Logic toan tran trung (1)

PGS.TS TRN TRUNG LễGIC TON NH XUT BN GIO DC VIT NAM Cụng ty C phn Sỏch giỏo dc ti thnh ph H Ni, Nh xut bn Giỏo dc Vit Nam gi quyn cụng b tỏc phm 1952014/CXB/17249/GD Mó s: 2078HAN MC LC Trang Li núi u P hỏt trin trớ tu ca hc sinh l mt nhng nhim v quan trng hng u ca quỏ trỡnh dy hc nh trng Tựy theo c im ca cỏc khoa hc, mi mụn hc cú nhng úng gúp trờn nhng mt nht nh Toỏn hc l khoa hc suy din Kin thc mụn toỏn mang tớnh h thng v c xõy dng thụng qua quỏ trỡnh suy lun lụgic cht ch Vi c im ny, vic dy hc mụn toỏn cha ng nhiu tim nng to ln vic phỏt trin t lụgic cho hc sinh Tuy nhiờn lm c iu ny ũi hi ngi gii toỏn v giỏo viờn toỏn cn cú mt nn tng kin thc v lụgic toỏn vng chc ng thi ngi giỏo viờn cng cn nm c nhng nguyờn tc, nhng k thut nht nh ca vic bi dng nng lc trớ tu cho hc sinh hot ng dy hc Vic i cun sỏch ny nhm giỳp giỏo viờn toỏn cỏc trng ph thụng cú thờm mt ti liu tham kho cha ng nhng tri thc thuc c hai lnh vc ú Cun sỏch gm hai phn chớnh v chia thnh chng Phn th nht, gm chng, cung cp nhng kin thc lụgic toỏn Phn ny c trỡnh by theo sỏt chng trỡnh chi tit ca mụn Lụgic toỏn hin ang c ging dy cho hc viờn Cao hc ngnh toỏn Phn th hai cú mi liờn h cht ch vi chng trỡnh nghip v s phm cho h o to giỏo viờn toỏn ph thụng Trong mi chng cú phn trỡnh by ni dung kin thc v phn cõu hi, bi ngi c dng, rốn luyn k nng v t ỏnh giỏ hiu bit ca mỡnh v hai lnh vc c cp n sỏch ny Cun sỏch ny cú th s dng lm giỏo trỡnh ging dy v lụgic toỏn cho mt mụn hc vi thi lng n tớn ch, lm ti liu tham kho cho sinh viờn hc nghip v s phm, hc viờn sau i hc chuyờn ngnh Phng phỏp toỏn s cp hoc Lớ lun v phng phỏp dy hc b mụn Toỏn v giỏo viờn toỏn cỏc trng ph thụng Mc dự tỏc gi ó rt c gng quỏ trỡnh biờn son ni dung cun sỏch, nhng chc chn khụng th trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi mong nhn c s gúp ý ca bn c Mi ý kin úng gúp xin gi v cho tỏc gi theo a ch: Cụng ty C phn Sỏch Giỏo dc ti Thnh ph H Ni, Nh xut bn Giỏo dc Vit Nam, 25 Hn Thuyờn, H ni TC GI CHNG Lí THUYT TP HP Cú hai cỏch tip cn nghiờn cu v ng dng lụgic toỏn toỏn hc: nghiờn cu lụgic toỏn bng tiờn v nghiờn cu lụgic toỏn thụng qua ng ngha, ni dung Nghiờn cu lụgic bng tiờn cú u im l cht ch, khụng b cỏc yu t trc giỏc xen vo lm sai lch cỏc kt lun nhng khú hiu i vi ngi mi lm quen Vic nghiờn cu lụgic thụng qua ng ngha d hiu hn nhng cú th b yu t cm tớnh xen ln vo lm cho kt lun cú th khụng phn ỏnh ỳng bn cht, tc l cú th dn n sai lch Tuy nhiờn, i vi nhng suy lun thụng thng vic trỡnh by lụgic toỏn theo ng ngha cng cho vic hc tp, ng dng v nghiờn cu toỏn Nghiờn cu lụgic toỏn thụng qua ng ngha l chỳng ta da vo ni dung cỏc phỏt biu v i chiu vi thc tin khng nh tớnh ỳng hay sai ca phỏt biu ú Trỡnh by lụgic toỏn theo ng ngha bao gm hai phn chớnh l i s mnh v i s v t thun tin vic trỡnh by cỏc kin thc v lụgic toỏn chỳng ta cn n mt ớt hiu bit v lớ thuyt hp Vỡ vy trc ht chỳng tụi gii thiu mt cỏch ngn gn nhng kin thc v hp cn thit cho quyờn sỏch nh ny 1.1 TP HP V CC PHẫP TON TP HP 1.1.1 Tp hp, phn t ca hp núi v nhng i tng no ú ta dựng thut ng Tp hp Chng hn, hp cỏc s t nhiờn, hp cỏc hc sinh mt lp, hp cỏc vt hin cú mt cn phũng c th, Ngi ta dựng mt ch cỏi (thng l ch in hoa) ch hp c núi n, chng hn hp A, hp B, Khi ó cho mt hp A, ta gi nhng i tng to nờn hp A l cỏc phn t ca hp A Khi a l mt phn t ca hp A ta kớ hiu a A v núi a l phn t thuc hp A Trong trng hp ny ta cng núi hp A cha phn t a Khi i tng b no ú khụng phi l phn t thuc hp A ta dựng kớ hiu b A Tp hp khụng cú phn t no c gi l hp rng v kớ hiu cho mt hp no ú ta cú th s dng cỏc cỏch khỏc sau õy - Cỏch th nht l lit kờ tt c cỏc phn t ca hp ú v ghi phm vi gia hai du {, } Cỏch ny n gin nhng ch ỏp dng c s lng phn t ca hp khụng quỏ nhiu - Cỏch th hai l ngi ta lit kờ mt s lng va cỏc phn t ca hp cho quy lut to nờn tt c cỏc phn t ca hp ú ó hon ton xỏc nh - Cỏch th ba l mụ t cỏc du hiu c trng ca cỏc phn t thuc hp c cho õy l cỏch cho hp ph bin nht, cú th dựng cho tt c cỏc trng hp Vi cỏch cho ny thng ta a mt hp no ú cha tt c cỏc phn t ca hp c cho, sau ú a du hiu c trng cho phn t ca hp Chng hn, hp M gm tt c cỏc s t nhiờn chn cú th cho nh sau: M = {x N | x chia ht cho 2} 1.1.2 Tp hp ca mt hp Hai hp bng Gi s A, B l cỏc hp ó cho Ta núi rng, A l mt hp ca hp B v kớ hiu l A B nu mi phn t thuc A u l phn t thuc B Khi ú, ta cng núi hp B cha hp A v kớ hiu B A Khi A B v A B thỡ ta núi A l mt hp thc s ca hp B, hay hp B cha thc s hp A v s dng cỏc kớ hiu A B hay B A Ngi ta cng dựng kớ hiu A B ch trng hp hp A khụng l hp thc s ca hp B (hay l B khụng cha thc s A) Tp hp rng c coi l hp ca mi hp, tc l A, vi mi hp A Cng chỳ ý rng, cỏc du v nhiu sỏch khụng cú s phõn bit rch rũi theo ngha nh trờn m ch s dng mt du vi c hai ngha Ta núi hp A bng hp B v kớ hiu A = B nu cú c A B v B A chng minh ng thc hp A = B, ta cn thc hin hai bc: Bc 1: Chng minh A B Lp lun ca bc ny l: ly mt phn t tu ý x A v dựng lớ l chng t x B; Bc 2: Chng minh B A Lp lun ca bc ny l: ly phn t tu ý y B v dựng lớ l chng t y A Chỳ ý rng, "phn t tu ý" phi ly dng tng quỏt, kớ hiu bi ch ch khụng phi l chn cỏch ngu nhiờn mt phn t c th tu ý 1.1.3 Phộp toỏn giao ca cỏc hp T cỏc hp cho trc, ngi ta lp mt s hp mi Ta gi cỏch lp hp mi t cỏc hp ó cho l cỏc phộp toỏn hp Tu theo quy tc to hp mi m ta cú cỏc phộp toỏn khỏc Sau õy nh ngha mt s phộp toỏn hp thụng dng nht Gi s A, B l cỏc hp ó cho Tp hp gm tt c cỏc phn t va thuc A va thuc B c gi l giao ca A vi B v kớ hiu l A B Nh vy, x A B v ch x A v x B Ta cú th nh ngha phộp giao ca mt s hu hn hp nh sau: Gi s A1, A2, , An l nhng hp cho trc Ta gi hp to bi tt c cỏc phn t chung ca cỏc hp A 1, A2, , An l giao ca A1, A2, , An v kớ hiu l A1 A2 An hay in=1 Ai Mt cỏch tng quỏt hn, gi s {Ai, i I} l mt h cỏc hp cho trc Ta gi hp {x | x Ai, i I} l giao ca h {Ai, i I} v kớ hiu l iI Ai Nh vy x iI A i v ch x Ai, i I Phộp giao ca cỏc hp nh ngha nh trờn cú cỏc tớnh cht sau õy: Tớnh cht giao hoỏn: A B = B A, vi mi hp A, B Tớnh cht kt hp: (A B) C = A (B C), vi mi hp A, B, C Mi hp u lu ng: A A = A, vi mi hp A A = , vi mi hp A Vi cỏc hp A, B cho trc bt kỡ, A B = A v ch A B i vi hai hp A, B cho trc, ta núi A v B ri nu A B = Ta núi h hp {A i, i I} cú giao bng rng hay h khụng giao nu iI A i = Khi h {Ai, i I} cú tớnh cht Ai Aj = , vi mi i j, ta núi h hp ú tng cp khụng giao Hin nhiờn mt h hp cú tớnh cht tng cp khụng giao thỡ h ú cú giao bng rng 1.1.4 Phộp toỏn hp ca cỏc hp Gi s A, B l cỏc hp ó cho Tp hp gm tt c cỏc phn t thuc ớt nht mt hai hp A, B c gi l hp ca A vi B v kớ hiu l A B Nh vy x A B v ch x A hoc x B Ta cú th nh ngha phộp hp ca mt h hp tu ý nh sau: Gi s {Ai, i I} l mt h cỏc hp cho trc Ta gi hp {x | i I, x Ai} l hp ca h {Ai, i I} v kớ hiu l iI Ai Nh vy, x iI A i v ch i I x Ai Phộp hp nh ngha nh trờn cú cỏc tớnh cht sau õy: Tớnh cht giao hoỏn: A B = B A, vi mi hp A, B Tớnh cht kt hp: (A B) C = A (B C), vi mi hp A, B, C Mi hp u lu ng: A A = A, vi mi hp A A = A, vi mi hp A Vi mi hp A, B ta cú A B v ch A B = B Phộp giao phõn phi i vi phộp hp: A (B C) = (A B) (A C) Phộp hp phõn phi i vi phộp giao: A (B C) = (A B) (A C) 1.1.5 Phộp ly hiu cỏc hp Gi s A, B l cỏc hp ó cho Tp hp gm tt c cỏc phn t thuc A nhng khụng thuc B c gi l hiu ca A vi B v kớ hiu l A \ B hay A B Phộp ly hiu ca hp A vi hp B c gi l A tr B Nh vy, x A \ B v ch x A v x B Khi B l mt ca hp A, hiu A \ B c gi l phn bự ca hp B hp A v c kớ hiu l C AB hoc CA(B) Kớ hiu C l ch vit tt t ting Anh Complement, cú ngha l phn b sung, phn bự Phộp tr hp cú cỏc tớnh cht sau: Vi mi hp A luụn cú A \ A = Vi mi hp A, B luụn cú B (A \ B) = Vi mi hp A cho trc, nu cú B A thỡ cú B (A \ B) = A Vi mi hp A, B luụn cú A (B \ A) = A B = B (A \ B) Nu A, B v X l cỏc hp cho trc thỡ X \ (A B) = (X \ A) (X \ B) Nu A, B v X l cỏc hp cho trc thỡ X \ (A B) = (X \ A) (X \ B) c bit, A, B l hp ca hp X thỡ ta cú CX(A B) = CXA CXB v CX(A B) = CXA CXB Hai ng thc ny c gi l lut Mooc-gng 1.1.6 Phộp hiu i xng Hiu i xng ca hp A v hp B c nh ngha l hp (A \ B) (B \ A) v kớ hiu l A B, tc l A B = (A \ B) (B \ A) Ta nhn thy rng, (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) Do ú A B = (A B) \ (A B) 10 nh ngha on thng: Hai im phõn bit A, B cựng vi cỏc im gia A v B c gi l on thng cú cỏc mỳt l A v B, kớ hiu l AB hay BA nh ngha tia: Cho ng thng a v mt im O thuc a Gi s A, B l cỏc im thuc a Nu O gia A v B thỡ ta núi A v B khỏc phớa so vi O Nu O khụng gia A v B thỡ ta núi A, B cựng phớa so vi O Cho ng thng a v mt im O thuc a Gi s A l mt im thuc a v khỏc O Tp hp tt c cỏc im thuc a v cựng phớa vi A c gi l tia gc O nh ngha gúc: Hai tia Ox, Oy chung gc O c gi l mt gúc, kớ hiu (Ox, Oy) Gc chung O c gi l nh ca gúc, cỏc tia Ox v Oy c gi l cnh ca gúc Nhúm cú nm tiờn v tng quan c bn bng (on thng, gúc): + Tiờn 3.1: Nu cho trc on thng AB v mt tia cú gc A' thỡ cú mt im B' thuc tia ú cho AB bng A'B', kớ hiu l AB = A'B' + Tiờn 3.2: Cho cỏc on thng AB, A'B' v A"B" Nu AB = A"B" v A'B' = A"B" thỡ AB = A'B' + Tiờn 3.3: Cho ba im A, B, C cựng thuc mt ng thng vi B gia A v C Cho A', B', C' l ba im cựng thuc mt ng thng vi B' gia A' v C' Nu cú AB = A'B' v BC = B'C' thỡ AC = A'C' + Tiờn 3.4: Cho gúc (Ox, Oy) v mt na mt phng xỏc nh bi ng thng cha tia O'x' Khi ú na mt phng núi trờn cú mt v ch mt tia O'y' cho (Ox, Oy) bng (O'x', O'y') v kớ hiu l (Ox, Oy) = (O'x', O'y') i vi mi gúc (Ox, Oy) luụn cú (Ox, Oy) = (Ox, Oy) v (Ox, Oy) = (Oy, Ox) + Tiờn 3.5: Cho tam giỏc ABC v tam giỏc A'B'C' Nu cú AB = A'B', AC = A'C' v (AB, AC) = (A'B', A'C') thỡ cng cú (BA, BC) = (B'A', B'C') v (CA, CB) = (C'A', C'B') Nhúm gm mt tiờn , gi l tiờn ờ-ờ-kin: nh ngha lỏt ct trờn ng thng v tha nhn lỏt ct cú biờn T tiờn ờ70 ờ-kin suy c nguyờn lớ dóy on tht (tiờn Cng-to) v tiờn Ac-si-me Nhúm gm mt tiờn v song song nh ngha hai ng thng song song: Hai ng thng phõn bit cựng nm mt mt phng v khụng cú im chung c gi l hai ng thng song song Tiờn : Cho mt ng thng a v mt im A khụng thuc a Khi ú mt phng cha a v A cú nhiu nht mt ng thng qua A khụng ct a H tiờn Võy (Weyl) H tiờn sau õy nh toỏn hc c Võy a nm 1918 v c gi l h tiờn Võy hay h tiờn im vect H tiờn Võy s dng hai i tng c bn l im v vect Cỏc tng quan c bn ca h tiờn Võy gm cú cng vect vi vect, nhõn s vi vect, tớch vụ hng hai vect, t vect Cú nm nhúm tiờn Nhúm cú bn tiờn v tng quan c bn cng vect vi vect Bn tiờn nhúm mụ t cu trỳc nhúm cng giao hoỏn trờn hp vect Nhúm cú bn tiờn v nhõn s thc vi vect Nhúm v nhúm chớnh l h tiờn v khụng gian vect vi iu kin unita, tc l x (1.x = x) Nhúm cú hai tiờn v s chiu ca khụng gian: nh ngha c lp tuyn tớnh v ph thuc tuyn tớnh sau ú a hai tiờn + Tiờn 3.1: Cú ba vect c lp tuyn tớnh + Tiờn 3.2: Bt kỡ bn vect no cng ph thuc tuyn tớnh í ngha ca nhúm tiờn ny l tha nhn khụng gian vect cú ba chiu Nhúm cú bn tiờn v tớch vụ hng + Tiờn 4.1: Tha nhn tớch vụ hng hai vect cú tớnh cht giao hoỏn + Tiờn 4.2: Tha nhn tớch vụ hng cú tớnh cht phõn phi 71 + Tiờn 4.3: Tha nhn (kx).y = k(x.y) + Tiờn 4.4: Tha nhn tớnh xỏc nh dng ca bỡnh phng vụ hng Nhúm cú hai tiờn v t vect + Tiờn 5.1: Cho vect x v mt im A Khi ú tn ti nht im B vect AB = x + Tiờn 5.2: Vi mi im A, B, C luụn cú vect AB cng vi vect BC bng vect AC H tiờn Pụ-gụ-rờ-lụp Vin s Pụ-gụ-rờ-lụp (Nga) ó a mt h tiờn ca hỡnh hc clit mt cun sỏch vit cho sinh viờn cỏc trng i hc S phm Nga H tiờn ny s dng i tng c bn l im, ng thng, mt phng v cỏc tng quan c bn im thuc ng thng, im thuc mt phng, im i trc mt im khỏc, di H tiờn ny cú nm nhúm tiờn Sau ny Pụ-gụ-rờ-lụp ó nghiờn cu v ci tin cỏc h h tiờn v hỡnh hc -clit ó cú xõy dng mt h tiờn phự hp vi vic dy hc hỡnh hc cho hc sinh ph thụng H tiờn ny cú sỏu nhúm tiờn T nm 1982 Liờn Xụ c v Nga ngy nay, sỏch giỏo khoa Hỡnh hc trng ph thụng trỡnh by theo h tiờn ny Sỏch giỏo khoa Toỏn trung hc c s (phn hỡnh hc) v sỏch Hỡnh hc trung hc ph thụng ca nc ta hin cng s dng h tiờn ú xõy dng h thng kin thc hỡnh hc Trong phn sau õy chỳng ta tỡm hiu h tiờn ny cú cn c hiu rừ kin thc hỡnh hc trng ph thụng Cú sỏu nhúm tiờn Nhúm cú hai tiờn : + Tiờn 1.1: Mi ng thng cú nhng im thuc nú v cú nhng im khụng thuc nú + Tiờn 1.2: Qua hai im phõn bit bt kỡ cú mt v ch mt ng thng Nhúm cú hai tiờn : + Tiờn 2.1: Vi ba im phõn bit thuc mt ng thng cú mt v ch mt im gia hai im cũn li 72 + Tiờn 2.2: Mt ng thng chia mt phng thnh hai na mt phng Nhúm cú hai tiờn : + Tiờn 3.1: Mi on thng cú mt di xỏc nh dng Nu im C gia hai im AB thỡ di on thng AB bng tng di cỏc on thng AC v CB + Tiờn 3.2: Mi gúc cú s o xỏc nh dng Gúc bt cú s o 180o Nu tia Oc gia hai tia Oa v Ob thỡ s o gúc (Oa, Ob) bng tng s o cỏc gúc (Oa, Oc) v (Oc, Ob) T õy chng minh c s o ca gúc nh hn hay bng 180 o Nhúm cú ba tiờn : + Tiờn 4.1: Cho trc tia Ox v s m > Trờn tia Ox cú mt im A nht cho di on thng OA bng m + Tiờn 4.2: Cho na mt phng cú b l ng thng cha tia Ox v mt s m tho < m 180o Tn ti nht mt tia Oy nm na mt phng ó cho cho s o gúc (Ox, Oy) bng m + Tiờn 4.3: Cho tam giỏc ABC bt kỡ v mt tia A'x Cú mt v ch mt tam giỏc A'B'C' bng tam giỏc ABC cho cnh A'B' nm trờn tia A'x v im C' thuc na mt phng xỏc nh bi ng thng cha tia A'x Nhúm cú mt tiờn : Tiờn 5: Trong mt phng cho mt ng thng a bt kỡ v mt im A khụng thuc a Cú khụng quỏ mt ng thng i qua A v khụng ct a Nhúm cú ba tiờn : + Tiờn 6.1: Mi mt phng cú nhng im thuc nú v cú nhng im khụng thuc nú + Tiờn 6.2: Nu hai mt phng phõn bit cú im chung thỡ chỳng ct theo mt ng thng + Tiờn 6.3: Nu hai ng thng phõn bit cú im chung thỡ cú mt v ch mt mt phng i qua hai ng thng ú 73 CHNG T DUY LễGIC 5.1 Mt s yu t lụgic toỏn mụn Toỏn 5.1.1.Mt s yu t lụgic toỏn mụn Toỏn tiu hc Trong mụn Toỏn tiu hc khụng cú kin thc lụgic no c trỡnh by mt cỏch tng minh, tng quỏt Tuy nhiờn, vic hỡnh thnh cho hc sinh nhn thc c s dỳng, sai v thúi quen suy ngh, thao tỏc v din t ỳng l cn thit t nhng lp hc u tiờn Vic lm cho hc sinh hiu ỳng ni dung kin thc toỏn l yờu cu u tiờn dy hc mi bc hc, cp hc i vi bc tiu hc, nhiu kin thc toỏn c hỡnh thnh bng ng quy np khụng hon ton, da vo yu t trc quan cha th ũi hi cú s chớnh xỏc cao Tuy nhiờn, cỏc vớ d a phi y v chớnh xỏc hn ch vic hc sinh nhn thc sai lch v bn cht kin thc ng thi, vi hỡnh thnh kin thc toỏn cho hc sinh, vic lm cho hc sinh hiu c ý ngha v cỏch s dng cỏc t ni lụgic t bc tiu hc l rt cn thit Trờn c s ú thng xuyờn luyn cho hc sinh hot ng ngụn ng, c bit l luyn thúi quen lp lun cú cn c l iu m bo cho s phỏt trin vng chc v sau Mc dự yu t chng minh bc tiu hc cha t nghiờm ngt, nhng di dng gii thớch cho hnh vi, s la chn, phõn tớch cỏc s kin, l nhng c hi luyn nhng thao tỏc t duy, c bit l t lụgic cho hc sinh 74 5.1.2 Kin thc lụgic toỏn mụn Toỏn trung hc c s cp trung hc c s, yu t suy din ó c a vo khỏ sm Mc dự s tit khụng nhiu, nhng cỏc kin thc hỡnh hc lp trỡnh by theo tinh thn phng phỏp tiờn ó núi lờn iu ú Cỏc yu t lụgic mụn Toỏn trung hc c s c th hin nhng im sau õy: Hiu ỳng ngha ca cỏc thut ng, kớ hiu toỏn hc Bit tha nhn tớnh ỳng n ca cỏc tớnh cht c bn ca cỏc khỏi nim hỡnh hc c bn lp Bit ngha v s dng ỳng mt s thut ng biu th cỏc khỏi nim hỡnh hc lp Nm c khỏi nim nh lớ v chng minh nh lớ, cu trỳc ca mt nh lớ, ghi c gi thit, kt lun ca nh lớ Nm c tiờn -clit, phỏt biu v nm c cỏch chng minh cỏc nh lớ chng trỡnh toỏn 7, 8, Hiu c khỏi nim hai phng trỡnh tng ng; hai bt phng trỡnh, h phng trỡnh tng ng Hiu v dng cỏc quy tc chuyn v v quy tc nhõn vo gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Vn dng cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh bc nht hai n 5.1.3 Kin thc lụgic toỏn mụn Toỏn trung hc ph thụng Mt s kin thc lụgic toỏn c a vo ging dy tng minh v trỡnh by sỏch i s 10 Ni dung c th gm cú cỏc kin thc sau õy: Mnh : Mi mnh phi ỳng hoc sai Mt mnh khụng th va ỳng va sai Mnh cha bin: Khỏi nim mnh cha bin c gii thiu qua cỏc vớ d Thc cht khỏi nim mnh cha bin chớnh l v t hay hm mnh Thut ng mnh cha bin ch l mt tờn gi cú tớnh nụm na cho mt khỏi nim khoa hc S xut hin ca khỏi nim mnh cha bin (hm mnh ) mụn Toỏn cha nhiu Thc cht sỏch i s 10 ch gii thiu khỏi nim mnh 75 cha bin mt cỏch n gin a khỏi nim phng trỡnh v bt phng trỡnh Cỏc khỏi nim nh ỳng, phộp toỏn trờn cỏc mnh cha bin, u khụng c gii thiu Chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng cng cú gii thiu mt s phộp toỏn mnh vi cỏch trỡnh by n gin, khụng ũi hi tớnh cht ch nh cỏc giỏo trỡnh v lụgic toỏn Ph nh ca mt mnh Mnh kộo theo Mnh o Hai mnh tng ng Kớ hiu v Ph nh ca phỏt biu cú v Nhng kin thc v lụgic c s dng lp lun chng minh trng trung hc ph thụng yờu cu chng minh ó c t vi yờu cu cao Cn lm cho hc sinh bit cỏc thut ng iu kin cn, iu kin , iu kin cn v , iu kin t cú v , v bit thc hin chng minh cỏc mnh toỏn hc vi lp lun cú cn c y 5.2 S lc v chng minh v bỏc b cỏc kt lun Toỏn hc l khoa hc suy din Mi khỏi nim toỏn hc, ngoi mt s ớt khỏi nim nguyờn thu, u phi c nh ngha Mi khng nh toỏn hc, ngoi mt s ớt tiờn c tha nhn, u phi c chng minh Vic chng minh phi c thc hin thụng qua mt s bc lp lun mi bc lp lun phi xut phỏt t cỏc tin ó cú v phi dng cỏc quy tc suy lun ó c xỏc lp Cỏc quy tc suy lun thng s dng nhiu nht gm cỏc quy tc suy lun ca i s mnh v i s v t chỳng tụi ó h thng hoỏ cỏc phn trờn Ngoi cỏc quy tc suy lun trờn, cỏc lut, cỏc ng thc cng cú th chuyn hoỏ thnh cỏc quy tc suy lun v c s dng lp lun Sau õy l lc khỏi quỏt ca mt chng minh mụn Toỏn v dy hc sinh tỡm ng li chng minh mt kt lun mụn Toỏn: 76 5.2.1 Lc chng minh Gi s cho trc gi thit A v yờu cu chng minh kt lun B Khi ú chng minh B ta cn thit lp mt dóy cỏc suy lun Bn Bn B0, ú B0 chớnh l B v Bn l A cựng vi cỏc kin thc (nhng iu ỳng) ó cú Trong dóy suy lun ny mi B i l mt iu kin ca Bi, vi mi i = 1, 2, , n Nh vy, mi cỏch thit lp c dóy B0, B1, , Bn, ú Bi l iu kin ca B i nh trờn l mt cỏch chng minh kt lun B Bi vỡ mt kt lun B i cú th cú nhiu iu kin , nờn cú th cú nhiu cỏch chng minh Trờn thc t, tỡm cỏch chng minh mt kt lun ta thng gp nhng khú khn l khụng bit bt u t kin thc no, khai thỏc cỏc gi thit no Cú mt gi ý l nờn bt u t vic phõn tớch iu phi chng minh Phi chia tỏch iu phi chng minh thnh hi ca nhng thnh phn (iu cn chng minh) n gin nht cú th c v thit lp vic chng minh cho mi thnh phn c tỏch ú Vic tỡm cỏch chng minh mi c tỏch ú cú th dng phng phỏp phõn tớch i lờn (hay cũn gi l phộp suy ngc) c trỡnh by di õy 5.2.2 Phng phỏp suy ngc phỏt hin cỏch chng minh mt kt lun chng minh mt kt lun A no ú ta cn tỡm mt iu kin ca A Thụng thng, cựng mt kt lun A cú th cú nhiu iu kin Trong cỏc iu kin ú ta ch cn chn ly mt iu kin, kớ hiu l A1 Lp lun ca bc th nht s l: chng minh A ta ch cn chng minh A1 Vn c quy v chng minh A Tip tc quỏ trỡnh ny cho n "ta ch cn chng minh A n" m bn thõn An l gi thit hay nhng iu ỳng ó c chng minh trc ú Ta cú lc : Vn cn chng minh A; chng minh A, ta ch cn chng minh A1; chng minh A1, ta ch cn chng minh A2; 77 chng minh An 1, ta ch cn chng minh An; An l gi thit hay nhng iu ỳng ó c chng minh Vy, A c chng minh Chỳ ý rng, mi bc vic la chn iu kin no l thớch hp ta cn cú s phõn tớch, i chiu ni dung phỏt biu iu kin ú vi ni dung cỏc gi thit ó cho Thụng thng, cỏc iu kin cú ni dung gn vi gi thit nht c u tiờn la chn trc Cng núi thờm, v mt lp lun lc trờn mi bc chng minh Ai ta ch cn chng minh Ai + ch khụng phi l cn chng minh Ai + 5.3 Vn phỏt trin t lụgic cho hc sinh Phỏt trin t cho hc sinh l mt nhim v ca vic dy hc mụn Toỏn trng ph thụng T lụgic c to bi nhiu yu t liờn quan n nhng lnh vc khỏc Sau õy chỳng tụi cp n ba phng din gn lin vi ba lnh vc ca lụgic 5.3.1 Phỏt trin cỏc yu t t v khỏi nim Cỏc yu t liờn quan n t v khỏi nim bao gm: Nm c thuc tớnh thuc v cỏc i tng c phn ỏnh khỏi nim, bao gm cỏc thuc tớnh chung, thuc tớnh riờng, thuc tớnh bn cht, thuc tớnh khụng bn cht, thuc tớnh c trng, nh ngha khỏi nim: phõn bit c khỏi nim nh ngha c vi khỏi nim khụng c nh ngha, cu trỳc ca nh ngha, s dng kớ hiu din t nh ngha v phỏt biu c nh ngha thnh li, cỏc cỏch nh ngha khỏi nim, cỏc nh ngha khỏc (tng ng) ca mt khỏi nim, Phõn chia khỏi nim v dng vo phõn chia trng hp gii toỏn H thng hoỏ khỏi nim: xem xột mi khỏi nim cỏc h thng khỏc v vai trũ ca mi khỏi nim cỏc h thng ú, 78 dựng kớ hiu toỏn hc biu th cỏc mi liờn h ca mi khỏi nim cỏc h thng khỏc nhau, b Phỏt trin cỏc yu t t v cỏc mnh Cỏc yu t liờn quan n t v mnh (phỏn oỏn) bao gm: Mnh : nhn mnh v cỏc phỏt biu khụng phi l mnh Giỏ tr chõn lớ ca mnh To mnh phc hp (cụng thc) nh s dng cỏc phộp toỏn mnh (biu hin qua cỏc liờn t lụgic) kt ni cỏc mnh ó cú Bng giỏ tr chõn lớ ca cỏc mnh phc hp Cỏc mnh tng ng v cỏc phộp bin i tng ng (cỏc cỏch din t tng ng ca cựng mt ni dung) Cỏc mnh cha bin (hm mnh ) n gin v phc Vn dng trỡnh by kin thc toỏn Phỏt trin cỏc yu t liờn quan n suy lun Cựng vi t v khỏi nim v phỏn oỏn, suy lun l lnh vc t lụgic ct lừi Cỏc yu t liờn quan n suy lun gm: S dng ỳng cỏc lc suy lun (cỏc quy tc suy lun) Vic hỡnh thnh thúi quen s dng ỳng cỏc quy tc suy lun cho hc sinh, tu tng trng hp, cú th thc hin thụng qua mt ba hỡnh thc hay phi hp cỏc hỡnh thc: khỏi quỏt hoỏ hỡnh thnh s hỡnh thc mt cỏch tng minh cho hc sinh; giỏo viờn thc hin v ch cho hc sinh lm theo mi ln s dng mt quy tc suy lun; luyn nhng hot ng n khp vi cỏc quy tc suy lun nh tỡm tin y ca mt kt lun hay tỡm h qu lụgic ca mt kin thc cho trc Lp lun cú cn c S dng cỏc bc suy lun hon thnh mt chng minh t n gin n phc Phõn chia cỏc trng hp v lp lun chng minh theo quy tc suy lun quy np hon ton Phỏt trin cỏc yu t liờn quan n ngụn ng 79 Ngụn ng l phn hỡnh thc ng hnh cựng t Mi khỏi nim u biu th bi thut ng, kớ hiu Hiu ỳng thut ng, kớ hiu l bc u tiờn khụng th thiu ca quỏ trỡnh t toỏn hc S dng ỳng quy tc ng phỏp mi din t c ỳng suy ngh ca mỡnh v hiu c ý ngi khỏc, thu thp ỳng thụng tin quỏ trỡnh t Sau õy l vic s dng cỏc cụng thc ca i s v t din t mt s kin thc toỏn chng trỡnh ph thụng ( trỏnh s rm r, chỳng tụi khụng ghi bin thiờn ca cỏc bin t, nhng c gi cú th d dng nhn mi bin t cỏc cụng thc c trỡnh by di õy bin thiờn hp no): Din t tớnh cht cỏc phộp toỏn: + Tớnh cht giao hoỏn ca phộp cng trờn hp s t nhiờn Ơ : x Ơ y Ơ (x + y = y + x); + Tớnh cht giao hoỏn ca phộp nhõn trờn hp s t nhiờn Ơ : x Ơ y Ơ (x.y = y.x); + Tớnh cht kt hp ca phộp cng trờn hp s t nhiờn Ơ : x Ơ y Ơ z Ơ (x + (y + z) = (x + y) + z); + Tớnh cht kt hp ca phộp nhõn trờn hp s t nhiờn Ơ : x Ơ y Ơ z Ơ (x.(y.z) = (x.y).z); (Cỏc tớnh cht trờn tng t trờn cỏc hp  , Ô , Ă , Ê ) + S tn ti phn t n v (s 1) i vi phộp nhõn trờn Ơ : x Ơ y Ơ (x.y = y.x = x); Khi khng nh s l n v i vi phộp nhõn Ơ ta dựng cụng thc: x Ơ (x.1 = 1.x = x); Khi khng nh s l phn t trung ho i vi phộp cng  ta dựng cụng thc: x  (x + = + x = x); + Tớnh cht mi s nguyờn n cú s i  c biu th bi cụng thc: x  , y  (x + y = y + x = 0) 80 S dng cụng thc ca i s v t din t nh ngha mt s khỏi nim: + nh ngha khỏi nim dóy s thc (xn) cú gii hn l n dn dng vụ cc c biu th bi cụng thc: f(x) cú gii hn l x dn ti x0 .n > 0, m Ơ Ơ n ((n > m) (|xn l| < )); + nh ngha khỏi nim hm s f(x) (vi xỏc nh D f) cú gii hn l x dn x0 theo ngụn ng " " c biu th bi cụng thc: f(x) cú gii hn l x dn ti x0 .n > 0, > x D ((0 < |x x | < ) (|f(x) l| < )) f + nh ngha khỏi nim hm s f(x) (vi xỏc nh D f) cú gii hn l x dn x0 theo ngụn ng dóy s c biu th bi cụng thc: f(x) cú gii hn l x dn ti x0 .n (xn) Df ((xn x0) (f(xn) l)); + nh ngha khỏi nim hm s f(x) (vi xỏc nh Df) liờn tc x0 (khi ó cho x0 Df) theo ngụn ng " " c biu th bi cụng thc: f(x) liờn tc ti x0 .n > > x Df ((|x x0| < ) (|f(x) f(x0)| < )); + nh ngha khỏi nim hm s f(x) (vi xỏc nh D f) liờn tc ti x0 theo ngụn ng dóy s c biu th bi cụng thc: f(x) liờn tc ti x0 .n (xn) Df ((xn x0) (f(xn) f(x0)); + nh ngha khỏi nim hm s f(x) (vi xỏc nh D f) giỏn on x0 (khi ó cho x0 Df) theo ngụn ng " " c biu th bi cụng thc: f(x) giỏn on ti x0 81 .n > 0, > 0, x Df ((|x x0| < ) (|f(x) f(x0)| )); + nh ngha khỏi nim hm s f(x) (vi xỏc nh D f) giỏn on ti x0 theo ngụn ng dóy s c biu th bi cụng thc: f(x) giỏn on ti x0 .n (xn) Df ((xn x0) ( f (x n ) f (x ) )); õy f (x n ) f (x ) cú ngha l hoc khụng tn ti gii hn ca f(xn) hoc cú gii hn ca f(xn) nhng gii hn ú khụng bng f(x0) Cng cn núi thờm rng, cng cú ta a iu kin x Df vo ni dung nh ngha khỏi nim hm s liờn tc ti x Khi ú cụng thc ca i s v t biu th cho nh ngha khỏi nim ny s l: f(x) liờn tc ti x0 .n (x0 Df) ( > 0, > 0, x Df ((|x x0| < ) (|f(x) f(x0)| < ))) Trong trng hp ny khỏi nim hm s f(x) giỏn on ti x c biu th bi cụng thc: .n f(x) giỏn on ti x0 (x0 Df) ( > > 0, x Df((|x x0| < ) (|f(x) f(x0| ))) 82 CU HI ễN TP a) Chng minh tt c cỏc ng thc, cỏc lut, cỏc quy tc suy lun ca i s mnh , i s v t c gii thiu trờn b) Ly cỏc bi toỏn (ớt nht l 10 bi) chng trỡnh ph thụng tin hnh gii v ch rừ lc suy lun ó dựng li gii Ly 10 cụng thc ca i s mnh ri dựng cỏc phộp bin i tng ng a cỏc cụng thc ú v cỏc dng chun tc, v dng vit mi h thng gm cỏc phộp toỏn cho sau õy: {phộp ph nh v phộp hi}, {phộp ph nh v phộp tuyn}, {phộp ph nh v phộp kộo theo} Dựng cụng thc ca i s v t din t cỏc nh lớ mụn Toỏn ph thụng Chng minh cỏc tớnh cht quen bit ca cỏc h thng s t nhiờn, h thng s thc bng cỏch suy din t cỏc h tiờn ca chỳng Chng minh cỏc nh lớ hỡnh hc ph thụng da vo h tiờn Hin-be v h tiờn Pụ-gụ-rờ-lụp ó c gii thiu trờn 83 TI LIU THAM KHO Phan ỡnh Diu (2006), Logich toỏn v c s toỏn, NXB i hc Quc gia Nguyn Mng Hy (1999), Xõy dng hỡnh hc bng phng phỏp tiờn , NXB Giỏo dc Novikov (1972), i cng lụgic toỏn, NXB Khoa hc v K thut Pụlia G (1997), Toỏn hc v nhng suy lun cú lớ, NXB Giỏo dc Chu Trng Thanh, Trn Trung (2011), C s toỏn hc hin i ca kin thc mụn Toỏn ph thụng, NXB Giỏo dc 84 ... n khỏi nim ny phn sau) 11 Trong tớch -cỏc A1 ì A2 ì ì An nu cú A1 = A2 = = An = A thỡ ta dựng thut ng lu tha -cỏc bc n ca hp A v kớ hiu l An i vi tớch -cỏc ca mt s hu hn hp, ta cú mt s tớnh... t (a 1, a2, , an), ú Ai, vi mi i = 1, 2, , n, l tớch -cỏc ca A 1, A2, , An v kớ hiu l A1 ì A2 ì ì An hay in=1 Ai Ngi ta cng nh ngha tớch -cỏc ca mt h tu ý cỏc hp {Ai, i I} v kớ hiu l iIAi... s dng cỏc cỏch khỏc sau õy - Cỏch th nht l lit kờ tt c cỏc phn t ca hp ú v ghi phm vi gia hai du {, } Cỏch ny n gin nhng ch ỏp dng c s lng phn t ca hp khụng quỏ nhiu - Cỏch th hai l ngi ta lit