 15u 4u 32u 40 0 (u 2)(15u 26u 20) 0 u 2 15u 26u 20 0 vô n do ' 13 15.20 0 u 2 x 2(tm). ⇔ + − + = ⇔ + − + = = − ⇔ − + = ∆ = − < ⇔ = − ⇒ = − Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2} Câu III. I = 2 2 5 2 0 0 cos x.dx cos x.dx π π − ∫ ∫ Ta có: I 2 = 2 2 2 0 0 1 cos x.dx (1 cos2x).dx 2 π π = + ∫ ∫ = 1 1 x sin 2x 2 2 2 4 0 π π + = ÷ Mặt khác xét I 1 = 2 2 5 4 0 0 cos x.dx cos x.cosx.dx π π = ∫ ∫ = 3 2 2 2 5 0 1 2sin x 8 (1 sin x) d(sin x) sin x sin x 2 5 3 15 0 π π − = − + = ÷ ∫ Vậy I = I 1 – I 2 = 8 15 4 π − Câu IV. Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI (ABCD)⊥ . Ta có IB a 5;BC a 5;IC a 2;= = = Hạ IH BC⊥ tính được 3a 5 IH 5 = ; Trong tam giác vuông SIH có 0 3a 15 SI = IH tan 60 5 = . 2 2 2 ABCD AECD EBC S S S 2a a 3a= + = + = (E là trung điểm của AB). 3 2 ABCD 1 1 3a 15 3a 15 V S SI 3a 3 3 5 5 = = = . 4 Câu V. Từ giả thiết ta có: x 2 + xy + xz = 3yz ⇔ (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y và b = x + z Ta có: (a – b) 2 = (y – z) 2 và ab = 4yz Mặt khác a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b) 2 ≤ ( ) 2 2 2 2(a b ) a b ab + − + = ( ) 2 2 2 (a b) 2ab a b ab − + − + = ( ) 2 2 2 (y z) 2yz y z 4yz − + − + = ( ) 2 2 2 (y z) 4yz y z + + + ≤ ( ) 2 2 2 4(y z) y z 2(y z) (1)+ + = + Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) ≤ 3(y + z) 2 . (y + z) = 3(y + z) 3 (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI .a 1. Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I. 5 Ta có N DC ∈ , F ∈ AB, IE ⊥ NE. Tính được N = (11; −1) . Giả sử E = (x; y), ta có: IE uur = (x – 6; y – 2); NE uuur = (x – 11; y + 1). IE uur . NE uuur = x 2 – 17x + 66 + y 2 – y – 2 = 0 (1) E ∈ ∆ ⇒ x + y – 5 = 0 . (2) Giải hệ (1), (2) tìm được x 1 = 7; x 2 = 6. Tương ứng có y 1 = −2; y 2 = −1 ⇒ E 1 = (7; −2); E 2 = (6; −1) Suy ra F 1 = (5; 6), F 2 = (6; 5). Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = 0 KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008-2009 MÔN : TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT I.LÝ THUYẾT (2đ): Chọn một trong hai đề sau để làm : Đề 1 (2đ) : 1/Phát biểu đònh lí Vi-ét 2/Áp dụng: Giải phương trình: 5x 2 - 8x + 3 = 0 Đề 2 (2đ): Chứng minh đònh lý: Trong moat tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 II.BÀI TẬP BẮT BUỘC (8 đ) Câu 1 (2đ) : Cho phương trình : 3x 2 + (m + 1)x + 1 = 0 a/ Giải phương trình với m = 3 b/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Câu 2 (1đ) : Giải hệ phương trình: { 5x -13y = 21 7x + 13y = 3 Câu 3 (2đ) : Cho hàm số y = x 2 và y = 3x – 2 a/Vẽ đồ thò của hai hàm số trên cùng moat hệ trục tọa độ. b/Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thò đó. Câu 4(1đ) : Một hình trụ có bán kính đáy là 5 cm, chiều cao là 10 cm. Tính thể tích của hình trụ đó. Câu 5 (2đ) : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lay moat điểm K và vẽ đường tròn đường kính KC. Kẻ BK cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng: a/ ABCD là tứ giác nội tiếp b/ Góc ABD = Góc ACD c/ CA là tia phân giác của góc ICB. …….HẾT……. ...Onthionline.net a)Chứng minh ADBE hình thoi b)BI// AD c)I,B,E thẳng hàng