Bài giảng môn xác suất và thống kê

[BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Chương I KHÔNG GIAN XÁC SUẤT Không gian mẫu 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên (nói ngắn gọi phép thử) thí nghiệm hay quan sát tượng mà ta dự báo trước kết xảy Phép thử có nhiều kết quả; có kết đơn giản (nó phân nhỏ nữa); có kết phức hợp (nó gồm số kết đơn giản hợp thành) Chẳng hạn, quay xổ số ta quan tâm đến hai số cuối lần xuất số từ 00, 01,…, 98, 99 kết đơn giản nhất, xuất số chẵn, lẻ, đầu 1, đuôi 5,… kết phức hợp Kết đơn giản gọi biến cố sơ cấp hay biến cố (giống khái niệm điểm hình học, định nghĩa xác) Tập hợp tất biến cố sơ cấp gọi không gian mẫu hay không gian biến cố sơ cấp ký hiệu Ω Mỗi tập không gian mẫu Ω (trừ tập Ω tập rỗng Ø) gọi biến cố ngẫu nhiên (nói ngắn biến cố) ký hiệu , , … Một biến cố gọi xảy (hay xuất hiện) biến cố sơ cấp thuộc xảy Tập Ω gọi biến cố chắn (nó xảy phép thử thực hiện); tập rỗng Ø gọi biến cố (nó không xảy phép thử thực hiện) Vậy, hình thức, ta nói biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy ra, không xảy Theo quan điểm hình học, ta coi không gian mẫu Ω phần mặt phẳng, biến cố sơ cấp (ký hiệu ω) điểm phần tập phần biến cố Để minh họa, ta xét phép thử có đếm kết đơn giản không gian mẫu mô tả bởi: Ω={ } [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] gọi không gian mẫu rời rạc (hay đếm được) Để cho đơn giản, ta dùng số 1, 2, … thay cho để biến cố sơ cấp Lúc không gian mẫu biểu diễn dạng tương đương là: Ω = {1, 2, …} 1.1.2 Các ví dụ phép thử không gian mẫu Ví dụ 1: Gieo đồng tiền (xu) cân đối đồng chất liên tiếp n lần Đó phép thử với không gian mẫu mô tả bởi: Ω (hay 0) kết quả: “Đồng tiền xuất mặt sấp hay ngửa lần gieo thứ i” Thấy rằng, số biến cố sơ cấp (ω) phép thử là: |Ω| = Ví dụ 2: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất liên tiếp n lần, không gian mẫu là: Ω = k (i = 1, 2, …, n; k = 1, 2, …, 6) kết quả: “Mặt ngửa xúc xắc xuất k chấm lần gieo thứ i” Ta có: |Ω| = Ví dụ 3: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp mặt sấp xuất dừng lại Đây phép thử có không gian mẫu là: Ω = {S, NS, …, N…NS, …} với |Ω| = ∞ Ví dụ 4: Quan sát số khách hàng vào siêu thị khoảng thời gian xác định Không gian mẫu là: Ω = {0, 1, …, n} với |Ω| = n+1 ta biết giới hạn số lượng khách hàng n; không biểu thị Ω = {0, 1, 2, …, … } = N với |Ω| = ∞ Ví dụ 5: Đo tuổi thọ (t) n thiết bị điện tử (thời gian kể từ dùng đến hỏng) Đây phép thử có không gian mẫu liên tục mô tả bởi: Ω [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] tuổi thọ thiết bị điện tử thứ i 1.1.3 Các quan hệ phép toán biến cố * Các quan hệ biến cố: - Biến cố kéo theo biến cố , ký hiệu {ω - Hai biến cố {ω } {ω tức biến cố tổng ∩ ∩ = {ω: ω   } gọi tổng (hay hợp) ω (còn ký hiệu xảy , xảy (hay có } gọi tích (hay giao) ) xảy = Ø, tức hai biến cố và , tức xảy không đồng thời xảy ra, ta xung khắc - Biến cố \ = {ω: ω hiệu \ xảy - Biến cố: biến cố bù = , }, tức ω xảy xảy ra) - Trong trường hợp nói xảy suy xảy và - Biến cố biến cố tích {ω } = {ω: ω biến cố }, tức tương đương, ký hiệu - Biến cố  , = {ω: ω ω } gọi hiệu xảy , tức biến cố không xảy } gọi biến cố bù (đối hay bổ sung) , tức xảy không xảy * Các phép toán biến cố: Phép tổng phép tích biến cố có tính chất giao hoán, kết hợp phân phối sau: - = - = - ( ) = - ( ) = ( ) ( ) - ( )=( ) ( ) - ( )=( ) ( ) [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Phép tổng tích mở rộng tổng tích nhiều biến cố Chẳng hạn, tổng biến cố ký hiệu Tích biến cố , định nghĩa bởi: ký hiệu định nghĩa hay bởi: Ta xét quy tắc Demorgan sau: , ,… , ,… Chú ý rằng, họ hữu hạn biến cố (I tập hữu hạn) tập hoàn toàn xác định Ví dụ 6: Gieo đồng tiền cân đối, đồng chất lần Không gian mẫu là: Ω = {SS, NN, NS, SN} Xét biến cố = {SS, SN, NS}; = { NS, SN, NN} (tương ứng ) biến cố: “ Có lần xuất mặt sấp” (tương ứng “ ngửa”) = Ω, Ta có : = {SN, NS} biến cố: “ Có lần xuất mặt sấp”, = {NN}, \ = {SS} 1.2 Xác suất không gian xác suất Cho biến cố phép thử Khi thực phép thử lần, ta dự đoán trước biến cố có xảy hay không? Nhưng ta thừa nhận rằng: Có số không âm (ký hiệu P( ) - sau gọi xác suất ), tồn cách khách quan, đo khả xảy biến cố Số phải (tức 100%) chắn, (tức 0%) P( cách hợp lý biến cố không thể, và biến cố xung khắc thì: ) = P( ) + P( ) Tùy phép thử cụ thể, ta tìm cách xác định P( ) [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Do đó, bước việc xây dựng không gian xác suất phải gắn cho biến cố số gọi xác suất P( ) thỏa mãn yêu cầu thông thường nói Giả sử Ω = { } không gian mẫu rời rạc Mỗi biến cố sơ cấp gán với trọng số cho: k ≥ 1, Khi đó, với biến cố ⊂ Ω , xác suất biến cố P( ) = xác định bởi: Như P hàm tập xác định δ - đại số tập Ω ( tập hợp tất tập Ω) Thì ba (Ω, , P) gọi không gian xác suất rời rạc (là trường hợp riêng không gian xác suất tổng quát xét mục 1.2.4 sau này) Sau đây, ta trình bày cách xây dựng mô hình xác suất cho phép thử đối xứng (hay cân đối) gieo đồng tiền hay xúc xắc cân đối đồng chất 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Cho Ω = biến cố sơ cấp không gian mẫu phép thử đối xứng, tức có khả xảy ra: p( ) = p( ) p( ) Khi theo công thức định nghĩa , xác suất biến cố xác định bởi: P( ) = Ω Ở | | = m số biến cố sơ cấp thuộc Ví dụ 7: Một hộp chứa lượt cầu đánh số Tính xác suất biến cố: := {các cầu rút đôi khác nhau} Không gian mẫu phép thử là: Ω Rút có hoàn lại lần [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Ta có phép thử đối xứng, tức biến cố sơ cấp Do hoàn lại nên có cách rút, Vậy  = Mặt khác biến cố Nên cách rút, có có khả xuất cách rút, …, có có cách rút có dạng: có ( – 1) cách rút, , Do đó: có ( – n + 1) cách rút – Ta có Ω Xét số trường hợp riêng ví dụ trên: Cầu thang máy chuyển động với người dừng lại tầng Hãy a) tính xác suất để cho hai người vào tầng Theo trên, với = 8, = 5, ta có: P= = 0,205078125 Trong lớp có n học sinh Giả sử ngày sinh học sinh rơi b) ngẫu nhiên vào ngày 365 ngày với khả Hãy tính xác suất P cho hai học sinh có ngày sinh khác Áp dụng công thức ví dụ với P= = (1- = 365, ta có: ) (1- )…( 1- ) Ví dụ 8: 10 sinh viên tổ chức buổi giao lưu Tính xác suất để anh A chị B ngồi cạnh nhau, nếu: a) Các sinh viên ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn b) Các sinh viên ngồi ngẫu nhiên theo dãy ghế ngang Gọi Ta có: Ω xác suất liên quan cần tìm trường hợp a) b) 10! , = 10 = Ví dụ 9: Xếp ngẫu nhiên suất cho: 8!, = = ; 8! + = cầu phân biệt vào 8! = hộp phân biệt Tính xác [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] a) Hộp b) Hộp thứ quả, hộp được quả, … , hộp thứ quả Đây phép thử có không gian mẫu là: Ω Vậy Ω Gọi , biến cố liên quan đến trường hợp a) b) thì: a) nên Ω Giả sử b) số = chiếm phải có , dãy vị trí vị trí Còn vị trí lại số thuộc tập {1,…, }\{ } Từ đó: , nên = = 1.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất Khi phép thử không đối xứng, ta xác định gần xác suất Thực phép thử liên tiếp có phép thử lặp Cho dùng tần suất lần (độc lập nhau, điều kiện) tức ta số lần biến cố tần số xuất biến cố , gọi để xấp xỉ sau: xuất phép thử này, gọi / tần suất xuất biến cố Với lớn ta Đó ý tưởng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Tức thừa nhận tồn cho tần suất / dao động quanh Sau này, với giả thiết hợp lý, người ta chứng minh rằng: Điều khẳng định luật số lớn Bernoulli, kết quan trọng lý thuyết xác suất Ví dụ: Bảng tham khảo tần suất xuất mặt sấp gieo đồng tiền nhiều lần [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0.5069 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 1.2.3 Định nghĩa hình học xác suất Để khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển áp dụng cho phép thử đối xứng có hữu hạn biến cố sơ cấp, người ta đưa định nghĩa hình học xác suất Giả sử tập hợp (vô hạn) biến cố sơ cấp đồng khả phép thử coi miền hinh học Ω (chẳng hạn cung, đoạn thẳng, miền mặt cung khối không gian,…), tập biến cố sơ cấp biến cố (cũng ký hiệu ) Ω Ở đây, giả sử tập Ω miền có độ đo hữu hạn (độ đo độ dài, diện tích, thể tích,…) Như vậy, xác suất để điểm chọn rơi vào miền , với giả thiết rơi đồng khả vào điểm Ω ký hiệu , xác định bởi: = Ω = đ đ đ đ Ω Ví dụ 10: Bắn vào bia hình vuông Giả sử luôn bắn trúng bia xác suất để bắn trúng miền xác định bia tỷ lệ với diện tích Hãy tính xác suất để bắn trúng miền Ta có: = phần tư phía bên trái bia Ω Vì diện tích miền = so với diện tích miền Ω ¼ 1.2.4 Định nghĩa tiên đề xác suất Các định nghĩa cổ điển, hình học thống kê có nhiều hạn chế để xây dựng định nghĩa tổng quát cho xác suất Khái niệm cổ điển hình học không dùng cho phép thử có biến cố sơ cấp xảy không đồng khả Trong đó, định nghĩa thống kê dùng giá trị tần suất để xấp xỉ xác suất cần tìm Việc xấp xỉ xác số quan sát không đủ lớn [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Mặt khác, thực tế thường gặp nhiều phép thử mà đếm kết đơn giản nó, lúc không gian mẫu tập vô hạn không đếm Đối với không gian mẫu Ω vậy, xây dựng mô hình xác suất cách gán cho kết ω Ω trọng số p(ω) > 0, sau định nghĩa P( ) = ⊂ Ω P( ) nhận giá trị , Để khắc phục, ta xét tập đặc biệt tập Ω Lớp cần phải thỏa mãn số điều kiện thông thường Ký hiệu (Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Định nghĩa 1: ⊂ Lớp - đại số (Ω) gọi - đại số thỏa mãn: Ω Với , = 1, 2, … - đại số cần thỏa mãn hệ thức Nhận xét: , chẳng hạn từ có: ⊂ Ví dụ 11: a, = {Ø Ω} b, Giả sử Ω - đại số biến cố , ⊂ Ω, ≠ Ø, ≠ Ω, = {Ø, Ω, , } - đại số biến cố c, Giả sử Ω (Ω) (tập hợp gồm tất biến cố sơ cấp) - đại số lớn xây dựng từ Ω Định nghĩa 2: Độ đo xác suất Hàm tập xác định - đại số gọi độ đo xác suất - cộng tính hay độ đo xác suất (nói ngắn gọi xác suất) thỏa mãn: 0, , (Ω) = 1, Nếu , = 1, 2…; = Ø, i ≠ j Hệ tiên đề kolmogorov: Ta gọi ba (Ω, , ) với ∞ ∞ [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] a) Ω tập hợp tùy ý gồm phần tử ω; - đại số tập Ω; b) c) độ đo xác suất - cộng tính hay nói gọn xác suất , không gian xác suất (tổng quát) Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp Tập xác suất biến cố , gọi xác suất gọi biến cố, Các khái niếm: Biến cố sơ cấp, biến cố, xác suất đối tượng bản, tính chất thừa nhận lập nên hệ tiên đề lý thuyết xác suất A.N.Kolmogorov đưa lần vào năm 1933 Sự xuất hệ tiên đề cách mạng lý thuyết xác suất, đánh dấu bước ngoặt trình sáng tạo mô hình toán học cho phép thử hay phép thử Ta dễ dàng thấy định nghĩa cổ điển, hình học, thống kê, … xác suất trường hợp đặc biệt định nghĩa tiên đề mà ta vừa xét 1.2.5 Các tính chất xác suất (Ø) = (được suy từ Ø ( ) = Ø = Ø (suy từ , ⊂ ; , Ω (do P( ) = với ) (do , , ) ) ⊂ Ω 3.) = (gọi công thức cộng xác + suất tổng hai biến cố) Thật vậy, từ , ta có Mặt khác, từ ta có thay vào công thức ta nhận tính chất + ; , (suy từ 5) (gọi công thức cộng xác suất tổng Thật vậy, 10 ∞ biến cố) Tính chất suy quy nạp tính chất ∞ ⊂ [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 3.1 Phân phối đồng thời Giả sử , = biến ngẫu nhiên (tức biến ngẫu nhiên chiều) gọi biến ngẫu nhiên chiều hay véctơ ngẫu nhiên Hàm phân phối biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên ( chiều chiều (hay hàm phân phối đồng thời , ký hiệu ( , định nghĩa bởi: = { = { Với ( Các biến ngẫu nhiên gọi độc lập nếu: { = ( ( = ( ) hàm phân phối ( ) ( )… ( ) với ( ( = 1, 2, , ) Nếu biến ngẫu nhiên (x), …, (x), ( liên tục có hàm mật độ độc lập khi: (x), = = ( )… ( ) ( ) gọi hàm mật độ véctơ Và ( đồng thời biến ngẫu nhiên Giả sử , chiều (hay hàm mật độ ) = ( , ) biến ngẫu nhiên 2- chiều Theo trên, hàm phân phối là: ( , )= ( < , < ) Hàm phân phối ( , ) có số tính chất: ( , ) hàm đơn điệu không giảm theo theo ( , ) liên tục trái hai biến với ( 41 < ; Y< , có )= ( ) ( ) ( )+ ( ) [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] ( , )= ( , ( , ) = 0; F(+ , + ) = ) = ( ) ( , )= ( ) Trong ( ) ( ) hàm phân phối xác suất Nếu , ( = )= biến ngẫu nhiên rời rạc với luật phân phối ( … Nếu , = )= , ta có bảng phân phối xác suất véctơ ( , ) sau: … Trong = { độc lập = ) … … … … … … ( = )} = Rõ ràng, ta có: )= = ; =1, 2,… = ( = )= = ; =1, 2,… = ( = Ví dụ 1: Gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất Gọi hai biến ngẫu nhiên kết nhận đồng tiền tương ứng Lập bảng phân phối ( , ) S N S N 42 [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Nếu = ( , ) biến ngẫu nhiên 2- chiều, liên tục hàm mật độ , ký hiệu ( , ), xác định bởi: thỏa mãn: ( , )= ( , ) d d =1 Rõ ràng, ta có: {( , ) T} = ( < , < )= ( )= ( , )= d d ( ) = (+ , ) = d d Hàm mật độ ( ) ( ) ( )= ( ) = ( )= d d xác định bởi: d ( ) = d Ví dụ 2: Hàm mật độ đồng thời hai biến ngẫu nhiên chuẩn N( N( ) ) : ( , )= Trong hệ số tương quan (xem mục sau) 3.2 Các đặc trưng véctơ ngẫu nhiên Cho ) biến ngẫu nhiên =( , xác định =( ,…, , chiều Véctơ kỳ vọng , ký hiệu ) Hiệp phương sai (hay covariance) , ký hiệu ( ) hay xác định bởi: ( )= Rõ ràng = = {( ) = , )}, , = , , …, , = , , …, Ma trận mômen hay ma trận hiệp phương sai , ký hiệu , xác định bởi: 43 , [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] = Ma trận mô men = ma trận đối xứng, xác định không âm định thức không âm, det > Xét véctơ hai chiều - =( Hệ số tương quan hai biến ( xác định bởi: = = Trong trường hợp chiều ma trận mô men = Do det = (1 ) = có dạng: = Và dễ dàng nhận thấy rằng: ( + , + )= ( Ý nghĩa hệ số tương quan: Hệ số tương quan hệ số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính biến ngẫu nhiên Nếu Nếu gần mức độ phụ thuộc tuyến tính chúng chặt Khi đó: > phụ thuộc tuyến tính hai biến đồng biến Nếu < phụ thuộc nghịch biến Nếu = ta có: Nếu gần mức độ phụ thuộc tuyến tính chúng yếu Nếu + = với số = ta nói hai biến ngẫu nhiên không tương quan Rõ ràng, biến ngẫu nhiên độc lập chúng không tương quan, điều ngược lại không Chú ý: , hai biến ngẫu nhiên chuẩn không tương quan chúng độc lập! - Ma trận tương quan: Ký hiệu trận tương quan sau: 44 hệ số tương quan , ta có ma [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] P= = Đối với trường hợp chiều, ta có P = , = ΣPΣ Trong Σ = Ví dụ 3: Xét biến ngẫu nhiên chiều rời rạc ( , ) với bảng phân phối xác suất sau: ( = ) 1/6 a, Tìm 1/3 ( =) ½ 1/3 1/2 1/6 b, Lập ma trận covariance c, Tính hệ số tương quan Ta có: a, Áp dụng công thức tính kỳ vọng, ta có: b, = = - = = 7/3 ; = 11/6 ( = Giá trị = = ( = )( )= =0 Ma trận covariance ( , ) là: c, Hệ số tương quan : = =0 3.3 Định lý giới hạn ứng dụng Như ta biết, xác suất với , lớn việc tính toán gía trị cụ thể công thức Bernoulli ra, ) khó khăn Sau ta phát triển số định lý giới hạn áp dụng để tính xấp xỉ xác suất 45 [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] 3.3.1 Định lý giới hạn địa phương Moivres – laplace Xét phép thử Bernoulli với = , (0 < < 1), ta có: < Trong = , =1 = = ( ); số dương; , ( ) hàm mật độ N(0,1) → Áp dụng: Từ định lý ta có : Với lớn thì: )= = Công thức sử dụng tốt > 100, = ( ) > 20 (tức ) 3.3.2 Định lý giới hạn trung tâm Nếu biến ngẫu nhiên ,…độc lập phân phối với phương sai hữu hạn khác thì: = , Hay biến ngẫu nhiên Áp dụng: Xét Đặt = có phân phối giới hạn phân phối N(0, 1) phép thử Bernoulli với = ; = số lần xuất biến cố Thì viết cho phép thử Bernoulli Thay , ta có: = với Hay biến nhị thức có phân phối giới hạn phân phối chuẩn Từ suy ra: 46 ; [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] {a < hoặc: }= { }= { < < } Φ( = Ví dụ 4: Gieo 3200 lần đồng tiền cân đối đồng chất Gọi số lần xuất mặt sấp 3200 lần gieo a, Tìm số lần xuất mặt sấp có khả Tính xác suất tương ứng b, Tìm xác suất cho giá trị (1600 + ; 1600 + 10 Ta có: Với = 3200, + = 3200 nằm khoảng = 0.5 0.5 + 0.5 = 1600.5, nên số lần xuất mặt sấp có khả 1600, xác suất tương ứng là: Vì = 0, nên Lúc đó: = = 1600 + < X < 1600 + 10 0.014 } = Φ(0.5) – Φ(0.25) = 0.09142 – 0.598706 0.092756 3.3.3 Định lý Poisson (Luật biến cố hiếm) Nếu nhỏ việc xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn không tốt, nhỏ người ta thường xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson thể qua định lý Giả sử { , = 1, 2…; ( = 1) = = 1, …, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với: Đặt 47 = Ta có ; ( B( , = 0) = ) , = 1, 2, , [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Nếu = , Áp dụng: Với Poisson : { lớn, phân phối nhị thức B( , }= (m, = 1, 2,… , ) , ) xấp xỉ phân phối m = 0, 1, 2, … - Hay lớn ( , ) bé, ta có: , m = 0, 1, 2, … Ví dụ 5: Trong số 500 trang sách có 10 lỗi in Tìm xác suất cho lấy hú họa trang sách có a, Đúng lỗi b, Không lỗi in Gọi số chữ số lỗi trang sách in Vì xác suất để chữ bị lỗi nhỏ trang sách lớn ta xấp xỉ phân phối Poisson với tham số ( = 2) = = số lỗi trung bình trang sách; = = 0.0002 phân phối = = 0.02 = 0.000196039 3.4 Phân bố có điều kiện kỳ vọng có điều kiện 3.4.1 Phân bố có điều kiện biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc, biến cố có xác suất dương Cho giá trị Lúc đó: Dãy ( = kiện / ) ( = 1, 2,…, ) gọi phân bố có điều kiện với điều xảy Hàm phân phối xác suất với điều kiện xảy ra, ký hiệu ( / ), xác định bởi: ( / ) := 48 [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Kỳ vọng có điều kiện với điều kiện xảy ra, ký hiệu ( / ), xác định bởi: ( / ) := Định lý: Giả sử nhóm đầy đủ biến cố Khi đó: = ( Định lý tương tự với công thức xác suất đầy đủ Chứng minh: Ta có = = Thay vào vế phải, ta có: ( = = = Chú ý: Trường hợp giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số vô hạn đếm ta định nghĩa tương tự thay tổng hữu hạn tổng vô hạn Ví dụ 6: Gieo liên tiếp đồng tiền Giả sử xác suất xuất mặt ngửa Gọi biến ngẫu nhiên lần xuất mặt ngửa, biến cố: “Trong lần gieo xuất mặt ngửa lần” Tìm phân bố Ta có tập gí trị phân bố với điều kiện xảy {1, 2,….} p ( =1, 2,…) ( = )= ( =1 ) Đó phân bố Ta tìm phân bố có điều kiện ( = / ) Ta có: ( = / ) = Rõ ràng với k > biến cố ( = k) kéo theo việc n phép thử đồng tiền không xuất mặt ngửa Do ( = / ) = với k > n Xét k n, theo công thức Bernoulli ( Mặt khác, 49 = p = np ) = P{xuất mặt ngửa lần gieo k} = p [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] P( = k/ ) = với k Giả sử n hai biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị Cho y giá trị Lúc đó: Dãy P( = / = y) (i=1, 2,…, m) gọi phân bố có điều kiện với =y cho Hàm phân phối xác suất với điều kiện = y cho, ký hiệu (x/y), xác định bởi: (x/y) := Kỳ vọng có điều kiện với điều kiện định bởi: ( / = y) = = y, ký hiệu ( / = y), xác Ví dụ 7: Số trứng trại gà biến ngẫu nhiên 2,… với xác suất tương ứng ( = k) = nhận giá trị 0, 1, , λ > số (giả sử trứng nở thành gà độc lập với xác suất p) Gọi số gà Hãy tìm: a, P( = k/ = n) với n k b, P( = n/ = k) với n k Ta có: a, Nếu = n tức có n trứng chọn ngẫu nhiên theo công thức Bernoulli P( = k/ = n) = b, P( = n/ = k) = P( = k/ = = = n)P( = n) với k = Mặt khác: P( = k) = = = 50 , với q = = n [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] = = 3.4.2 Phân bố có điều kiện biến ngẫu nhiên liên tục Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục, Hàm phân bố với diều kiện biến cố với xác suất dương xảy ra, ký hiệu (x/ ), xác định bởi: (x/ ) = P( < x/ )= Nghĩa điểm x, hàm (x/ ) xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ x với điều kiện xảy Nên (x/ ) liên tục tuyệt đối ( khả vi với gọi hàm mật độ với điều kiện Kỳ vọng có điều kiện x R), P(x/ ) = (x/ ) xảy với điều kiện xảy xác định bởi: ( / )= Giả sử hai biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối đồng thời (x, y) Hàm phân phối xác suất với điều kiện = y cho, ký hiệu (x/y) (hay P( < x/ = y)), định nghĩa bởi: , hàm (x, y) (x/y) = P( < x/ = y):= hàm số theo x, y đóng vai trò tham số Tương tự, hàm phân phối xác suất với điều kiện = x cho, ký hiệu G(y/x) (hay P( < y/ = x); định nghĩa bởi: G(y/x) = P( < y/ = x) := Hàm G(y/x) hàm số theo y, x tham số Định lý: Giả sử p(x, y) hàm mật độ đồng thời mật độ , lúc đó: (x/y)= /q(y) = G(y/x)= /p(x) = Chứng minh: Ta chứng minh công thức 51 , p(x), q(y) hàm [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] P( = = Áp dụng định lý giá trị trung bình = p(x) = (ở ta đặt h(u) = , y cố định có vai trò tham số) Từ chia tử mẫu cho G(y/x)= /p(x) = ta thu cho = Tương tự: (x/y)= /q(y) = Hàm mật độ có điều kiện với điều kiện = y cho, ký hiệu p(x/y) định nghĩa bởi: p(x/y) = (x/y) Vậy p(x/y) hàm số theo x với y biến đóng vai trò tham số Tương tự, hàm mật độ có điều kiện q(y/x), định nghĩa bởi: q(y/x) = với điều kiện G(y/x) Từ định nghĩa trên, ta suy ra: p(x/y) = với x R y R cho q(y) > q(y/x) = với x R y R cho p(x) > Ví dụ 8: Cho p(x, y) = Tìm p(x/y) q(y/x) 52 có hàm mật độ đồng thời = x cho, ký hiệu [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Ta có p(x) = = q(y) = = Với y > - p(x/y) = = Tương tự , với x > - q(y/x) = = 3.4.3 Kỳ vọng có điều kiện hàm hồi quy Định nghĩa: Giả sử với điều kiện hai biến ngẫu nhiên liên tục p(x/y) hàm mật độ = y cho Khi đó: Kỳ vọng (giá trị trung bình) với điều kiện = y cho ký hiệu ( / = y), xác định bởi: ( / = y) = Vậy ( / = y) hàm y gọi hàm hồi quy Tương tự, kỳ vọng với điều kiện = x cho, ký hiệu ( / = x) xác định bởi: ( / = x) = gọi hàm hồi quy Định lý: 53 = = {y R: q(y) > 0} đối vói [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] tương tự, ={x = R: p(x) > 0} Nhận xét: Các kết có ích Nó cho phép ta tính kỳ vọng thông qua kỳ vọng có điều kiện ( / = y) (hoặc (hoặc ) ) tình mà kỳ vọng có điều kiện dễ tính Chứng minh: Chú ý vì: p(x) = Do đó, x Do đó: = với y = = = Mặt khác, với x ( / = x)p(x) = = = => = Chú ý: Công thức tương tự công thức xác suất đầy đủ cho trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục Để tìm , ta cố định giá trị tìm kỳ vọng có điều kiện Sau tìm kỳ vọng lần nữa, nghĩa là: = [ ( ] Ví dụ 9: Cho hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời: p(x,y) = Hãy tìm ( / =y) ( Ta có: p(x) = = q(y) = = q(y/x) = 54 [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] p(x/y) = ( / = y) = ( = Chú ý: độc lập thì: (x/y) = P( < x/ = y) = G(x) G(y/x) = P( < y/ = x) = H(y) p(x/y) = p(x) q(y/x) = q(y) G(x), H(y) hàm phân phối Định lý Bayes: p(x/y) = = q(y/x) = = Chứng minh suy trực tiếp từ công thức định nghĩa p(x/y), q(y), q(y/x), p(x) 55 ... (Ω, , ) với ∞ ∞ [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] a) Ω tập hợp tùy ý gồm phần tử ω; - đại số tập Ω; b) c) độ đo xác suất - cộng tính hay nói gọn xác suất , không gian xác suất (tổng quát)... Ω xác suất liên quan cần tìm trường hợp a) b) 10! , = 10 = Ví dụ 9: Xếp ngẫu nhiên suất cho: 8!, = = ; 8! + = cầu phân biệt vào 8! = hộp phân biệt Tính xác [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ]... trọng lý thuyết xác suất Ví dụ: Bảng tham khảo tần suất xuất mặt sấp gieo đồng tiền nhiều lần [BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ] Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon 4040