Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết

Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết

BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

c

Bản quyền thuộc tác giả

Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dưới mọi hình thức phải được sự đồng

ý của chủ sở hữu quyền tác giả

Ấn bản đầu tiên 9/2011

Ấn bản thứ hai 9/2012

Lời nói đầu

Ngày nay xác suất và thống kê toán đã trở thành một khoa học có nhiều ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khoa học và kĩ thuật khác nhau như: vật lí, thiên văn học, hóahọc, sinh học, y học, tâm lí học, kinh tế học

Vì thế mà môn học xác suất và thống kê toán đã trở thành môn bắt buộc cơ sởđược giảng dạy ở hầu hết các trường đại học, cao đẳng cho các sinh viên ngay từ nămnhất hoặc năm hai

Mục đích của tài liệu này là nhằm giúp bạn đọc thông qua việc giải các bài tập(được trình bày dưới nhiều ngữ cảnh, tình huống và trong nhiều lĩnh vực khác nhau)

có thể hiểu đúng bản chất của những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xácsuất và thống kê, và qua đó có thể áp dụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phươngpháp thích hợp cho những tình huống cụ thể trong chuyên nghành mà bạn theo đuổi.Tài liệu gồm có hai phần chính cộng thêm phần phụ lục:

Phần I là những bài tập về lí thuyết xác suất gồm khoảng 200 bài được sưu tầm

và biên soạn gồm bốn chương:

• Chương 1 nói về các khái niệm tối thiểu của lí thuyết tập hợp và giải tích tổ hợp,nhằm chuẩn bị các kiến thức để bạn đọc có thể lĩnh hội và giải các bài tập về sauđược dễ dàng

• Chương 2 dành cho các bài tập về các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suấtchẳng hạn như không gian các biến cố, xác suất cổ điển, xác suất hình học, xácsuất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ,

• Chương 3 trình bày các bài tập về biến ngẫu nhiên và hàm phân phối cùng cácđặc trưng của các biến ngẫu nhiên như kì vọng, phương sai, trung vị,

• Chương 4 trình bày các bài tập về các biến ngẫu nhiên thông dụng như biến ngẫunhiên có phân phối Bernulli, phân phối Poison, phân phối đều, phân phối chuẩn.Phần II là những bài tập thống kê toán học gồm khoảng 70 bài được sưu tầm vàbiên soạn bao gồm ba chương:

• Chương 5 dành cho các bài tập về lí thuyết mẫu, tính toán các đặc trưng củamẫu như trung bình mẫu, phương sai mẫu,

• Chương 6 trình bày các bài tập về lí thuyết ước lượng, chủ yếu là ước lượngkhoảng cho trung bình, tỉ lệ của tổng thể

i

• Chương 7 nói đến các bài tập về lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê

Trong mỗi chương tôi có chia ra thành các mục nhỏ theo từng chuyên đề để cácbạn có thể rèn luyện chuyên sâu và tập trung hơn

Tài liệu gồm những bài tập để rèn luyện kĩ năng tính toán, rèn luyện tư duy vàphương pháp chứng minh cũng như giúp bạn đọc nắm vững và vận dụng các khái niệm

cơ bản về xác suất và thống kê Một số bài tập được đánh dấu (*) là các bài tập khó,thử thách dành cho các sinh viên khá giỏi đã nắm vững và vận dụng sáng tạo các kiếnthức đã học trên lớp

Trong tài liệu này đi kèm các bài tập là các chú thích, hướng dẫn, đáp án tùy theomức độ khó dễ của chúng

Vì khả năng có hạn, chắc chắn tài liệu còn có nhiều thiếu sót, tôi mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc để ấn bản tiếp theo được hoàn thiện hơn

Mùa hè, 2012

Mục lục

1.1 Tập hợp 1

1.2 Giải tích tổ hợp 4

2 Biến cố và xác suất 10 2.1 Biến cố 10

2.2 Xác suất cổ điển 12

2.3 Xác suất hình học 14

2.4 Các công thức tính xác suất cơ bản 14

2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 19

3 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 24 4 Một số phân phối xác suất thông dụng 36 4.1 Phân phối Bernoulli, nhị thức 36

4.2 Phân phối Poisson 41

4.3 Phân phối chuẩn 43

5 Lí thuyết mẫu 46 6 Ước lượng tham số thống kê 49 6.1 Ước lượng trung bình tổng thể 49

6.2 Ước lượng tỉ lệ tổng thể 52

6.3 Tổng hợp 53

7 Kiểm định giả thuyết thống kê 54 7.1 So sánh kì vọng với một số cho trước 54

iii

Bài tập này chỉ ra cách xây dựng một họ các tập rời nhau từ một họ các tập bất kì. 

Bài 1.2 Chứng minh rằng các hệ thức sau đây tương đương nếu A và B là tập hợp con củaΩ:

A ∪ B = Ω, A ⊂ B, B ⊂ A

Hướng dẫn Hãy chứng minh A ∪ B = Ω ⇒ A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A ∪ B = Ω. 

Bài 1.3 Khẳng định sau có đúng hay không: "nếu A, B, C là các tập con của tập Ω sao cho

Chú thích Phép toán 4 ở trên gọi là hiệu đối xứng Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A 4 B,

là tập hợp gồm các phần tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B, không đồng thời thuộc cả A và B. 

Bài 1.11 Cho A, B, C là các tập con của Ω Chứng minh:

Chú thích Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng có cùng

số dư khi chia cho n (tức là a − b chia hết cho n) Kí hiệu là a ≡ b (mod n) Ví dụ: 1 ≡ 3 (mod 2). 

Bài 1.13 (*) Cho Ω là một tập hợp và giả sử rằng R là một tập khác rỗng các tập con của

Ω Ta nói rằng R là một vành các tập con của Ω nếu

(A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∪ B ∈ R và A \ B ∈ R)

(a) Giả sử R là một vành các tập con của Ω Chứng minh rằng ∅ ∈ R

(b) Cho một ví dụ một vành R các tập con của Ω sao cho Ω /∈ R

(c) Gọi R là một tập các tập con của Ω Chứng minh rằng R là một vành nếu và chỉ nếu

(A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∩ B ∈ R và A 4 B ∈ R)

(d) Cho S là một tập các tập con của Ω Giả sử rằng

(A ∈ S và B ∈ S) ⇒ (A ∩ B ∈ S và A \ B ∈ S)

Chứng minh rằng S không nhất thiết là một vành các tập con của Ω

(e) Chứng minh rằng giao của hai vành các tập con của Ω là một vành các tập con của Ω

Hướng dẫn Trong câu (c), sử dụng kết quả câu ( c ) và ( d ) trong bài 1.11 

Bài 1.16 Một lô hàng có 50 sản phẩm

1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 5

(a) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra?

(b) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 5 sản phẩm?

Đáp án (a) 2118760 (b) 254251200. 

Bài 1.17 Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 3 số

(a) có bao nhiêu máy có các chữ số khác nhau?

(b) Có bao nhiêu máy có số 9 ở cuối còn các chữ số còn lại đều khác nhau?

Đáp án (a) 720 (b) 90. 

Bài 1.18 Mã vùng điện thoại của một quốc gia có dạng một dãy gồm 3 số Số đầu tiên làmột số nguyên nằm giữa 2 và 9., số thứ hai là 0 hoặc 1, và số thứ ba là một số nguyên bất

kì từ 1 đến 9

(a) Có thể có tối đa bao nhiêu mã vùng?

(b) Có bao nhiêu mã vùng bắt đầu với số 4?

Đáp án (a) 144 (b) 18 

Bài 1.19 Một hộp có 8 bi đỏ, 6 bi trắng, 4 bi vàng Người ta chọn ra 6 bi từ hộp đó Hỏi

có bao nhiêu cách chọn nếu:

(a) Không yêu cầu gì thêm

(b) Phải có 2 bi đỏ, 2 bi trắng, 2 bi vàng

(c) Có đúng 2 bi vàng

Đáp án (a) 18564 (b) 2520 (c) 6006. 

Bài 1.20 Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ

ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B còn 4 người trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phâncông?

Bài 1.21 Một tổ sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nữ, cần chia thành 4 nhóm đều nhau.Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có 1 nữ?

Bài 1.22 Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu Tìm số cách sắp xếp:

(a) Mỗi toa có 3 hành khách

(b) Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa có 1 hànhkhách

1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 6

Đáp án (a) 369600 (b) 665280. 

Bài 1.23 (a) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng?

(b) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng nếu mỗi nam và mỗi nữ ngồicạnh nhau?

(c) Có bao nhiêu cách xếp nếu 3 nam phải ngồi cạnh nhau?

(d) Có bao nhiêu cách xếp nếu không có hai nam hoặc hai nữ nào được ngồi cạnh nhau?

Đáp án (a) 720 (b) 72 (c) 144 (d) 72. 

Bài 1.24 Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài.Tìm số cách xếp

(a) 6 học sinh vào bàn

(b) 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A, B ngồi cạnh nhau

(c) 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A, B không ngồi cạnh nhau

Đáp án (a) 720 (b) 240 (c) 480. 

Bài 1.25 Năm người A, B, C, D, E sẽ phát biểu trong một hội nghị Có bao nhiêu cách sắpxếp để:

(a) B phát biểu sau A

(b) A phát biểu xong thì đến lượt B

Đáp án (a) 120 (b) 24. 

Bài 1.26 Từ 8 sinh viên nữ và 6 sinh viên nam, một nhóm làm việc gồm 3 nam và 3 nữphải được lập ra Có bao nhiêu cách lập nhóm nếu

(a) 2 trong số các sinh viên nam không chịu làm việc cùng nhau?

(b) 2 trong số các sinh viên nữ không chịu làm việc cùng nhau?

(c) 1 nam và 1 nữ không chịu làm việc cùng nhau?

Đáp án (a) 896 (b) 1000 (c) 910. 

Bài 1.27 Một người có 8 người bạn Người này dự định mời 5 trong số 8 người bạn tham

dự một bữa tiệc liên hoan Có bao nhiêu cách chọn nếu

(a) 2 trong số các người bạn giận nhau và sẽ không tham dự cùng nhau?

(b) 2 trong số các người bạn sẽ chỉ tham dự cùng nhau?

Đáp án (a) 36 (b) 26.

1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 7

Bài 1.28 Xét một lưới các điểm được cho như hình bên dưới Giả sử bắt đầu tại điểm A,

ta có thể đi một bước lên trên hoặc một bước ngang sang phải và tiếp tục như vậy cho đếnkhi đến được điểm B Hỏi có bao nhiêu đường đi từ A đến B?

Hướng dẫn Chú ý rằng để đến B, ta cần đi 4 bước ngang sang phải và 3 bước lên trên. 

Bài 1.29 Trong bài 1.28, có bao nhiêu đường đi từ A đến B qua C như trong hình bêndưới?

Bài 1.31 (*) 8 món quà giống nhau được chia cho 4 bạn

(a) Có bao nhiêu cách chia?

(b) Có bao nhiêu cách chia nếu mỗi bạn nhận ít nhất một món quà?

Đáp án (a) 165 (b) 35 

Bài 1.32 (*) Ta có 20 triệu đồng để đầu tư vào 4 hạng mục Mỗi khoản đầu tư phải là bội

số của 1 triệu đồng và mỗi hạng mục đều yêu cầu một khoản đầu tư tối thiểu nếu ta đầu tưvào đó Các khoảng đầu tư tối thiểu này tương ứng là 2, 2, 3 và 4 triệu đồng Có bao nhiêucách đầu tư nếu ta đầu tư

theo bao nhiêu cách sao cho 3 chữ cái giống nhau không ở gần nhau?

Chú thích Muhammadan, trong tiếng Anh, là một tính từ và có nghĩa là (thuộc/liên quan đến) đạo Hồi. 

Hướng dẫn Sử dụng công thức nhị thức Newton. 

Bài 1.36 Cho m, n là các số nguyên dương Chứng minh rằng

1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 9

Hướng dẫn (a) Sử dụng hệ thức Cn+1k+1= C nk+ C nk+1 (b) Quy nạp. 

Bài 1.38 Chứng minh rằng với các số nguyên dương n, k

Hướng dẫn Xét đạo hàm cấp r của (1 − e t ) n tại t = 0. 

Bài 1.43 Chứng minh rằng

Cn11

1 − C

2 n

Hướng dẫn Tích phân trên [0, 1] hệ thức

n−1

X

k=0

(1 − t)k= [1 − (1 − t)n]t−1. 

(a) Hãy mô tả không gian mẫu.

(b) Trong trường hợp cây bút thứ nhất không được trả lại hộp, hãy mô tả không gian mẫu

Bài 2.2 Khi nào thì có các đẳng thức sau:

Bài 2.3 Một chiếc tàu thủy gồm một bánh lái, 4 nồi hơi, 2 tuốc bin Gọi A, Bi(i =

1, , 4), Cj(j = 1, 2) lần lượt là các sự kiện bánh lái hoạt động tốt, nồi hơi thứ i hoạtđộng tốt, tuốc bin thứ j hoạt động tốt Biết rằng tàu hoạt động tốt khi và chỉ khi bánh lái,

ít nhất 1 nồi hơi và ít nhất một tuốc bin đều hoạt động tốt Gọi D là sự kiện tàu hoạt độngtốt Hãy biểu diễn D và D qua A, Bi, Cj

Bài 2.4 Có 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệu Bi(i = 1, , 4) là biến cố sinh viên thứ i làmbài thi đạt yêu cầu Hãy biểu diễn các biến cố sau đây:

(a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu

(b) Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu

(c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu

10

2.1 BIẾN CỐ 11

(d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu

Bài 2.5 Tung hai con xúc sắc Gọi E là biến cố tổng số nốt là lẻ, F là biến cố xuất hiệnmặt một nốt, và G là biến cố tổng số nốt là 5 Hãy mô tả các biến cố sau EF , E ∪ F , F G,

EFc, và EF G

Đáp án EF = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}; F G = {(1, 4), (4, 1)}; EF G = {(1, 4), (4, 1)}. Hướng dẫn Trước hết hãy viết ra không gian mẫu Ω và các biến cố E, F và G. 

Bài 2.6 Xét phép thử: Gieo một xúc xắc 2 lần Mô tả không gian biến cố sơ cấp ứng vớiphép thử trên?

Gọi A: "Tổng số nốt chia hết cho 3”, B: "Trị tuyệt đối của hiệu số nốt là số chẵn” Biểudiễn A, B?

Bài 2.7 A, B và C thay phiên nhau lần lượt tung một đồng xu Người đầu tiên tung đượcmặt ngửa là người thắng cuộc Không gian mẫu của thí nghiệm này được định nghĩa như sau

S = {1, 01, 001, 0001, , 0000 · · · }

(a) Hãy giải thích không gian mẫu trên

(b) Hãy mô tả các biến cố sau theo cách biểu diễn của S:

(i) A = “A thắng”

(ii) B = “B thắng”

(iii) (A ∪ B)c

Giả sử rằng A tung đầu tiên, sau đó đến B, đến C, rồi quay lại A, tiếp tục như vậy

Bài 2.8 Một hệ thống máy có năm bộ phận Mỗi bộ phận có thể hoạt động hoặc bị hư.Xét một phép thử quan sát tình trạng của các bộ phận này, và kết quả của phép thử đượcghi lại trong một vector (x1, x2, x3, x4, x5), với xi bằng 1 nếu bộ phận i hoạt động và bằng 0nếu bị hư

(a) Có bao nhiêu biến cố sơ cấp trong không gian mẫu của thí ngiệm này?

(b) Giả sử rằng hệ thống hoạt động nếu bộ phận 1 và 2 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận

3 và 4 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận 1, 3 và 5 đều hoạt động Gọi W là biến cố hệthống hoạt động Hãy biểu diễn W

(c) Gọi A là biến cố các bộ phận 4 và 5 đều bị hư A có bao nhiêu biến cố sơ cấp?

(d) Hãy biểu diễn biến cố AW

Đáp án (d) AW = {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}. 

Bài 2.9 Xét một phép thử bao gồm xác định loại công việc lao động–hoặc lao động trí óchoặc lao động chân tay–và nơi sinh–miền Bắc, miền Trung, hoặc miền Nam–của 15 thànhviên thuộc một đội bóng nghiệp dư Hỏi có bao nhiêu biến cố sơ cấp

2.2 XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN 12

(a) trong không gian mẫu?

(b) trong biến cố “có ít nhất một trong các thành viên là lao động trí óc”?

Hướng dẫn Có nhiều hệ đầy đủ các biến cố cho không gian mẫu này Hãy tìm một hệ đơn giản nhất. 

Bài 2.13 Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi Ai là biến cố xảy ra khi số nốt

ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất là i(i = 1, , 6), Bk biến cố xảy ra khi số nốt ở mặt trêncon xúc xắc thứ hai là k(k = 1, , 6)

(a) Hãy mô tả các biến cố A6B6, A3B5

(b) Viết bằng kí hiệu các biến cố:

• A: “hiệu giữa số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai có trị số tuyệt đốibằng ba”

• B: “số nốt ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau”

(c) Hãy chỉ ra một nhóm đầy đủ các biến cố

2.2 Xác suất cổ điển

Bài 2.14 Một nhóm n người xếp ngẫu nhiên thành một hàng dài

(a) Tìm xác suất để 2 người định trước đứng cạnh nhau

(b) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau 2 người

(c) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau r người (0 < r < n − 2)

(d) Xét trường hợp khi họ xếp thành một vòng tròn

Đáp án (a) 2 (b) 2(n−3) (c) 2(n−r−1) (d) Nếu r = n−2 thì P = 1 Nếu r 6= n−2 thì P = 2 

Bài 2.17 Cho một lô hàng gồm n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên

từ lô hàng đó k sản phẩm Tìm xác suất sao cho trong số sản phẩm lấy ra có đúng s sảnphẩm xấu (s < k)

2.3 XÁC SUẤT HÌNH HỌC 14

2.3 Xác suất hình học

Bài 2.21 Một thanh sắt thẳng được bẻ thành ba khúc một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất

để ba khúc đó tạo được thành một tam giác Biết rằng thanh sắt dài l (đơn vị dài.)

Bài 2.22 (* Bài toán Butffon) Trên mặt phẳng có các đường thẳng song song cách đềunhau 2a, gieo ngẫu nhiên một cây kim có độ dài 2l (l < a) Tìm xác suất để cây kim cắt mộtđường thẳng nào đó

Đáp án 2l

Bài 2.23 Trên đường tròn bán kính R có một điểm A cố định, chọn ngẫu nhiên một điểm

B Tìm xác suất để cung AB không quá R

Bài 2.24 Trên đoạn thẳng OA ta gieo một cách ngẫu nhiên hai điểm B, C có tọa độ tươngứng là OB = x, OC = y(y ≥ x) Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dàicủa đoạn OB

2.4 Các công thức tính xác suất cơ bản

Bài 2.25 Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau Hệ thống sẽ hoạt độngnếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độtin cậy của hệ thống là bao nhiêu?

2.4 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 15

Bài 2.27 Cho P (A) = 13, P (B) = 12 và P (A + B) = 34

Tính P (AB), P (A.B), P (A + B), P (AB), P (AB)

Bài 2.28 Tỷ lệ người bị bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, bị bệnh huyết áp là 12%,

bị cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng Tính xác suất để người đó

(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp

(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp

(c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp

(d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp

(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp

Đáp án (a) 0.14 (b) 0.86 (c) 0.93 (d) 0.02 (e) 0.05 Hướng dẫn Gọi

• A là biến cố “nhận được người bị bệnh tim”

• B là biến cố “nhận được người bị bệnh huyết áp”

Ta có: P (A) = 0.09; P (B) = 0.12; P (AB) = 0.07

Biểu diễn các biến cố trong từng câu theo A và B và tính xác suất các biến cố đó. 

Bài 2.29 Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữsố) và bạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn gọi đúng sốđiện thoại này mà không phải thử quá 3 lần Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này

là bao nhiêu ?

Hướng dẫn Gọi A i là biến cố “gọi đúng ở lần thứ i” (i = 1, 2, 3)

Biểu diễn các biến cố cần tìm theo A i và áp dụng các công thức tính xác suất để tìm xác suất của các

Bài 2.30 (*) (a) Cho A, B là hai biến cố độc lập Chứng minh rằng A, B; A, B và A, Bđều là các cặp biến cố độc lập

(b) Cho A1, A2, , Anlà n biến cố độc lập Chứng minh rằng A1, A2, , Ancũng là n biến

cố độc lập Từ đó suy ra rằng nếu xét n biến cố B1, B2, , Bnvới Bi= Ai hoặc Bi= Ai

thì B1, B2, , Bn cũng là n biến cố độc lập

Bài 2.31 Một đợt xổ số phát hành N vé, trong đó có M vé có thưởng Một người mua r

vé (r < N − M ) Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng

2.4 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 16

Bài 2.32 Một người có 3 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung một lồng Một người đếnmua, người bán bắt ngẫu nhiên ra một con Người mua chấp nhận mua con đó

(a) Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái

Người thứ hai đến mua, người bán lại bắt ngẫu nhiên ra một con

(b) Tìm xác suất người thứ hai mua được gà trống, biết rằng người thứ nhất mua được gàmái

(c) Xác suất trên bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứnhất là gà trống hay gà mái?

Đáp án (a) 0.6 (b) 0.5 (c) 0.4 

Bài 2.33 (*) Có một nhóm n sinh viên, mỗi người có một áo mưa giống hệt nhau Mộthôm trời mưa, cả nhóm cùng đến lớp và treo áo ở mắc áo Lúc ra về vì vội vàng mỗi ngườilấy hú họa một cái áo Tính xác suất có ít nhất một sinh viên chọn đúng áo của mình

• A i là biến cố “Sinh viên thứ i nhận đúng áo của mình” (i = 1, , n)

• A là biến cố “Có ít nhất một sinh viên nhận đúng áo của mình”

Biểu diễn A theo A i và áp dụng công thức cộng xác suất. 

Bài 2.34 (*) Một người viết n lá thư và bỏ n lá thư này vào trong n phong bì đã viết sẵnđịa chỉ Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ đúng vào phong bì của nó

Hướng dẫn Tương tự bài 2.33 

Bài 2.35 Ba xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích củamỗi người là 0.6; 0.7; 0.8 Tìm xác suất

(a) chỉ có người thứ hai bắn trúng

Biễu diễn các biến cố cần tìm theo A và áp dụng các công thức tính xác suất.

2.4 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 17

Bài 2.36 Cho hai biến cố xung khắc A và B, sao cho P (A) 6= 0, P (B) 6= 0

Chứng minh rằng A và B phụ thuộc nhau

Hướng dẫn Dùng định nghĩa. 

Bài 2.37 Ba con ngựa a, b, c trong một cuộc đua ngựa Nếu xuất hiện bac có nghĩa là b đếnđích trước, sau đó là a và về cuối là c Khi đó tập hợp tất cả các khả năng xuất hiện là

Ω = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}

Giả sử rằng P [{abc}] = P [{acb}] = 1/18 và bốn khả năng còn lại đều có xác suất xảy ra là2/9 Hơn nữa, ta định nghĩa các biến cố

A = "a đến đích trước b" và B = "a đến đích trước c"

(a) Hai biến cố A và B có tạo thành một hệ đầy đủ của Ω?

(b) Hai biến cố A và B có độc lập nhau?

Đáp án (a) không (b) có. 

Bài 2.38 Có tồn tại hai biến cố xung khắc và độc lập không?

Hướng dẫn Hãy viết ra các định nghĩa hai biến cố xung khắc và hai biến cố độc lập nhau. 

Bài 2.39 Một máy tính điện tử gồm có n bộ phận Xác suất hỏng trong khoảng thời gian

T của bộ phận thứ k bằng pk(k = 1, 2, , n) Nếu dù chỉ một bộ phận bị hỏng thì máy tínhngừng làm việc Tìm xác suất để máy tính ngừng làm việc trong khoảng thời gian T

Đáp án 1 − (1 − p 1 )(1 − p 2 ) · · · (1 − p n ). 

Bài 2.40 Chứng minh rằng nếu

P (A|B) > P (A), thì P (B|A) > P (B)

Bài 2.41 Giả sử P (AB) = 1/4, P (A|B) = 1/8 và P (B) = 1/2 Tính P (A)

Bài 2.42 Biết rằng ta đã nhận được ít nhất một mặt ngửa trong 3 lần tung đồng xu độclập Hỏi xác suất đạt được cả 3 mặt ngửa là bao nhiêu?

Hướng dẫn Áp dụng công thức xác suất có điều kiện. 

Bài 2.43 Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau Biết rằng lần tung thứ nhất được sốnốt chẵn Tính xác suất tổng số nốt hai lần tung bằng 4

Đáp án 1/18

2.4 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN 18

Bài 2.44 Giả sử P (A) = P (B) = 1/4 và P (A|B) = P (B) Tính P (AB)

Bài 2.45 Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi trúng mục tiêu thì ngừng Tìm xác suấtsao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0.2 vàcác lần bắn là độc lập

Hướng dẫn Gọi

• A i là biến cố “Bắn trúng lần thứ i”

• A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6”

Biểu diễn A theo A i và áp dụng các công thức tính xác suất. 

Bài 2.46 Giả sử các biến cố A1, , An độc lập có xác suất tương ứng P (Ak) = pk(k =

1, , n) Tìm xác suất sao cho:

(a) không một biến cố nào trong các biến cố đó xuất hiện

(b) có ít nhất một biến cố trong các biến cố đó xuất hiện

Từ đó suy ra công thức khai triển tích

Bài 2.47 Có ba tiêu chí phổ biến cho việc chọn mua một chiếc xe hơi mới nào đó là A: hộp

số tự động, B: động cơ V6, và C: điều hòa nhiệt độ Dựa trên dữ liệu bán hàng trước đây, ta

có thể giả sử rằng P (A) = 0.7, P (B) = 0.75, P (C) = 0.80, P (A+B) = 0.80, P (A+C) = 0.85,

P (B + C) = 0.90 và P (A + B + C) = 0.95, với P (A) là xác suất người mua bất kì chọn tiêuchí A, v.v Tính xác suất của các biến cố sau:

(a) người mua chọn ít nhất một trong 3 tiêu chí

(b) người mua không chọn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên

(c) người mua chỉ chọn tiêu chí điều hòa nhiệt độ

(d) người mua chọn chính xác một trong 3 tiêu chí

Đáp án (a) 0.95 (b) 0.05 (c) 0.15 (d) 0.3 

Bài 2.48 Giả sử A, B là hai biến cố bất kì Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A và

B như sau:

d(A, B) = P (A 4 B)Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì

d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d

2.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 19

d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)

Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d

2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Bài 2.50 Giả sử P (B|A1) = 1/2, P (B|A2) = 1/4 với A1 và A2 là hai biến cố đồng khảnăng và tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố Tính P (A1|B)

Đáp án 0.391; 0.609 Hướng dẫn Gọi

• A là biến cố “Bi nhận được từ hộp 2 là bi đỏ”

• B là biến cố “Bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 là bi đỏ” 

Bài 2.53 Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá Biết tỷ lệngười bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là30% Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị viêm họng

(a) Tìm xác suất người này hút thuốc lá

(b) Nếu người này không bị viêm họng thì xác suất người này hút thuốc lá là bao nhiêu

Đáp án (a) 0.462 (b) 0.197 Hướng dẫn Gọi

• A là biến cố “Người này hút thuốc”

• B là biến cố “Người này bị viêm họng”

2.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 20

Bài 2.54 Một chiếc taxi gây tai nạn và bỏ chạy khỏi hiện trường vào nửa đêm Trong thànhphố có hai hãng taxi, gọi là taxi Đen và taxi Trắng Ta biết rằng 85% taxi trong thành phố

là Đen và 15% là Trắng Có một nhân chứng lúc tai nạn xảy ra, theo nhân chứng, taxi gây

ra tai nạn là Trắng Một khảo sát về độ tin cậy của nhân chứng đã chỉ ra rằng, dưới các điềukiện tương tự về thời gian, địa điểm, ánh sáng, như lúc xảy ra tai nạn, nhân chứng có khảnăng xác định chính xác màu sắc của một taxi trong 80% trường hợp

(a) Không làm phép toán, bạn nghĩ rằng taxi Đen hay Trắng có khả năng gây ra tai nạn lớnhơn?

(b) Tính xác suất taxi gây tai nạn là Trắng

(c) So sánh đáp án ở hai câu hỏi trên

(d) Hãy khảo sát độ nhạy cảm của đáp án trong câu (b) với các thông tin sau Giả sử rằng

0 ≤ p ≤ 1 và 100p% taxi là Trắng và 100(1 − p)% taxi là Đen Độ tin cậy của nhân chứngvẫn là 80% Chứng minh rằng xác suất taxi Trắng gây tai nạn lớn hơn 0.5 nếu và chỉnếu p > 0.2 Biết rằng nhân chứng nói rằng taxi gây tai nạn là Trắng

(e) Hãy khảo sát độ nhạy cảm của đáp án trong câu (b) với các thông tin sau Giả sử rằng

0 ≤ p ≤ 1 và 100p% taxi là Trắng và 100(1 − p)% taxi là Đen Giả sử rằng 0 ≤ q ≤ 1 và

độ tin cậy của nhân chứng là 100q%, tức là nhân chứng có thể xác định chính xác màucủa một taxi trong 100q% trường hợp Xác định miền bên trong hình vuông

số người thử ra phản ứng dương tính) Hỏi khi một người xét nghiệm bị phản ứng dươngtính, thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu?

Chú thích Đây là một bài toán được 3 nhà toán học Cassels, Shoenberger và Grayboys đem đố 60 sinh viên

và cán bộ y khoa tại Harvard Medical School năm 1978 Kết quả là chỉ có 18% người trả lời đúng. Đáp án ≈ 2% (Điều đó có nghĩa là trong số những người xét nghiệm ra dương tính, có khoảng 98% số người

Bài 2.56 (*) Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định K Xác suất đểmột người đến trung tâm mà có bệnh là 0.8 Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểmđịnh dương tính là 0.9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm định âmtính là 0.5 Tính các xác suất

(a) phép kiểm định là dương tính

2.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 21

(b) phép kiểm định cho kết quả đúng

Đáp án (a) 0.75 (b) 0.8 Hướng dẫn Gọi

• A là biến cố “Người khám có bệnh”

• B là biến cố “Phép kiểm định dương tính” 

Bài 2.57 (*) Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do haitrứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính.Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0.5 Thống

kê cho thấy 34% cặp sinh đôi là trai; 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tínhkhác nhau

(a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật

(b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính

Đáp án (a) 0.28 (b) 0.4375 Hướng dẫn Gọi

• A là biến cố “Nhận được cặp sinh đôi thật”

• B là biến cố “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính” 

Bài 2.58 Có 10 hộp bi, trong đó có 4 hộp loại I, 3 hộp loại II, còn lại là hộp loại III Hộploại I có 3 bi trắng và 5 đỏ, hộp loại II có 4 bi trắng và 6 bi đỏ, hộp loại III có 2 bi trắng và

2 bi đỏ

(a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy hú họa 1 bi Tìm xác suất để được bi đỏ.(b) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy 1 bi thì được bi trắng Tìm xác suất để bi lấy rathuộc loại II

Đáp án (a) 0.58 (b) 0.286 Hướng dẫn Gọi

• A i là biến cố “Lấy được hộp thứ i” (i = 1, 2, 3)

• B là biến cố “Lấy được bi đỏ” 

Bài 2.59 Có hai lô sản phẩm, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II Lôthứ hai có 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên một sảnphẩm Sau đó, từ 2 sản phẩm thu được lấy hú họa ra một sản phẩm Tìm xác suất để sảnphẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại I

Hướng dẫn Gọi

2.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 22

• A i là biến cố “Sản phẩm lấy ra lần đầu ở lô thứ i là loại I” (i = 1, 2)

• B là biến cố “Sản phẩm lấy ra lần sau là loại I” 

Bài 2.60 Có 2 lô gà Lô thứ nhất gồm 15 con, trong đó có 3 con gà trống Lô thứ hai gồm

20 con, trong đó có 4 gà trống Một con từ lô thứ hai nhảy sang lô thứ nhất Sau đó từ lôthứ nhất ta bắt ngẫu nhiên ra một con Tìm xác suất để con gà bắt ra là gà trống

Bài 2.61 Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 25%,máy II sản xuất 30% và máy III sản xuất 45% tổng sản lượng Tỷ lệ phế phẩm của các máylần lượt là 0.1%; 0.2%; 0.4% Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì

(a) được chi tiết phế phẩm

(b) chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất

Đáp án (a) 0.00265 (b) 0.226 

Bài 2.62 Giả sử 3 máy M1, M2, M3 sản xuất lần lượt 500, 1000, 1500 linh kiện mỗi ngàyvới tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 6% và 7% Vào cuối ngày làm việc nào đó, người ta lấymột linh kiện được sản xuất bởi một trong 3 máy trên một cách ngẫu nhiên, kết quả là đượcmột phế phẩm Tìm xác suất linh kiện này được sản xuất bởi máy M3

Bài 2.63 (*) Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗikhẩu là 0.4; 0.7; 0.8 Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là30%, khi trúng 2 phát đạn là 70%, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt.Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát

(a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt

(b) Biết rằng mục tiêu đã bị tiêu diệt Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thànhcông đó

Đáp án (a) 0.6412 (b) 0.8883 Hướng dẫn Gọi

• A i là biến cố “Khẩu pháo thứ i bắn trúng” (i = 1, 2, 3)

• B k là biến cố “Mục tiêu trúng k phát đạn” (k = 0, 1, 2, 3)

• B là biến cố “Mục tiêu bị tiêu diệt”. 

Bài 2.64 (*) Hộp I có 10 linh kiện trong đó có 3 bị hỏng Hộp II có 15 linh kiện trong đó

có 4 bị hỏng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một linh kiện

(a) Tính xác suất để cả 2 linh kiện lấy ra đều hỏng

2.5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 23

(b) Số linh kiện còn lại trong 2 hộp đem bỏ vào hộp III Từ hộp III lấy ngẫu nhiên ra 1 linhkiện Tính xác suất để linh kiện lấy ra từ hộp III bị hỏng

(c) Biết linh kiện lấy ra từ hộp III là hỏng Tính xác suất để 2 linh kiện lấy ra từ hộp I và

II lúc ban đầu là hỏng

Đáp án (a) 0.08 (b) 0.2797 (c) 0.0622 

Bài 2.65 Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y , trong đó thị phần của cửahàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửahàng lần lượt là 70%, 75% và 50% Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và từ đómua một sản phẩm

(a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A

(b) Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được

ở cửa hàng nào là nhiều nhất

Đáp án (a) 0.63 (b) cửa hàng I. 

Bài 2.66 (*) Cho một phép thử ngẫu nhiên với 3 biến cố sơ cấp có thể xảy ra là A, B và

C Giả sử ta tiến hành phép thử vô hạn lần và độc lập nhau Tính theo P (A), P (B) xác suấtbiến cố A xuất hiện trước biến cố B

Đáp án. P (A)+P (B)P (A) 

Chương 3

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Bài 3.1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau:

(c) Tìm hàm phân phối của X

(d) Ta định nghĩa Y = X2+ X + 1 Lập bảng phân phối xác suất của Y

24

(a) Xác định giá trị của k để f (x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X Với k vừa tìmđược tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.

(b) Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X

(c) Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X3

(b) Tìm giá trị của a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1

(c) Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y =√X

π − x

2 với −

r2

π ≤ x ≤

r2πTính P (X < 0)

Hướng dẫn Bài này không cần phải tính tích phân. 

Bài 3.9 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

(b) Hàm phân phối xác suất F (x)

(c) Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X

(d) Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = (X/2) − 1

0 nếu khác

Tính fY(y) với Y = −2 ln X

0 nếu x < 0Tính phương sai của X.

Đáp án 3/4

(a) Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X.

(b) Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X

(c) Đặt Y =√X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y

f Y (y) = FY0(y) =

( 3y3− 3

(a) Tính trung bình và phương sai của X.

(b) Ảnh hưởng của hằng số k lên hình dạng của hàm fX?

Đáp án (πk/2) 1/2 ; 2k(1 − π/4) 

Bài 3.24 Trong một hộp có 20 viên đá, 10 viên loại basalt và 10 viên loại granite Nămviên được rút ra ngẫu nhiên và không hoàn lại để thực hiện các phân tích hóa học Gọi X là

số viên loại basalt trong mẫu

(a) Tìm phân phối xác suất của X

(b) Tính xác suất mẫu chỉ chứa các viên đá cùng loại

0 khi y 6= 0, 1, 2, 3



Bài 3.26 Một thùng đựng 10 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng Ta kiểm tra từng lọ (khônghoàn lại) cho tới khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng Gọi X là số lần kiểm tra Tìm hàmmật độ của X Tính kì vọng và phương sai

Đáp án EX = 5.5, V ar(X) = 8.25