Định thức ma trận vuôn

GV LÊ VĂN HỢP CHƯƠNG III ĐỊNH THỨC MA TRẬN VUÔNG I ĐỊNH THỨC: 1.1/ KHÁI NIỆM: Với A  Mn(R), người ta xác định giá trị thực cA gắn liền với A gọi cA định thức (determinant) A Ta ký hiệu cA = det(A) hay cA = | A | Giá trị det(A) = | A | biểu thị tính khả nghịch không khả nghịch A Nếu | A |  A khả nghịch Nếu | A | = A không khả nghịch 1.2/ ĐỊNH THỨC MA TRẬN CẤP 1, 2, 3: a) Nếu A = ( a )  M1(R) | A | = a a b b) Nếu A =    M2(R) A có đường chéo xuôi ad đường c d  chéo ngược bc Ta đặt | A | = ad  bc a c) Nếu A =  d g  a sau  d g  b e h b e h c a f  d i  g c f   M3(R) ta viết lại cột bên cạnh A i  b e để hình thành đường chéo (3 đường chéo xuôi h aei, bfg, cdh đường chéo ngược ceg, af h, bdi) Ta có qui tắc SARRUS tính định thức A theo đường chéo sau: | A | = (aei + bfg + cdh)  (ceg + af h + bdi) Ví dụ: a) A = (  )  M1(R) có | A | =   8  b) A =    M2(R) có | A | = (8)2  7(5) = 19  5   1  c) A =  2   M3(R) ta viết lại  5 6     1  1  2  2 có    5 6  5   | A | = [ 4.3(6) + (1).1.(5) + 2(2).2 ]  [ 2.3(5) + 4.1.2 + (1)(2)(6) ] = (72 +  8)  (30 +  12) = (75)  (34) =  41 1.3/ KÝ HIỆU: Cho A  M n(R) với n   i, j  n Đặt A(i, j) ma trận A xóa dòng (i) cột (j), nghĩa A(i, j)  M n  1(R) Ta nói A(i, j) ma trận đồng thừa A vị trí (i, j) Đặt CijA = (1)i + j | A(i, j) | Nếu ngộ nhận, ta viết gọn CijA = Cij Ta nói CijA hệ số đồng thừa A vị trí (i, j) Ví dụ:  1  Cho A =  2   M3(R)  5 6    1  1  Ta có A(2,3) =  C23A = C23 = (1)2+ 3| A(2,3) | =  = 3  5  5   1  1 3+ A Ta có A(3,1) =   C31 = C31 = (1) | A(2,3) | = = 7   1.4/ ĐỊNH THỨC MA TRẬN CẤP n (n  2): Cho A =  aij 1i , j n  M n(R) Xét  i, j  n | A | tính theo định thức ma trận đồng thừa [ cấp (n  1) ] A (hình thức đệ qui) Ta tính | A | theo dòng hay cột A | A | tính theo dòng (i) sau : n | A | = ai1 CiA1 + ai2 CiA2 + … + ain CinA = a ik CikA k 1 | A | tính theo cột (j) sau : n | A | = a1j C1Aj + a2j C2Aj + … + anj CnjA = a kj CkjA k 1 Ví dụ:  1  Cho A =  2   M3(R)  5 6    | A | tính theo dòng (1) sau : | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 = = 4(1)1+ 1| A(1,1) |  (1)1+ 2| A(1,2) | + 2(1)1+ 3| A(1,3) | = =4 2 2 + +2 = 4(20) + 17 + 2(11) = 41 6 5 6 5 | A | tính theo cột (2) sau : | A | = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 = = (1)1+ 2| A(1,2) | + 3(1)2+ 2| A(2,2) | + 2(1)3+ 2| A(3,2) | = = 2 4 +3 2 = 17  42 2(8) = 41 5 6 5 6 2 1.5/ NHẬN XÉT: Cho A =  aij 1i , j n  M n(R) Xét  r, s  n Nếu ars = arsCrs = mà không cần tính Crs Như ta tính | A | theo dòng hay cột có nhiều hệ số Ví dụ: Cho A =  aij 1i , j 4  3   2 0    M4(R), = 7 0    8 4  B = A(2,2) =  bij 1i , j 3 7  3  =    M3(R)  8 4    2 D = B(1,3) =    M2(R)  8 4  Ta có | A | = a22 C22A = 2| B | = 2b13 C13B = 2(3)| D | = (12) = 72 ( | A | tính theo dòng (2) | B | tính theo cột (3) ) 1.6/ MỆNH ĐỀ: Cho A =  aij 1i , j n  M n(R) a) Nếu A có dòng (hay cột) toàn hệ số | A | = b) Nếu A có hai dòng (hay hai cột) tỉ lệ với (đặc biệt nhau) | A | = c) Nếu A ma trận tam giác (đặc biệt ma trận đường chéo) | A | = a11a22 ann ( tích hệ số đường chéo chính) d) | At | = | A | Ví dụ: 0 a a b c =0= b x y a 2 b c a 4 = = b x z 9 y z c c a 3 b c = 4(3)(2) = 24 0 0 2 0 6 a Cho A =  d g  b e h c a t  f  A =  b c i   d e f x a y b z c 0 = 9.0.(6) = g h   M3(R) i  t Ta có | A | = (aei + dhc + gbf)  (gec + ahf + dbi) = | A | II ĐỊNH THỨC VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG VÀ CỘT CỦA MA TRẬN: 2.1/ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN CỘT: Cho A  Mm x n(R) Xét  i  j  n Có hình thức biến đổi sơ cấp cột cho ma trận: a) Hoán vị cột (i) với cột (j) Ta ghi (i)’  (j)’ b) Nhân cột (i) với số c  R \ {0} Ta ghi (i)’  c(i)’ c) Thế cột (i) [ cột (i) + c.cột (j) ] với số c  R Ta ghi (i)’  [(i)’ + c(j)’] Các phép biến đổi đảo ngược phép biến đổi sơ cấp cột (i)’  (j)’, (i)’  c1(i)’ (i)’ [(i)’  c(j)’] Ví dụ:  4*  3   A =  1   A1 =  1*  2 6 4   6*    3* 7* 5   qua phép biến đổi (1)’  (3)’ 4  2*  3 6*  3   A =  1   A2 =  0*  2 6 4   2 27*    5  1  qua phép biến đổi (2)’  3(2)’ 6 4   3 14*  3   A =  1   A3 =  15*  2 6 4   2 14*    5   qua phép biến đổi sơ cấp cột 4  (3)’  [ (3)’ + 2(4)’] Các phép biến đổi đảo ngược phép biến đổi sơ cấp cột nói (1)’  (3)’, (2)’  1 (2)’ (3)’  [ (3)’  2(4)’] 2.2/ MỆNH ĐỀ: Cho A  Mn(R) Xét  i  j  n Giả sử A  A’ phép biến đổi sơ cấp (i)  (j) [ (i)’  (j)’] Khi | A’ | =  | A | (đổi dấu) Ví dụ:  1  a) A =  2   M3(R) có | A | = 41  5 6     A  A1 =  5*  2*   2* 1   2* 6*  [(2)  (3)] A  A2 =  1*  6* 3* 1*   1 4*   2*  [(1)’  (3)’] 5  Ta có | A1 | =  | A | = 41 | A2 | =  | A | = 41 a b) A =  d g  c* f* a c   f   B = d g i   b e h i* b*   e*   C = h*   g*  d  a*  i* f c* h*   e b*  [(2)’  (3)’] [(1)  (3)] Ta có | C | =  | B | =  ( | A |) = | A | 2.3/ MỆNH ĐỀ: Cho A  Mn(R) Xét  i  n c  R\ {0} Giả sử A  A’ phép biến đổi sơ cấp (i)  c(i) [ (i)’  c(i)’] Khi | A’ | = c | A | (bội c) Ví dụ:  1  Cho A =  2   M3(R) có | A | = 41  5 6     A  A1 =  6*  5   1 4*  1    9* 3*  [(2)  3(2)] A  A2 =  2 2*  [(3)’  2(3)’]  5 12*  6    Ta có | A1 | = 3| A | = 123 | A2 | = 2| A | = 82 2.4/ HỆ QUẢ: Cho A  M n(R) c  R Khi a) | cA | = cn | A | (vì A  cA cách nhân n dòng A với c) b) Có thể rút thừa số chung dòng (hay cột) A dấu định thức Ví dụ:  1  a) A =  2   M3(R) có | A | = 41 B = 2A =  5 6     8 4   6 2     10 4 12    Ta có | B | = (2)3| A | =  8(41) = 328 b) 28* 40* 76* 12* 1 7 25 10 35 5 3 =4 10* 1 25* 10* 7 35* 19 3 7* 2* 19* 3 1 5* = (4 x 5) 5 2* 7 7* 5 3* 3 cách rút thừa số chung từ dòng (1) cột (2) 2.5/ MỆNH ĐỀ: Cho A  Mn(R) Xét  i  j  n c  R Giả sử A  A’ phép biến đổi sơ cấp (i)  [ (i) + c(j) ] ( [ (i)’  (i)’ + c(j)’] ) Khi | A’ | = | A | (không thay đổi độc lập với c) Ví dụ:  Cho A =  2  5   A  A1 =  2  3*  1    M (R) có | A   6  1   A  A2 = 0* 2*  | = 41  7*  *  11  11*     Ta có 6  1 2 | A1 | = | A | (3)  [ (3) + 2(1) ] | A2 | = | A | (1)’  [ (1)’  3(2)’ ] 2.6/ MỆNH ĐỀ: Cho A  Mn(R) Ta phân tích | A | thành tổng định thức dựa theo dòng ( hay cột ) Chẳng hạn phân tích định thức cấp đây: a a' bb' c c' a d e f = d g h i g b e c a' b' c' f + d e f ( phân tích theo dòng (1) ) h i g h i a d b b' e  e' c a f = d b e c a f + d b' e' c f ( phân tích theo cột (2) ) g h h' i h i h' i g g Ví dụ: Rút gọn định thức sau (trước tính qui tắc SARRUS): a  bx  = d  ex a = d b  ax e  dx c bx f + ex g h  gx i b  ax e  dx hx h  gx b  ax e  dx c f g  hx h  gx i c f ( phân tích theo cột (1) ) i a = d b e c a f + d  ax  dx c bx b f + ex e c bx f + ex g h i  gx i i a = d b e c b a f +0+0x e d c a f = (x + 1) d b e c f g h i i h i g hx h h g ax dx hx  gx g c f ( phân tích theo cột (2) ) i (để ý hoán vị tỉ lệ cột ma trận trên) 2.7/ ÁP DỤNG: Trước tính định thức ma trận, ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng (hay cột) thích hợp để tạo nhiều hệ số dòng (hay cột) Các hệ số tạo dựa vào hệ số 1 có dòng (hay cột) tương ứng dựa vào quan hệ bội số - ước số Nếu sẵn hệ số 1, ta lại dùng phép biến đổi sơ cấp dòng (hay cột) thích hợp để tạo 1 Ví dụ: a) 3/ 2 1/ 3/ / 4 / / 4 / 4/3 1/ 0* 1* = 30 0* 0* 3 3 b) 4 5 1 = 30 1* 1 2 1 = 30 * 2 3 = 2* 2* 13 * = 0* 0* 2 2 3 2* 4* c) 2 20 2* 1 1 4 16 4.4 1* = = 14 / 28 10 8 480 2* 12 / 8 24 2* 5 5 3 2* = 0* 5 6* a* a* a* a* b c d x c d b y d b b = c c z d 2 a* 1 0* 0* xb 0 y c 2d * e) d 2sin a = a(x  b)(y  c)(z  d) zd d) (sin b  cos b)2 2d (sin b  cos b) = 2* 2cos c 5  5 5 = = 30 5 * 0* d* d 4* = 7* 6* 13 = 138 hay 1* =  1 11 11 2 1* cos 2a 1* 5 13 13 = 2 = 138 17 17 0* 3 2 5* 1* cos 2c 657419 656419 1000* = 928308 927308 1000* 2sin a (sin b  cos b)2 = (có cột tỉ lệ ) d * cos 2c 656419 656419 = 1000 = 927308 927308 = 1000(927308  656419) = 270.889.000 III ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN VUÔNG KHẢ NGHỊCH: 3.1/ MỆNH ĐỀ: Cho A  Mn(R) a) A khả nghịch  | A |  b) A không khả nghịch  | A | = Ví dụ: 1 Xét tính khả nghịch A =  a  a2  b b2 c    M (R) (a, b, c tham số thực)   c  1* Ta có | A | = a 1* b 1* 1* c = a a2 b2 c2 = (b  a) (c  a) a2 0* ba 0* ca b2  a c2  a2 = ba b2  a2 ca = c2  a2 1* 1* 0* = (b  a) (c  a) = (b  a) (c  a)(c  b) ba ca ba cb Suy ra: A khả nghịch  | A |   a  b  c  a A không khả nghịch  | A | =  (a = b) hay (b = c) hay (c = a) 3.2/ MỆNH ĐỀ: Giả sử A  Mn(R) A khả nghịch (nghĩa | A |  0) Ta xác định ma trận nghịch đảo A1 phương pháp định thức sau: * Tính hệ số đồng thừa Cij = (1)i+j | A(i, j) | (1  i, j  n) A * Lập ma trận C =  Cij 1i, j  n  Mn(R) t C ( t = transposition) | A|  1  Ví dụ: Cho A =  2   M3(R) có | A | = 41  nên A khả nghịch  5 6    2 1+ 1+ = 20 = 17 C11 = (1) | A(1,1) | = C12 = (1) | A(1,2) | =  6 5 6 * Ta có A1 = 1+ C13 = (1) | A(1,3) | = 2+ C22 = (1) | A(2,2) | = C21 = (1) = 14 5 6 C23 = (1) C32 = (1) 3+ | A(3,1) | = 1 = 7 3+ | A(3,3) | = 1 = 10 2 C31 = (1) C33 = (1) Lập C =  Cij 1i, j 3 1 Ta có A 2 = 11 5 | A(2,1) | =  1 = 2 6 | A(2,3) | =  1 = 3 5 2+ 2+ 3+ | A(3,2) | =  = 8 2  20 17 11  =  2 14 3   M3(R)  7 8 10      20 2 7   20 t 1    = C = 17 14 8  = 17 14    | A| 41  41   3 10   11  11 10  a b 3.3/ GHI CHÚ: Giả sử A =    M2(R) A khả nghịch c d  (nghĩa  = | A | = (ad  bc)  0) Ta tính nhẩm ma trận nghịch đảo A1 cách nhanh chóng sau: A1 =  d b    (hoán vị đường chéo xuôi đổi dấu đường chéo ngược)   c a   9  Ví dụ: A =    M2(R) có | A | = 60  nên A khả nghịch  3  A1 = 60  3   8    3.4/ MỆNH ĐỀ: Cho A, B, A1, A2, , Ak  Mn(R) Khi đó: a) | AB | = | A |.| B | | A1A2 Ak | = | A1 |.| A2 | | Ak | b) Suy | Ak | = | A |k k  (áp dụng A1 = A2 = = Ak = A) c) Nếu A khả nghịch | A1 | = | Ar | = | A |r r  Z | A| Ví dụ: A, B, C  Mn(R) có | A | = 3, | B | = | C | =  Ta có | AB | = | A |.| B | = (3)4 = 12 | ABC | = | A |.| B |.| C | = (3)4(6) = 72 | A4 | = | A |4 = (3)4 = 81, | A1 | = 1 = | A| | A5 | = | A |5 = (3)5 = 1 243 IV QUI TẮC CRAMER: Định thức áp dụng vào việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn 4.1/ KÝ HIỆU: Xét hệ phương trình tuyến tính thực AX = B (có n phương trình  x1    x n ẩn số) A  Mn(R), B  Mn x 1(R) X =         xn  Với  j  n, đặt  = | A | j = | Aj | Aj A xóa cột (j) thay cột B 4.2/ MỆNH ĐỀ: Với ký hiệu trên, a) xj = j  j  n b) Nếu   hệ có nghiệm x j = j   j  n c) Nếu  = k  { 1, 2, … , n }, k  hệ vô nghiệm ( lúc đẳng thức xk = k vô nghĩa ) d) Nếu  = 1 = 2 = … = n = hệ vô nghiệm vô số nghiệm Lúc ta phải giải hệ phương pháp Gauss hay Gauss – Jordan để có kết xác ( lúc qui tắc CRAMER không hiệu lực ) Ví dụ: a) Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số thực m: x1  x2  x3    (m  2) x2  ( m  5) x3  x1   (m  1) x  mx  x  2  Hệ phương trình có dạng AX = B với 2  1  x1   0     A =  2 m  m   , X =  x2  B =   m x   2  m     3   Ta tính , 1 , 2 3 1* 1* 0*  = | A | = 2 m  m  = 2 m m 1 m 0* m 1 = m  m m 1 m 1 = = m  m 3m = (m  1)(m  3) 0* 1 = | A1 | = 2* 2 0* m  m  = 2* 2* 1 0* 2 = | A2 | = 2 2* m 2* 0* 2* = 2 2* m  = 2 m  2m  0* m  = 2 2* m 1 m  0* 3 = | A3 | = 2 m  m 0* m 1 m2 m  = ( dòng (1) tỉ lệ với dòng (3) ) 2m  0* m  2* = 2 m2 2 = 4(3  m) m  2m  m  0* = 2(m  3) m  m 1 * Nếu  m    nên hệ có nghiệm x1 = 1   = , x2 = = x3 = =  1 m   m 1 * Nếu m =  =  1 = nên hệ vô nghiệm * Nếu m =  = = 1 = 2 = 3 , ta giải hệ phương pháp Gauss – Jordan: x1 x2 x3 1 2   2 2    1* 0      0*  0* 2   2 5 2  1* 0      0*  0* 2   0* 1* 6/5 2/5 0* 4 /   2/5   Hệ có vô số nghiệm sau: x3 = a (a  R), x1 =  (6a + 4)/5 x2 = (2  2a)/5 b) Xét hệ phương trình tuyến tính (2 ẩn số x, y m, p, q số thực) x y  m  1  5  m m x p  (1) q y    6 2 x 4   (2) 1 y  3   4 x y 1  (3) 2  0  0 1   (4) 2 10 Hệ (1) :  = m  4m + = (m  2)2 +  > m  R, x = mp + q y = m(p + q)  (5p + 3q) m, p, q  R, hệ có nghiệm x =  x mp  q m( p  q )  (5 p  3q ) = y = y =  m  4m   m  4m  Hệ (2) :  =  y = 21 nên hệ vô nghiệm Hệ (3) :  = = x = y hệ  (2x  3y = 1) Hệ có vô số nghiệm với ẩn tự y  R, x = 1(3y + 1) Hệ (4) :  = = x = y hệ vô nghiệm hệ có phương trình 0x + 0y = 11 ... Ta xác định ma trận nghịch đảo A1 phương pháp định thức sau: * Tính hệ số đồng thừa Cij = (1)i+j | A(i, j) | (1  i, j  n) A * Lập ma trận C =  Cij 1i, j  n  Mn(R) t C ( t = transposition)... C31 = (1) | A(2,3) | = = 7   1.4/ ĐỊNH THỨC MA TRẬN CẤP n (n  2): Cho A =  aij 1i , j n  M n(R) Xét  i, j  n | A | tính theo định thức ma trận đồng thừa [ cấp (n  1) ] A (hình thức... | = b) Nếu A có hai dòng (hay hai cột) tỉ lệ với (đặc biệt nhau) | A | = c) Nếu A ma trận tam giác (đặc biệt ma trận đường chéo) | A | = a11a22 ann ( tích hệ số đường chéo chính) d) | At | =