Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG CẤP SỐ NHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện: Lê Thị Hạnh Chức v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG CẤP SỐ NHÂN

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Lê Thị Hạnh Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2017

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU

1.1.Lý do chọn đề tài 2

1.2.Mục đích nghiên cứu 3

1.3.Đối tượng nghiên cứu 3

1.4.Phương pháp nghiên cứu 4

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 5

2.1.Cơ sở lí luận 5

2.2 Thực trạng 5

2.2.1 Giới thiệu khái quát về trường 5

2.2.2 Thực trạng trước khi nghiên cứu 6

2.3 Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 7

2.3.2 Biện pháp đã sử dụng 7

2.3.2.1 Bài tập 7

Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát 7

Dạng 2: Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân 12

2.3.2.2 Bài toán vận dụng 14

2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm 14

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.1 Kiến nghị 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạotạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân.Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chươngtrình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dântrí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từchủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chấtngười học Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trườngkết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáodục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, nănglực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp chohọc sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởngtruyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thựchành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học,khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạnsau 2015”

Đào tạo những con người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có nănglực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầuđẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước gắn liền với phát triển nềnkinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngànhgiáo dục nước ta hiện nay Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáodục cần được đổi mới Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổimới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất vàđời sống với vai trò đặc biệt Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoahọc, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn.Môn Toán với vai trò cung cấp kiến thức kỹ năng, phương pháp góp phần xâydựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động trong thời kỳ đổi mớivới việc thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợpvới lao động sản xuất, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xãhội”, cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối quan hệ mậtthiết giữa Toán học và cuộc sống Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vàothực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong các đề thi THPT Quốc Giacủa những năm trước đây của môn Toán chưa đề cập nhiều Đồng thời những

bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn đượctrình bày rất ít trong chương trình Toán phổ thông

Mặt khác, bắt đầu từ năm học 2016-1017 kì thi THPT Quốc gia sử dụnghình thức thi trắc nghiệm cho hầu hết các môn học trong đó có môn Toán thực

chất là một cuộc cách mạng trong đánh giá để thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW

năm 2013 về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, phù hợp với xu thế của thời

đại ngày nay khi kiểm tra, đánh giá trên máy tính và online dần phổ biến trong

kỷ nguyên số Tuy nhiên nó cũng là cái khó khăn trước mắt cho giáo viên dạyToán( vì trước đây các thầy cô đang dạy học sinh theo hướng làm bài tự luận)

Để giúp giáo viên giải quyết khó khăn này Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệucác đề thi minh họa, trong cấu trúc của đề thi đó có nhiều câu về bài toán thực

tế Vào năm học 2017-2018 chương trình thi THPT Quốc Gia gồm cả hai khốilớp 11 và 12 tiến tới nội dung thi toàn cấp Vì vậy, việc tăng cường các bài toáncó nội dung thực tiễn vào quá trình dạy học môn Toán ngay từ lớp 11 năm học2016-2017 là rất cần thiết và có vai trò rất quan trọng trong nhiệm vụ giáo dụccủa nước ta hiện nay

Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn ứng dụngkiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT và có phương pháp tổ chức dạyhọc sinh giải các bài toán này một cách thích hợp thì góp phần gây hứng thútrong học tập củng cố kiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT, thấy được ứngdụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặtchẽ giữa Toán học và thực tiễn

Trong chương trình Toán học 11 chương dãy số, cấp số cộng và cấp sốnhân được phân phối thời gian ít đặc biệt với bài cấp số nhân chỉ có hai tiếtnhưng lại có rất nhiều bài toán thực tế sử dụng phần này để giải Do đó, tôi đã

lựa chọn đề tài:“Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế’’.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Ứng dụng kiến thức cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích lớp

11 để xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tế giúp học sinh củng cố kiếnthức phần cấp số nhân, giải quyết được các bài tập có liên quan, đồng thời gópphần tạo hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh thấy được mối quan hệgiữa Toán học với thực tiễn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tôi là khai thác một số bài toáncó nội dung thực tiễn liên quan đến cấp số nhân trong chương trình Đại số vàGiải tích 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiềuphương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản,thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn họcthuộc lĩnh vực Toán học

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1 Cơ sở lý luận

Toán học có nguồn gốc thực tiễn Toán học là khoa học nghiên cứu về cácquan hệ số lượng, hình dạng và lôgíc trong thế giới khách quan Toán học làkhoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho mộttập hợp bằng một hệ tiên đề Những quan hệ về số lượng được hiểu theo mộtnghĩa rất tổng quát và trừu tượng Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn màđồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàndiện Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng khônggian của thế giới khách quan Toán học có vai trò rất quan trọng và đựợc ứngdụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, côngnghệ, kinh tế, y học, vật lý, khí tượng thủy văn, công nghệ thông tin, khai thácdầu khí, quân sự, kỹ thuật mật mã, thiên văn học, tài chính ngân hàng

Theo Từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩa

với "thực tế") là "tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống con người", với nghĩa động từ “thực tiễn” được hiểu là "những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)" Như vậy, thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác

động của con người nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biếnđổi thực tế nhằm một mục đích nào đó

Vận dụng toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giảiquyết một tình huống thực tế; tức là dùng những công cụ toán học thích hợp đểtác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nàođó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếpnhững yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đã đề ra

2.2 Thực trạng

2.2.1 Giới thiệu khái quát về trường

Trường THPT Đặng Thai Mai được thành lập ngày: 20/08/2001, theo quyếtđịnh số: 2109/QĐ-UB của Chủ tịch UBND Tỉnh Thanh Hoá Trường nằm venquốc lộ 1A, thuộc địa bàn xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh ThanhHóa, nơi đa số phụ huynh học sinh làm nông nghiệp, điều kiện kinh tế còn gặpnhiều khó khăn Ban đầu trường hoạt động theo mô hình trường bán công, chấtlượng đầu vào của học sinh thấp, chủ yếu là học sinh trung bình, yếu Mặc dùngày 31 tháng 5 năm 2010 chủ tịch tỉnh Thanh hóa có quyết định chuyển đổitrường THPT Đặng Thai Mai sang hình thức công lập nhưng chất lượng đầu vàocủa học sinh vẫn còn thấp so với các trường trong huyện

Trong những năm gần đây nhà trường cũng đã có nhiều thành tích nổi bậtnhư: Năm học 2013 – 2014 được UBND Tỉnh Thanh Hóa tặng bằng khen - QĐ

số 3645/QĐ- UBND, ngày 30/10/2014 Năm học 2014 - 2015 đón cờ thi đua củaUBND Tỉnh về đơn vị dẫn đầu, QĐ số 3335/QĐ UBND tỉnh Thanh Hoá ngày1/9/2015, năm học 2015-2016 nhiều cá nhân được công nhận chiến sĩ thi đua cơ

sở và Giám đốc Sở tặng giấy khen

2.2.2 Thực trạng trước khi nghiên cứu

Ứng dụng toán học vào thực tế được coi là vấn đề quan trọng và cần thiếttrong dạy học ở trường phổ thông Tuy nhiên việc rèn luyện vận dụng toán họcvào thực tế cho học sinh hiện nay chưa được đặt đúng mức, chưa đáp ứng đượcyêu cầu cần thiết

Trong thực tế dạy học hiện nay, giáo viên thường chỉ quan tâm chú trọngviệc hoàn thành những kiến thức lý thuyết theo quy định trong chương trìnhsách giáo khoa mà chưa quan tâm đúng mức đến việc liên hệ với thực tiễn nênnhiều học sinh còn lúng túng bỡ trước những bài toán có nội dung thực tế

Giảng dạy Toán “còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giảinhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tế” Việc dạy học Toán ởtrường phổ thông nói chung hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thựchành và ứng dụng toán học vào đời sống Việc khai thác mối liên hệ giữa Toánhọc và thực tế còn yếu

Ở trường tôi với chất lượng đầu vào rất thấp, tư duy tự nhiên đang ở mứctrung bình là chủ yếu nên việc học Toán còn gặp nhiều khó khăn đặc biệt là đốivới bài toán thực tế

Theo tôi nguyên nhân là:

Thứ nhất, sách giáo khoa hiện nay: số lượng bài tập mang nội dung thuầntúy Toán học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học khá nặng khiến cho giáoviên vất vả trong việc hoàn thành kiến thức bài giảng Số lượng bài toán, chấtlượng và quy mô bài toán ứng dụng vào thực tiễn còn rất ít ở các chủ đề mônToán trong giảng dạy

Thứ hai, khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của giáo viêncòn gặp nhiều khó khăn

Từ thực trạng trên tôi nhận thấy cần thiết xây dựng một hệ thống bài toáncó nội dung thực tế và vận dụng vào dạy học Đại số và Giải tích 11nhằm đápứng nguyên lý giáo dục “ học đi đôi với hành”, “lý luận gắn liền với thực tiễn”

2.3 Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Cơ sở lý thuyết

2.3.1.1 Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số

hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân vớimột số không đổi q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu ( )u n là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi

1 *

víi

u  u q n N (1)

Đặc biệt : Khi q 0 thì cấp số nhân có dạng u1, , , , , , 0 0 0 0

Khi q 1 thì cấp số nhân có dạng u u u1, , , , , 1 1 u1

Khi u  thì cấp số nhân có dạng 1 0 0 0 0 0, , , , , , 0

2.3.1.3 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân ( )u với công bội n q 1 Đặt S n u1u2  u n

Bước 1: Khái quát lại những kiến thức lí thuyết cơ bản có liên quan

Bước 2: Đưa ra các bài tập cho các tình huống thực tế điển hình cho từng dạng

và yêu cầu học sinh giải dưới dạng tự luận (có hướng dẫn học sinh dùng máytính bỏ túi)

Bước 3: Đưa ra hệ thống câu hỏi dạng bài tập trắc nghiệm để học sinh vận dụng

Bài 1: Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua

được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích Người đó chỉ xin nhà thưởngcho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứnhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt thóc …cứ như vậy, số

thóc ở ô sau gấp đôi số thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng Tính số hạt thóc

ở ô thứ 8

Hướng dẫn:

Nếu gọi u u u u là số hạt thóc lần lượt trên 1; ; 2 3 64 64ô bàn cờ thì ta có

1 1;u2 2; 3 4; 4 8

u   u  u  nên ta có cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công

bội bằng 2 Từ đó ta sẽ tính được số hạt thóc ở ô thứ 8

Giải

Ta có cấp số nhân có số hạng đầu u11 vµ c«ng béi q2

Số hạt thóc ở ô thứ 8 là: u8 u q1 7 1 2 7 128

Bài 2: Một tế bào của một quần thể trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20

phút lại phân đôi một lần Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành baonhiêu tế bào ?

Hướng dẫn:

Ban đầu ta có một tế bào

Sau một lần phân chia (một chu kỳ 20 phút ), thì tế bào gốc phân chia thành hai

tế bào

Sau hai lần phân chia thì ta có 4 tế bào

…

Giải:

Ta có cấp số nhân có u1 1 vµ q2

Số tế bào nhận được sau mười lần phân chia là u11 u q1 10 1 2 10 1024

Bài 3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày (nghĩa làsau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa) Tính khốilượng còn lại của 20 gam Poloni 210 sau 7314ngày (khoảng sau 20 năm)

Gọi u (gam) là khối lượng còn lại của n 20 gam Poloni 210sau n chu kì bán rã

Ta có 7314 gồm 53chu kì bán rã

Theo đề bài ta có cấp số nhân ( )u với n 1 20 2 10 1

2: vµ c«ng béi

nên

52

15 53

Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với

lãi suất cố định là r trong một năm Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là

B  A  A r A A r Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhân thêm bội số 1 r  Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập thành một cấp số nhân với q 1 r

Gọi B n là số tiền bạn có sau n năm thì : B n A1rn (1)

Bài 4

Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thểthức có thời hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiềnthì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạnnhư kì hạn mà người gửi đã gửi”

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn một tháng vào ngânhàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0 4, %

a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiềnthì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

b) Hỏi sau một năm, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì sốtiền được bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọi u là số tiền người đó rút được sau n n tháng, kể từ ngày gửi (n N

 ).Khi đó theo giả thuyết ta có: u n u n1u n1 ,0 004u n1 ,1 004(víi n2)

Ta thấy ( )u là cấp số nhân có: n

Trong chăn nuôi, thông thường người ta cần giải quyết hai bài toán sau:

+ Tính số lượng gia súc sau mỗi kỳ chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kỳ và số giasúc ban đầu

+ Tính số gia súc đầu kỳ các năm về trước nếu biết số lượng đàn gia súc và tỉ lệtăng đàn hàng năm

Bài 5: Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện A cho thấy ở đây trong nhiều năm

qua, tỉ lệ tăng đàn bò hàng năm là 2% Tính xem, sau một kế hoạch 3 năm, với

số lương đàn bò thống kê được ở huyện này vào ngày 1/1/2015 là 18.000 con thìvới tỉ lệ trên đây đàn bò sẽ đạt đến bao nhiêu con?

Thông thường bài toán sẽ được giải quyết như sau:

Sau một năm đàn bò ở huyện này tăng được là: 18 000 2 x % 360 (con)

Nên tổng số bò sau một năm là 18 000 360 18 360   (con)Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm 18 360 2 x % 367 (con)

Nên tổng số bò sau năm thứ hai là 18 360 367 18 727   (con)Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm 18 727 x % 2 375 (con)

Nên tổng số bò sau năm thứ ba là 18 727 375 19 102   (con)

Bài toán được giải quyết xong Tuy nhiên ta nhận thấy nếu yêu cầu bàitoán là tính số con của đàn bò sau nhiều năm thì cách tính đi từng bước sẽ rất vất

vả, chậm và dễ bị nhầm lẫn Bằng kiến thức về cấp số nhân ta tìm cách tính tổngquát hơn

Gọi u0 là tổng số gia súc thống kê ban đầu; q là tỉ lệ tăng hàng năm và u n

là tổng số đàn gia súc sau n năm phát triển n N *

Ta có :

Số gia súc sau một năm phát triển là : u1 u0 u q u0  01q

Số gia súc sau hai năm phát triển là : u2 u1u q u1  11q u01q2

Số gia súc sau ba năm phát triển là : u3 u2 u q u2  21q u01q3