TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 3

Chương 3 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG • Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng • Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ • Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu • Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ. • M ục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện từ là điều hoà với ω và rất xa với điểm khảo sát. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) - Nế u trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của E r và H r bằng nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất - Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của E r và H r trong hệ toạ độ Decac có dạng xm P ymzm Ei z H y H • •• ωε= ∂ ∂ − ∂ ∂ (1) ym P zmxm Ei x H z H • •• ωε= ∂ ∂ − ∂ ∂ (2) zm P xmym Ei y H x H • •• ωε= ∂ ∂ − ∂ ∂ (3) xm 0 ymzm Hi z E y E • •• ωμμ−= ∂ ∂ − ∂ ∂ (4) ym 0 zmxm Hi x E z E • •• ωμμ−= ∂ ∂ − ∂ ∂ (5) zm 0 xmym Hi y E x E • •• ωμμ−= ∂ ∂ − ∂ ∂ (6) Trong đó: • Oz ≡ phương truyền sóng • mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P // mặt phẳng xOy và có phương trình z = l ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ωεε σ −εε=ε 0 0P i1 E r và H r có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và ∉ x, y; chỉ ∈ z, t. Khi đó: 0 y H x H y E x E = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ (3.1) 0HE zmzm == •• (3.2) Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của E r và H r . Các E r và H r nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có: P O l y z 0Ek z E xm 2 P 2 xm 2 =+ ∂ ∂ • • (7) 0Ek z E ym 2 P 2 ym 2 =+ ∂ ∂ • • (8) 0Hk z H xm 2 P 2 xm 2 =+ ∂ ∂ • • (9) 0Hk z H ym 2 P 2 ym 2 =+ ∂ ∂ • • (10) Trong đó: 0 0 00PP i1k μμ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ωεε σ −εε=μμεω= - số sóng phức Nhận xét: - vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm nghiệm của một trong số các phương trình sóng này. - đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là zik xmpx zik xmtxm PP eEeEE • − •• += (3.3) Trong đó: - zik xmt P eE − • biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P P O l y z - zik xmpx P eE • biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt phẳng P - xmt E • , xmpx E • là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là zik ympx zik ymtym zik xmpx zik xmtxm zik ympx zik ymtym PP PP PP eHeHH eHeHH eEeEE • − •• • − •• • − •• += += += (3.4) Suy ra ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+= • − •• − ••• • • − •• − ••• • zik ympx zik ymt zik xmpx zik xmtymxmm zik ympx zik ymt zik xmpx zik xmtymxmm PPPP PPPP eHeHjeHeHiHjHiH eEeEjeEeEiEjEiE rrrr r rrrr r (3.5) Để tìm mối liên hệ giữa m E • r và m H • r cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x // E r , do đó trục y // H r , ta có mxmymxmm EiEiEjEiE •••• • ==+= rrrr r vì 0E ym = • mymymxmm HjHjHjHiH •••• • ==+= rrrr r vì 0H xm = • (3.6) x y m H • r m E • r ym H • xm E • O Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có mối liên hệ giữa m E • r và m H • r cho sóng tới và sóng phản xạ như sau mpx P ympx P 0 ympx P xmpxmpx mt P ymt P 0 ymt P xmtmt HZH z H i 1 EE HZH z H i 1 EE •• • •• •• • •• −= ε μμ −= ∂ ∂ ωε −== = ε μμ = ∂ ∂ ωε −== (3.7) Trong đó: () E E0 0 P 0 P itg1 1 Z itg1 Z δ− = δ−εε μμ = ε μμ = (3.8) Từ (3.7) dạng của m E • r và m H • r cho sóng phẳng TEM được viết lại zik mpx zik mtm zik mpx zik mt P m PP PP eHeHH ekHekHZE • − •• • − •• += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×= rrr r r r rr (3.9) Hoặc () () () () zkti mpx zkti mt ti m zkti mpx zkti mt P ti m PP PP eHeHeHH ekHekHZeEE +ω • −ω • ω •• +ω • −ω • ω •• +== ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×== rrrr r r r rrr (3.10) β α γ O x y z l Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong môi trường rộng vô hạn. Dạng của m E • r và m H • r của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy và Oz tạo thành các góc α, β và γ. Ta có: () lkti mtt P eHH −ω •• = rr (3.11) mt H • r nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Và () lkti mt P t P elHZE −ω •• ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×= r rr (3.12) l r là vector đơn vị của phương truyền sóng l. Số sóng phức k P và trở sóng phức Z P có thể viết lại ψ = α−β= i PP P eZZ ik (3.13) Trong đó α, β và ψ là các số thực α là hệ số tổn hao của môi trường β là hệ số pha của sóng ψ argument của trở sóng phức Khi đó α, β, P Z và ψ biểu diễn qua ω, ε, μ và thời gianδ E như sau E 2 00 tg1 2 1 2 1 δ++−μμεεω=α (3.14) E 2 00 tg1 2 1 2 1 δ++μμεεω=β (3.15) 4 E 2 P tg1 Z Z δ+ = (3.16) E 2 E 2 tg11 tg11 arctgarctg δ++ δ++− = β α =ψ (3.17) Vận tốc pha v ph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao α = 0, mặt đồng pha của sóng tới có dạng constzt =β−ω=φ (3.18) Suy ra 0dzdtd =β−ω=φ (3.19) Cho nên vận tốc pha v ph được xác định bởi E 2 E 2 00 ph tg1 2 1 2 1 v tg1 2 1 2 1 1 . 1 dt dz v δ++ = δ++ μμεε = β ω == (3.20) Trong đó v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được tính là P 2 mt 2 mtPmt * mttb Z E 2 1 kHZ 2 1 kHEre 2 1 re rr rr rr == ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×=Π=Π •• • (3.21) Lưu ý: Vì • E r và • H r đồng pha nên ψ = 0 ⇒ 1e i = ψ 3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng • Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn. • Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên σ = 0, 0 0 0P i1 εε= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ωεε σ −εε=ε , k P = k và Z P = Z. Từ các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có Z E 2 1 HZ 2 1 v 1 v ZZ k 0,0 2 mt 2 mttb 00 ph 0 0 P 00 ==Π = μμεε = εε μμ == μμεεω==β =ψ=α r (3.22) m E • r và m H • r có dạng là zi mtm zi mtm ekHZE eHH β− •• β− •• ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×= = r rr rr (3.23) Hoặc () () zti mt ti m zti mt ti m ekHZeEE eHeHH β−ω • ω •• β−ω • ω •• ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×== == r rrr rrr (3.24) Nhận xét: • E r và H r vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng • E r và H r luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng • Vận tốc pha v ph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường • Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng Z là một số thực 3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện • Trong môi trường dẫn điện σ ≠ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức, α−β=μμ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ωεε σ −εεω=μμεω= ii1k 0 0 00PP ψ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ωεε σ −εε μμ = ε μμ = i P 0 0 0 P 0 P eZ i1 Z Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13) • E r và • H r có dạng () () () zzti mt zizti mt zkti mt eeHeHeHH P α−β−ω • α+β−ω • −ω •• === rrrr . () () () zzti mt P zizti mt i P zkti mt P eekHZ ekHeZekHZE P α−ψ+β−ω • α+β−ω • ψ −ω •• ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×= = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×= r r r r r rr (3.25) H r E r Nếu môi trường có điện dẫn suất σ rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một cách gần đúng xem σ → ∞, do đó thời gian δ E >> 1 nên theo các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có 0 EE 2 tgtg1 ωεε σ =δ≈δ+ 2 tg1 2 1 2 1 0 E 2 00 σωμμ ≈δ++−μμεεω=α 2 tg1 2 1 2 1 0 E 2 00 σωμμ ≈δ++μμεεω=β σ ωμμ =≈ 0 P ZZ 0 E 2 00 ph 2 tg1 2 1 2 1 v σμμ ω ≈ δ++μμεε ω = β ω = () 4 1arctg tg11 tg11 arctgarctg E 2 E 2 π =≈ δ++ δ++− = β α =ψ (3.26) • góc tổn hao α ≠ 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của • E r và • H r suy giảm theo quy luật hàm mũ e -αz dọc theo phương truyền sóng z. 0m E z 0mm eEE α− = z x y [...]... ⎝ ⎠ e ωM = μ0 H 0 m0 (3. 79) Ne 2 ω = ε0m0 2 0 Với: - ωM là tần số cộng hưởng từ quay - e là điện tích của electron - m0 là khối lượng của electron - N là số electron trong 1 đơn vị thể tích - ε0 là hằng số điện - μ0 là hằng số từ - ω là tần số của sóng điện từ 3. 7 .3 Sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá Xét sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo phương của vector từ trường không đổi từ hoá vật liệu ferrite... MnO, MgO, NiO vừa có tính chất điện môi vừa có tính chất sắt từ, ε = 5 – 20, σ = 1 0-4 r – 1 0-6 (Ωm )-1 Khi không có từ trường không đổi , H 0 = 0, ferrite biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ Khi có từ trường không r đổi, H 0 ≠ 0, ferrite biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng hướng từ quay đối với sự truyền sóng điện từ Tensor độ từ thẩm có dạng như sau: ⎛μx t... có các môi trường không đẳng hướng như sau: t Môi trường có ε, σ là hằng số và độ từ thẩm là tensor μ , gọi là môi trường không đẳng hướng từ quay Thí dụ: ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi là môi trường từ quay đối với sóng điện từ, được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao tần làm các tbị điều khiển sự truyền sóng t Môi trường có μ, σ là hằng số và độ điện thẩm là tensor ε , gọi là môi trường không... không đẳng hướng điện quay Thí dụ: chất khí bị ion hoá (plasma) dưới tác dụng của từ trường không đổi là môi trường điện quay đối với sóng điện từ Tầng ion của khí quyển trái đất cũng là môi trường điện quay đối với sóng điện từ, khi truyền sóng vô tuyến trong tầng ion cần xét đến tính không đẳng hướng của nó 3. 7.2 Tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm Ferrite chính là hợp chất Fe3O4 và một số oxide... = β (3. 31) Trong đó: RS = ωμμ 0 2σ là điện trường mặt riêng của vật dẫn (3. 32) RS chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn Năng lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn χS là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn ZS Nhận xét: Biểu thức (3. 32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện. .. phẳng truyền từ môi trường điện môi qua môi trường dẫn điện có điện dẫn suất lớn, gọi là điều kiện biên gần đúng Leontovic Trong thực tế điều kiện biên gần đúng Leontovic được ứng dụng để tính tổn hao của sóng điện từ truyền dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt 3. 7 Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng 3. 7.1 Môi trường không đẳng hướng r r Môi trường đẳng hướng có các tham số điện từ ε, μ, σ là các... đối với các môi trường bất kì có điện dẫn suất σ ≠ 0 Khi đó các công thức Fresnel trong (3. 55) và (3. 58) chỉ cần thay ε = εP và Z = ZP 3. 6 Điều kiện biên gần đúng Leontovic Xét sóng phẳng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường từ điện môi (môi trường 1) vào môi trường có điện dẫn suất lớn σ2 (môi trường 2), ta có: k1 . trình lan truyền sóng điện từ ⇒ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc. 3. 3. Hiệu ứng bề mặt trong. β (3. 31) x y z E r J r O Π r Trong đó: σ ωμμ = 2 R 0 S là điện trường mặt riêng của vật dẫn. (3. 32) R S chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ