Trường điện từ - electromagnetic field theory

trường điện từ (còn gọi là trường Maxwell) là một trong những trường của vật lý học. Nó là một dạng vật chất đặc trưng cho tương tác giữa các hạt mang điện

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Số tiết: 45

Tài liệu tham khảo

1 Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006

2 Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995

3 Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

z y

x i a b a b j a b a b k a b a b

b b b

a a a

k j i

3 Gradient

U k y

U j x

U i U gradU

a x

a a a

a k x

a z

a j z

a y

a i a a a

z y x

k j i a a

z y x

e     

Công thức Euler

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai là ph ng trình b c nh t đ i v i hàm ch a ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ối với hàm chưa ới hàm chưa ư

bi t và các đ o hàm c a nó: ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó: ủa nó:

) x ( f y a y a

Trong đó:

f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai thu n nh t có d ng: ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ạo hàm của nó:

0 y a y a

Định lí 1 Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2

Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi yy    xx const

2

1  , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính

Định lí 2 Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi

hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy

Định lí 3 Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai là ph ng trình b c nh t đ i v i hàm ch a bi t ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ối với hàm chưa ới hàm chưa ư ết và các đạo hàm của nó:

và các đ o hàm c a nó: ạo hàm của nó: ủa nó:

) x ( f y a y a

Trong đó:

Định lí 1 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệmriêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3)

Định lí 2. Cho ph ng trình không thu n nh t ư ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

) x ( f ) x ( f y a y a

Nếu y1 (x) là nghi m riêng c a ph ng trình ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

) x ( f y a y a

và y2 (x) là nghi m riêng c a ph ng trình ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

) x ( f y a y a

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai thu n nh t có d ng: ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ạo hàm của nó:

0 qy y

k 2





phân (7) Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

x 1 2 1

2

1 C e e

C y y

  x

2 1

x 2

x 1

1 1

1 C xe C C x e e

C

- k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 =  + i và k 2 =  - i

Hai nghi m riêng c a ph ng trình vi phân (7) là ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

 

 i  x x i x 2

x i x x i 1

e e e

y

e e e

x sin i x cos e

x i

x i

x sin i x cos e e e y

x x i x 2

x x i x 1

y y y

x cos e 2

y y y

x 2 1 2

x 2 1 1

tg y

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1 Vector cường độ điện trường

 i n tr ng đ c đ c tr ng b i l c tác d ng lên đi n tích đ t trong đi n tr ng ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ư ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ụng lên điện tích đặt trong điện trường ệm riêng của phương trình ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

E q

q

F E





bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó

 L c tác d ng gi a 2 đt đi m Q và q ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ụng lên điện tích đặt trong điện trường ữa 2 đt điểm Q và q ểm Q và q

2 0

0 r

r 4

Qq F

-  - độ điện thẩm tương đối

i 0 i 0

n 1 i i

r

rq4

1E

- các vector đơn vị chỉ phương

 Trong th c t h th ng là dây m nh, m t ph ng hay kh i hình h c, do đó: ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ết và các đạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ẳng hay khối hình học, do đó: ối với hàm chưa ọc, do đó:







l 2 l 0 l

r

r dl 4

1 E

r

r dS 4

1 E

r

r dV 4

1 E



1.1.2 Vector điện cảm

 Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

r

r l Id 4

B





1.1.4 Vector cường độ từ trường

0

B H







1.2 Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân

 C ng đ dòng đi n I ch y qua m t S đ t vuông góc v i nó b ng l ng đi n tích q ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ệm riêng của phương trình ạo hàm của nó: ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ới hàm chưa ằng lượng điện tích q ư ệm riêng của phương trình chuy n qua m t S trong m t đ n v th i gian ểm Q và q ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ộc lập từ trường vì ịnh luật Lorentz ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

 ểm Q và q mô t đ y đ s chuy n đ ng c a các h t mang đi n trong môi tr ng d n đi n, ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ần nhất có dạng: ủa nó: ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ểm Q và q ộc lập từ trường vì ủa nó: ạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ẫn có chiều dài l ệm riêng của phương trình

ng i ta đ a ra khái ni m m t đ dòng đi n ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ệm riêng của phương trình ậc nhất đối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ệm riêng của phương trình

E v v e n

S

S d E S

d J dI

EL )(

L ( ES EdS

I S

dạng thông thường của định luật Ohm

Vì E và d S cùng chi u, đ t ều dài l ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

RL

1



 - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m

1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích

không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòngđiện

tích giảm đi từ thể tích V đó

 Gi s trong th tích V đ c bao quanh b i m t S, ta có ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ử nghiệm riêng của (7) có dạng ểm Q và q ư ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường



 V dV

sau th i gian dt l ng đi n tích trong V gi m đi dQ ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ệm riêng của phương trình ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng

d dt

dV t S

S

dV t dV

J S

1.3 Các đặc trưng cơ bản của môi trường

B H



gọi là các phương trình vật chất

 , ,   cường độ trường : môi trường tuyến tính

 , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

 , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trườngkhông đẳng hướng Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng

số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trườngkhông đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

 , ,   vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính

Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến

 > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

 >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim cácnguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từlớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần

điện hay điện môi

Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0

1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

 Thông lượng của vector điện cảm D qua m t S là đ i l ng vô h ng đ c xác đ nh ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ạo hàm của nó: ư ưới hàm chưa ư ịnh luật Lorentz

b i tích phân ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

t o ra qua m t kín S, ta có ạo hàm của nó: ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

4

S d , D cos dS q S d D

d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của D qua toàn m t kín S là ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

q d 4

q S d D

toàn mặt S dưới một góc khối nào đó Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'(có giao tuyến là AB) Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu Khi đó thông

D 

S

S d

r



q

 Xét hệ điện tích điểm q1, q2, , qn đ t trong m t kín S, ta có ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

d D S

đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

hoặc dương

tính theo

Q dV S

d D

V S

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Gauss đối với điện trường

Ostrogradski-Nguyên lý liên tục của từ thông

dòng điện hay nam châm Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số

0 S d B S

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông Đây là một phươngtrình cơ bản của trường điện từ

1.5 Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này

là chiều của dòng điện cảm ứng đó

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiệnnhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặtcủa điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vìđường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làmcho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vìhoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượngđiện !)

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đ ng cong kín đ t o thành dòng đi n thì ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ểm Q và q ạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình công ph i khác 0, có ngh a là ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ĩa là

0 l d E q l



và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời giancũng tạo ra một điện trường xoáy

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo đ nh lu t c m ng đi n t c a Faraday, s c đi n đ ng c m ng xh trong m t ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ủa nó: ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ộc lập từ trường vì ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ộc lập từ trường vì vòng dây kim lo i kín v tr s b ng t c đ bi n thiên c a t thông đi qua di n tích c a vòng ạo hàm của nó: ều dài l ịnh luật Lorentz ối với hàm chưa ằng lượng điện tích q ối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ết và các đạo hàm của nó: ủa nó: ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ủa nó: dây

dt d

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điệncảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông 





 S S d

S

t

B S

d dt

B d S

d B dt

d dt

S d t

B l

Theo gi i tích vector (công th c Green-Stock) ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có



S l

S d E l

B E

1.6 Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trườngxoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Đểđảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwellđưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từtrường

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong khônggian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường H d c theo m t đ ng cong kín b t kì ọc, do đó: ộc lập từ trường vì ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

b ng t ng đ i s các dòng đi n đi qua di n tích bao b i đ ng cong này ằng lượng điện tích q ổng quát của phương trình vi phân (7) là ạo hàm của nó: ối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ệm riêng của phương trình ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

I I l

d

1

i il

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.



S l

S d J l d

H #  

(1.42)Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trườngđiện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

C n c vào đ nh lu t c m ng đi n t c a Faraday và đ nh lu t dòng đi n toàn ph n c a % ức Euler ta có ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ủa nó: ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ần nhất có dạng: ủa nó: Ampere, Maxwell b ng lý thuy t đã ch ra s tác d ng t ng h gi a đt và t tr ng cùng v i ằng lượng điện tích q ết và các đạo hàm của nó: ỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ụng lên điện tích đặt trong điện trường ư ỗ giữa đt và từ trường cùng với ữa 2 đt điểm Q và q ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ới hàm chưa

vi c đ a ra khái ni m m i v dòng đi n d ch Dòng đi n d ch có m t đ đ c tính theo công ệm riêng của phương trình ư ệm riêng của phương trình ới hàm chưa ều dài l ệm riêng của phương trình ịnh luật Lorentz ệm riêng của phương trình ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ư

th c ức Euler ta có

dP 0 0

t

P t

E t

qua tụ Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì gi a 2 b n t ữa 2 đt điểm Q và q ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ụng lên điện tích đặt trong điện trường không t n t i đi n tích chuy n đ ng và có giá tr : ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình ểm Q và q ộc lập từ trường vì ịnh luật Lorentz

t

E S

d E

d

S





Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1

Dòng đi n d n ch y trong dây d n n i v i t có giá tr b ng ệm riêng của phương trình ẫn có chiều dài l ạo hàm của nó: ẫn có chiều dài l ối với hàm chưa ới hàm chưa ụng lên điện tích đặt trong điện trường ịnh luật Lorentz ằng lượng điện tích q

t

E S S d E dt

d dt

dq

S 0

l

S d t

D S

d J l d

-q

E 

~

S d t

D J l

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo gi i tích vector (công th c Green-Stock) ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có



S l

S d H l

D J

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra

từ trường như dòng điện dẫn

1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo rađiện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từtrường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại

và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành mộttrường thống nhất gọi là trường điện từ

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa cáchạt mang điện

S d t

B l

D ng vi phân ạo hàm của nó:

t

B E

S d t

D J l

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn.

- Định lí OG đối với điện trường

D ng tích phân ạo hàm của nó:

q S d D

dV D S

- Định lí OG đối với từ trường

D ng tích phân ạo hàm của nó:

0 S d B

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các ph ng trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) g i là h ph ng trình Maxwell ư ọc, do đó: ệm riêng của phương trình ư

B E

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian.Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lậpvới môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồnngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho

.lu t Ohm d ng vi phân: ậc nhất đối với hàm chưa ạo hàm của nó:

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại

những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường

điện từ tự do Khi có ngu n ngoài h ph ng trình Maxwell đ c vi t l i ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ệm riêng của phương trình ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

t

B E

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

 Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện

0 H

xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không

t

H J









Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì

sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồnđiện), mà không cần phải giải cả hai

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

di n d i d ng ph c, ta có ễn dưới dạng phức, ta có ưới hàm chưa ạo hàm của nó: ức Euler ta có

V i: ới hàm chưa

t i

my i

mx m

E H







1.8 Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián

đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn

dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nócho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quảtrường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0 Trên bề mặt S của vật dẫn lítưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn Khi đó ta được

Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành

1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

2

2

H 2

E

- Định lí Umov Poynting

ã ch ng minh đ c ức Euler ta có ư

O t S

P P dt

dW S

dV E dV

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổnhao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng củavector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó.

1.10 Định lí nghiệm duy nhất

Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãncác điều kiện sau

1 Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t0 = 0 t i b t kì ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ạo hàm của nó: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

đi m nào trong vùng không gian kh o sát hay còn g i là đi u ki n ban đ u, t c là ểm Q và q ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ọc, do đó: ều dài l ệm riêng của phương trình ần nhất có dạng: ức Euler ta có

x , y , z , 0E

x , y , z , 0H

mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < hay còn gọi là điều kiện biên

Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào

đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn cácđiều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất

m 1 m 2 E m 2 m 1 E m

1 m 2 m

2 m 1

H J H J

E J E J H

E H

D ng tích phân ạo hàm của nó:

1 m 2 E m 2 m 1 E

S

m 1 m 2 m

2 m 1

dV H J H J E

J E J

dS H

E H

J E J

V

m 1 m 2 M m 2 m 1 M m

1 m 2 E m 2 m 1

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân

miền chung Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V  chia thành 3 miền V1, V2 và mi n còn l i Tuy nhiên tích phân trong mi n còn l i b ng 0 vì ều dài l ạo hàm của nó: ều dài l ạo hàm của nó: ằng lượng điện tích q

mi n này không t n t i ngu n cho nên ph ng trình (1.80) đ c vi t l i ều dài l ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ạo hàm của nó: ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

m 1 m 2 M m 1 m 2 E 1

V

m 2 m 1 M m 2 m 1

Tham s hoá các đ i l ng c a tr ng đi n t ối với hàm chưa ạo hàm của nó: ư ủa nó: ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

6 6 5

5 4 4 M 3 3 E 2 2 1

1 a ; E a ; J a ; J a l a t a

4 3 2

1 ; a ; a ; a

cường độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian

6

5 ; a

1 [A/m], A/m], 2 [A/m], V/m], 3 [A/m], A/m2], 4 [A/m], V/m2], 5 [A/m], m], 6 [A/m], s]

Thay các đ i l ng trong (1.82) vào các ph ng trình Maxwell sau đây ạo hàm của nó: ư ư

E J

2 2 1

a

a c c

a

a c a c a

5 1 5

Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ

2 hệ đồng dạng điện động với nhau

1.13 Trường tĩnh điện

Tr ng t nh đi n đ c t o ra b i các đi n tích đ ng yên và không bi n đ i theo th i gian, ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ĩa là ệm riêng của phương trình ư ạo hàm của nó: ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ệm riêng của phương trình ức Euler ta có ết và các đạo hàm của nó: ổng quát của phương trình vi phân (7) là ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

ta có h ph ng trình Maxwell nh sau ệm riêng của phương trình ư ư

H

B 0Nhận xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điệntrường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện

tồn tại bên trong vật dẫn

Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường

Lưu ý:

-  là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường

-  là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường

- ’ là độ điện thẩm tuyệt đối

- ’ là độ từ thẩm tuyệt đối

H ph ng trình Maxwell trong môi tr ng đ ng nh t và đ ng h ng có c ngu n ệm riêng của phương trình ư ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ẳng hay khối hình học, do đó: ưới hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

đi n và t ngoài ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

t

E J







và từ nên khó giải Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn

L y rot 2 v c a các ph ng trình (1) và (2) ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ết và các đạo hàm của nó: ủa nó: ư

t J

E H

H

E E

0 M 0 E 0

2

2 0 0

t

J 1

J t

H t

J t

E t

E

0 0

M 0

2

2 0 0 2

phải là các hàm rất phức tạp Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn

0 t

H

2 0 0 2

E

2 0 0 2

2.2 Phương trình cho các thế điện động

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và

từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau

2.2.1 Đối với nguồn điện

(2.1) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

t

E J

và (2.8) tương ứng

E 0

E 0 0 E 2

E 2 0 0 E

t A

t

0 0

E 2 0 0 E

E 2 0 0 E 2

2.2.2 Đối với nguồn từ

E  







M M

M 2 0 0 M

M 2 0 0 M 2

0 0

Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện vànguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và

A A

hệ phương trình Maxwell đơn giản hơn Đây chính là ưu điểm của phương phápdùng các thế điện động

2.2.3 Đối với trường điều hoà

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc

 thì các ph ng trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) vi t d i d ng biên đ ph c ư ết và các đạo hàm của nó: ưới hàm chưa ạo hàm của nó: ộc lập từ trường vì ức Euler ta có

nh sau ư

Em 0 2

Em 2 2 Em

t

A k A

Em

2 2 Em 2

Mm 2 2 Mm

t

A k A

Mm

2 2 Mm 2

(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trìnhHemholtz

Em Mm

0

A i

A A

2.3 Phương trình sóng cho các vector Hertz

2.3.1 Vector Hertz điện

Đặt

t

0 0 E

E

t

t

A E

Tìm E ?

Thay (2.22) vào (2.12) ta đ c ư

E 0 2

E 2 0 0 E

2 0

0 2

E 2 0 0 E

t t

E 2 0 0 E

t t

E 0 2

E 2 0 0 E

E J dt

E

Phương trình (2.29) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

0

E 2

E 2 0 0 E

t

M 0 2

M 2 0 0 M

t t

M 0 2

M 2 0 0 M

M J dt

M

(2.37) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

0

M 2

M 2 0 0 M

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ

chung khác 0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từngang TM

khác 0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE

Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trườngđiện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ

2.4 Tìm nghiệm của phương trình sóng

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình

của E, M, AE và AM , ph ng trình d’ Alambert đ c vi t l i ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

g

t 2

2 0 0 2

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V

Nghi m c a (2.42) b ng t ng nghi m c a ph ng trình sóng thu n nh t không v ệm riêng của phương trình ủa nó: ằng lượng điện tích q ổng quát của phương trình vi phân (7) là ệm riêng của phương trình ủa nó: ư ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ết và các đạo hàm của nó:

ph i và nghi m riêng c a ph ng trình sóng thu n nh t có v ph i, t c là tìm nghi m c a ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ệm riêng của phương trình ủa nó: ư ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ết và các đạo hàm của nó: ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ủa nó:

ph ng trình sau ư

0

t 2

2 0 0 2

1 r r

2

2 2

2

0 t

2 0 0 2

r t

Suy ra

r v

r t f r

v

r t

1 v





các hàm tuỳ ý

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng  nguồn

i u ki n b c x t i vô cùng: ều dài l ệm riêng của phương trình ức Euler ta có ạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

0 E ik t

E r lim

H r lim

V y ậc nhất đối với hàm chưa

r v

r t

phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng

g 4

1 v

r t

Nh v y, nghi m c a ph ng trình sóng d’ Alambert là ư ậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

v

r t r g 4

1 t r

(2.53)

Nh n xét: tr ng th i đi m t t i v trí quan sát b ng giá tr c a ngu n th i đi m t’ ậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ểm Q và q ạo hàm của nó: ịnh luật Lorentz ằng lượng điện tích q ịnh luật Lorentz ủa nó: ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ểm Q và q

s m h n t m t kho ng th i gian là ới hàm chưa ộc lập từ trường vì ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

E 0

r v

r t r J 4 t r A

M 0

r v

r t r J 4 t r A

i ikr m v r t i

g v

r t

v

r t

r t i Mm

v

r t

e t , r g 4

1 t ,

0

r

e t r J 4 t r A



ikr M

0

r

e t , r J 4 t , r A



2.5 Trường điện từ của lưỡng cực điện

Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản củaanten

Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng

điện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài

Để đơn giản ta có giả thiết như sau

- đặt trong điện môi lí tưởng:  = 0; ,  = const

- l << , l là chiều dài của lưỡng cực điện và  là bước sóng của trường

2.5.1 Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện

Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục

t i m t i

m e k J Se I

Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện

Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Slnên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz Thế

ikr m 0 l

ikr m 0 V

ikr m 0 Em

r 4

l I k dl r

e I 4 k dV r

e J 4 k A

Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của

dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên

khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trườngđều bằng r.

Trong h to đ c u ta có công th c ệm riêng của phương trình ạo hàm của nó: ộc lập từ trường vì ần nhất có dạng: ức Euler ta có

Khi đó (2.64) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

r r 4

le I

ikr m 0 Em

r r

e 4

l I A

1

ikr m

Em 0

1 4

l I H

ikr m

0 m

T h ph ng trình Maxwell không ngu n đi n tích ta có ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ư ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ệm riêng của phương trình

m 0

ik k r

1 cos

r

ik r

1 r 2

r

e i 4

l I H

i

1 E

2 2 0 2

0

ikr 0

m m

0 m

Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu Vận tốc

Ta có ph ng trình c a m t đ ng pha là ư ủa nó: ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ẳng hay khối hình học, do đó:

d = dt – kdr = 0

Và

k dt

kr t cos kr

1 kr t sin 1 r k

1 sin

r 4

lk I E

kr t cos kr

1 kr t sin r k

1 cos r 2

lk I E

kr t sin kr t cos kr

1 sin r 4

lk I H

r

2 2 0

2 m

2 2 0

2 m r

bậc cao so với kr1 và đ l ch pha kr ta có ộc lập từ trường vì ệm riêng của phương trình

t sin sin r 4

l I E

t sin cos r 2

l I E

t cos sin r 4

l I H

3 0 m

3 0

m r

2 m

điện ở vùng gần chủ yếu là của dao động xung quanh nguồn, không mang tính

r 2

l I kr t sin sin r 4

lk I E

kr t sin sin r 2

l I kr t sin sin r 4

lk I H

0

0 m

0

2 m

m m

đồng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector

xạ vào trong không gian Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ

bằng 0 theo phương của lưỡng cực điện  = 0

I