Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán

VI TÍCH PHÂN 1B Bộ môn Giải Tích, Khoa Toán Tin Học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Tp HCM Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier VI TÍCH PHÂN 1B 2/320 Số thực Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Số thực Tập hợp Số thực Vài qui tắc suy luận Bài tập thực hành qui tắc suy luận đề tài số thực VI TÍCH PHÂN 1B 4/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp Tập hợp Tập hợp dùng để mô tả quần thể đối tượng phân biệt mà tư thể chọn vẹn Cho A tập hợp, ta viết x ∈ A có nghĩa x phần tử viết x ∈ / A có nghĩa x phần tử A Để diễn tả tập hợp người ta dùng dấu móc { .} Trong dấu móc ta liệt kê tất phần tử tập hợp {x1 , x2 , , xn }, nêu lên thuộc tính chung (P) phần tử tập hợp cách viết {x : x thỏa mãn P} Ta quy ước tập rỗng (hay tập trống) tập hợp phần tử Người ta thường ký hiệu tập rỗng ∅ VI TÍCH PHÂN 1B 5/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp Tập hợp trùng Ta nói tập A tập B trùng (hay nhau) viết A = B (đọc A B) chúng có phần tử, tức x ∈ A x ∈ B Khi chúng không trùng ta viết A = B Tập Ta nói A tập B phần tử A phần tử B Khi ta viết A ⊆ B (đọc: A nằm B), B ⊇ A (đọc B chứa A) Nếu A ⊆ B A = B ta nói A tập thật B Quy ước: tập rỗng tập tập Chú ý: Mỗi phần từ x A tạo thành tập {x} A Cần phân biệt phần tử x tập hợp A (viết x ∈ A) với tập {x} tập hợp A (viết {x} ⊆ A) VI TÍCH PHÂN 1B 6/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp Hợp hai tập Hợp hai tập A B ký hiệu A ∪ B (đọc: A hợp B) tập gồm tất phần tử thuộc A thuộc B Nghĩa là, A ∪ B = {x : x ∈ A x ∈ B} Giao hai tập Giao hai tập A B ký hiệu A ∩ B (đọc: A giap B) tập gồm tất phần tử vừa thuộc tập A lại vừa thuộc tập B Vậy A ∩ B = {x : x ∈ A x ∈ B} Phần bù Phần bù A B ký hiệu B \ A tập gồm tất phần tử thuộc tập B không thuộc tập A Đôi người ta gọi B \ A hiệu B A Vậy B \ A = {x : x ∈ b x ∈ / B} VI TÍCH PHÂN 1B 7/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp Tính chất phép tính Cho A, B C tập hợp Khi ta có: Tính kết hợp A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C , A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A Tính phân phối A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A \ (B ∪ C ) = (A \ B) ∩ (A \ C ) A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C ) VI TÍCH PHÂN 1B 8/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Tập hợp Tích tập hợp Cho tập hợp A B Tập hợp tất cặp điểm (a, b), với a ∈ A b ∈ B, lập thành tập hợp gọi tích hai tập A B, ký hiệu A × B Như vậy, phần tử z tập tích A × B biểu diễn dạng z = (a, b), với a ∈ A, b ∈ B, người ta gọi a, b thành phần (hay tọa độ z) VI TÍCH PHÂN 1B 9/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Số thực Ký hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Theo định nghĩa số hữu tỷ số có dạng m n n ∈ N, m ∈ Z (m, n) = (ước số chung lớn m n 1, hay m n hai số nguyên tố nhau) Ta ký hiệu Q tập số hữu tỷ.Những số không biểu diễn dạng gọi số vô tỷ ⇒ Như vậy, tập số thực bao gồm tất số vô tỷ hữu tỷ, ký hiệu R VI TÍCH PHÂN 1B 10/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Khai triển Fourier hàm số xác định [0, π] Khai triển Fourier f xác định [0, π] Thác triển lẻ cách đặt F (x) = f (x) x ∈ [0, π] −f (−x) x ∈ [−π, 0) F hàm số tuần hoàn xác định R, chu kỳ 2π Lưu ý F ≡ f đoạn [0, π] chuỗi Fourier F gồm hàm sin Đặt F (x) = f (x) x ∈ [0, π] x ∈ [−π, 0) F hàm số tuần hoàn xác định R, chu kỳ 2π Lưu ý F ≡ f đoạn [0, π] chuỗi Fourier F có hàm sin cos VI TÍCH PHÂN 1B 306/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Khai triển Fourier hàm số xác định [0, π] Ví dụ Khai triển hàm số f định f (x) = x thành chuỗi gồm hàm sin đoạn [0, π] Sau khảo sát hội tụ chuỗi điểm x ∈ [0, π] thành chuỗi gồm hàm cos đoạn [0, π] Sau khảo sát hội tụ chuỗi điểm x ∈ [0, π] thành chuỗi gồm hàm sin cos đoạn [0, π] Sau khảo sát hội tụ chuỗi điểm x ∈ [0, π] Giải Ta thác triển f thành hàm số F1 tuần hoàn, chu kỳ 2π, lẻ F1 ≡ f [0, π] theo cách (xem hình 4) Do đó, chuỗi Fourier F1 gồm hàm sin với hệ số bk tính quy tắc tích phân phần VI TÍCH PHÂN 1B 307/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Hình: Đồ thị hàm F1 VI TÍCH PHÂN 1B 308/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier π x sin kxdx = (lấy tích phân phần) π  2π   − k chẵn k k = 1, 2, (25) = 2   2(k π − 4) k lẻ k 3π bk = Vậy chuỗi sin F1 ∞ k=1 bk sin kx với bk tính (25) Tiếp theo ta khảo sát hội tụ chuỗi Ta thấy F1 tăng khúc (mπ, mπ + 2π), m ∈ Z m số lẻ; ∀x ∈ R, |F1 (x)| ≤ π Vậy F1 thỏa giả thiết định lý 1, suy chuỗi hàm sin F1 có tổng F1 (x) điểm x ∈ (mπ, mπ + 2π), m ∈ Z m lẻ (vì điểm F1 liên tục) VI TÍCH PHÂN 1B 309/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Ngoài ra, F1 gián đoạn kiểu bước nhảy điểm x0 = (2k − 1)π, k ∈ Z F1 (x0− ) + F1 (x0+ ) = Do chuỗi hội tụ x0 , số hạng chuỗi (∀k ∈ Z, sin kx0 = 0) Nếu xét riêng đoạn [0, π] F1 (x) = f (x) = x , ta có ∞ bk sin kx = k=1 x2 ≤ x < π x = π (bk (25)) (26) Chú thích thêm: Nếu ta xấp xỉ F1 (x) ≈ S7 (x) = bk sin kx ∀x ∈ (−π, π) k=1 với hệ số bk tính (25), hình trình bày đồ thị F1 màu xanh đồ thị S7 màu đỏ VI TÍCH PHÂN 1B 310/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Ta thấy đồ thị S7 theo hình dáng đồ thị F1 , ý muốn nói đồ thị Sn ngày “khít” với đồ thị F1 n → ∞ Hình: Đồ thị hàm F1 ghép chung với đồ thị hàm số S7 = VI TÍCH PHÂN 1B k=1 bk sin kx 311/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Ta thác triển f thành hàm số F2 chẵn, tuần hoàn, chu kỳ 2π F2 ≡ f [0, π] theo cách (xem hình đây) Hình: Đồ thị hàm F2 VI TÍCH PHÂN 1B 312/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Khi hệ số cos tính theo công thức    (−1)k k ≥ π k ak = x cos kxdx =  2π π  k = (27) Lưu ý hàm F2 thỏa giả thiết định lý F2 liên tục toàn R Do chuỗi cos F2 hội tụ F2 R, suy ∀x ∈ [0, π], a0 + ∞ ak cos kx = k=1 π2 + ∞ (−1)k k=1 cos kx = x k2 Chú thích thêm: Nếu ta xấp xỉ π2 F2 (x) ≈ Cn (x) = + n (−1)k k=1 VI TÍCH PHÂN 1B cos kx k2 ∀x ∈ R 313/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier đồ thị Cn ngày “gần sát” đồ thị F2 n → ∞ Hình trình bày đồ thị F2 màu xanh đồ thị C2 màu đỏ Hình: Đồ thị hàm F2 ghép chung với đồ thị hàm số C2 VI TÍCH PHÂN 1B 314/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Nếu ta đặt F hàm số tuần hoàn, chu kỳ 2π, xác định R cho công thức F (x) = x ≤ x ≤ π − π ≤ x < Xem hình dưới, ta thấy F liên tục điểm x = (2m − 1)π, m ∈ Z chuỗi Fourier F hội F điểm x = (2m − 1)π VI TÍCH PHÂN 1B 315/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Theo định lý (Dirichlet) ∀x = (2m − 1)π, m ∈ Z, F (x) = a0 + ∞ (ak cos kx + bk sin kx), k=1 ta chưa tính cụ thể giá trị hệ số ak bk (nếu muốn tính ak bk lưu ý F triệt tiêu đoạn [−π, 0] Do π π ak = π1 x cos kxdx bk = π1 x sin kxdx) Tuy nhiên, ta xem hình sau trình bày đồ thị F (màu xanh) đồ thị tổng riêng phần thứ n = chuỗi (màu đỏ) Nếu n → ∞ đồ thị tổng riêng phần ngày “khít” với đồ thị F trình bày hai đồ thị xấp xỉ VI TÍCH PHÂN 1B 316/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Đồ thị hai hàm số F T7 (x) = ghép chung a0 + k=1 (ak cos kx + bk sin kx) Ta ý thêm x0 = (2m − 1)π chuỗi Fourier F hội tụ 21 [F (x0− ) + F (x0+ )] = 12 (π + 0) = π2 VI TÍCH PHÂN 1B 317/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Sinh viên tự làm tập sau Bài tập Hỏi giống ví dụ với hàm f xác định [0, π] cho f (x) = − x f (x) = x VI TÍCH PHÂN 1B 318/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER CỦA HÀM SỐ XÁC ĐỊNH TRÊN ĐOẠN [a, b] Với hàm số f xác định đoạn [a, b], ta có ba cách liên kết f với hàm F sau Cách F hàm lẻ, tuần hoàn, chu kỳ 2π định ∀t ∈ [0, π], F (t) = f a+ t(b − a) π Khi đó, ta khai triển F (t) thành chuỗi gồm hàm sin kt tính f theo công thức ∀x ∈ [a, b], f (x) = F nghĩa ta thay t = π b−a (x π (x − a) , b−a − a) VI TÍCH PHÂN 1B 319/320 Số thực Chuỗi số Hàm số liên tục Đạo hàm Tích phân Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Cách F hàm chẵn, tuần hoàn, chu kỳ 2π xác định cách Khi đó, ta khai triển F (t) thành chuỗi gồm hàm cos kt tính f theo công thức cách Cách F hàm tuần hoàn, chu kỳ 2π định ∀t ∈ [−π, π], F (t) = f a + b t(b − a) + 2π Khai triển Fourier F (t) theo hàm cos kt sin kt Sau f tính công thức ∀x ∈ [a, b], f (x) = F nghĩa thay t = 2π b−a (x − 2π a+b (x − ) , b−a a+b ) VI TÍCH PHÂN 1B 320/320