TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 2

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1. Vector cường độ điện trường • Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường EqF rr = (1.1) Hay: q F E r r = (1.2) • Cđđt E r tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó • Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q 2 0 0 r r 4 Qq F r r πεε = (1.3) - m/F10.854,8 12 0 − =ε - hằng số điện - ε - độ điện thẩm tương đối - 0 r r - vector đơn vị chỉ phương • Hệ đt điểm n21 q, .,q,q ∑∑ == πεε == n 1i 2 i i0i 0 n 1i i r rq 4 1 EE r rr (1.4) i0 r r - các vector đơn vị chỉ phương • Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó: ∫ ρ πεε = l 2 l 0 l r r dl 4 1 E r r (1.5) ∫ ρ πεε = S 2 S 0 S r r dS 4 1 E r r (1.6) ∫ ρ πεε = V 2 V 0 V r r dV 4 1 E r r (1.7) 1.1.2. Vector điện cảm • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện cảm D r ED 0 rr εε= (1.8) 1.1.3. Vector từ cảm • Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz BvqF r r r ×= (1.9) • Từ trường do phần tử dòng điện lId r tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL ( ) rlId r4 Bd 2 0 r r r × π μμ = (1.10) - m/H10.257,110.4 67 0 −− =π=μ - hằng số từ - μ - độ từ thẩm tương đối • Từ trường của dây dẫn có chiều dài l ∫ × π μμ = l 2 0 r rlId 4 B r r r (1.11) 1.1.4. Vector cường độ từ trường • Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường H r 0 B H μμ = r r (1.12) 1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân • Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian dt dq I −= (1.13) Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm • Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện EvvenJ 0 r rr r σ=ρ== (1.14) dạng vi phân của định luật Ohm - n 0 - mật độ hạt điện có điện tích e - ρ - mật độ điện khối - v r - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện - σ - điện dẫn suất • Dòng điện qua mặt S được tính theo ∫∫∫ σ=== SSS SdESdJdII r r r r (1.15) • Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có (lưu ý: áp dụng c/t S = L 2 và LS L R ρ =ρ= ) R U LU)EL)(L(ESEdSI S =σ=σ=σ=σ= ∫ (1.16) dạng thông thường của định luật Ohm Vì E r và Sd r cùng chiều, đặt RL 1 =σ (1.17) σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích • Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện. • Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ thể tích V đó. • Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có ∫ ρ= V dVQ (1.18) sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ ∫ ρ−=−= V dV dt d dt dQ I (1.19) Mặt khác ∫ = S SdJI r r (1.20) Suy ra ∫∫ ∂ ρ∂ −= VS dV t SdJ r r (1.21) Theo định lý OG ( ) ∫∫∫ ∂ ρ∂ −=∇= VVS dV t dVJ.SdJ v r r (1.22) Suy ra 0 t J. = ∂ ρ∂ +∇ v (1.23) Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục. 1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường • Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, μ, σ • Các phương trình: ED 0 rr εε= (1.24) μμ = 0 B H r r (1.25) gọi là các phương trình vật chất • ε, μ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính • ε, μ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng • ε, μ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng hướng. Khi đó ε, μ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá ho ặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ • ε, μ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính. Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến μ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm μ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na + , Cl - có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO 2 , H 2 O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ μ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần. • Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện: σ > 10 4 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10 -10 < σ < 10 4 Chất cách điện: σ < 10 -10 , σ = 0 : điện môi lý tưởng Không khí là điện môi lý tưởng: ε = μ = 1, σ = 0 1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường • Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell • Thông lượng của vector điện cảm D r qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân ∫ =Φ S E SdD r r (1.26) Sd r : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài dS.cos( D r , Sd r ) : hình chiếu của S lên phương D r • Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D r do q tạo ra qua mặt kín S, ta có ( ) Ω π = π ==Φ d 4 q r4 Sd,Dcos.dS.q SdDd 2 r r r r (1.27) D r Sd r S dΩ r r q dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS Thông lượng của D r qua toàn mặt kín S là qd 4 q SdD S =Ω π ==Φ ∫∫ Ω r r (1.28) • Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' (có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau. Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông lượng của D r qua toàn mặt kín S bằng 0. • Xét hệ điện tích điểm q 1 , q 2 , ., q n đặt trong mặt kín S, ta có ∑ = = n 1i i DD rr (1.29) Thông lượng của D r do hệ q 1 , q 2 , ., q n gây ra qua toàn mặt kín S QqSdDSdD n 1i i n 1i S i S ====Φ ∑∑ ∫∫ == r r r r (1.30) Vậy: Thông lượng của vector điện cảm D r qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q 1 , q 2 , ., q n , do đó Φ có thể âm hoặc dương • Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được tính theo D r Sd r A B q QdVSdD VS E =ρ==Φ ∫∫ r r (1.31) Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski- Gauss đối với điện trường. Nguyên lý liên tục của từ thông • Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này • Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B r . Thông lượng của B r qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của B r được tính theo 0SdB S M ==Φ ∫ r r (1.32) Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương trình cơ bản của trường điện từ 1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E r có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó. Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường t ĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !). Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là 0ldEq l ≠ ∫ r r (1.33) và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy. Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng tạo ra một điện trường xoáy. Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday: Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong mộ t vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây dt d e c Φ −= (1.34) Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ ∫ =Φ S SdB r r (1.35) là thông lượng của vector từ cảm B r qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra ∫∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−= Φ −= SSS c Sd t B Sd dt Bd SdB dt d dt d e r r r r r r (1.36) Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e c theo lưu số của vector cường độ điện trường E r ∫ = l c ldEe r r (1.37) Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn của B r Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta có ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −= Sl Sd t B ldE r r r r (1.38) Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ. Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đ ó. Theo giải tích vector (công thức Green-Stock) ( ) ∫∫ ×∇= Sl SdEldE r r r r (1.39) Theo các phương trình (1.38) và (1.39) t B E ∂ ∂ −=×∇ r r (1.40) Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên. 1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo Sd r B r ld r S [...]... thành phần pháp tuyến của từ trường B1n = B2n, H 1n μ 2 = H 2 n μ1 (1. 72) - đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường (1.73) H1τ - H2τ = IS IS dòng điện mặt Khi IS = 0 ta có: H1τ = H2τ hay B1τ μ 2 = B 2 τ μ1 - Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có 2 = ∞ Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là r r E2 = H2 = 0 r r Thực vậy, nếu... các vector của trường điện từ Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được - đối với thành phần pháp tuyến của điện trường D1n - D2n = ρS (1.70) ρS mật độ điện mặt Khi ρS = 0 ta có: D1n = D2n hay E 1n ε 2 = E 2 n ε1 - đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường E1τ = E2τ, D1τ ε 2 = D 2 τ ε1 (1.71) - đối với thành... ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện - Phương trình Maxwell-Faraday Dạng... cơ bản của trường điện từ Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) thì r r do J = σE = 0 , ta có: r r ∂E r ∇ × H = ε0 = Jd0 ∂t (1. 52) Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn 1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy,... Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định mối quan hệ giữa trường điện từ Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ r r r r r r r r (1. 82) H = α 1a 1 ; E = α 2 a 2 ; J E = α 3 a 3 ; J M = α 4 a 4 ; l = α 5 a 5 ; t = α 6 a 6 r r r r a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 là các... Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành phần r r pháp tuyến của E và thành phần tiếp tuyến của H 1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting - Năng lượng của trường điện từ ⎛ εε 0 E 2 μμ 0 H 2 ⎞ ⎟dV + 2 2 ⎟ V⎝ ⎠ W = WE + WM = ∫ (ω E + ω M )dV = ∫ ⎜ ⎜ V - Định lí Umov Poynting Đã chứng minh được r r dW ΠdS = − − Pt − PO ∫ dt S Trong đó r r r Π = E × H (W/m2)... r = ∫ ⎜ J E1m E 2 m − J E 2 m E1m ⎟ − ⎜ J M1m H 2 m − J M 2 m H1m ⎟dV ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ V⎝ (1.79) V → ∞, ta có • • • • • • • • r r ⎞ ⎛r r r r ⎞ ⎛r r ∫ ⎜ J E1m E 2 m − J E 2 m E1m ⎟ − ⎜ J M1m H 2 m − J M 2 m H1m ⎟dV = 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ V⎝ (1.80) 2 Nguyên lí tương hỗ Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân bố trong V1, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V2 và 2 thể tích này không... ∇.B = 0 (1.61) - Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho nguồn ngoài r của trường điện từ ta có khái niệm... liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II: Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường (Đã chứng minh bằng thực nghiệm) Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có... điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến thiên và điện trường xoáy - Phương trình Maxwell-Ampere Dạng tích phân r v r ⎛ r ∂D ⎞ r ∫l Hd l = ∫ ⎜ J + ∂t ⎟dS ⎜ ⎟ S⎝ ⎠ (1.55) Dạng vi phân r r r ∂D ∇×H = J + ∂t (1.56) Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra từ trường như dòng điện dẫn - Định lí OG đối với điện trường Dạng tích phân r r DdS = q ∫ (1.57) . - n 0 - mật độ hạt điện có điện tích e - ρ - mật độ điện khối - v r - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện - σ - điện dẫn suất • Dòng điện qua mặt S được. của điện trường E 1τ = E 2 , 1 2 2 1 D D ε ε = τ τ (1.71) - đối với thành phần pháp tuyến của từ trường B 1n = B 2n , 1 2 n2 n1 H H μ μ = (1. 72) - đối với