V n 1. VECT TRONG KH NG GIAN File word

V n 1. VECT TRONG KH NG GIAN File word tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

GV TRẦN QUỐC NGHĨA Chủ đề VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Vấn đề VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN I Vectơ khơng gian ① Vectơ, giá độ dài vectơ  Vectơ không gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ cịn kí hiệu a , b , c , …  Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại, hai vectơ có giá cắt gọi hai vectơ không phương Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Độ dài vectơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vectơ Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị Kí hiệu độ dài vectơ AB AB Như : AB  AB  BA ② Hai vectơ nhau, đối Cho hai vectơ a , b ( )  Hai vectơ a b gọi chúng có hướng độ dài  a hướng b a b  | a |  | b |  Hai vectơ a gọi đối chúng ngược hướng độ dài Kí hiệu a  b  a hướng b Kí hiệu a  b a  b   | a |  | b | ③ Vectơ – không Vectơ – không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng Kí hiệu: , AA  BB  CC   Vectơ – khơng có phương, hướng tùy ý, có độ dài khơng Vectơ – khơng phương, hướng với vectơ II Phép cộng phép trừ vectơ ① Định nghĩa  Cho a b Trong không gian lấy điểm A tùy ý, dựng AB  a , BC  b Vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b kí hiệu AC  AB  BC  a  b   a b  a   b b a ② Tính chất  Tính chất giao hốn: a  b  b  a  Tính chất kết hợp: a b c  a  b c    a  A B b a b C TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 a 0  0a  a a a   a   a  a   Cộng với :  Cộng với vectơ đối: ③ Các qui tắc  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C ta có: AC  AB  BC Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín Cho n điểm A1 , A2 , A3 , , An –1 , An Ta có: A1 A2  A2 A3  A3 An A2 An-1 A1 A4 A5  An 1 An  A1 An B A10 A9 A7 A C A8  Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ): C B Với ba điểm A , B , C ta có: AC  BC  BA  Qui tắc hình bình hành: A D Với hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD DB  AB  AD  Qui tắc hình hộp D Cho hình hộp ABCD ABCD với AB , AD , AA ba cạnh có chung đỉnh A AC  đường chéo, ta có: A C B AC   AB  AD  AA D' III Phép nhân số với vectơ ① Định nghĩa C' A' B' Cho k  vectơ a  Tích k a vectơ: - Cùng hướng với a k  - Ngược hướng với a k  ② Tính chất Với a , b bất kì; m, n  R , ta có:    m a  b  ma  mb   m  n  a  ma  na  m  na    mn  a  1.a  a ,  1 a  a  0.a  ; k  ③ Điều kiện để hai vectơ phương M Cho hai vectơ a b (  ), k  : a phương b  a  kb Hệ quả: điều kiện để ba điểm A , B , C thẳng hàng AB  k AC ④ Một số tính chất A I B  Tính chất trung điểm Cho đoạn thẳng AB có I trung điểm, ta có: IA  IB  ; IA   IB ; AI  IB  AB A  MA  MB  2MI ( M bất kì)  Tính chất trọng tâm G Cho ABC , G trọng tâm, ta có: GA  GB  GC  C B  MA  MB  MC  3MG ( M bất kì) B  Tính chất hình bình hành O Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có: A D  OA  OB  OC  OD   MA  MB  MC  MD  4MO IV Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng C GV TRẦN QUỐC NGHĨA ① Khái niện đồng phẳng ba vectơ không gian Cho ba vectơ a , b , c ( ) không gian Từ điểm O ta dựng OA  a , OB  b , OC  c Khi xảy hai trường hợp:  Các đường thẳng OA , OB , OC không nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ a , b , c không đồng phẳng  Các đường thẳng OA , OB , OC nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ a , b , c đồng phẳng ② Định nghĩa a Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng b c Trên hình bên, giá vectơ a , b , c song song với mặt B phẳng () nên ba vectơ a , b , c đồng phẳng ③ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng C A O  Định lí Cho ba vectơ a , b , c a b khơng phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng có số m , n cho c  ma  nb A b c c m.a a O B n.b ④ Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng D Định lí pc Nếu ba vectơ a , b , c khơng đồng phẳng với vectơ O d nb d , ta tìm số m , n , p cho d  ma  nb  pc ma A c b a D' Dạng Tính tốn vectơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Quy tắc ba điểm: AB  AC  CB (quy tắc cộng) AB  CB  CA (quy tắc trừ) ② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta ln có: AC  AB  AD ③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD ABCD , ta được: AC '  AB  AD  AA ' ④ Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB , M điển bất kỳ: IA  IB  MA  MB  2MI ⑤ Tính chất trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC , M ta có: GA  GB  GC  MA  MB  MC  3MG ⑥ Tính chất trọng tâm tứ diện: G trọng tâm tứ diện ABCD: TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 GA  GB  GC  GD  M ta có: MA  MB  MC  MD  4MG ⑦ Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng ⑧ Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ d viết dạng d  ma  nb  pc , với m , n , p  Chú ý:  Để biểu diễn vectơ hệ sở ta thường đưa gốc để tính, chẳng hạn vectơ MN gốc O cho trước OM , ON theo hệ sở thuận lợi, từ ta có: MN  ON  OM  Để tính đoạn AB ta bình phương vơ hướng AB  AB hệ sở gồm vectơ đồng phẳng  Để tính góc hai vectơ u v ta tính u , v u.v  cos(u , v )  u v u v B BÀI TẬP MẪU VD 3.1 Cho hình hộp ABCD ABC D Đặt AB  a , AD  b , AA  c Hãy phân tích vectơ AC  , BD  , BD , DB , BC  AD  theo ba vectơ a , b , c VD 3.2 Cho hình lăng trụ ABC ABC Đặt AA '  a , AB  b , AC  c a) Hãy phân tích vectơ BC , BC  theo ba vectơ a , b , c b) Gọi G  trọng tâm tam giác ABC Biểu thị vectơ AG  qua ba vectơ a , b , c GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 3.3 Cho hình tứ diện ABCD Gọi A , B , C  , D trọng tâm tam giác BCD , CDA , DAB , ABC Đặt AA  a , BB  b , CC   c Hãy phân tích vectơ DD  , AB , BC , CD , DA theo ba vectơ a , b , c VD 3.4 Cho hình tứ diện ABCD có AB  c , CD  c , AC  b , BD  b , BC  a , AD  a Tính cosin góc vectơ BC DA VD 3.5 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh BC  a cạnh cịn lại a Tính cosin góc vectơ AB SC TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 VD 3.6 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  SB  SC  b đôi hợp với góc 30 Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G chúng VD 3.7 Cho hình tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M N trung điểm AB CD a) Tính độ dài MN b) Tính góc hai vectơ MN BC GV TRẦN QUỐC NGHĨA Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Sử dụng phép tốn cộng, trừ, nhân vectơ với số, tích vơ hướng ② Sử dụng quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, …  Chú ý: Hai tam giác ABC ABC có trọng tâm AA  BB  CC   B BÀI TẬP MẪU VD 3.8 Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh: a) 2MN  AD  BC  AC  BD b) Điểm G trọng tâm tứ diện ABCD GA  GB  GC  GD  VD 3.9 Cho tứ diện ABCD với G trọng tâm a) Chứng minh AB  AC  AD  AG b) Gọi A trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: AB AA  AC AA  AD AA  VD 3.10 Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi D1 , D2 , D3 điểm đối xứng điểm D qua A, B, C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D1D2 D3 D TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 VD 3.11 Cho hình chóp S ABCD a) Chứng minh ABCD hình bình hành SB  SD  SA  SC b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành SA  SB  SC  SD  4SO Dạng Quan hệ đồng phẳng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Để c/m ba vectơ a , b , c đồng phẳng, ta chứng minh tồn cặp số thực m, n cho: c  ma  nb ② Để chứng minh ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, ta chứng minh: ma  nb  pc   m  n  p  ③ Bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng vectơ AB , AC , AD đồng phẳng B BÀI TẬP MẪU VD 3.12 Chứng minh: a) Nếu có ma  nb  pc  số m, n, p khác vectơ a , b , c đồng phẳng b) Nếu a , b , c ba vectơ không đồng phẳng ma  nb  pc  m  n  p  GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 3.13 Cho hình tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM  3MD cạnh BC lấy điểm N cho NB  3NC Chứng minh ba vectơ AB , DC MN đồng phẳng Dạng Cùng phương song song A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai vectơ AB , AC phương, nghĩa AB  k.AC ; chọn điểm O để chứng minh OC  kOA  tOB , với t  k  ② Để chứng minh hai đường thẳng AB CD song song trùng nhau, ta cần chứng minh hai vectơ AB , CD phương Khi AB , CD phương có điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD ngược lại AB CD hai đường thẳng song song ③ Để chứng minh đường thẳng AB song song nằm mặt phẳng  P  ta chọn điểm C , D thuộc  P  chứng minh AB  k.CD ta lấy  P  hai vectơ a b khơng phương, sau chứng minh AB , a b đồng phẳng có điểm thuộc đường TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 10 thẳng AB mà khơng thuộc  P  đường thẳng AB song song với  P  ④ Đường thẳng AB qua M A, M , B thẳng hàng Đường thẳng AB cắt CD I IA  k.IB , IC  t.ID Đường thẳng AB cắt mp  MNP  I A, I , B thẳng hàng M , N , P , I đồng phẳng B BÀI TẬP MẪU VD 3.14 Cho hai điểm phân biệt A , B điểm O Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm M nằm đường thẳng AB OM  kOA  tOB , k  t  Ngoài k t không phụ thuộc điểm O Với điều kiện k , t điểm M thuộc đoạn thẳng AB ? Điểm M trung điểm đoạn AB ? VD 3.15 Cho tứ diện ABCD , M N điểm thuộc AB CD cho MA  2 MB , ND  2 NC Các điểm I , J , K thuộc AD , MN , BC cho IA  k ID , JM  k JN , KB  k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 3.1 Cho G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh rằng: a) GA  GB  GC  GD  3.2 b) MA  MB  MC  MD  4MG Cho hình chóp S ABCD Gọi O  AC  BD Chứng minh rằng: a) Nếu ABCD hình bình hành SD  SB  SA  SC Điều ngược lại có khơng ? b) ABCD hình bình hành  SA  SB  SC  SD  4SO 3.3 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N theo thứ tự thuộc AB CD cho AM  k AB DN  k DC a) Chứng minh rằng: MN  (1  k ) AD  k.BC GV TRẦN QUỐC NGHĨA 25 VD 3.29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  a) Chứng minh: BC   SAB  CD   SAD  b) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh AH   SBC  c) Kẻ đường cao AK tam giác SAD Chứng minh SC   AHK  d) Trong mặt phẳng  ABCD  kẻ AM  BD M Chứng minh BD   SAM  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 26 VD 3.30 Cho hình chóp A.BCD Gọi O hình chiếu A lên  BCD  Chứng minh AB  AC  AD  OB  OC  OD VD 3.31 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a , ASB  900 , BSC  600 , CSA  1200 Gọi I trung điểm cạnh AC Chứng minh SI   ABC  VD 3.32 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác ABC vng cân A , BC  2CC Gọi I , K trung điểm BC AI  a) Chứng minh BC   ( AAI ) b) Chứng minh AK  ( ABC ) c) Gọi K hình chiếu vng góc A AC Chứng minh B , H , K thẳng hàng GV TRẦN QUỐC NGHĨA 27 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.33 Cho tứ diện ABCD có hai mặt  ABC   BCD  hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC   ADI  b) Gọi AH đường cao ADI , chứng minh AH   BCD  3.34 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng  ABC  a) Chứng minh BC   OAH  , CA   OBH  , AB   OCH  b) Chứng minh H trực tâm ABC 1 1    c) Chứng minh 2 OH OA OB OC d) Chứng minh S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA e) Chứng minh góc ABC nhọn 3.35 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi có SA  SB  SC  SD Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh SO   ABCD  b) Gọi I , J trung điểm AB , BC Chứng minh IJ   SBD  c) Gọi G trọng tâm ACD H cạnh SD cho HD  2HS Cm HG   ABCD  3.36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi có SA  SC SB  SD a) SO   ABCD  b) AC   SBD  BD   SAC  3.37 Trên mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD , S điểm nằm mặt phẳng ( ) cho SA  SC , SB  SD Chứng minh rằng: a) SO  ( ) b) Nếu mặt phẳng  SAB  kẻ SH  AB H AB   SOH  3.38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh SA vng góc với  ABCD  Gọi I K hai điểm lấy hai cạnh SB SD cho a) BD  SC b) IK   SAC  SI SK  Chứng minh: SB SD 3.39 Cho tứ diện SABC có SA   ABC  có ABC vng B Trong mặt phẳng  SAB  kẻ SM SN  Chứng minh rằng: SB SC b) MN   SAB  , từ suy SB  AN AM  SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho a) BC   SAB  AM   SBC  3.40 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  tam giác ABC không vuông Gọi H K trục tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: a) AH , SK BC đồng qui b) SC   BHK  c) HK   SBC  3.41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA vng góc với  ABCD  Gọi H , I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC SD TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 28 a) Chứng minh BC   SAB  , CD   SAD  b) Chứng minh  SAC  mặt trung trực đoạn BD c) Chứng minh AH , AK vng góc với SC Từ suy ba đường thẳng AH , AI , AK nằm mặt phẳng d) Chứng minh  SAC  mặt trung trực đoạn HK Từ suy HK  AI e) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA  AB  a Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tìm góc đường thẳng a mặt phẳng   ta thường dùng cách sau đây:  Cách 1: Bước Tìm O  a  ( ) A a Bước Lấy A  a dựng AH  ( ) H Khi  a, ( )   (a , a ')  AOH Bước Tính số đo góc AOH a'  Chú ý: 00   a, ( )   900   Cách 2: Tính gián hai hướng sau: Hướng 1: Chọn đường thẳng d // a mà góc d   tính    Từ ta có: a, ( )  d , ( )  O H  Hướng 2: Chọn mặt phẳng    //   mà góc a    tính    Từ ta có: a, ( )  a, (  )  B BÀI TẬP MẪU VD 3.33 Cho tứ diện ABCD Tính góc đường thẳng AB  BCD  ĐS: 54044 VD 3.34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Tính góc giữa: a) SC , SD với  ABCD  b) BD với  SAC  ĐS: a) 450; 54044 b) 900 GV TRẦN QUỐC NGHĨA 29 VD 3.35 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớn AD  2a , AB  BC  CD  a hình chiếu vng góc S  ABCD  trung điểm I AD Tam giác SAD tam giác a) Tính góc SC  ABCD  b) Gọi K trung điểm AB , tính góc KI mặt phẳng  SAB  c) Tính góc BD với  SAB  d) Tính góc SA  MBD  ĐS: a) 600 b) arctan(1/2 ) c) arctan d) arcsin( 1/4 ) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 30 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.42 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O ; SA   ABCD  , SA  a Tính góc giữa: a) SO  ABCD  b) SC  SAB  c) BD  SAD  d) SB  SAC  ĐS: a) arctan2 b) 300 c) 450 d) arcsin( /6 ) 3.43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AD  2BC AB  BC  a SA vng góc với  ABCD  SA  a Tính góc giữa: a) SC  SAD  b) SD  SAC  c) SB  SAC  d) AC  SCD  ĐS: a) 300 b) arctan( /2 ) c) arcsin( /6 ) d) 450 3.44 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O ; SA   ABCD  Gọi M , N hình chiếu A lên SB SD a) Chứng minh MN //BD SC   AMN  b) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng  AMN  Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc với c) Nếu cho AB  a SA  a , tính góc  cạnh SC mặt phẳng  ABCD  góc  BD mặt phẳng  SBC  ĐS: c)   600 ,   arcsin( 21 /7 ) 3.45 Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vuông cân A , BC  a , SA  SB  SC  a a) Tính khoảng cách từ S tới mp  ABC  b) Tính góc SA mp  ABC  ĐS: a) a b) cos   3.46 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA   ABCD  , SA  a Tính góc giữa: a) SC với mặt phẳng  ABCD   SAB  b) SB với mặt phẳng  SAC  c) AC với mặt phẳng  SBC  ĐS: a) 600 ; arctan ĐS: b) arctan 7 14 21 c) arctan 14 3.47 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , O tâm đáy SO   ABCD  , M N trung điểm cạnh SA , CD Cho biết MN tạo với đáy  ABCD  góc 60 a) Tính MN SO GV TRẦN QUỐC NGHĨA 31 b) Tính góc MN mp  SBD  ĐS: a) MN  a 15 ; SO  a b) arcsin 15 3.48 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , O tâm đáy, SO   ABCD  , SA tạo với  ABCD   SBC  hai góc H hình chiếu A  SBC  a Tính SA b) Tính tan góc SA với mp  ABCD  a) Chứng minh SO  AH HB  ĐS: a) a/2 b) 3.49 Cho hình lập phương ABCD ABCD a) Tính góc AB BC  ; AC  CD b) IK với ( ABC D) , I , K trung điểm BC , AD 3.50 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh a Tính góc giữa: a) BD ( AADD ) b) BD ( BAC ) /2 ĐS: a) 600 ; 900 b) 450 ĐS: a) arctan( /2 ) b) arctan Dạng Thiết diện qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tìm thiết diện khối đa diện  S  với mặt phẳng  P  ,  P  qua điểm M cho trước vng góc với đường thẳng d cho trước, ta lựa chọn hai cách sau: Cách Dựng mặt phẳng  P  sau:  Dựng hai đường thẳng cắt vng góc với d , có đường qua M  Mặt phẳng xác định hai đường thẳng ( )  Xác định thiết diện theo phương pháp học Cách Nếu có hai đường thẳng cắt hay chéo a , b vng góc với d thì:   P  //a hay  P  chứa a  chuyển dạng qua điểm M song song với a   P  //b hay  P  chứa b  chuyển dạng qua điểm M song song với b B BÀI TẬP MẪU VD 3.36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD Hãy xác định thiết diện của: a) mặt phẳng  P  qua trung điểm I AB vng góc với AC với tứ diện S ABD b) mặt phẳng  Q  qua A , vng góc với SC hình chóp S ABCD TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 32 VD 3.37 Cho tứ diện ABCD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng  P  qua trung điểm I AB vng góc với AB VD 3.38 Tứ diện SABC có ABC tam giác vuông cân đỉnh B , AB  a , SA   ABC  , SA  a Gọi   mặt phẳng qua trung điểm M AB vng góc với SB a) Xác định mặt phẳng   ĐS: b) S  5a2 /32 (đvdt) b)   cắt tứ diện SABC theo thiết diện hình ? tính diện tích thiết diện VD 3.39 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác vng cân, AB  AC  a , AA  a Ba điểm I , K , M trung điểm BC , CC  BI a) Chứng minh BC   AKI  ĐS: b) S  5a2 /32 (đvdt) b) Xác định thiết diện mặt phẳng  P  qua M vng góc với BC cắt hình lăng trụ GV TRẦN QUỐC NGHĨA 33 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.51 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC vuông B , SA   ABC  SA  AB Gọi  P  mặt phẳng qua điểm M thuộc cạnh AB vng góc với SB Hãy xác định thiết diện  P  cắt hình chóp Thiết diện hình ? Thiết diện hình bình hành khơng ? 3.52 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông đáy lớn AD , SA   ABCD  Mặt phẳng   qua M thuộc cạnh SC vng góc với AB Hãy xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng   Thiết diện hình ? 3.53 Cho hình chóp S ABC có ABC tma giác cạnh a SA  SB  SC  b Gọi G trọng tâm ABC a) Chứng minh SG   ABC  Tính SG b) Xét mặt phẳng  P  qua A vng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a b để  P  cắt SC điểm C  nằm S C Khi đó, tính diện tích thiết diện hình chóp S ABC cắt  P  ĐS: a) SG  9b2  3a /3 b) a  b ; S  a 3b  a /(4b) (đvdt) 3.54 Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O Trên đường thẳng vng góc với  ABCD  O , lấy điểm S cho SO  a Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt SB , SC , SD B , C  , D a) Tính AC  Chứng minh C  trung điểm SC ĐS: AC'=a b) Chứng minh BD song song với BD Từ suy cách dựng hai điểm B D /2 Dạng Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Tập hợp điểm thường gặp: Cho điểm A , B , C không thẳng hàng mặt phẳng    Nếu M điểm thỏa mãn AM  BC điểm M nằm mặt phẳng  P  qua A vng góc với BC  Nếu điểm M thỏa mãn : AM    điểm M nằm mặp phẳng  P  qua A vng góc với    Nếu điểm M thỏa mãn MA  MB M nằm mặt phẳng  P  qua trung điểm I TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 34 AB vng góc với AB , mặt phẳng trung trực đoạn AB  Nếu M thỏa mãn MA  MB  MC  MA  MB MA  MC M nằm giao tuyến hai mặt phẳng  P  (mặt phẳng trung trực AB ) mặt phẳng  Q  (mặt phẳng trung trực AC ), giao tuyến trục tam giác ABC O ② Hai tốn quỹ tích: Bài tốn 1: “Quĩ tích hình chiếu H điểm cố định O lên đường thẳng di động d mặt phẳng   quay quanh điểm cố định A ” Gọi B hình chiếu O   d B A  H Ch OH  BH     BH  d  BHA  H    Do OH  d   Quĩ tích đường trịn đường kính BA   Bài tốn 2: “Quĩ tích hình chiếu H điểm cố định A mặt phẳng   di động chứa đường thẳng cố định d ” Bước Xác định mặt phẳng  P  qua A vuông góc với d Tìm a  ( )   P  P B Bước Gọi H hình chiếu vng góc A lên a , H hình chiếu vng góc A  P Bước Gọi E giao điểm d với  P  Trong  P  , ta có AHE  900 nên quĩ tích đường trịn đường kính AE  P  A a  d H E B BÀI TẬP MẪU VD 3.40 Tìm tập hợp điểm M cách mút đoạn thẳng AB VD 3.41 Tìm tập hợp điểm M cách ba đỉnh tma giác ABC VD 3.42 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm: GV TRẦN QUỐC NGHĨA a) M cho MA  BC 35 b) N cho: NA  BC , NB  CA , NC  AB C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.55 Cho hình thang ABCD vng A B , có AD  2a , AB  BC  a Trên tia Ax   ABCD  lấy điểm S Gọi C  , D hình chiếu vng góc A SC SD Chứng minh rằng: a) SBC  SCD  900 b) AD , AC  AB nằm mặt phẳng c) Đường thẳng CD luôn qua điểm cố định S di động Ax 3.56 Cho mặt phẳng   điểm O   A điểm cố định thuộc   cho OA khơng vng góc với   , d đường thẳng di động   ln qua A Gọi M hình chiếu vng góc O d a) Tìm tập hợp điểm M thỏa tính chất nêu b) Tìm vị trí d để độ dài OM lớn 3.57 Cho hình vng ABCD tâm O , S điểm di động tia Ax vuông góc với  ABCD  a) Tìm tập hợp hình chiếu vng góc O đường thẳng SB b) Tìm tập hợp chân đường cao vẽ từ đỉnh D SDC BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 3.58 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA  SB  SC  SD  b hợp với đáy góc 60 Gọi I trung điểm CD Tính góc hợp đường thẳng: a) SC  SBD  b) SI  SAB  ĐS: a) 300 b) 44024 3.59 Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đơi vng góc với AB  a , BC  b , CD  c a) Tính AD b) Chỉ điểm cách A , B , C , D (Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện) c) Tính góc đường thẳng AD với mặt phẳng  BCD   ABC  3.60 Cho hình hộp đứng ABCD ABCD có cạnh AB  a , AD  2a , AA  3a BAD  600 a) Chứng minh AB  ( BDD ) b) Gọi H , K hình chiếu vng góc D BD BC  Chứng minh BC    DHK  3.61 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , SA  a SA   ABCD  a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 36 b) Mặt phẳng   qua A vng góc với cạnh SC cắt SB , SC , SD B , C  , D Chứng minh BD// BD AB  SB 3.62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA  SC , SB  SD Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh: SO   ABCD  b) Gọi d1   SAB    SCD  , d   SBC    SAD  Chứng minh: SO   d1 , d  3.63 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , SA   ABC  a) Trong SAB kẻ đường cao AH Chứng minh BC   SAB  , AH   SBC  b) Trong SAC kẻ đường cao AK Chứng minh SC   AHK  c) Trong ABC kẻ đường cao BM Chứng minh BM //  AHK  3.64 Cho ABC cân A có A  1200 , cạnh BC  a Lấy điểm S mặt phẳng chứa ABC cho SA  a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp SBC a) Chứng minh: AO   SBC  b) Tính AO SBC vuông S ĐS: a/2 3.65 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vuông cạnh a , SA  a SA   ABCD  Gọi AH đường cao SAB SH a) Tính tỉ số độ dài AH SB b) Gọi   mặt phẳng qua A vng góc với SB ,   cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện ĐS: a) SH / SB  / 3, AH  a / b) S  5a2 /18 (đvdt) 3.66 Cho tam giác ABC có đường cao AH  2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  O , lấy điểm S cho OS  2a Gọi I điểm OH , đặt AI  x , a  x  2a Gọi   mặt phẳng qua I vng góc với đường thẳng OH a) Xác định mặt phẳng   b) Dựng thiết diện   với tứ diện SABC Thiết diện hình gì? ĐS: S  (3x  2a)(2a  x) / c) Tính theo a x diện tích thiết diện Với x diện tích thiết diện lớn ? x  4a / 3.67 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , B  600 , SA  a SA   ABCD  Gọi M điểm cạnh SB a) Khi M trung điểm cạnh SB , tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với  ADM  b) Khi M di động cạnh SB , tìm tập hợp hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ADM  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.21 Khẳng định sau sai ? A Nếu đường thẳng d  ( ) d vng góc với hai đường thẳng ( ) B Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm ( ) d  ( ) C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( ) d vng góc với đường thẳng nằm ( ) D Nếu d  ( ) đường thẳng a //( ) d  a GV TRẦN QUỐC NGHĨA 37 TN3.22 Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước? A B C D Vơ số TN3.23 Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước? A B C D Vô số TN3.24 Mệnh đề sau sai ? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba song song D Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song TN3.25 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  ABC vuông B Gọi AH đường cao SAB Khẳng định sau sai ? A SA  BC B AH  BC C AH  AC D AH  SC TN3.26 Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B là: A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vuông góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB TN3.27 Cho tứ diện ABCD có AB  AC DB  DC Khẳng định sau đúng? A AB   ABC  B AC  BD C CD   ABD  D BC  AD TN3.28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA  SC SB =SD Khẳng định sau đây khẳng định sai ? A SO   ABCD  B AC   SBD  C BD   SAC  D CD  AC TN3.29 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC tam giác ABC vuông B Vẽ SH   ABC  , H   ABC  Khẳng định sau khẳng định đúng? A H trùng với trọng tâm tam giác ABC C H trùng với trung điểm AC B H trùng với trực tâm tam giác ABC D H trùng với trung điểm BC TN3.30 Cho hình chóp S ABC có cạnh SA   ABC  đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai ? A CH  SA B CH  SB C CH  AK D AK  SB TN3.31 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC Gọi O hình chiếu S lên mặt đáy ABC Khẳng định sau khẳng định đúng? A O trọng tâm tam giác ABC B O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C O trực tâm tam giác ABC D O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC TN3.32 Cho hình chóp S ABCD có SA   ABC  đáy ABCD hình chữ nhật Gọi O tâm ABC I trung điểm SC Khẳng định sau khẳng định sai ? A BC  SB B  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn BD C IO   ABCD  D Tam giác SCD vuông D TN3.33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SA   ABCD  Gọi I , J , K trung điểm AB, BC SB Khẳng định sau khẳng định sai ? A  IJK  //  SAC  B BD   IJK  C Góc SC BD có số đo 60 D BD   SAC  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 38 TN3.34 Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC , CD đơi vng góc Hãy điểm O cách bốn điểm A, B, C , D A O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C O trung điểm cạnh BD B O trọng tâm tam giác ACD D O trung điểm cạnh AD TN3.35 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  AB  BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H hình chiếu vng góc O lên  ABC  Khẳng định sau đúng? A H trung điểm cạnh AB C H trọng tâm tam giác ABC B H trung điểm cạnh AC D H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC TN3.36 Cho tứ diện ABCD Vẽ AH   BCD  Biết H trực tâm tam giác BCD Khẳng định sau khẳng định ? A AB  CD B AC  BD C AB  CD D CD  BD TN3.37 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng có tâm O , SA   ABCD  Gọi I trung điểm SC Khẳng định sau khẳng định sai ? A IO   ABCD  B  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn BD C BD  SC TN3.38 D SA  SB  SC Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC , BD vng góc với đôi Khẳng định sau khẳng định ? A Góc AC  BCD  góc ACD B Góc AD  ABC  góc ADB C Góc AC  ABD  góc CAB D Góc CD  ABD  góc CBD TN3.39 Cho tam giác ABC vuông cân A BC  a Trên đường thẳng qua A vng góc với ( ABC ) lấy điểm S cho SA  A 300 B 450 a Tính số đo đường thẳng SB  ABC  C 600 D 750 TN3.40 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD  lấy điểm S Biết góc SA  ABCD  có số đo 450 Tính độ dài SO A SO  a B SO  a C SO  a D SO  a TN3.41 Cho hình thoi ABCD có tâm O , BD  4a , AC  2a Lấy điểm S không thuộc  ABCD  cho SO   ABCD  Biết tan SBO  A 30 B 450 Tính số đo góc SC  ABCD  C 60 D 750 TN3.42 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a SA   ABCD  Biết a Tính góc SC  ABCD  A 30 B 450 SA  C 60 D 750 TN3.43 Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SA  SB  SC  SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau khẳng định sai ? GV TRẦN QUỐC NGHĨA 39 A HA  HB  HC  HD B Tứ giác ABCD hình bình hành C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D Các cạnh SA, SB, SC , SD hợp với đáy ABCD góc TN3.44 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên  ABC  trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác đều.Tính số đo góc SA  ABC  A 30 B 450 C 60 D 750 TN3.45 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cạnh huyền BC  a Hình chiếu vng góc S lên  ABC  trùng với trung điểm BC Biết SB  a Tính số đo góc SA  ABC  A 30 B 450 C 60 D 750 ... ph? ?n biệt vu? ?ng góc v? ??i đư? ?ng th? ?ng song song C Hai đư? ?ng th? ?ng ph? ?n biệt vng góc v? ??i đư? ?ng th? ?ng thứ ba song song D Một đư? ?ng th? ?ng mặt ph? ?ng (kh? ?ng chứa đư? ?ng th? ?ng cho) vng góc v? ??i đư? ?ng th? ?ng. .. ④ Vect? ? phư? ?ng đư? ?ng th? ?ng  Vect? ? a  gọi vect? ? phư? ?ng đư? ?ng th? ?ng d giá song song tr? ?ng v? ??i đư? ?ng th? ?ng d  N? ??u a vect? ? phư? ?ng đư? ?ng th? ?ng d k a vect? ? phư? ?ng đư? ?ng th? ?ng d  Một đư? ?ng th? ?ng. ..   b ⓑ N? ??u đư? ?ng th? ?ng mặt ph? ?ng (kh? ?ng chứa đư? ?ng th? ?ng đó) vng góc v? ??i đư? ?ng th? ?ng ch? ?ng song song v? ??i IV Định lí ba đư? ?ng vng góc ① Định nghĩa 7: Phép chiếu song song l? ?n mặt ph? ?ng ( ) theo