SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KonTum KÌ THI CHỌN HỌCSINHGIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ SỐ 1: Câu 1 (2 điểm) a) Cho hàm số 2 2 3y x mx m= + − và hàm số 2 3y x= − + . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương. b) Giải bất phương trình: 2 8 12 10 2x x x− + − > − Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình: 3 3 3 3 (4 3) 2 x x x − + − = b) Giải phương trình: 2 2 11 23 4 1x x x− + = + Câu 3 (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm (1;4)M . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2 ( 2) ( 3) 9x y− + + = và điểm (1; 2)A − . Đường thẳng ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. Câu 4 (3 điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 AB BC CD DA AC BD+ + + = + . b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 1 1 1 a h b c = + (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là a h ). Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a a b c b c c a a b a b c − + − + − + + ≥ + + + + + + …………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:……………………… 1 ĐỀTHI CHÍNH THỨC ĐÁPÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌCSINHGIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Tìm m: 2 2 3y x mx m= + − và 2 3y x= − + cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ dương 1,00 Yêu cầu bài toán ⇔ PT sau có hai nghiệm dương phân biệt 2 2 2 3 2 3 2( 1) 3 3 0x mx m x x m x m+ − = − + ⇔ + + − − = 0,25 ' 0 3( 1) 0 2( 1) 0 m m ∆ > ⇔ − + > − + > 0,25 1 ' 0 4 m m > − ∆ > ⇔ < − 0,25 Kết hợp nghiệm, kết luận 4m < − 0,25 b Giải bất phương trình: 2 8 12 10 2x x x− + − > − 1,00 TXĐ: 2 8 12 0 2 6x x x− + − ≥ ⇔ ≤ ≤ 0,25 Nếu 5 6x< ≤ thì 2 8 12 0 10 2x x x− + − ≥ > − , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 5 6x< ≤ 0,25 Nếu 2 10 2 0 2 5 8 12 0 x x x x − ≥ ≤ ≤ ⇒ − + − ≥ bất pt đã cho 2 2 8 12 4 40 100x x x x⇔ − + − > − + 2 28 5 48 112 0 4 5 x x x ⇔ − + < ⇔ < < 0,25 Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 4 5x< ≤ Tập nghiệm của bpt đã cho: (4;6] 0,25 2 a Giải phương trình: 3 3 3 3 (4 3) 2 x x x − + − = (1) 1,00 Đặt 3 4 3y x x= − + . (1) có dạng: 3 3 3 2 2 3 ( ) 4 3 y x I x x y − = − + = Khi đó nghiệm của (1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I) 0,25 (I) 3 3 3 3 2 2 3 2 2 ( ) 0 y x x y x y − = ⇔ + − + = 3 3 2 2 2 2 3(2) ( )(2 2 2 1) 0(3) y x x y x xy y − = ⇔ + − + − = 0,25 TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): 3 3 4 x = − 0,25 TH2: 2 2 2 2 2 2 1 0; ' 2 3 x x xy y y− + − = ∆ = − . Nếu có nghiệm thì 2 3 y ≤ . 2 Tương tự cũng có 2 3 x ≤ . Khi đó VT (2) ≤ 3 2 8 2 4 3 3 3 3 = < ÷ . Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm 3 3 4 x = − 0,25 b Giải phương trình: 2 2 11 23 4 1x x x− + = + 1,00 ĐK: 1x ≥ − . 2 (1) 2( 6 9) ( 1 4 1 4) 0x x x x⇔ − + + + − + + = 0,25 2 2 2( 3) ( 1 2) 0x x− + + − = (*) 0,25 Do 2 0( )a a≥ ∀ nên pt(*) 3 0 1 2 0 x x − = ⇔ + − = 0,25 3x⇔ = . Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3 0,25 3 a (1;4)M . Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( ; 0 A B x y > ) 1,00 Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB: 1 x y a b + = 0,25 Vì AB qua M nên 1 4 4 16 1 1 2 1 a b ab ab + = ⇒ ≥ ⇒ ≥ 0,25 2 1 4 1 8;" " 8 2 2 a ab b a b = ⇒ ≥ = ⇔ = = ⇔ = 0,25 Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S 1 1 . 8 2 2 OAOB ab = = ≥ . Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8) 0,25 b (C): 2 2 ( 2) ( 3) 9x y− + + = ; (1; 2)A − . ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của Onthionline.net ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI – KHỐI10 – MƠN SỬ Năm học : 2012-2013 Thời gian làm : 90 phút Câu 1: Do đâu ngun tắc vàng xã hội ngun thủy bị phá vỡ? (3 đ) Câu 2: Các quốc gia cổ đại Phương Đơng hình thành sớm nào? vẽ sơ đồ q trình hình thành giải thích ngun nhân hình thành sớm quốc gia cổ đại Phương Đơng? (3 đ) Câu 3: Nêu thành tựu lớn văn hóa quốc gia cổ đại Phương Đơng? Cư dân Phương Đơng có đóng góp phát triển nhân loại? (4 đ) Hết Onthionline.net ĐÁPÁNĐỀTHI HSG MƠN SỬ - K10 – 2012-2013 Câu (3đ) Đảm bảo ý sau : -Sự xuất cơng cụ lao động kim loại…(0,5đ) -Con người tách lao động riêng, muốn làm chủ, sức lao động khác nhau……(0,5đ) -những người lực chiếm dư làm riêng……(0,5đ) -Xuất tư hữu……(0,5đ) -Ngun tắc vàng khơng hợp lý… nhường chổ cho xã hội có giai cấp nhà nước đời (1đ) Câu (3đ) - Cơ sở hình thành: Sự phát triển sản xuất dẫn tới phân hóa giai cấp, từ nhà nước đời - Do điều kiện tự nhiên thuận lợi, sản xuất phát triển mà không cần đợi đến xuất công cụ sắt, xã hội xuất cải dư thừa dẫn đến phân hóa xã hội kẻ giàu, người nghèo, tầng lớp q tộc bình dân Trên sở nhà nước đời - Các quốc gia cổ đại xuất Ai Cập, Lưỡng Hà, Ấn Độ, Trung Quốc, vào khoảng thiên niên kỷ thứ IV - III TCN SƠ ĐỒ Quốc gia Thời gian Qúa trình Hình thành Ai Cập TNKIV TCN Các liên minh cơng xã thành lập sau hợp thành lập nhà nước Ai Câp Lưỡng Hà TNKIV TCN Hàng chục nước nhỏ người Xume hình thành Ấn Độ TNKIII TCN Các quốc gia cổ đời lưu vực sơng ẤN,sơng Hằng Trung Quốc TKXXITCN Vương triề nhà Hạ thành lập lưu vực sơng Hồng Hà,Trường giang Câu (4 đ) Thiên văn học lịch (07.5đ) - Ra đời sớm gắn với nhu cầu sản xuất nơng nghiệp - Việc tính lịch tương đối nơng lịch có tác dụng việc gieo trồng Chữ viết(0.75đ) - Do nhu cầu trao đổi kinh nghiệm chữ viết đời - Ban đầu chữ tượng hình, sau chữ tượng ý - Nhờ mà hiểu phấn lịch sửgiớicổ đại - Tốn học(0.75đ) Do nhu cầu tính lại ruộng đất, xây dựng, bn bán - Người Ai Cập giói hình học, người Lưỡng Hà giỏi số học, người Ấn Độ phát minh hệ thống chữ số 0,1,2,3 - Phục vụ sống để lại kinh nghiệm cho đời sau Kiến trúc(0.75đ) - Do uy quyền vua mà hàng loạt công trình kiến trúc đời Kim tự tháp Ai Cập, Vườn treo Babilon, Vạn lý Trường thành… - Các công trình thường đồ sộ thể cho uy quyền vua chuyên chế Onthionline.net Ngày tồn số công trình Kim tự tháp Ai Cập, Vạn lý Trường thành, cổng I-sơ-ta, thành Babilon… Những công trình kỳ tích sức lao động tài sáng tạo người Vai trò (1đ) - Là phát minh đầu tiên, vĩ đại đặt nến móng cho đời phát triển văn minh giới - Là sở cho đời phát triển văn hóa cổ đại phương Tây Hy Lạp Rơ Ma PHÒNG GD & ĐT EAKAR ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2009 – 2010 Môn: Sinhhọc Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm): Nêu ý nghĩa sinhhọc của quá trình nguyên phân, giảm phân và thụ tinh? Câu 2. (3 điểm): a) Nêu bản chất sinhhọc và chức năng của gen? b) Lập bảng phân biệt các đặc điểm cấu tạo và chức năng của ADN và ARN. Câu 3. (3 điểm): Tổng số nuclêotít của một phân tử AND là 800.000 a. Tính chiều dài của phân tử ADN? b. Tính số nuclêotít của mỗi loại. Biết 3 2 = X A Câu 4. (4 điểm): Người ta thực hiện 3 phép lai sau: a. Phép lai 1: P: đậu thân cao × đậu thân cao. Thu được F 1 . b. Phép lai 2: P: đậu thân cao × đậu thân thấp. F 1 thu được 220 cây đều thân cao. c. Phép lai 3: P: đậu thân cao × đậu thân thấp. F 1 thu được 112 cây thân cao và 108 cây thân thấp. Cho biết tính trạng thân cao là trội so với tính trạng thân thấp. Hãy biện luận và lập sơ đồ lai cho mỗi trường hợp trên. Câu 5. (3 điểm): Có 5 tế bào của ngỗng nhà nguyên phân một số lần bằng nhau và đã sử dụng của môi trường nội bào 2.800 NST. Các tế bào con tạo ra có chứa tất cả 3.200 NST. a). Xác định số NST lưỡng bội của ngỗng nhà? b). Xác định số lần nguyên phân của mỗi tế bào? Câu 6: (3 điểm) Ở người gen A qui định tóc xoăn trội hoàn toàn so với gen a qui định tóc thẳng. Gen B qui định mắt nâu trội hoàn toàn so với gen b qui định mắt đen. Các gen này phân li độc lập với nhau. Biết mẹ tóc thẳng, mắt đen. a. Hãy xác định kiểu gen của người bố để con sinh ra có người tóc xoăn mắt nâu, tóc xoăn mắt đen, tóc thẳng mắt nâu, tóc thẳng mắt đen. b. Hãy giải thích qua sơ đồ lai? HẾT Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………… Chữ ký giám thị 2: ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD & ĐT EAKAR HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI HSG HUYỆN Năm học 2009 – 2010 Môn: Sinhhọc lớp 9 Câu 1. (4 điểm, giáo viên cho điểm chi tết đến 0,25): * Ý nghĩa sinhhọc của quá trình nguyên phân: - Nguyên phân là hình thức sinh sản của hợp tử, của tế bào sinh dưỡng và tế bào sinh dục sơ khai. - Cơ thể đa bào lớn lên nhờ nguyên phân. Khi các cơ quan của cơ thể đạt khối lượng tới hạn thì ngừng sinh trưởng, lúc này nguyên phân bị ức chế - Nhờ sự tự nhân đôi của NST ở kì trung gian và sự phân li đồng đều của NST ở kì sau của nguyên phân, bộ NST 2n của loài được duy trì ổn định qua các thế hệ tế bào của một cơ thể và qua các thế hệ sinh vật của những loài sinh sản vô tính. (1 đ) * Ý nghĩa sinhhọc của quá trình giảm phân: - Giảm phân là hình thức sinh sản của tế bào sinh dục (noãn bào bậc 1, tinh bào bậc 1) xảy ra ở thời kì chín của tế bào này. - Nhờ sự phân li của NST trong cặp tương đồng xảy ra trong giảm phân, số lượng NST trong giao tử giảm xuống còn n NST. nên khi thụ tinh, bộ NST 2n của loài lại được phục hồi - Sự trao đổi chéo giữa 2 crômatit trong cặp NST kép tương đồng xảy ra ở kì đầu,sự phân li độc lập và tổ hợp tự do giữa những NST kép trong cặp tương đồng xảy ra ở kì sau của giảm phân 1 đã tạo ra nhiều loại giao tử khác nhau là cơ sở cho sự xuất hiện biến dị tổ hợp. (1đ) * Ý nghĩa sinhhọc của quá trình thụ tinh - Thụ tinh là sự kết hợp giữa giao tử đực và giao tửu cái, thực chất là sự kết hợp hai bộ NST đơn bội n để tạo thành bộ NST lưỡng bội 2n của hợp tử. - Thụ tinh là cơ chế hình thành hợp tử, từ đó phát triển thành cơ thể mới. - Sự kết hợp ngẫu nhiên giữa các giao tử khác nhau làm cho bộ NST của loài tuy vẫn ổn định về măt số lượng, hình dạng, kích thước nhưng lại xuất hiên dưới dạng những tổ hợp mới, tạo ra nhiều biến dị tổ hợp, làm tăng tính đa dạng của sinh giới. (1đ) * Kết luận: Sự kết hợp 3 quá trình nguyên phân, giảm phân và thụ tinh đã duy trì ổn định bộ NST đặc trưng cho mỗi loài giao phối qua các thế hệ cơ thể, đồng thời còn tạo ra nguồn biến dị tổ hợp phong phú cho quá trình tiến hoá và chọn giống (1đ) Câu 2 :( 3 điểm ) a) - Bản ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI MÔN: VẬT LÝ – LỚP 9 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Bài 1 ( 4 điểm ) Hai xe đồng thời xuất phát tại A chuyển động thẳng đều đến B. Đoạn đường A đến B dài 50km. Xe thứ nhất trong nửa đầu của đoạn đường chạy với vận tốc m, nửa còn lại chạy với vận tốc n. Xe thứ hai trong nửa đầu của tổng thời gian chạy với vận tốc m, nửa còn lại chạy với vận tốc n. Biết m = 2n và m = 30km/h. a. Xe nào đến B trước và đến trước bao lâu? b. Xe thứ ba xuất phát tại B đồng thời với xe thứ nhất và chuyển động đều về A. Trên đường đi cách B một đoạn 20km thì xe thứ ba gặp xe thứ nhất. Tính vận tốc xe thứ ba. Bài 2 ( 4 điểm ) Một vật rắn nhiệt độ 100 o C được thả vào nước làm cho nhiệt độ của nước tăng từ 20 o C lên 30 o C. Nhiệt độ của lượng nước trên khii cân bằng sẽ là bao nhiêu nếu cùng với vật trên ta thả thêm một vật như thế nhưng ở nhiệt độ 90 o C? Xem chỉ cósự trao đổi nhiệt giữa hai vật rắn với nước. Bài 3 ( 4 điểm ) Có hai lọ thủy tinh giống nhau được đậy kín. Một lọ chứa đầy nước, một lọ chứa 1/2 nước. Nhấn chìm cả hai lọ trong bình chứa đầy nước đo được thể tích nước tràn ra bằng 10cm 3 . Khi không nhấn chìm các lọ trong nước thì một lọ nổi trên mặt nước, một lọ lơ lửng trong nước. a. Tính khối lượng mỗi lọ. b. Trường hợp lọ nổi trên mặt nước, tính thể tích phần lọ chìm trong nước. Biết khối lượng riêng của nước và thủy tinh lần lượt là 1000kg/m 3 và 2400kg/m 3 . Bài 4 ( 4 điểm ) Cho đoạn mạch AB như hình bên. Biết hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch bằng 24V không đổi. Điện trở R 1 = 10Ω ; điện trở R 2 = 40Ω. Cường độ dòng điện qua điện trở R 2 là 0,15A. a. Tính điện trở của biến trở tham gia vào mạch điện. b. Biết biến trở, điện trở R 1 và R 2 chịu được cường độ dòng điện tối đa lần lượt là 3A; 2,5A và 0,5A. Điện trở của biến trở phải có trị số nhỏ nhất là bao nhiêu để biến trở và hai điện trở R 1 và R 2 không bị hỏng? c. Để công suất tiêu thụ của biến trở gấp 3 lần công suất tiêu thụ của điện trở R 2 thì phải điều chỉnh con chạy để biến trở có trị số bằng bao nhiêu? Bài 5 ( 4 điểm ) Cho mạch điện như hình bên. Biết R 1 = 3Ω; R 2 = 6Ω; R 3 = 2Ω; R 4 = 4Ω. Điện trở R x chưa biết trị số. Khi khóa K mở ampe kế chỉ 3/4A. Khi khóa K đóng ampe kế chỉ 4A. Ampe kế có điện trở rất nhỏ. Tìm U và điện trở R x . __ HẾT __ HƯỚNG DẪN CHẤM THIHỌCSINHGIỎI VÒNG 2 MÔN: VẬT LÝ LỚP 9 Bài 1 ( 4 đ ) a. Thời gian xe 1 chuyển động từ A đến B là: mn Snm n S m S t 2 )( 22 1 + =+= 0,5đ Xe 2: nm S t t n t mS + =⇒+= 2 22 2 22 0,5đ nm S mn Snm tt + − + =− 2 2 )( 21 ≈ 0,28(h) 0,5đ Vậy xe 2 đến trước xe 1 và đến trước khoảng 0,28h hay 16,8 phút 0,5đ b. Thời gian xe 1 đi đến khi gặp xe 3: )(17,1 45 2 3 h n S m S t ≈ − += 1,0đ Vận tốc xe 3: )/(1,17 17,1 20 3 hkmv ≈= 1,0đ Bài 2 ( 4 đ ) Khi thả vật 1 vào nước: C 1 m 1 (100 - 30) = C 2 m 2 (30 - 20) 0,5đ 7 1 22 11 =⇒ mC mC (1) 1,0đ Gọi x là nhiệt độ cân bằng khi thả hai vật rắn vào nước. C 1 m 1 (100 - x) + C 1 m 1 (90 - x) = C 2 m 2 (x - 20) C 1 m 1 (190 - 2x) = C 2 m 2 (x – 20) x x mC mC 2190 20 22 11 − − =⇒ (2) 1,0đ Từ (1) và (2) ta có: 7 1 2190 20 = − − x x 0,5đ Tính được: x ≈ 36,7 o C 1,0đ Bài 3 ( 4 đ ) a. Thể tích mỗi lọ ( chiếm chỗ khi nhấn chìm ) )(5 2 10 3 cmV == 0,5đ Lọ chứa 1/2 nước ta có: F A = P 2 => d n V = P c + P n Với P c và P n lần lượt là trọng lượng lọ và trọng lượng nước trong lọ. Gọi V c là thể tích vỏ lọ, ta có: 2 )( nc ccn dVV dVVd − += Thế số vào tính được: V c ≈ 1,3cm 3 0,5đ Khối lượng lọ rỗng: m 1 = V c d c = 1,3. 2,4 = 3,12(g) 1,0đ Khối lượng 1/2 nước trong lọ: )(85,1 2 3,15 2 )( 2/1 g dVV m nc = − = − = 0,5đ Khối lượng lọ chứa 1/2 nước: m 2 = 3,12 + 1,85 =4,97(g) 1,0đ b. Lọ rỗng nổi, ta có: F A = P => d n V ch = P Tính được thể tích lọ chìm trong nước là: V ch = 3,12 cm 3 1,0đ Bài 4 ( 4 đ ) a. Tính được: )(8 12 Ω=R 0,25đ R b = 24Ω 0,5đ b. Lập luận để tính R b HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KÌ THI CHỌN HỌCSINHGIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
NĂM HỌC 2012- 2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 10
Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
2 y (7 x 2 + 6) + x(12 y 3 + 4 y 2 + 3) = 37 xy
( x, y ∈ ¡ ).
x
−
1
+
2
y
−
1
=
2
Câu 2 (4 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1
Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+
+
≤
a 2 + 2b 2 + 3 b 2 + 2c 2 + 3 c 2 + 2a 2 + 3 2
Câu 3 (4 điểm): Cho tam giác ABC có chu vi không đổi 2p. Gọi M,N,P lần lượt là tâm
đường tròn bàng tiếp ứng với góc A,B,C của tam giác ∆ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của
chu vi ∆MNP .
Câu 4 (4 điểm): Cho tập S = { 1;2;3;....;2014} được phân hoạch thành các cặp rời nhau
{ a ;b
i
i
:1 ≤ i ≤ 1007} sao cho a i − bi bằng 1 hoặc bằng 6. Hãy tìm chữ số tận cùng của
1007
T = ∑ a i − bi .
i =1
Câu 5 (4 điểm): Cho tập hữu hạn X . Ta chọn ra 50 tập con A1 ,A 2 ,...,A 50 , mỗi tập đều
chứa quá nửa số phần tử của X . Chứng minh rằng
a) Tồn tại phần tử a thuộc ít nhất 26 tập đã cho.
b) Tồn tại tập con A của X sao cho số phần tử của A không vượt quá 5 và
A ∩ A i ≠ ∅, ∀i = 1,50.
………………………. HẾT …………………….
1
HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung
2 y (7 x 2 + 6) + x(12 y 3 + 4 y 2 + 3) = 37 xy
( x, y ∈ ¡ ).
x − 1 + 2 y − 1 = 2
Câu
1
Giải hệ phương trình:
x ≥ 1
ĐK
1
y ≥ 2
Điểm
4
điểm
1,0
Nếu (x; y) là nghiệm của hệ phương trình thì x + 2y ≥ 1
2(7 x 2 + 6) (12 y 3 + 4 y 2 + 3)
2 y (7 x 2 + 6) + x(12 y 3 + 4 y 2 + 3) = 37 xy ⇔
+
= 37
x
y
12
3
12
3
3
2
2
+
≥ 37
Do 14 x + + 12 y + 4 y + = 2 x + 4 y + 12 x + + 12 y +
x
y
x
2y 2y
Với mọi x ≥ 1 ; y ≥
1,0
2,0
1
; x + 2y ≥ 1
2
1,0
x = 2 y
2 y (7 x 2 + 6) + x(12 y 3 + 4 y 2 + 3) = 37 xy ⇔ x = 1
1
y =
2
1
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (1; )
2
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
Chứng minh rằng: 2
2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
4,0
Ta có
P=
1
1
1
+
+
(1)
(a 2 + b 2 ) + (b 2 + 1) + 2 (b 2 + c 2 ) + (b 2 + 1) + 2 (c 2 + a 2 ) + (a 2 + 1) + 2
Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có
a 2 + b 2 ≥ 2ab; b 2 + 1 ≥ 2b
10
⇒ (a + b ) + (b + 1) + 2 ≥ 2(ab + b + 1)
1
1
⇒ 2
≤
2
2
(a + b ) + (b + 1) + 2 2(ab + b + 1)
2
2
Tương tự
1
1
≤
2
2
b + 2c + 3 2(bc + c + 1)
1
1
≤
2
2
c + 2a + 3 2(ca + a + 1)
2
(2)
1,0
(3)
(4)
2
Từ (2); (3); (4) suy ra
1,0
1
1
1
1
P≤ (
+
+
)
2 2(ab + b + 1) 2(bc + c + 1) 2(ca + a + 1)
Từ giả thiết abc = 1 nên
(5)
1,0
1
ab
=
bc + c + 1 ab + b + 1
1
b
=
ca + a + 1 ab + b + 1
Suy ra
P≤
1
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
3
Dễ thấy NP,PM,MN là phân giác ngoài của các góc A,B,C , suy ra ∆MNP nhọn 4,0
điểm
với các đường cao MA, NB,PC. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP thì
1
SMNP = (BC.JM + CA.JN + AB.JP) = p.R ,
2
ở đây R là đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆MNP . Gọi r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ∆MNP .
Ta chứng minh được R ≥ 2r . Ta có
1
r(MN + PN + PM) = pR ≥ 2pr
2
Suy ra MN + NP + PM ≥ 4p
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆MNP đều ⇔ ∆ABC đều
3
M
B
C
J
I
N
4
Cho tập S = { 1;2;3;....;2014}
{ a ;b
i
i
A
P
được phân hoạch thành các cặp rời nhau
:1 ≤ i ≤ 1007} sao cho a i − bi bằng 1 hoặc bằng 6. Hãy tìm chữ số tận cùng
1007
của
T = ∑ a i − bi .
i =1
Gọi k là số cặp { a i ;b i } sao cho a i − b i = 6
1,0
1007
Khi đó T = ∑ a i − bi = 6k + (1007 − k) = 1007 + 5k
i =1
Ta chứng minh k là một số chẵn.
Thật vậy k = k1 + k 2 , trong đó k1 là số các cặp { a i ;bi } sao cho a i − b i = 6 và cả 3,0
a i ;bi đều là các số lẻ, k 2 là số các cặp { a i ;bi } sao cho a i − bi = 6 và cả a i ;bi đều
là các số chẵn. Vì số các số chẵn và số các số lẻ trong tập hợp { 1;2;....;2014} là
bằng nhau và trong mỗi cặp { a i ;b i } sao cho a i − b i = 1 đều là một số chẵn và một
số lẻ nên k1 = k 2
1007
Từ đó suy ra k là một số chẵn suy ra T = ∑ a i − b i có chữ số tận cùng là 7
i =1
5
Giả sử X = n . Tổng số các phần tử của 50 tập con A i lớn hơn 25n nên tồn tại một
phần tử a thuộc ít nhất 26 tập, chẳng hạn A1 ;A 2 ;......;A K THI CHN HC SINH GII KHU VC DUYấN HI V NG BNG BC B NM HC 2013 - 2014 THI MễN: TON HC LP 10Thi gian 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 19/04/2014 ( thico 01 trang) CHNH THC Cõu (4 im): Gii phng trỡnh sau trờn s thc x x 15 x x x 27 x 14 11 Cõu (4 im): Cho tam giỏc ABC ( BC AC ) Gi M l trung im ca AB , AP vuụng gúc vi BC ti P , BQ vuụng gúc vi AC ti Q Gi s ng thng PQ ct ng thng AB ti T Chng minh rng TH CM , ú H l trc tõm tam giỏc ABC Bi (4 im): Cho hm s f : Ă Ă ( Ă l s thc) tha x vi mi x Ă Chng minh rng tn ti s thc phõn bit a, b, c cho f (a) f (b) f (c) f f ( x) x3 Bi (4 im): Tỡm giỏ tr ln nht ca k bt ng thc sau ỳng vi mi giỏ tr a, b, c : a b c abc(a b c) k (ab bc ca ) Bi (4 im):Tỡmsnguyờndngnnhnht 2013n - chiahtcho 22014 -HT - K THI CHN HC SINH GII KHU VC DUYấN HI V NG BNG BC B NM HC 2013 - 2014 P N MễN: TON HC LP 10 S Cõu (4 im): Gii phng trỡnh sau trờn s thc x 3x 15 x 3x x 27 x 14 11 (Quc hc Hu) CU NI DUNG iu kin: IM x 3 t a x , b x ( a, b ) Suy 1,0 a b 2 2b a 2a b 2ab 11 s p p s p s 2 2sp s p 11 s s 4s s s s s 11 1,0 s a b, p ab a p s p b a s s s s b 2 x x 1,0 1,0 Th li tha Vy nghim phng trỡnh l x hoc x Cõu (4 im): Cho tam giỏc ABC ( BC AC ) Gi M l trung im ca AB , AP vuụng gúc vi BC ti P , BQ vuụng gúc vi AC ti Q Gi s ng thng PQ ct ng thng AB ti T Chng minh rng TH CM , ú H l trc tõm tam giỏc ABC (Bc Ninh) CD AB ti D Khi ú AP, BQ, CD ng quy nờn T , B, D, A l hng im iu hũa ( (TBDA) 1) Do ú ta cú TM TD TATB Gi T B D P Xột hai ng trũn ngoi tip hai tam giỏc CDM v ngoi tip t giỏc ABPQ , H M A Q C tõm ca hai ng trũn ny u nm trờn CM Nhng v TM TD TATB HP.HA HQ.HB nờn H , T nm trờn trc ng phng ca hai ng trũn núi trờn Do ú ta cú TH CM (PCM) f ( x) x3 Bi (4 im): Cho hm s f : Ă Ă ( Ă l s thc) tha f x vi mi x Ă Chng minh rng tn ti s thc phõn bit a, b, c cho f (a ) f (b) f (c ) (Vnh Phỳc) Ni dung trỡnh by im t g ( x) x3 x thỡ f f ( x ) g ( x) Suy f g ( x) f f f ( x) g f ( x) D thy g ( x) l n ỏnh nờn t f f ( x ) g ( x) suy f ( x) cng l n ỏnh 1 2 Gi x0 l mt im c nh ca hm g ( x) g ( x0 ) x0 x0 0; ; Ta cú f ( x0 ) f g ( x0 ) g f ( x0 ) , suy f ( x0 ) cng l mt im c nh ca hm 1,0 1,0 1,0 g ( x) 1 f ( x) l mt song ỏnh trờn D 0; ; nờn 2 f f (0) 1,0 1 f 2 T ú ta cú iu phi chng minh Bi (4 im): Tỡm giỏ tr ln nht ca k bt ng thc sau ỳng vi mi giỏ tr a, b, c : a + b + c + abc (a + b + c) k (ab + bc + ca) (Lờ Quớ ụn - Nng) Vỡ bt ng thc ỳng vi mi giỏ tr a, b, c nờn phi ỳng vi a = b = c = 1ị k Ê Ta chng minh k = l gtln 3 k= Xột bt 1,0 ng a + b + c + abc (a + b + c) thc tr thnh 2 ab + bc + ca) (1) ( 3(a + b + c ) 2(a 2b + b 2c + c a )+ abc (a + b + c ) 1,0 p dng bt AM GM ta cú (a + b4 )+ (b + c4 )+ (b4 + c ) 2a 2b2 + 2b2c2 + 2c 2a 4 2 2 2 Suy 3(a + b + c ) 3(a b + b c + c a ) (2) 2 2 1,0 2 Mt khỏc a b + b c + c a - abc (a + b + c) 1 2 (ab - bc ) + (bc - ca ) + (ca - ab) (3) 2 = T (2) v (3) suy (1) c chng minh Vy s k ln nht k = 1,0 n Bi (4 im):Tỡmsnguyờndngnnhnht 2013 - chiahtcho 22014 (Nam nh) k Xột n = t vik, t lcỏcstnhiờnvtlsl. n n t 2013 - = a - k k t ( ) - = (a a n - = a t - = a n Dotlslnờn a - 1M 2k 2014 2k n Doú a - 1M 2014 2i - t- k + + a + 1] k a - 1M 22014 Tacú a - = (a - 1)(a + 1)( a + 1) (a achia4d1nờn a k )( ) - [ a2 2k - + 1) + chia4d2 ( k - 1) + 2014 Túsuyragiỏtrnhnhtcan cntỡml n = 2012 -HT - HI CC TRNG THPT CHUYấN KHU VC DH & B BC B Kè THI CHN HC SINH GII KHU VC M RNG NM HC 2011- 2012 MễN THI: TON LP 10 Ngy thi: 21 thỏng nm 2012 CHNH THC (Thi gian lm bi 180 phỳt khụng k thi gian giao ) thi gm trang Cõu ( im): Gii h phng trỡnh sau: 3 x y y 2 x y x y Cõu (4 im): Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha xy yz zx Chng minh bt ng thc: x2 x3 y2 y3 z2 z3 Cõu (4 im): Trờn cỏc cnh BC, CA, AB v v phớa ngoi tam giỏc ABC ta dng cỏc hỡnh vuụng BCMN, ACPQ, ABEF Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Kớ hiu A1 l ...Onthionline.net ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MƠN SỬ - K10 – 2012-2013 Câu (3đ) Đảm bảo ý sau : -Sự xuất cơng cụ lao động kim loại…(0,5đ) -Con người tách lao động riêng, muốn... quốc gia cổ đại xuất Ai Cập, Lưỡng Hà, Ấn Độ, Trung Quốc, vào khoảng thi n niên kỷ thứ IV - III TCN SƠ ĐỒ Quốc gia Thời gian Qúa trình Hình thành Ai Cập TNKIV TCN Các liên minh cơng xã thành... ẤN,sơng Hằng Trung Quốc TKXXITCN Vương triề nhà Hạ thành lập lưu vực sơng Hồng Hà,Trường giang Câu (4 đ) Thi n văn học lịch (07.5đ) - Ra đời sớm gắn với nhu cầu sản xuất nơng nghiệp - Việc tính