Bài giảng môn xác suất và thống kê

Không gian mẫu 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên nói ngắn gọi là phép thử là một thí nghiệm hay một sự quan sát về hiện tượng nào đó mà ta không thể

1

Chương I KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

1 Không gian mẫu

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (nói ngắn gọi là phép thử) là một thí nghiệm hay một sự quan sát về hiện tượng nào đó mà ta không thể dự báo trước kết quả nào sẽ xảy ra

Phép thử có nhiều kết quả; có kết quả đơn giản nhất (nó không thể phân nhỏ ra được nữa); và cũng có kết quả phức hợp (nó gồm một số kết quả đơn giản nhất hợp thành) Chẳng hạn, khi quay xổ số nếu ta chỉ quan tâm đến hai số cuối thì mỗi lần xuất hiện các số từ 00, 01,…, 98, 99 là những kết quả đơn giản nhất, trong khi đó sự xuất hiện các số chẵn, lẻ, đầu 1, đuôi 5,… là những kết quả phức hợp

Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp hay biến cố cơ bản (giống như khái niệm điểm trong hình học, nó không có định nghĩa chính xác) Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp và được ký hiệu là Ω Mỗi tập con của không gian mẫu Ω (trừ chính tập Ω và tập rỗng Ø) được gọi là biến cố ngẫu nhiên (nói ngắn ngọn là biến cố) và ký hiệu bởi , , …

Một biến cố được gọi là xảy ra (hay xuất hiện) nếu một biến cố sơ cấp thuộc xảy ra

Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn (nó luôn xảy ra khi phép thử thực hiện); còn tập rỗng Ø được gọi là biến cố không thể (nó không xảy ra khi phép thử thực hiện) Vậy, về hình thức, ta có thể nói biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể không xảy ra

Theo quan điểm hình học, ta có thể coi không gian mẫu Ω là một phần nào đó của mặt phẳng, mỗi biến cố sơ cấp (ký hiệu ω) là một điểm của phần này và mỗi tập con của phần này là một biến cố

Để minh họa, ta xét một phép thử có đếm được các kết quả đơn giản nhất còn không gian mẫu được mô tả bởi:

Ω = { }

2

và được gọi là không gian mẫu rời rạc (hay đếm được) Để cho đơn giản, ta có thể dùng các số 1, 2, … thay cho để chỉ các biến cố sơ cấp Lúc đó không gian mẫu trên có thể biểu diễn dưới dạng tương đương là:

Ω = {1, 2, …}

1.1.2 Các ví dụ về phép thử và không gian mẫu

Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền (xu) cân đối và đồng chất liên tiếp n lần Đó là một

phép thử với không gian mẫu được mô tả bởi:

Ω

ở đây (hay 0) chỉ kết quả: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp hay ngửa ở lần gieo thứ i”

Thấy rằng, số biến cố sơ cấp (ω) của phép thử là: |Ω| =

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp n lần, không gian

mẫu là:

Ω

ở đây = k (i = 1, 2, …, n; k = 1, 2, …, 6) chỉ kết quả: “Mặt ngửa xúc xắc xuất

hiện k chấm ở lần gieo thứ i” Ta có: |Ω| =

Ví dụ 3: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi nào mặt

sấp xuất hiện thì dừng lại Đây là phép thử có không gian mẫu là:

Ω = {S, NS, …, N…NS, …} với |Ω| = ∞

Ví dụ 4: Quan sát số khách hàng vào một siêu thị trong khoảng thời gian xác định

nào đó Không gian mẫu là:

Ω = {0, 1, …, n} với |Ω| = n+1

nếu ta biết được giới hạn trên của số lượng khách hàng là n; còn nếu không có thể biểu thị

Ω = {0, 1, 2, …, … } = N với |Ω|= ∞

Ví dụ 5: Đo tuổi thọ (t) của n thiết bị điện tử (thời gian kể từ khi dùng đến khi

hỏng) Đây là phép thử có không gian mẫu liên tục được mô tả bởi:

Ω

3

ở đây là tuổi thọ của thiết bị điện tử thứ i

1.1.3 Các quan hệ và các phép toán về biến cố

* Các quan hệ về biến cố:

- Biến cố kéo theo biến cố , ký hiệu  , khi và chỉ khi

{ω } {ω }, tức là xảy ra thì suy ra xảy ra

- Hai biến cố và tương đương, ký hiệu = , khi và chỉ khi

{ω } {ω }, tức là  và 

- Biến cố = {ω: ω hoặc ω } được gọi là tổng (hay hợp) của và , tức là biến cố tổng xảy ra khi và chỉ khi xảy ra hoặc xảy ra (hay có ít nhất 1 trong 2 biến cố và xảy ra)

- Biến cố ∩ = {ω: ω và ω } được gọi là tích (hay giao) của và , tức

là biến cố tích ∩ (còn ký hiệu là ) xảy ra khi và chỉ khi và cùng xảy ra

- Trong trường hợp = Ø, tức là hai biến cố và không đồng thời xảy ra, thì ta nói và xung khắc

- Biến cố \ = {ω: ω và ω } được gọi là hiệu của và , tức là biến cố hiệu \ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra nhưng không xảy ra

- Biến cố: = {ω: ω } được gọi là biến cố bù (đối hay bổ sung) của , tức là biến cố bù xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra

4

Phép tổng và tích có thể mở rộng đối với tổng và tích của nhiều hơn 2 biến cố

Chẳng hạn, tổng của 3 biến cố ký hiệu , được định nghĩa bởi:

Xét các biến cố = {SS, SN, NS}; = { NS, SN, NN} thì (tương ứng ) là biến

cố: “ Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” (tương ứng “ ngửa”)

Ta có : = Ω, = {SN, NS} là biến cố: “ Có đúng một lần xuất hiện mặt

sấp”,

= {NN}, và \ = {SS}

1.2 Xác suất và không gian xác suất

Cho là biến cố của phép thử nào đấy Khi thực hiện phép thử một lần, ta không

thể dự đoán trước được biến cố có xảy ra hay không? Nhưng ta thừa nhận rằng: Có một

số không âm (ký hiệu P( ) - sau này gọi là xác suất của ), tồn tại một cách khách quan,

đo khả năng xảy ra của biến cố Số này phải bằng 1 (tức là 100%) nếu là biến cố chắc

chắn, bằng 0 (tức là 0%) nếu là biến cố không thể, và nếu và xung khắc thì:

P( ) = P( ) + P( ) Tùy từng phép thử cụ thể, ta tìm cách xác định P( ) một

cách hợp lý

Sau đây, ta trình bày cách xây dựng mô hình xác suất cho những phép thử đối xứng (hay cân đối) như gieo một đồng tiền hay một con xúc xắc cân đối và đồng chất

1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho Ω = là không gian mẫu của phép thử đối xứng, tức là các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra:

Ở đây | | = m là số biến cố sơ cấp thuộc

Ví dụ 7: Một cái hộp chứa quả cầu được đánh số Rút có hoàn lại lần

lượt quả Tính xác suất của biến cố:

:= {các quả cầu đã rút là đôi một khác nhau}

Không gian mẫu của phép thử trên là:

Ω

Do đó: –

Ta có

Ω

Xét một số trường hợp riêng của ví dụ trên:

a) Cầu thang máy chuyển động với 5 người và nó sẽ dừng lại ở cả 8 tầng Hãy tính xác suất để sao cho không có hai người nào vào cùng một tầng

Theo trên, với = 8, = 5, ta có:

P = = 0,205078125 b) Trong một lớp có n học sinh Giả sử rằng ngày sinh mỗi học sinh có thể rơi ngẫu nhiên vào ngày bất kỳ trong 365 ngày với cùng khả năng Hãy tính xác suất P sao cho hai học sinh bất kỳ có ngày sinh khác nhau

Áp dụng công thức trong ví dụ 7 với = 365, ta có:

Ví dụ 8: 10 sinh viên tổ chức một buổi giao lưu Tính xác suất để anh A và chị B

ngồi cạnh nhau, nếu:

a) Các sinh viên ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn

b) Các sinh viên ngồi ngẫu nhiên theo một dãy ghế ngang

Gọi và là xác suất liên quan cần tìm đối với trường hợp a) và b)

Ta có: Ω 10! , = 10 2 8!, = 2 1 8! + 8 2 8!

=

= ; =

=

Ví dụ 9: Xếp ngẫu nhiên quả cầu phân biệt vào cái hộp phân biệt Tính xác

suất sao cho:

Gọi , là các biến cố liên quan đến trường hợp a) và b) thì:

số chiếm vị trí trong vị trí Còn ở các vị trí còn lại là các số thuộc tập {1,…, }\{ }

Từ đó: , nên

= =

1.2.2 Định nghĩa thống kê của xác suất

Khi phép thử không đối xứng, ta xác định gần đúng xác suất như sau: Thực hiện phép thử liên tiếp lần (độc lập nhau, trong cùng điều kiện) tức là ta

có phép thử lặp Cho là số lần biến cố xuất hiện trong phép thử này, được gọi

là tần số xuất hiện biến cố , và gọi / là tần suất xuất hiện biến cố Với khá lớn ta dùng tần suất để xấp xỉ Đó là ý tưởng của định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Tức là thừa nhận tồn tại sao cho tần suất / dao động quanh Sau này, với những giả thiết hợp lý, người ta chứng minh được rằng:

1.2.3 Định nghĩa hình học của xác suất

Để khắc phục hạn chế của định nghĩa cổ điển chỉ áp dụng cho các phép thử đối xứng chỉ có hữu hạn các biến cố sơ cấp, người ta đưa ra định nghĩa hình học của xác suất

Giả sử tập hợp (vô hạn) các biến cố sơ cấp đồng khả năng của phép thử có thể coi như một miền hinh học Ω (chẳng hạn một cung, một đoạn thẳng, một miền mặt cung hoặc một khối không gian,…), còn tập các biến cố sơ cấp của biến cố như một miền con nào đó (cũng ký hiệu là ) của Ω Ở đây, giả sử tập Ω và đều có độ đo hữu hạn (độ

đo ở đây là độ dài, diện tích, thể tích,…) Như vậy, xác suất để điểm được chọn rơi vào miền , với giả thiết nó có thể rơi đồng khả năng vào các điểm của Ω được ký hiệu là , xác định bởi:

=

Ω = đ đ

đ đ Ω

Ví dụ 10: Bắn vào một bia hình vuông Giả sử rằng luôn luôn bắn trúng bia và xác

suất để bắn trúng một miền xác định nào đó của bia tỷ lệ với diện tích của nó Hãy tính xác suất để bắn trúng miền là một phần tư phía dưới bên trái của bia

Ta có: =

Ω =

Vì diện tích của miền so với diện tích miền Ω là ¼

1.2.4 Định nghĩa tiên đề của xác suất

Các định nghĩa cổ điển, hình học và thống kê có nhiều hạn chế để xây dựng một định nghĩa tổng quát cho xác suất Khái niệm cổ điển và hình học không dùng được cho các phép thử có các biến cố sơ cấp xảy ra không đồng khả năng Trong khi đó, định nghĩa thống kê dùng giá trị tần suất để xấp xỉ xác suất cần tìm Việc xấp xỉ này sẽ kém chính xác khi số quan sát không đủ lớn

9

Mặt khác, trong thực tế thường gặp nhiều phép thử mà không thể đếm được các kết quả đơn giản nhất của nó, lúc này không gian mẫu là tập vô hạn không đếm được Đối với không gian mẫu Ω như vậy, không thể xây dựng một mô hình xác suất bằng cách gán cho mỗi kết quả ω Ω một trọng số p(ω) > 0, sau đó định nghĩa P( ) = , ⊂ Ω vì khi đó P( ) có thể nhận giá trị

Để khắc phục, ta chỉ xét một tập con đặc biệt của các tập con của Ω Lớp

đó cần phải thỏa mãn một số điều kiện thông thường Ký hiệu (Ω) là tập hợp gồm tất cả các tập con của Ω

c, Giả sử Ω thì (Ω) (tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp) là

- đại số lớn nhất có thể xây dựng được từ Ω

Định nghĩa 2: Độ đo xác suất

Hàm tập xác định trên - đại số được gọi là độ đo xác suất - cộng tính hay

độ đo xác suất (nói ngắn gọi là xác suất) nếu thỏa mãn:

10

a) Ω là tập hợp tùy ý gồm các phần tử ω;

b) là - đại số các tập con của Ω;

c) là độ đo xác suất - cộng tính hay nói gọn là xác suất trên ,

là không gian xác suất (tổng quát)

Tập Ω được gọi là không gian các biến cố sơ cấp Tập được gọi là biến cố,

là xác suất của biến cố , được gọi là xác suất trên

Các khái niếm: Biến cố sơ cấp, biến cố, xác suất là các đối tượng cơ bản, các tính chất được thừa nhận và lập nên hệ tiên đề của lý thuyết xác suất được A.N.Kolmogorov đưa ra lần đầu tiên vào năm 1933 Sự xuất hiện của hệ tiên đề là một cuộc cách mạng của lý thuyết xác suất, nó đánh dấu một bước ngoặt trong quá trình sáng tạo ra các mô hình toán học cho phép thử này hay phép thử nọ

Ta dễ dàng thấy rằng các định nghĩa cổ điển, hình học, thống kê, … của xác suất là các trường hợp đặc biệt của định nghĩa tiên đề mà ta vừa xét

8 ∞ ∞ ⊂

Thật vậy,

11

∞ ∞ ∞ Trong đó: , = Ø

9 ∞ ∞ ∞ nếu ( ), ( ⊂ và ; = 1, 2, …

Tính chất này suy ra từ tính chất 3 và 8 và hệ thức:

∞ ∞ ⊂ ∞

1.3 Xác suất có điều kiện và sự độc lập của các biến cố

Khi nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên xuất hiện một vấn đề sau: Xác suất của

một biến cố sẽ thay đổi thế nào khi một biến cố khác đã xảy ra

Chọn trong lớp ra một sinh viên

Gọi := “Sinh viên chọn ra là nữ”

:= “Sinh viên chọn ra thuộc nhóm I”

Ở đây và sau này, ta viết thay cho khi các đôi một xung khắc

1.3.3 Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố , bất kỳ, ta có:

Với tổng quát, có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo

Lưu ý rằng khi các biến cố độc lập nhau thì công thức nhân xác suất lại là công thức định nghĩa sự độc lập của các biến cố trên (xem mục 1.3.6 sau)

Ví dụ 13: Từ một hộp chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen, người ta rút ngẫu

nhiên không hoàn lại từng quả cầu một hai lần Tính xác suất để lần thứ hai mới rút được quả cầu trắng

Gọi := “ Lần thứ rút được quả cầu trắng”, = 1, 2

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

Lấy ví dụ khi cho là biến cố bất kỳ, thì hệ { , } là họ đầy đủ hai biến cố

2 Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử { … } là họ đầy đủ các biến cố với ) > 0, Khi đó với biến cố bất kỳ, ta có công thức xác suất đầy đủ sau:

= )P( ) Chứng minh

Ví dụ 15: Theo ví dụ 13 trên, hãy tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết

rằng lần thứ hai cũng rút được quả trắng

Ta có: ( ) =

1.3.6 Sự độc lập của các biến cố

14

Hai biến cố , gọi là độc lập nếu ( ) = ( ) ( ) Nếu ( ) > 0 (hoặc ( ) > 0) thì dễ dàng thấy rằng , độc lập khi và chỉ khi ( ) = ( ) (hoặc ( ) = ( )) Hoặc định nghĩa một cách định tính: và độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia

Họ các biến cố … gọi là độc lập (hay độc lập trong toàn thể), nếu với

<i> Mỗi phép thử chỉ xảy ra một trong hai biến cố là và

<ii> Xác suất xảy ra là như nhau đối với mọi phép thử: = (do đó ( ) =

1 = )

Tức là dãy phép thử Bernoulli có không gian mẫu là:

15

Ω

và

Ví dụ 16: gieo một đồng xu cân đối đồng chất lần, đây là phép thử Bernoulli, ở

đây biến cố = “Xuất hiện mặt xấp”; = “ Xuất hiện mặt ngửa” và = 1/2, ( )

Nếu gọi := “Biến cố xảy ra lần trong n phép thử Bernoulli”, thì ta thấy có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau, miễn sao trong dãy các kết quả của phép thử biến

cố có mặt đúng lần Rõ ràng sẽ là tổng của các cách như vậy Còn xác suất để xảy ra một cách cụ thể, do trong dãy phép thử là độc lập, biến cố xuất hiện đúng lần, xuất hiện - lần, nên sẽ bằng

Từ đó, ta có công thức Bernoulli:

= = , = 0, 1,…, Chú ý: Nhiều khi ta muốn tìm xác suất để trong dãy n phép thử Bernoulli, biến cố xuất hiện với số lần từ đến ; dễ dàng thấy xác suất cần tìm, ký hiệu ), sẽ là:

2 Định lý

16

a) Nếu ( ) không nguyên thì số có khả năng nhất = [( ) ] (ở đây, số [x] là phần nguyên của số x) và thực sự tăng khi tăng từ 0 đến , thực sự giảm khi tăng từ đến

b) Nếu = ( ) là số nguyên thì và là số có khả năng nhất và thực sự tăng (thực sự giảm) khi tăng từ 0 đến – (tương ứng từ đến )

Thật vậy, ta xét tỷ số:

Từ đó, nếu < ( ) thì > và nếu > ( ) thì <

Ví dụ 17: Tỷ lệ mắc bệnh sốt rét ở một vùng cao là 10% Người ta chọn ngẫu nhiên từ vùng trên ra 100 người để khám Tìm xác suất để: a) Trong 100 người được khám có 6 người mắc bệnh sốt rét b) Trong 100 người được khám có 95 người không bị sốt rét c) Trong 100 người được khám có ít nhất 1 người bị sốt rét d) Tìm số người bị sốt rét có khả năng nhất Gọi , , là các biến cố liên quan đến a), b), và c)

=

= = 1 = 1

Ví dụ 18: Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng là 1% Hỏi cần chọn ra (có hoàn lại) tối

thiểu bao nhiêu sản phẩm sao cho xác suất để trong đó có ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ thua 0.95

Gọi là số sản phẩm cần thiết được chọn Lúc đó ta có phép thử Bernoulli với = 0.01

Gọi là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong sản phẩm được lấy ra

17

Ta có: = 1 = 1 0.95

n 298,07

18

Chương II BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1 Biến ngẫu nhiên

ở đây B(R) là - đại số các tập Borel của R Hoặc, một cách hình thức, biến gọi

là biến ngẫu nhiên nếu với x R luôn luôn tồn tại xác suất ( < x), nghĩa là lấy các giá trị với xác suất tương ứng nào đấy

Định lý: Cho : Ω R, khi đó các mệnh đề sau tương đương:

<i> là biến ngẫu nhiên

<ii> {ω: (ω) < x} với x R

<iii>{ω: (ω) x} với x R

<iv>{ω: a (ω) < b} với a b

Chứng minh

Định lý trên được suy ra từ kết quả sau:

Giả sử ⊂ (R) và B(R) = ) ( - đại số sinh bởi );

thì ánh xạ : (Ω, ) (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi ( ) với

Từ đó nếu lấy là một trong các lớp:

= {(- ; x R}

= {(- ; x R}

= {[ a ; a < }

thì định lý được chứng minh

Ω, lúc đó với ( ⊂ R, biến ( cũng là biến ngẫu nhiên

2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được; như vậy tập giá trị của một biến rời rạc sẽ là một dãy số

có thể hữu hạn hoặc vô hạn

Ví dụ: Số khách vào cửa hàng nào đấy trong một khoảng thời gian xác định, số sản phẩm xuất sưởng của nhà máy nào đó hàng tuần, số tai nạn giao thông hàng tuần trên đường quốc lộ 1A,… là các biến rời rạc

Trong ví dụ 2.1.1 trên, biến là biến ngẫu nhiên rời rạc; khi I hữu hạn, được gọi

là biến ngẫu nhiên đơn giản

Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập giá trị của nó là một tập vô hạn không đếm được, tức là một tập lấp kín một khoảng nào đó trên trục số; vậy tập giá trị của biến liên tục sẽ có chứa một đoạn [a,b] ⊂ R hoặc là chính R = (

Ví dụ: Thời gian phục vụ khách của một cửa hàng nào đó, tuổi thọ của một mảng mạch điện tử, chiều cao (trọng lượng) của nam sinh viên lứa tuổi 20,… là các biến ngẫu nhiên liên tục

2.1.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối xác suất

Giả sử là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị với xác suất tương ứng là ( = ) = , = , , … ,… (dãy xác suất này gọi là luật phân bố xác suất rời rạc của )

Lưu ý rằng, trong trường hợp không có quy luật quan hệ, thì luật phân bố của biến rời rạc không thể viết được dưới dạng tường minh trên, nên người ta dùng bảng phân phối xác suất sau để mô tả :

20

Thông thường các giá trị của được xếp theo thứ tự tăng dần

Ví dụ 2: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần

Gọi là số lần mặt sấp xuất hiện, lập bảng phân phối xác suất của

Hãy lập bảng phân phối xác suất của , +

Lưu ý rằng hai biến và gọi là hai biến độc lập với nhau nếu mọi biến cố liên quan đến độc lập với mọi biến cố liên quan tới (có thể xem chi tiết ở mục 3.1 của chương III sau)

a) Biến = chỉ có hai giá trị là 0 và 1

Ta có:

b) Biến = + có các giá trị: 0, 1, 2, 3

21

vì ( = ) = ( + = ) =

= (do , độc lập)

Ta có bảng phân phối xác suất của = + là:

2.1.4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ

Hàm số , R gọi là hàm mật độ xác suất nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: <i> 0, x R

22

2.2 Hàm phân phối xác suất

2.2.1 Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên , ký hiệu F( ),

được định nghĩa bởi:

( ) = ( < ), với R Tức là, hàm phân phối xác suất của tại điểm x là xác suất để biến lấy các giá trị

về bên trái hay lấy các giá trị nhỏ thua

Hình 3 F(x) = P(X < x) chính là diện tích miền kẻ chéo

2.2.2 Các tính chất của hàm phân phối xác suất

1 Hàm phân phối xác suất xác định với x R, 0 (x) 1, x R

( ) = ; (+ ) =

2 ( ) liên tục trái, có giới hạn phải tại R

3 ( ) là hàm không giảm: a b (a) (b)

4 (a < b) = (b) (a), a < b

- Nếu hàm mật độ liên tục tại điểm thì = (

Suy ra từ biểu thức ( ( = và áp dụng định lý về giá trị trung bình

- Nếu hàm phân phối ( ) liên tục tại điểm thì ( = = 0

Dựa trên bảng phân phối xác suất ta có :

24

= ( ) + ( ) + ( )

=

b) Dựa trên hàm mật độ của thì:

(0 1) =

= Hoặc dựa trên hàm phân phối xác suất ta có:

(0 1) = (1) – (0) = – 0 =

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.3.1 Kỳ vọng (giá trị trung bình)

Ví dụ 7: Một gia đình nào đó trong một năm có 9 tháng mỗi tháng tiêu hết 4 triệu

đồng, có 2 tháng mỗi tháng tiêu hết 3 triệu đồng, còn 1 tháng tiêu hết 2 triệu đồng Hỏi 1 tháng trung bình gia đình đó tiêu hết bao nhiêu?

Trung bình số học sẽ là: (4+3+2) = 3 triệu; còn trung bình có trọng lượng là:

4

+ 3

+ 2

3.666 triệu

Rõ ràng trung bình có trọng lượng phản ánh tốt hơn

Ví dụ 8: cho là biến ngẫu nhiên với = 1/3 và = 2/3

ở đây là một hàm số sơ cấp nào đó của

Chứng minh: Ta chỉ chứng minh các tính chất trên trong trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc

<i> và <ii>: Dễ dàng suy ra từ định nghĩa của kỳ vọng

2 Ý nghĩa của phương sai: Phương sai của biến ngẫu nhiên là số đo của mức

độ phân tán (hay tản mát) của các giá trị của xung quanh kỳ vọng càng lớn thì các giá trị của biến ngẫu nhiên càng phân tán xa tâm ; càng bé thì các giá trị của càng tập trung quanh

Trong thực tế phương sai thường hiểu là độ chính xác (của dụng cụ đo, của hội đồng chấm thi, ….), là sự thành thạo tay nghề (của người thợ, của thí nghiệm viên, …), là

sự đồng đều (của lực học, của thu nhập của cán bộ viên chức, ….), là sự đề đặn (của thời gian tự học ở nhà, ở thư viện của sinh viên, …)

Người ta thường ký hiệu phương sai bởi : =

Đặc trưng = được gọi là độ lệch tiêu chuẩn Trong thực tiễn, người ta hay dùng hơn, vì có cùng độ đo với