bai tap chuong ve gioi han 46060

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN Gv: Lê thanh Tuấn Câu 1: 2 1 lim 1 x x x x → − − a. 1 b. 2 c. 3 d.4 Câu 2: 5 1 2 lim 5 x x x → − − − a. ½ b. 1 c. ¼ d. 2 Câu 3: 2 2 0 1 1 lim 16 4 x x x → + − + − a. 1 b. 2 c. 3 d.4 Câu 4: 3 2 2 0 1 1 lim x x x → + − a. 1/3 b. ½ c. ¼ d. 1 Câu 5 : ( ) 3 3 lim 1 1 x x x x x → − − + − a. 4 b. 6 c. ¼ d. 4/3 Câu 6 : 2 0 1 1 lim x x x x → + − − a. 1 b. ½ c. -1 d. – ½ Câu 7: ( ) 3 3 2 lim 5 x x x x →∞ + − a. 0 b. 5/3 c. 3/5 d. Không tồn tại Câu 8: 0 1 2 1 lim x x x → + − a. 2 b. 1 c. ½ d. Không tồn tại Câu 9 : 6 2 2 lim 6 x x x → − − − a. ½ b. 1 c. ¼ d. 2 Câu 10 : 3 0 1 1 lim 4 2 x x x → + − + − a. ½ b. 4/3 c. 2/3 d. ¾ Câu 11: ( ) 2 lim 3 1 x x x x →+∞ + + − a. ½ b. 2/3 c. ¼ d. 3/2 Câu 12 : 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x → − + − a. 5/8 b. 2/3 c. 3/8 d. 4/3 Câu 13: ( ) 6 2 1 6 5 lim 1 x x x x → − + − a. 9 b. 11 c. 13 d. 15 Câu 14: 3 0 1 1 lim x x x x → + + − a. ½ b. 5/6 c. ¼ d. ¾ Câu 15: 3 3 2 3 0 1 1 lim x x x x x → + − − + a. 1 b. ½ c.1/4 d. 1/3 Câu 16: 5 3 1 1 lim 1 x x x →− + + a. 2/3 b. 5/3 c. 4/3 d.1 Câu 17: 2 0 1 1 lim 1 1 x x x x x → − − + − − + a. ¼ b. ½ c. 1/3 d. 1 Câu 18: 3 1 1 lim 1 x x x → − − a. ½ b. 1/3 c. ¼ d. 1 Câu 19: 3 2 2 0 8 2 lim x x x → + − a. 1/12 b. ¼ c. 1/6 d.1/3 Câu 20: 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − a.1 b. 2 c. ½ d. 3/2 Câu 21: ( ) 4 lim 50 11n n− − + a. - ∞ b. + ∞ c. 1 d. – 1 Câu 22: 3 2 3 lim 7n n− a. - ∞ b. + ∞ c. 1 d. – 1 Câu 23: 3 3 lim 2 15 n n n − + a. -1/2 b. 3/2 c. - ∞ d. + ∞ Câu 24: 4 2 2 7 lim 3 5 n n n − + + a. 2/3 b. 0 c. - ∞ d. Đáp án khác Câu 25: 2 2 2 15 11 lim 3 3 n n n n − + − + a. 2/3 b. -2/3 c. - ∞ d. + ∞ Câu 26: ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 3 lim 7 5 n n n n + − + − a. -6 b. 6 c. - ∞ d. + ∞ Câu 27: ( ) 2 2 lim 2 3 1n n+ − + a. 2 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 28: 1 lim 1n n+ − a. 0 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 29: 3 11 lim 1 7.2 n n − + a. 0 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 30: 1 2 3.5 3 lim 3.2 7.4 n n n n + − + + a. -1 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 31: 2 1 lim 2n n− + a. 0 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 32: 10 lim 2.4 3 n − a. 1 b. 2 c. ½ d. Đáp án khác Trang 1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN Gv: Lê thanh Tuấn Câu 33: 2 2sin lim 10 n n   −  ÷   a. 10 b. 8 c. - ∞ d. Tất cả đều sai Câu 34: ( ) ( ) 1 1 3 1 lim 2 3.2 n n n+   −  ÷ +  ÷  ÷   a. -1/2 b. 1/3 c. ½ d. -1/3 Câu 35: 2 2 2 sin 3 lim n n n n − a. 3 b. -3 c. 0 d. - ∞ Câu 36: 2 lim 2 n n n − a. 1 b. -1 c. -1/2 d. ½ Câu 37: 3 2 32 lim 2 3 n n n − + + a. 0 b. - ∞ c. + ∞ d. Tất cả sai Câu 38: 4 2 2 3 lim 2 7 n n n n n − + + + a. 0 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 39: 2 2 lim 3 2 n n n + − a. 2 2 b. - 2 2 c. 2 3 d. - 2 3 Câu 40: 1 2 3 2 3 11 lim 3 2 4 n n n n + + + − + + − a. – 1/9 b. 1/9 c. -1/2 d. ½ Câu 41: 13.3 15 lim 3.2 4.5 n n n − + a. 0 b. 13 c. 13/2 d. 13/4 Câu 42: ( ) lim 2n n n+ − a. 1 b. -1 c. 0 d. ½ Câu 43: ( ) 4 2 2 3 lim 2 1 2 n n n n + − − + a. 0 b. 1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 44: 1 1 3 2 lim 5 3 n n n n + + + + a. 2/3 b. 1/3 c. 0 d. 1 3 Câu 45: ( ) 2 3 lim 3 4 x x → − a. 81 b. 80 c. 0 d. Tất cả đều sai Câu 46: 2 5 1 1 lim 2 3 x x x x →− + + + a. 1 b. -1 c. 2 d. ½ Câu 47: ( ) 2 4 1 2 1 lim 1 x x x x x → − + + a. 3 b. -2 c. 1/3 d. -3 Câu 48: 0 1 1 lim 1 1 x x x → − + a. 1 b. -1 c. - ∞ d. + ∞ Câu 49: 2 2 3 6 lim 3 x x x x x →− − − + + a. 3/5 b. 5/3 c. - ∞ d. Tất cả đều sai Câu 50: ( ) 2 2 3 2 2 6 lim 2 x x x x x →− − − + a. 0 b. 1 c. -1 d. 3 Câu 51: 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x x →+∞ + + + a.2/3 b. 3/2 c. 2 3 − d. 2 3 Câu 52: 2 2 3 lim 2 3 x x x →−∞ + − a. 2 b. - 2 c. 2 d. 1 Câu 53: 0 3 lim 2 x x x x x + → − + 3 2 . . . . 3 2 a b c d− ∞ + ∞ Câu 54: 3 2 2 2 10 lim 3 2 x x x x x x →− − − + + + a. 15 b. -15 c. 1 d. Tất cả đều sai Câu 55: ( ) 2 2 2 1 3 onthionline.net BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG GIỚI HẠN – Ban Bài Tính giới hạn sau: n2 +1+ 4n a) lim 3n- 3 n +n e) lim n+ ( ) 2n2 +1 n3 - 3n+ b) lim n + 2n+ - n c) lim 2n3 - 2n+1 n2 + 6n- g) lim 2x2 - 3x- x®3 x2 - x- b) lim x+ - x2 + x- g) lim f) lim n+1 n- 2n2 +1n d) lim h) limn( n2 +1- n2 - n2 - 2) Bài Tính giới hạn sau: a) lim x® x2 - 9x + 20 x2 - 5x + b) lim e) lim x+ - x- f) lim x®3 x® x3 - 2x2 - 3x + x® x3 - d) lim x®1 3x +1- x2 - 25 h) lim x®1 x®5 2x2 - 7x + x3 + x- x + 3- 4x +1- Bài Tính tổng sau: 1 n + b) S2 = 1+ (0,3) + (0,3) + + (0,3) + n 2 1 1 1 c) S3 = + + + n + d) S4 = 1+ + + + n + 10 10 10  x − 5x + NÕu x ≠  x − Bài Cho hàm số y =  Xét tính liên tục hàm số x0 = 5 NÕu x =3   3x2 − 7x + NÕu x ≠  Bài Cho hàm số y =  x2 − Xét tính liên tục hàm số x0 = 3 NÕu x =2  a) S1 = 8+ 4+ 2+1+ + +  11x2 − 5x − 34 NÕu x <  Bài Cho hàm số y =  Xét tính liên tục hàm số x0 = x2 − 3x − NÕu x =2   2x + − NÕu x ≠  Bài Cho hàm số y =  10 − 2x Tìm m để hàm số liên tục số x0 = 2m+ NÕu x =5   2x2 − 5x + NÕu x >  Bài Cho hàm số y =  x − Xét tính liên tục hàm số R 5x − NÕu x ≤   2x2 − 5x + NÕu x ≠  Bài Cho hàm số y =  x + − Xét tính liên tục hàm số R  −2 NÕu x =2   x + − x2 + x +  NÕu x > Bài 10 Cho hàm số y =  Tìm m để hàm số liên tục R x 2mx − NÕu x ≤  Bài 11 Cho phương trình: x5 + x – = Chứng minh phương trình có nghiệm Bài 12 Chứng minh phương trình 4x4 + 2x2 - x- 3= có hai nghiệm onthionline.net Bài 13 Chứng minh phương trình 2x3 - 6x +1= có ba nghiệm Bài 14 Chứng minh phương trình sin x + x- 1= có nghiệm  BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG IV ( GIỚI HẠN ) Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 3 2 3 2 3 2 5 2 4 .lim 7 3 1 2 1 .lim 9 2 2 4 c.lim 2 4.7 2.5 3 d.lim 4 3.6 8.7 n n n n n n n a n n n b n n n n n − + − + + + − − − − + − + − − + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 7 1 3 .lim 9 5 . lim 2 .lim 9 4 3 .lim . 9 4 3 n n n e n f n n n g n n h n n n − + + − + − + − + − Bài 2: Tìm các giới hạn sau: ( ) 2 2 3 3 3 1 1 3 2 3 5 1 4 .lim 5 1 . lim .lim 3 3 1 3 x x x x x x x x a x x b c x x → →− → − + − + + − − + − + + Bài 3: Tìm các giới hạn sau: 2 2 2 3 1 2 9 5 4 3 7 2 .lim .lim . lim 3 1 2 4 x x x x x x x x a b c x x x → → →− − − + + + − − + 2 2 1 5 2 2 4 3 3 1 4 6 2 . lim .lim .lim 3 2 5 3 7 x x x x x x x d e f x x x x →− → → − − + + − − − + + − − + Bài 4: Tìm các giới hạn sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 5 5 2 1 3 7 . lim . lim . lim 4 7 1 4 7 2 3 1 2 4 3 7 2 . lim . lim . lim 9 1 4 5 2 3 . lim 4 1 2 x x x x x x x x x x x x x a b c x x x x x x x x x x e f g x x x x x h x x →−∞ →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ + − − + − + − − + − − − + + + − − − + + − − + + + ( ) ( ) 2 2 . lim . 3 . lim . 9 3 x x i x x x k x x x →+∞ →−∞ − − − + Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 0 2 0 2 6 nÕu x 3 . ( ) t¹i x = 3 3 6 nÕu x=3 5 nÕu x 1 . ( ) t¹i x 1 1 2 nÕu x<1 x a f x x x b f x x −  ≠  = −     − ≥ = =  −  Bài 6: Tìm m để hàm số sau liên tục trên tập xác định: 2 4 nÕu x -2 ( ) 2 nÕu x= -2 x f x x m  − ≠  = +    Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau: a. 3 2 3 0x x− + + = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;2) b. 5 4 4 7 0x x+ − = có nhiệm âm c. 4 3 4 1 0x x x+ − − = có hai nghiệm trên khoảng ( - 1;1 ) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN GIA SƯ   Ứ ỨỨ ỨC KHÁNH ‘‘Thắp sáng ngọn lửa thành công’’ • Chuyên luyện thi ðại Học Khối A - B • Nhận dạy kèm tất cả các lớp 22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn Liên hệ : Thầy Khánh – 0975.120.189 BÀI TP GII HN DNG I: TÌM GII HN DÃY S Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số VÝ dô 1: VÝ dô 1:VÝ dô 1: VÝ dô 1: T×m: 2 8n 3n 3 lim 2 n − Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 2 8n 3n 3 3 3 3 lim lim 8 8 2 n2 n − = − = = VÝ dô 2: VÝ dô 2: VÝ dô 2: VÝ dô 2: T×m: 2 2n 3n 1 lim 2 n 2 − − − + Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 3 1 2 2 n 2 2n 3n 1 2 n lim lim 2 2 2 1 n 2 1 2 n − − − − = = = − − − + − + VÝ dô 3: VÝ dô 3:VÝ dô 3: VÝ dô 3: T×m: 2 lim n 1 n 1         − − + Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 2n 2 2 lim n 1 n 1 lim lim 1 2 1 1 n 1 n 1 1 1 n 2 n         − − − − + = = = − − + + − + + . DNG II: CHNG MINH limu 0 n = Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý • Cho hai dãy số ( ) |u | v n n u ,v : limu 0 n n n lim v 0 n      ≤ ⇒ = = (1) (1)(1) (1) • ( ) v u w , n n n n limu L n limv limw L L n n      ≤ ≤ ∀ ⇒ = = = ∈ ℝ (2) (2)(2) (2) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN Ví dụ: Ví dụ:Ví dụ: Ví dụ: Chứng minh: ( ) n 1 cosn lim 0 n = Giải: Giải:Giải: Giải: Ta có: ( ) n 1 cosn 1 n n và 1 lim 0 n = nên ( ) n 1 cosn lim 0 n = DNG III: CHNG MINH limu n TN TI Phng phỏp gii: S dng ủnh lý Dóy (u n ) tng v b chn trờn thỡ cú gii hn ; Dóy (v n ) gim v b chn di thỡ cú gii hn Ví dụ: Ví dụ:Ví dụ: Ví dụ: Chứng minh dãy số ( ) n u cho bởi ( ) 1 u n n n 1 = + có giới hạn. Giải: Giải:Giải: Giải: Ta có ( )( ) ( ) u n n 1 1 n n 1 . 1, n. u 1 n 2 n 1 n 2 n + + = = < + + + Do đó dãy ( ) n u giảm. Ngoài ra, ( ) 1 * n :u 0, n n n 1 = > + nêu dãy ( ) n u bị chặn dới. Vậy dãy ( ) n u có giới hạn. DNG IV: TNH TNG CA CP S NHN LI Vễ HN Phng phỏp gii: S dng cụng thc u 1 S ,|q| 1 1 q = < Ví dụ: Ví dụ:Ví dụ: Ví dụ: Tính tổng 1 1 1 S 1 . n 2 2 2 2 = + + + + + Giải: Giải:Giải: Giải: Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1 q 1 2 = < và u 1 1 = . Vậy: u 1 1 S 2 1 q 1 1 2 = = = DNG V: TèM GII HN Vễ CC Phng phỏp gii: S dng quy tc tỡm gii hn vụ cc Ví dụ Ví dụVí dụ Ví dụ 1 1 1 1: :: : Tìm: 3 2n 4n 3 lim 2 3n 1 + + Giải: Giải:Giải: Giải: Cách 1: Cách 1:Cách 1: Cách 1: Ta có: 4 3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n lim lim 2 3 1 3n 1 n 3 n + + = + + Lại có 4 3 3 1 lim 2 2 0,lim 0 n2 3 2 n n n + = < + = và 3 1 * 0 n n 3 n + > nên suy ra: 4 3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n lim lim 2 3 1 3n 1 n 3 n + + = = + + Cách 2: Cách 2:Cách 2: Cách 2: GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN Ta cã: 4 3 4 3 3 n 2 2 3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n n n lim lim lim n. 2 1 1 3n 1 2 3 n 3 2 2 n n                               − + − − + − − + − = = + + + L¹i cã 4 3 4 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2n 4n 3 n n n n limn ; lim 0 lim lim n. 1 3 2 1 3n 1 3 3 2 2 n n               − + − − + − − + − = +∞ = − < ⇒ = = −∞ + + + VÝ dô VÝ dôVÝ dô VÝ dô 2 2 2 2: :: : TÝnh 2 lim 4x 1 x − →−∞ Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 1 1 2 2 lim 4x 1 lim x 4 lim | x|. 4 x x x 2 2 x x         − = − = − →−∞ →−∞ →−∞ V× lim | x | x = +∞ →−∞ vµ 1 2 lim 4 2 0 lim 4x 1 x x 2 x − = > ⇒ − = +∞ →−∞ →−∞ DNG VI: TÌM GII HN CA HÀM S Phương pháp giải: Sử dụng các ñịnh lý và quy tắc VÝ dô 1: VÝ dô 1:VÝ dô 1: VÝ dô 1: TÝnh: 1 lim x.sin x x 0       → . Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: XÐt d·y ( ) x n mµ x 0, n n ≠ ∀ vµ limx 0 n = . Ta cã: ( ) 1 f x x sin | x | n n n x n = ≤ V× ( ) lim|x | 0 limf x 0. n n = ⇒ = Do ®ã 1 lim x.sin 0 x x 0       = → . VÝ dô 2: VÝ dô 2:VÝ dô 2: VÝ dô 2: TÝnh: 2 lim x x 1 x x         + + − →+∞ Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: 1 1 2 2 x x 1 x x 1 1 2 x lim x x 1 x lim lim lim x x x x 2 2 2 1 1 x x 1 x x x 1 x 1 1 x 2 x       Bài Tập Chương 1 :Giới hạn-Liên tục Tìm giới hạn : 1) a) 2 2 1 lim 23 x x x x → −+ + b) 1 (2)(1) lim (1)(3) x xx xx → + − + − 2) a) )6)(42( 53 lim 2 23 xx xx x −+ +− ∞→ b) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 3 1 1 3 1 1 lim x x x c) 416 11 lim 2 2 0 −+ −+ → x x x d) 1 1 lim 1 − − → n m x x x 3) a) tgnx mx x sin lim 0→ b) 2 0 coscos lim x nxmx x − → c) xx xx x cossin1 cossin1 lim 0 −− −+ → d) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → tgxx x 1 sin 1 lim 0 4) a) tgxx x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → 2 lim 2 π π b) a x tg ax ax 22 sinlim π − → ( a≠ 0) 5) a) 22 lim ( 2 2 3 ) x x xxx →±∞ ++− + b) ( ) xxx x −−+ +∞→ 323 1lim 6) a) x x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∞→ 1 1 lim b) x x x x 2 13 23 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∞→ c) x x x 2 0 )sin1(lim + → d) 0 lim 1 2 x x x → − 7) Xét tính liên tục của các hàm số : a) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − 11 1 1 1 xkhi xkhi x x tại x = 1 b) f(x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − 1 2 3 1 1 1 3 xkhi xkhi x x tại x = 1 c) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 00 0 1 sin xkhi xkhi x x tại x = 0 8) Tìm các điểm gián đoạn : a) f(x) = 1 4 2 2 + − x x b) f(x) = 3 12 − + x x c) f(x) = xtg3x d)f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 01 0 sin xkhi xkhi x x 9) Xét tính liên tục của các hàm số : a) f(x) = 2 0 0 x ekhix x khi x ⎧ < ⎨ ≥ ⎩ trên R b) f(x) = 0 0 x ekhix axkhix ⎧ < ⎨ +≥ ⎩ trên R 10) Tìm a để các hàm số sau đây liên tục trên R : a) f(x) = 2 54 4 4 4 xx khi x x akhix ⎧ −+ ≠ ⎪ − ⎨ ⎪ = ⎩ b) f(x) = 2 11 1 x khi x axkhix +≤ ⎧ ⎨ −> ⎩ c) f(x) = 2 1os4x 0 x =0 c khi x akhix − ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 11) Xét tính liên tục của các hàm số : f(x) = 11 0 sin i=0 khi x xx akhx ⎧ −≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ tại x = 0 12) Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên R : f(x) = sin 2 2 2 2 xkhix x khi x π π π ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −> ⎩ 13) Chứng minh rằng phương trình x 3 – x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực. TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ BẰNG VIỆC SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM II.Tác giả: Phạm Thị Minh Ngọc Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học Đơn vị : Trường THPT Nho Quan A Địa chỉ : Xã Quỳnh Lưu, huyện Nho Quan, tỉnh Ninh Bình. III. Nội dung sáng kiến, kinh nghiệm 1.Đặt vấn đề Đạo hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích thể hiện ở rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán THPT. Đạo hàm được giảng dạy ở cuối lớp 11, ngay sau chương giới hạn, rồi xuyên suốt chương trình lớp 12 và ôn thi đại học, cao đẳng. Đó là lý do tôi chọn đề tài này. Bên cạnh các phương pháp tìm giới hạn hàm số thông thường, tôi muốn giới thiệu một phương pháp nữa: tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa đạo hàm . Việc giải bài toán giới hạn hàm số bằng nhiều cách giúp rèn luyện tư duy khoa học, tính logic và hệ thống cũng như tăng cường kỹ năng thực hành của cả giáo viên và học sinh. 2. Giải quyết vấn đề *Cơ sở lý luận của vấn đề 1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng ( ; )a b và 0 ( ; )x a b∈ . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại 0 ( ; )x a b ∈ , kí hiệu là ' 0 ( )f x . Tức là 0 ' 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x f x f x f x x x → − = − . 2. Đạo hàm của hàm số dạng ( ) ( ) n y f x u x= = là ' ' ' ' ' 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) n n n n n u x u x y f x u x n u x n u x − − = = = = *Cơ sở thực tế của vấn đề Lứa tuổi học sinh THPT là lứa tuổi thích tìm tòi khám phá.Học sinh khá giỏi thích tìm nhiều lời giải cho một bài toán, học sinh trung bình thích có quy tắc giải chung cho một lớp bài toán để dễ nhớ, dễ sử dụng. Đề tài này nhằm đáp ứng một phần nhu cầu trên. Nếu việc phải nhớ các biểu thức liên hợp, việc nhân, chia,cộng, trừ chúng,thêm bớt các biểu thức phù hợp, công thức nhị thức Newton,…là nặng nề thì học sinh chỉ phải dùng định nghĩa đạo hàm. *Nội dung Bài 1 Tìm các giới hạn sau: 1) 0 1 1 lim x x x → + − 2) 3 0 1 1 lim x x x → + − 3) 4 0 1 1 lim x x x → + − 4) 0 1 1 lim n x x x → + − 5) 0 1 1 lim n x ax x → + − Giải Trường THPT Nho Quan A Gv: Phạm Minh Ngọc 1 Ta nhận thấy các câu trên đều có thể dùng biểu thức liên hợp để trục căn thức, sau đó phân tích thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính. Tuy nhiên, với đa số học sinh thì việc tìm liên hợp của các câu số 3,4,5 không đơn giản. Ở đây, cần chỉ cho học sinh thấy sự tương tự trong các câu trên của dạng biểu thức cần tính giới hạn, đó là dạng 0 ( ) 1 lim x f x x → − . Phân tích kỹ hơn ta thấy 1 (0)f= và mẫu thức chính là hiệu 0 x x− với 0 0x = . Như vậy các câu trên đều là việc tính giới hạn dạng 0 ' 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x f x f x f x x x → − = − , nói cách khác ta tìm hàm số ( )y f x= và tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x . Ta có lời giải như sau : Xét hàm số ( ) 1 n y f x ax= = + có ' ' ' ' 1 1 (1 ) ( ) ( 1 ) (1 ) (1 ) n n n n n ax a y f x ax n ax n ax − − + = = + = = + + Từ đó, ' (0) a f n = .Vậy kết quả các câu trên lần lượt là: 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 3 4 a n n Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 1) 3 0 8 2 1 lim x x x x → − − + 2) 2 1 3 2 4 2 lim 1 x x x x x → − − − − − 3) 3 1 2 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − − 4) 2 3 1 7 5 lim 1 x x x x → + − − − 5) 2 3 4 0 1 1 2 lim x x x x → + − − Giải Ta nhận thấy các câu 1,3,4,5 đều chứa hai loại căn thức khác nhau, do đó ta phải thêm bớt số hạng hợp lý để tách thành tổng hai giới hạn, mà mỗi giới hạn chỉ còn một loại căn thức từ đó tính tiếp bằng cách dùng biểu thức liên hợp hoặc sử dụng đạo hàm như bài 1. Tuy nhiên, việc thực hiện theo cách trên là khá dài và có khả năng nhầm lẫn là khá cao. Ở đây ta cũng đi tìm dạng tổng quát của biểu thức trên đều có thể đưa về dạng 0 0 ( ) ( ) lim n m x x f x g x x x → − − . Nhìn kỹ hơn chút nữa, do 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x= ⇒ − = . Vậy