Phương pháp luyện thi câu hình học không gian trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa và đề thi THPT quốc gia

Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, vềphần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức vàphương pháp giải các dạng bài tập hình học khôn

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 32.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 42.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 5

A Đi tìm thể tích khối chóp và khối lăng trụ 5

B Đi tìm khoảng cách của một số bài toán hình học không gian 6

Vấn đề 1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 6Vấn đề 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 8Vấn đề 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 24

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

Từ tình hình thực tế qua việc cho học sinh tham gia hai kỳ thi hàngnăm, đó là kỳ thi Học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa môn Toán bậc THPT và kỳ thiTHPT Quốc Gia Tôi thấy câu hình học không gian trong các đề thi này là mộtcâu rất quan trọng mà học sinh chỉ cần nắm chắc kiến thức cơ bản và có tư duyhình học không gian là có thể làm được Hơn thế nữa đây không phải là câu ởmức độ vận dụng cao mà theo tôi nó chỉ ở mức độ điểm thứ 14/20 đối với đề thiHSG Tỉnh Thanh Hóa và điểm 7/10 đối với đề thi THPT Quốc Gia Thậm chícâu hình học không gian trong mỗi đề thi thường có hai ý, một ý liên quan tínhthể tích chỉ ở mức độ thông hiểu và một ý liên quan đến góc và khoảng cách ởmúc độ vận dụng thấp nên hoàn toàn có thể ôn tập để học sinh có khả năng làmđược Cho dù nhiều Giáo viên và học sinh quan niệm câu hình học không giantrong đề thi là câu khó nên có tâm lí sợ, bởi kiến thức để làm câu hình họckhông gian trong đề thi là tương đối rộng, cần tổng hợp được kiến thức củachương 2, chương 3 Hình học 11 và chương 1, chương 2 Hình học 12 với có thểlàm được Trên thực tế chưa có tài liệu nào viết về phương pháp luyện thi câuhình học không gian tổng hợp này Chính vì thế qua thực tế giảng dạy và nhiềunăm luyện thi liên tục tôi mạnh dạn viết ra đề tài này với mong muốn, đúc rút lạikinh nghiệm của mình và một phần nào giúp học sinh học toán và giáo viên dạytoán có thêm tài liệu để tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập

Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính,phẩm chất của con người lao động mới là môn học hình học không gian

Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ mộtvai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩnăng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩmchất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phêphán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11, 12 rất

e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếutính thực tế Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, vềphần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức vàphương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian Qua nhiều năm giảngdạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các emtiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tậpcủa học sinh ngày được nâng lên Do đây là phần nội dung kiến thức mới nênnhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiêncứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với họcsinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinhthường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung vàmôn hình học không gian nói riêng

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việcgiải quyết các bài toán trong hai kỳ thi nói trên

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các

phương pháp thành một chuyên đề: “Phương pháp luyện thi câu hình học

không gian trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa và đề thi THPT Quốc Gia ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh tự tin hơn khi tiếp cận với câu hình học không gian trong các

đề thi và giúp công việc giảng dạy hiệu quả hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu :

- Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm làhọc sinh trường THPT Thường Xuân 3

Giá trị sử dụng của đề tài.

- Đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy luyện thimôn Toán lớp 12 ở các trường THPT miền núi

- Dùng cho học sinh tự nghiên cứu, học tập môn Toán trong trường phổthông có hiệu quả hơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp khái quát hoá các kinh nghiệm luyện thi môn Toán THPT

và kinh nghiệm giảng dạy trong những năm qua ở trường Phương pháp này cònđược thực hiện thông qua công tác dự giờ thăm lớp của các đồng nghiệp

- Phương pháp thực nghiệm: Thực hiện kiểm tra đánh giá ở các lớp khối

12 tại trường THPT Thường Xuân 3 và thông qua các kỳ thi của Trường, Tỉnh

và Bộ GD&ĐT

- Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học; tổng hợp

so sánh, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồngnghiệp

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khi giải một bài toán về hình học không gian trong các đề thi, ta phải đọc

kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, … Ta cần phải chú ý đến cácyếu tố khác : Vẽ hình như thế tốt chưa? Cần xác định thêm các yếu tố nào trênhình không? Để giải quyết vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức nàoliên quan đến bài toán, ….có như thế mới giúp ta giải quyết được nhiều bài toán

mà không gặp khó khăn

Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thôngđang được thực hiện Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làmtrung tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề Người dạy là người hướngdẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học

Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”,một lời khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khốichuyên toán ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu củaphương pháp tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiềuloại đối tượng” Tôi cũng đồng tình với lời khẳng định và bài viết của thầy mà

điều này tôi cũng đã từng trăn trở Vai trò của người thầy (cô) giáo trực tiếpgiảng dạy môn toán chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải bàitoán “Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ” thầy “Phan Đức Chính”(Trường Đại học Tổng hợp) đã viết “Có thể nói rằng sự linh hoạt trong suy nghĩ

là một điều kiện cần thiết để đạt được kết quả tốt trong việc học toán”.Bên cạnh

đó việc vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thuộc chương trình môn họccùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu cũng là vấn đềquan tâm của GS “Trần Tuấn Điệp” (Trường ĐHBK Hà Nội)

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào

tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đờisống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó vớikiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở

môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từngdạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đínhgiúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bàitoán hình học không gian trong các đề thi

“Phương pháp luyện thi câu hình học không gian trong đề thi học sinh

giỏi tỉnh Thanh hóa và đề thi THPT Quốc Gia ” Cũng đã được đề cập đến

nhưng còn lẻ tẻ chưa phổ biến rộng rải, chưa kết hợp chặt chẽ hơn nữa là chưaphổ biến rộng rải trong quá trình giảng dạy Do đó để sử dụng vấn đề này cònnhiều bất cập, không đồng bộ Tôi đã quyết định viết ra đề tài này mong rằnggiúp các em nhạy bén trong việc học toán Từ đó nhằm rèn luyện kỹ năng vàphẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người và làm tốt câuhình học không gian trong các đề thi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán

về hình học không gian các em học sinh không biết vẽ hình, còn lúng túng,không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải Trong khi

đó câu hình học không gian trong các đề thi lại yêu cầu kiến thức rất tổng hợp.Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgichoặc không làm được bài tập liên quan đến giải câu hình học không gian trongcác đề thi

Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinhthường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trítưởng tượng không gian tốt; Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học cáckhái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất

của hình học phẳng cho hình không gian; Một số bài toán không gian thì cácmối liên hệ giữa giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túngtrong việc định hướng cách giải; Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các emchưa xác định đúng động cơ học tập

Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một giải pháp nhằm giúphọc sinh tự tin hơn trong việc ôn tập cũng như làm bài thi đối với câu hình họckhông gian trong các đề thi

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề

BIỆN PHÁP CHUNG

Biện pháp 1 : Tạo mối quan hệ gần gũi, niềm tin giữa thầy và trò

Biện pháp 2: Phải gây hứng thú cho học sinh ngay từ phần mở đầu bài học,phần giới thiệu nội dung

Biện pháp 3: Trong quá trình giảng dạy giáo viên phải biết phát huy tính tíchcực, chủ động, sáng tạo, khả năng tư duy và liên kết kiến thức của học sinhnhằm gây hứng thú học tập cho các em

Biện pháp 4: Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học

Biện pháp 5: Trong quá trình giảng dạy cần đưa vào một số trò chơi vừa nângcao hiệu quả ôn tập, vừa tạo hứng thú cho học sinh

Biện pháp 6: GV phải biết sử dụng phương tiện dạy học như một yếu tố gâyxúc cảm

Biện pháp 7: Đánh giá thực tế ứng dụng trong các đề thi

Biện pháp 8: Chỉ ra kết quả và tầm quan trọng của nội dung luyện thi

bài cho , phải tính được diện tích của mặt đáy và chiều cao của hình Việc

tính diện tích đáy có thể dể dàng nhưng việc xác định được đường cao và tính

độ dài đường cao của hình đôi khi lại là một vấn đề khó đối với thí sinh

- Do những yêu cầu trên, với những kinh nghiệm được rút ra từ những năm

giảng dạy môn Toán , tôi xin giới thiệu các phương pháp “Xác định đường cao

hình chóp và hình lăng trụ từ đó tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ”

nhằm trao đổi với các đồng nghiệp và hy vọng nội dung này có thể giúp cho họcsinh có được kinh nghiệm để giải tốt bài toán nêu trên trong các kì thi, thườngđạt được một nữa số điểm của câu hình học không gian trong các đề thi:

Trường hợp 1 : Đường cao của hình chóp S.A1A2…An ( hoặc hình lăng trụ ) đã

Trường hợp 2 : Hình chóp có đỉnh S nằm trên đường thẳng d và d vuông góc

với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp

Trường hợp 3 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng đang vuông góc với

Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng

(P) , (Q) và hai mặt phẳng này cùng vuông góc với

Trường hợp 5 :

+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc

Trường hợp 6 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy

Trường hợp 7 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một

góc

Trường hợp 8:Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc

B ĐI TÌM KHOẢNG CÁCH CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ( Phương pháp và dẫn chứng cụ thể)

Trong chương trình toán THPT, hình học không gian luôn là mảng kiếnthức khó đối với học sinh, nhất là học sinh có lực học trung bình và yếu Các bàitoán tính khoảng cách trong hình học không gian lại càng khó đối với học sinh.Trong quá trình học, các em luôn đặt câu hỏi tại sao lại kẻ thêm các đường phụnhư vậy Và khi câu hỏi đó của các em không được trả lời thì sự tiếp thu của các

em có phần hạn chế Việc làm bài của các em mang tính rập khuôn, máy móc.Chính vì vậy tôi giới thiệu nội dung này mong rằng sẽ trả lời được câu hỏi trêncủa các em Đây là một tài liệu nhỏ để các em và các thầy cô đồng nghiệp thamkhảo

Các dạng toán và phương pháp giải:

Vấn đề 1: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a,

ABCD IO

SA IO

ABCD SA

ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=a 2

Tam giác SAC vuông tại A, AK là đường cao

3

6

) , ( 1

1

1

2 2

2 2 2

2

2

a AC SA

AC SA AK

SC A d AC SA

c) Trong (ICM) dựng IH  MC (H thuộc CM)

Do đó IH = d(I,CM) Ta có: CM IOH CM OH

IO CM

IH CM

Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD Tam giác MHO đồng dạng tamgiác MNC nên:

5 2

MC

CN OM OH MC

OM CN

,

OH IO IH CM

- IH nằm trong (ICM) chứa I và CM Nhưng đối với tam giác ICM ta lại

có rất ít thông tin về nó Vậy làm theo hướng như câu b), ta dễ đi vào ngõ cụthoặc phải tính toán phức tạp

- Vậy ta đi theo hướng là xác định mặt phẳng chứa I và vuông góc với

CM tại H, mặt phẳng cần tìm đó là (IOH)

- Tam giác IOH vuông tại O, biết IO = a/2, OH chưa có nhưng ta có thểtính được nhờ vào hai tam giác đồng dạng là MHO và MNC

Ví dụ 2: Cho hình chóp OABC với AB=7, BC = 5, CA = 8,OA= 4 Tínhkhoảng cách từ O đến đường thẳng BC

Bài giải:

Dựng OH  BC => OH= d(O,BC) Ta có: BC OAH BC AH

OA BC OH BC

Diện tích tam giác ABC có: S = p(p a)(p b)(p c)  10 3

AH là đường cao của tam giác ABC nên 2  4 3

BC

S AH

- Ta lại để ý: mặt phẳng (OAH) chứa O và vuông góc BC tại H Tam giácOAH vuông tại O, đã biết cạnh OA, cạnh AH ta tính được nhờ đã có diệntích tam giác ABC

Vấn đề 2: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

* Phương pháp: Cách xác định hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P):

- Xác định (hoặc dựng) (Q) chứa M và vuông góc với (P)

- Xác định   (P ) (Q)

- Từ M hạ MH   (H  )

Qua cách dựng trên ta được H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).Chú ý rằng các bước trên chỉ là cách xác định (cách dựng) hình chiếu vuông góccủa M lên (P), khi dựng xong ta phải có bước chứng minh MH  (P) Khi đó,việc tính khoảng cách từ M đến (P) ta đưa về bài toán tính độ dài đoạn MHtrong (Q) Thông thường, việc tính MH ta chú ý các điều sau:

- MH nằm trong tam giác vuông, ta sử dụng định lí Pytago, công thức tínhđường cao tam giác vuông, tỉ số lượng giác

- MH nằm trong tam giác đã biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh đó

ta dùng định lí Cosin trong tam giác

- MH nằm trong một tam giác mà tam giác này lại đồng dạng với tam giáckhác, khi đó ta lập tỉ số tương ứng thích hợp giữa hai tam giác trên

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA  ( ABCD), SA

AB BC

)) ( , ( )

(SBC AM d A SBC AM

Để ý là A thuộc đt SA vuông góc với BD, nên ta dựng mp (SAI) chứa A

và vuông góc BD, mặt phẳng này cũng vuông góc (SBD) Giao tuyến của 2mpnày là đt SI Vậy để tìm hình chiếu của A trên (SBD), ta dựng AH vuông góc SI

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB)

vuông góc với đáy, SA = SA = 2a tính khoảng cách:

a) S nằm trong (SAB) vuông góc (ABCD), và giao tuyến của 2 mp này là

AB Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm AB Do đó H là hình chiếu của Slên (ABCD)

b) Điểm I nằm trong (ABCD) vuông góc (SHC), giao tuyến 2 mp này là

HC Vậy muốn tìm hình chiếu của I lên (SHC) ta chỉ cần dựng IK vuông gócCH

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh

bằng a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB)

Giải:

\S.ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD) Qua O kẻ OI vuông góc với AB

 (SOI)  (SAB) Kẻ OH  SI  OH  (SAB)  d(O;(SAB)) = OH

2 Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của

SC đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:

- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng BT 2 để suy ra d(K;(SAB)) Ta có OK∥(SAB)  d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a

Ví dụ 4 ( ĐH_D_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a,

<SBC=30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a

Ví dụ 5 (ĐH_D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,góc

ABC=góc BAD = 90, BA=CB=a, AD=2a Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a Gọi H là hình chiếu của A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến

mp(SCD) theo a

Giải:

Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD

 ACD vuông tại C hay AC  CD

CH

A

S

CD

A

IO

Nối AB cắt CD tại K  B là trung điểm của AK

 = =  d(B;(SCD)) =

= = = =  d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) =

Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1

điểm đến mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế nào?

Ví dụ 6 (ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là

hình chử nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng

60 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD)

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD  A’O  (ABCD)

Gọi E là trung điểm của AD  OE  AD, A’E  AD

 A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD)  A’EO = 60

 A’O = OE.tanA’EO = tan60 =

Ta có B’C ∥(A’BD)  d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD))

Kẻ CH  BD tại H  CH  (A’BD)  d(C;(A’BD)) = CH

Mà = + =  CH =

Vậy d(B’;(A’BD)) =

Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó

đến mp() chứa đường cao của khối chóp như sau:

Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp() và mặt đáy

Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách

từ điểm M đến mp(), bằng cách kẻ MH  d tại M  MH  ()  d(M;()) = MH

Bước 3: Sử dụng BT 2 để suy ra

Vấn đề 3: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

*Phương pháp:

TH 1: a,b là hai đường thẳng chéo nhau, và ab ta làm như sau:

- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B

- Trong (P), dựng BA vuông góc a tại A khi đó AB sẽ là đoạn vuônggóc chung của a,b

H

C

DA