Về thuật toán chiếu giải bài toán chấp nhận được lồi

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC PHM TH GIANG V THUT TON CHIU GII BI TON CHP NHN C LI Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC GS.TS TRN V THIU Thỏi Nguyờn - 2017 Mc lc Danh mc cỏc ký hiu M U Chng Kin thc chun b 1.1 Khụng gian Hilbert thc 1.1.1 Khỏi nim c bn 1.1.2 ng nht thc v bt ng thc c bn 1.1.3 Toỏn t tuyn tớnh v phim hm 1.1.4 Tụpụ mnh v tụpụ yu 1.2 nh x khụng gión v toỏn t chiu 11 1.3 nh x co v dóy n iu Fejộr 14 Chng Thut toỏn gii bi toỏn chp nhn c li 19 2.1 Mụ t s thut toỏn 19 2.2 Tớnh cht c bn ca thut toỏn 21 2.3 Kt qu hi t 23 2.4 Thut toỏn chiu 29 KT LUN 39 TI LIU THAM KHO 40 Danh mc cỏc ký hiu R Tp s thc R+ Tp s thc khụng õm R {} Tp s thc m rng C Tp s phc N Tp hp s t nhiờn H Khụng gian Hilbert Khụng gian cỏc dóy s vụ hn x Chun ca vộct x H |x| Giỏ tr tuyt i ca x R (x(n) ) hay {xk } Dóy im H xk xk hi t yu ti x0 x0 xk x0 x, y xk hi t mnh (hi t theo chun) ti x0 tớch vụ hng ca hai vộct x, y H [x, y] on thng ni x v y xy Vộct x nh hn hay bng vộct y (xi yi , i = 1, , n) xy Vộct x ln hn hay bng vộct y (xi yi , i = 1, , n) conv{x1 , , xk } Bao li ca cỏc im x1 , , xk xX x l mt phn t ca X x /X x khụng l phn t ca X Tp hp rng dC (x) Khong cỏch t im x ti C A+B Tng vộct ca hai A v B AB Hiu vộct ca hai A v B AB Hp ca hai A v B AB Giao ca hai A v B AìB Tớch cỏc ca hai A v B A B A l ca B A B A l (cú th bng) ca B intY S Phn ca S i vi Y (S, Y l tựy ý ca H) int S Phn ca S (=intH S) S Bao úng ca S conv S Bao li ca S convS Bao li úng ca S affS Bao afin úng ca S span S Khụng gian tuyn tớnh nh nht ca H cha S icr S Lừi bờn ca S (= intaf f S S) r+ Phn dng ca s r R = max{r, 0} lim Gii hn trờn (ca dóy s thc) lim Gii hn di (ca dóy s thc) x Vi mi x x Tn ti x Id Toỏn t ng nht H PC Toỏn t chiu lờn C Fix T Tp im bt ng ca toỏn t T M U Trong toỏn hc v vt lý hc hin i (vớ d, chp X quang in toỏn húa), ta thng gp bi toỏn sau õy vi tờn gi l bi toỏn chp nhn c li (convex feasibility problem), phỏt biu toỏn hc chớnh xỏc ca bi toỏn nh sau: Cho H l mt khụng gian Hilbert v C1 , C2 , , CN l cỏc li úng H vi giao C = C1 C2 CN = Hóy tỡm mt im x C? Cú hai loi bi toỏn chớnh thng gp: Cỏc Ci n gin, theo ngha cú th tớnh c hỡnh chiu (ỏnh x im gn nht) trờn Ci Chng hn, Ci l mt siờu phng hay na khụng gian Khụng th tớnh trc tip hỡnh chiu trờn Ci , nhiờn cú th mụ t hỡnh chiu trờn xp x no ú rng hn Ci Thng, Ci l mc di ca mt hm li no ú Tip cn hay c s dng gii bi toỏn chp nhn c li l thut toỏn chiu í tng ca thut toỏn l: chiu trờn tng Ci (hoc trờn xp x ca nú) to dóy cỏc im m chỳng hi t ti nghim ca bi toỏn chp nhn c li ú cng l cỏch tip cn c phõn tớch, nghiờn cu v trỡnh by ti liu tham kho [3] ti lun V thut toỏn chiu gii bi toỏn chp nhn c li nhm mc ớch tỡm hiu v gii thiu ni dung bi bỏo [3], ú trỡnh by nghiờn cu ci tin, hp nht v im li cỏc kt qu nghiờn cu trc ú v cỏc thut toỏn chiu Lun cp ti bi toỏn chp nhn c li khụng gian Hilbert v thut toỏn chiu gii bi toỏn Lun gm hai chng: Chng Kin thc chun b Chng ny nhc li mt s kin thc c bn v khụng gian Hilbert, ỏnh x khụng gión, toỏn t chiu v mt s kin thc liờn quan Ti liu chớnh c s dng [1] - [4] Trong chng cú mt s tiu mc sau: 1.1 Khụng gian Hilbert thc: nhc li cỏc khỏi nim v s kin c bn (lut hỡnh bỡnh hnh, toỏn t tuyn tớnh, s hi t mnh, hi t yu, ) 1.2 nh x khụng gión v toỏn t chiu: Cỏc khỏi nim v tớnh cht (ỏnh x khụng gión bn vng, ỏnh x trung bỡnh, nguyờn lý bỏn úng, ) 1.3 nh x co v dóy n iu Fejộr: Tớnh cht c bn ca toỏn t dựng s lp v ca dóy lp nhn c Chng Thut toỏn gii bi toỏn chp nhn c li Chng ny cp ti cỏc thut toỏn (bao gm thut toỏn chiu) gii bi toỏn chp nhn c li Ti liu chớnh c s dng [3], [5], [6] Chng cú mt s tiu mc sau: 2.1 Mụ t s thut toỏn: chớnh quy tim cn, ni lng, k d, trng s, 2.2 Tớnh cht c bn ca thut toỏn: Cỏc tớnh cht, vớ d v nhn xột 2.2 Cỏc kt qu hi t: nh lý lng phõn I v s hi t theo tụpụ yu 2.3 Thut toỏn chiu: Nguyờn mu ca thut toỏn chiu hi t, hi t tuyn tớnh, nh lý lng phõn II v s hi t theo tụpụ yu, Do thi gian cú hn nờn lun ny ch yu ch dng li vic tỡm hiu, hp ti liu, sp xp v trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu ó cú theo ch t Trong quỏ trỡnh vit lun cng nh son tho bn chc chn khụng trỏnh cú nhng sai sút nht nh Tỏc gi lun rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc thy cụ v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Nhõn dp ny, tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy hng dn GS.TS Trn V Thiu ó tn tỡnh giỳp sut quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n cỏc GS, PGS, TS ca Khoa Toỏn-Tin, Trng i hc Khoa hc Thỏi Nguyờn v ca Vin Toỏn hc, Vin Cụng ngh thụng tin thuc Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam ó ging dy v to mi iu kin thun li quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2017 Tỏc gi lun Phm Th Giang Chng Kin thc chun b Chng ny nhc li mt s kin thc c bn v khụng gian Hilbert: Cỏc ng nht thc, bt ng thc hu ớch, ỏnh x khụng gión, nguyờn lý bỏn úng, toỏn t chiu, ỏnh x co (co mnh) v mt s kin thc liờn quan Ni dung ca chng c tham kho ch yu t cỏc ti liu [1] - [4] 1.1 Khụng gian Hilbert thc 1.1.1 Khỏi nim c bn nh ngha 1.1 Khụng gian tin Hilbert (pre-Hilbert space) l mt khụng gian vộct X trờn R (hoc C) cựng vi tớch vụ hng (inner product) xỏc nh bi ã, ã : X ì X R (hoc C) tha vi x, y, z X v R (hoc C): (i) x, x 0, (ii) x, x = x = 0, (iii) y, x = x, y , (iv) x, y = x, y , (v) x + y, z = x, z + y, z Mi tớch vụ hng trờn X to mt chun tng ng x = x, x vi mi x X Nu X l khụng gian theo chun va xõy dng (núi cỏch khỏc, nu X l khụng gian theo metric sinh t chun ny, hay X l khụng gian Banach vi chun ú) thỡ X c gi l mt khụng gian Hilbert Vớ d 1.1 (i) Rn vi tớch vụ hng x, y = trờn R n i=1 xi yi l khụng gian Hilbert (ii) Cn vi tớch vụ hng u, v = ni=1 = ui v i l khụng gian Hilbert trờn C, ú u = (u1 , u2 , , un ), v = (v1 , v2 , , ) (iii) vi tớch vụ hng aj bj a, b = j=1 l khụng gian Hilbert trờn C ( õy a = {aj } j=1 , b = {bj }j=1 ) S kin cỏc chui i vi a, b luụn hi t l h qu ca bt ng thc Hăolder vi p = q = õy d kim tra li cỏc tớnh cht m tớch vụ hng cn phi tha Chun sinh t tớch vụ hng l chun ã ó cú trờn (iv) L2 [0, 1], L2 [a, b] v L2 [R] tt c u l cỏc khụng gian Hilbert i vi tớch vụ hng fg a, b = (tớch phõn c ly trờn thớch hp) Cho H l mt khụng gian Hilbert thc ( x, y , R) vi tớch vụ hng ã, ã v chun ã Ký hiu d l khong cỏch, ngha l (x H) (y H) x = x, x v d(x, y) = x y Tp C H gi l trc giao nu x, y C, x = y x, y = C gi l trc chun nu nú l trc giao v cú thờm x = vi mi x C ý rng cỏc nh ngha ny ỏp dng cho mi C cú hu hn hay vụ s phn t Cng cn chỳ ý l nu C l trc giao thỡ {x/ x : x C\{0}} l trc chun Tp trc chun C H gi l mt c s trc chun ca H nu spanC = H (tc l khụng gian tuyn tớnh úng nh nht ca H cha C trựng vi H) Khụng gian H l tỏch c nu H cú mt c s trc chun m c Ký hiu toỏn t ng nht trờn H l Id Hỡnh cu n v úng ca H ký hiu l B(0, 1) = {x H | x 1} Dóy {xk } H gi l hi t yu ti x0 , ký hiu xk x0 , nu a, xk a, x0 vi mi a H Dóy {xk } H gi l hi t mnh ti x0 , ký hiu xk x0 , nu xk x0 (cũn gi hi t theo tớch vụ hng v hi t theo chun) 1.1.2 ng nht thc v bt ng thc c bn Bt ng thc Cauchy - Schwarz Gi s x, y H Khi ú | x, y | x Hn na, | x, y | = x y y ( R+ ) x = y hay y = x B 1.1 Gi s x, y v z H Khi ú, cỏc iu sau l ỳng: (i) x + y = x + x, y + y (ii) Lut hỡnh bỡnh hnh: x + y + xy (iii) ng nht thc phõn cc: x + y 2 = 2( x xy + y ) = x, y (iv) ng nht thc Apollonius: xy =2 zx +2 zy z (x + y)/2 Chng minh (i) Kim tra d dng (ii) v (iii): T (i) suy xy = x x, y + y Ln lt cng v tr (i) vi ng nht thc ny, ta nhn c (ii) v (iii) (iv) p dng (i) i vi (z x)/2 v (z y)/2 B 1.2 Gi s x v y H Khi ú, cỏc iu sau l ỳng: (i) x, y ( R+ ) x x y ( [0, 1]) x x y (ii) x y ( R) x x y ( [1, 1]) x x y Chng minh (i) ý rng ( R) x y x = ( y x, y ) T ú trc tip suy cú chiu thun () Ngc li, [0, 1], x x , t ng thc trờn suy x, y y /2 Khi 0, ta nhn c x, y (ii) l h qu ca (i), bi vỡ x y [ x, y v x, y 0] H qu 1.1 Gi s x H, y H v R Khi ú, x + (1 )y + (1 ) x y = x + (1 ) y Mnh 1.1 (Tớnh li cht) Nu x, y H thỡ x + y = x + y kộo theo y ã x = x ã y Chng minh Suy t lut bỡnh hnh 1.1.3 Toỏn t tuyn tớnh v phim hm Cho X v Y l hai khụng gian tuyn tớnh nh chun thc Ta nhc li, toỏn t T : X Y l tuyn tớnh nu T [x + y] = T x + T y, x, y X, , R Toỏn t tuyn tớnh T l liờn tc ti mt im thuc X v ch T liờn tc Lipschitz t L (X, Y ) = {T : X Y | T tuyn tớnh v liờn tc} v L (X) = L (X, X) Vi chun toỏn t xỏc nh bi (T L (X, Y )) T = sup T (B(0, 1)) = sup T (x) xX, x thỡ L (X, Y ) l khụng gian tuyn tớnh nh chun v ú l khụng gian Banach nu Y l khụng gian Banach nh lý Banach - Steinhaus (Tớnh b chn u) Gi s X l mt khụng gian Banach thc, Y l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun thc v (Ti )iI l mt h cỏc toỏn t b chn theo tng im, ngha l (x X) sup Ti x < + Khi ú, supiI Ti < + nh lý biu din Riesz - Frộchet sau cho thy cú th ng nht mi phim hm tuyn tớnh liờn tc khụng gian Hilbert thc H vi mt vộct H nh lý Riesz - Frộchet Gi s f L (H, R) Khi ú, tn ti nht vộct u H cho (x H) f (x) = x, u Hn na, f = u Cho K l khụng gian Hilbert thc v T : H K liờn hp (adjoint) ca T l toỏn t nht T L (K, H) tha (x H) (y K) T x, y = x, T y 1.1.4 Tụpụ mnh v tụpụ yu Tụpụ metric ca (H, d), tc l tụpụ nhn h tt c cỏc hỡnh cu m lm c s lõn cn, c gi l tụpụ mnh (strong topology) hay tụpụ theo chun (norm topology) ca H Nh vy, li (xa )aA H hi t mnh (converges strongly) ti im x nu xa x 0, ký hiu xa x Khi s dng m khụng núi gỡ thờm, cỏc khỏi nim tụpụ H (úng, m, lõn cn, liờn tc, compac, hi t, ) s luụn c hiu theo ngha tụpụ mnh Mt khỏi nim tụpụ rt quan trng khỏc (tụpụ yu) cng c cp ti 26 thỡ ta núi v thut toỏn t on (intermittent) hoc p-t on hoc iu khin t on (intermittent control) Ta gi mt thut toỏn hu tun hon (almost cyclic) nu nú l t on v k d Ta núi v iu khin v thut toỏn nu hai iu kin di õy l ỳng: Cú phõn hoch J1 JM = {1, , N } vi Jm = v Jm Jm = vi mi m, m {1, , M } v m = m Cú s nguyờn dng p cho vi mi n v mi m {1, , M }, I (n ) = Jm vi n {n, n + 1, , n + p 1} Cui cựng nu ta mun nhn mnh rng cỏc ch s tớch cc khụng nht thit theo mt dng iu khin no ú, thỡ ta núi iu khin ngu nhiờn (random control) v thut toỏn ngu nhiờn (radom algorithm) Rừ rng l Nhn xột 2.7 Gn õy cỏc thut toỏn nhn c nhiu s chỳ ý cỏch cha bnh bng bc x nh lý 2.2 (Kt qu tụpụ yu) (i) Gi s thut toỏn l hi t v t on Nu lim (n) n : n tớch cc i vi i ài > vi mi ch s i thỡ dóy (x(n) ) l chớnh quy tim cn v hi t yu ti im no ú C (ii) Gi s thut toỏn hi t v p-t on i vi s nguyờn dng p no ú t n = min{àji : np j (n + 1)p v i tớch cc ti j} vi mi n Nu n n = + thỡ dóy (x(n) ) cú im t yu nht C Chớnh xỏc hn, cú dóy (xnk p ) hi t yu ti im t yu nht ny ca (x(n) ) C tha (nk +1)p1 (j) x(j) Ti x(j) j = nk p i I (j) iu ny kộo theo x(nk p+rk ) x(nk p+sk ) 27 vi mi dóy (rk ), (sk ) {0, , p 1} Núi riờng, iu ny xy mi (n) lim n : n tớch cc i vi i ài > vi mi ch s i (iii) Gi s thut toỏn hi t v dóy (x(n) ) hi t yu nu v mt im x no (n) ú Nu = + vi ch s i no ú thỡ x Ci H qu l, nu n ài (n) n ài = + vi mi ch s i thỡ x C Chng minh (i) (x(n) ) l chớnh quy tim cn (H qu 2.2(i)) Gi s trỏi li rng (x(n) ) khụng hi t yu v im no ú C Khi ú theo tớnh n iu Fejộr ca (x(n) ) v nh lý 1.1(ii), tn ti ch s i v dóy (x(nk ) )k hi t yu v im no ú x / Ci Do thut toỏn l t on nờn ta nhn c mk vi nk mk nk + p v i I (mk ) vi mi k Vỡ thut toỏn l chớnh quy tim cn, nờn ta cú x(nk ) x(mk ) v ú (x(nk ) ) hi t yu ti x Do thut toỏn l hi t nờn ta kt lun rng (mk ) (mk ) limk x(mk ) Ti Mt khỏc, theo B 2.1(iv), + > mõu thun vi gi thit v (n) (ài ) x (mk ) n ài > (mk ) (mk ) x x(mk ) Ti iu ny Vy kt lun (i) ỳng (ii) Tm thi c nh c C Khi ú, theo B 2.1(iii) v nh ngha n , (n+1)p1 x (np) c ((n+1)p) x c (j) x(j) Ti x(j) n j=np iI (j) vi mi n Cng theo n v chỳ ý ti gi thit v (n ), ta c dóy (x(nk p) )k tha (nk +1)p1 (j) x(j) Ti x(j) 0, j = nk p (2.4) i I (j) Theo B 2.1(v) ta li cú x(nk p+rk ) x(nk p+sk ) (2.5) vi mi dóy (rk ), (sk ) {0, 1, , p 1} Sau chuyn qua dóy nu cn, ta cú th gi thit rng (x(nk p) )k hi t yu ti x D no ú 28 Ta s chng minh x C Tht vy, xột mt ch s i bt k Do thut toỏn l t on nờn cú mt dóy (rk ) {0, 1, , p 1} tha x(nk p+rk ) x (2.6) (iu ny suy t (2.5) vi sk 0) v i I (nk p+rk ) vi mi k (2.7) Theo (2.4) (nk p+rk ) (nk p+rk ) x(nk p+rk ) Ti x (2.8) Do thut toỏn l hi t (2.6), (2.7) v (2.8) kộo theo x Ci Do i tựy ý nờn x C Theo nh lý 1.1(ii), x l im t yu nht ca x(n) C Kt thỳc chng minh phn (ii) (iii) Theo B 2.1(iv), + > (n) n ài (n) n ài (n) x(n) Ti x(n) Do gi thit = + nờn (n) lim( x(n) Ti x(n) ) n : n tớch cc i vi i phi bng Do thut toỏn l hi t nờn ta thy rng x Ci v ton b nh lý c chng minh Nhn xột 2.8 (i) l kt qu c bn v hi t yu ca cỏc tỏc gi [3] (ii) l kt qu m rng ý tng ó cú trc ú ú l mt kt qu v s tn ti im t yu nht ca (x(n) ) C; nhiờn gi thit trc ú hi khỏc ụi chỳt: tham s ni lng ớt tng quỏt hn nhng trng s iu khin tng quỏt hn (iii) cng l m rng cỏc kt qu ó cú ca nhiu tỏc gi khỏc H qu 2.4 Gi s T1 , , TN : D D l cỏc ỏnh x khụng gión bn vng, (n) Ci := Fix Ti v (Ti ) hi t tớch cc theo tng im ti Ti Hn na, gi s (n) (n) tn ti > cho i v i vi mi n v mi ch s i tớch cc ti n Nu thut toỏn l t on thỡ dóy (x(n) ) hi t yu ti mt im no ú C (n) Chng minh Thut toỏn l hi t (Mnh 2.1) v lim n : n tớch cc i vi i ài vi mi ch s i (Nhn xột 2.5) Kt lun suy t nh lý 2.2(i) > Nhn xột 2.9 Trng hp riờng ca nh lý Browder: Nu thut toỏn l hu (n) tun hon v Ti Ti thỡ H qu 2.4 cho kt qu i vi hu hn 29 H qu 2.5 Gi s thut toỏn l hi t v phn ca C khỏc rng Nu (n) (n) n ài = + vi mi ch s i thỡ dóy (x ) hi t theo chun ti mt im no ú C Chng minh Trc tip suy t H qu 2.1(i) v nh lý 2.2(ii) H qu 2.6 Gi s H hu hn chiu v thut toỏn l hi t v p-t on Nu n n + (trong ú n c xỏc inh nh nh lý 2.2(ii)) thỡ dóy (x(n) ) hi t theo chun ti mt im no ú C Chng minh Theo nh lý 2.2(ii), (x(n) ) cú im t yu x C Do H hu hn chiu nờn x l im t theo chun ca (x(n) ) T ú ỏp dng H qu 2.1(ii) Nhn xột 2.10 (m bo iu kin tng phõn k) Mt cỏch m bo cho (n) n ài = + vi mt ch s i no ú l gi thit rng tn ti > cho (n) i (n) vi mi n v i = + n iu ny tng ng (trong trng hp mi Ti l phộp chiu) vi kt qu ca Flam v Zower (xem thờm Vớ d 2.8(ii)) Cỏch khỏc l gi thit rng thut toỏn l k d v (n) (n) i (2 i ) = +, n:n tớch cc i vi (n) n ài bi vỡ lỳc ú tng trờn õy bng 2.4 i Thut toỏn chiu T õy tr v sau ta dnh riờng xột tỡnh sau õy t Ta gi li cỏc gi thit Chng 2, ú ta ó nh ngha (n) thut toỏn õy ta gi thit thờm rng Ti l phộp chiu trờn li úng (n) khỏc rng Ci (n) Ti no ú cha Ci (n) := Pi (n) := PC (n) v Ti i Ci vi mi ch s i v mi m Ta cũn gi thit rng D := H, iu ny l cú th vỡ phộp chiu c xỏc nh khp mi ni Ta ký hiu ngn gn Pi = PCi vi mi ch s i {1, , N } 30 v gi thut toỏn cỏch t ny l thut toỏn chiu (projection algorithm) (n) Ta núi thut toỏn chiu cú cỏc hng (constant sets) nu Ci Ci vi mi n v mi ch s i Nhn xột 2.11 V mt hỡnh thc thut toỏn chiu l s m rng ụi chỳt ca thut toỏn Flam v Zower [6] (tuy nhiờn, ta cho phộp cỏc khụng gian Hilbert vụ hn chiu v gi thit cỏc siờu phng ớt hn ch hn, cho nờn ta s nhn c cỏc kt qu thc cht tng quỏt hn ng nhiờn, tt c cỏc kt qu trỡnh by cỏc mc trc õy cú th ỏp dng c cho thut toỏn chiu Tuy nhiờn, trc cú th lm iu ú ta cn phi hiu rừ hn ý ngha ca thut toỏn chiu hi t Nguyờn mu u tiờn ca thut toỏn chiu hi t c din t theo ngụn t ca s hi t theo ngha ca Mosco B 2.2 Gi s (Sn ) l mt dóy cỏc hp li úng v cú hp li úng S no ú vi S Sn vi mi n Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: (i) PSn Ps tng im theo chun (ii) Sn S theo ngha Mosco, ngha l hai iu kin sau c tha món: (a) Vi mi s S tn ti dóy (sn ) hi t theo chun v s, sn Sn , n (b) Nu (snk )k l dóy hi t yu vi snk Snk vi mi k, thỡ gii hn yu ca dóy nm S (iii) Nu (xnk )k l dóy hi t yu vi xnk Psnk 0, thỡ gii hn yu ca dóy nm S Hn na, nu mt (do ú mi) cỏc iu kin trờn c tha thỡ S= Sn n Chng minh (i) (ii): õy l trng hp khụng gian Hilbert ca Tkusada (nh lý 3.2 [10]) Chng minh (ii) (iii) v phn Hn na khỏ d dng nờn b b qua (n) nh lý 2.3 (Nguyờn mu th nht ca thut toỏn chiu hi t) Nu (Pi ) hi t tớch cc tng im ti Pi vi mi ch s i, thỡ thut toỏn chiu hi t v (n) Ci = Ci n : n tớch cc i vi i vi mi ch s i 31 (n) Chng minh p dng B 2.2 cho (Ci ) Vớ d 2.4 Gi s Ci = (1) (n) n Ci n : n tớch cc i vi i i vi mi i (n) v (Ci )n gim, ngha l (2) (n) (Ci ) (Ci ) (Ci ) vi mi n v mi ch s i Khi ú thut toỏn chiu l hi t Hn na, nu (n) thut toỏn chiu l t on v lim n : n tớch cc i vi i ài > vi mi ch s i thỡ dóy (x(n) ) l chớnh quy tim cn v hi t yu ti im no ú C Chng minh Mosco ó chng minh rng mt dóy gim dn cỏc li úng hi t ti giao ca chỳng T nh lý 2.3 v B 2.2 suy thut toỏn chiu l hi t Kt lun bõy gi c suy t nh lý 2.2(i) Nhn xột 2.12 Ballon ó thu c Vớ d 2.4 vi thut toỏn l hu tun hon (n) (tc t on v k d) v khụng b ni lng (tc i = vi mi n v mi ch s i l tớch cc ti n bt k) Vớ d 2.5 (Phộp chiu ngu nhiờn) Gi s thut toỏn chiu l k d (tc I (n) gm nht mt phn t vi mi n), khụng b ni lng v cú cỏc hng s Nu i vi ch s j no ú, Cj l compac b chn thỡ dóy (x(n) ) hi t theo chun ti im no ú C Núi riờng, iu ny ỳng nu H l hu hn chiu (n) Chng minh Vớ d 2.4 cho thy rng thut toỏn hi t Cng vy, ài = vi mi n v mi ch s i tớch cc ti n Dóy (x(n) ) n : n tớch cc i vi j nm Cj v vỡ th phi cú mt im t theo chun Do ú theo nh lý 2.1, ton b dóy (x(n) ) hi t theo chun ti im no ú C phỏt biu nguyờn mu th hai ca thut toỏn chiu hi t (cng nh cỏc kt qu hi t theo chun v hi t tuyn tớnh cỏc tit sau) ta cn thờm mt s nh ngha nh ngha 2.4 Ta núi thut toỏn chiu l hi t tuyn tớnh (linearly focus(n) ing) nu cú s > cho d(x(n) , Ci ) d(x(n) , Ci ) vi mi n ln v mi ch s i tớch cc ti n Ta núi phộp chiu hi t mnh (strongly focusing) nu x(nk ) x, (nk ) (n ) (n ) k k d(x , Ci ) 0, i tớch cc ti nk kộo theo d(x , Ci ) vi mi ch s i v mi dóy (x(nk ) )k ca (x(n) ) 32 Theo nh ngha 2.1 v tớnh na liờn tc di yu ca d(ã, Ci ), ta nhn c hi t tuyn tớnh hi t mnh hi t H qu 2.7 (Nguyờn mu th hai ca thut toỏn chiu hi t) Mi thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh l hi t Nhn xột 2.13 Flam v Zowe [6] ó dựng cỏc thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh khụng gian Euclide rt cú kt qu (xem thờm Vớ d 2.8) H qu 2.8 (Nguyờn mu ca thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh) Nu thut toỏn chiu cú cỏc hng thỡ thut toỏn hi t tuyn tớnh H qu 2.9 (Nguyờn mu ca thut toỏn chiu hi t mnh) Gi s thut toỏn chiu hi t Nu cỏc s hng ca dóy (x(n) ) to nờn mt compac tng i thỡ thut toỏn chiu hi t mnh Núi riờng, iu ny xy H hu hn chiu hoc phn ca C khỏc rng Chng minh Gi s khụng ỳng Khi ú ta cú > 0, x H, mt ch s i v (n ) mt dóy (x(nk ) )k vi x(nk ) x, x(nk ) Pi k x(nk ) 0, i tớch cc ti nk , nhng x(nk ) Pi x(nk ) vi mi k Do thut toỏn hi t nờn x Ci Sau chuyn qua dóy nu cn, ta cú th gi thit (do gi thit compac) rng x(nk ) x Nhng ú x(nk ) Pi x(nk ) x Pi x = 0, ta gp mõu thun Vy thut toỏn chiu hi t mnh Nu H hu hn chiu thỡ cỏc s hng ca (x(n) ) to nờn compac tng i (x(n) ) b chn (B 2.1(iv)) Cui cựng, nu int C = thỡ (x(n) ) hi t theo chun (H qu 2.1(i)) Hai nguyờn mu ca Thut toỏn chiu hi t (nh lý 2.3 v H qu 2.7) l khụng b ni lng, nh c minh hai vớ d sau (n) Vớ d 2.6 Gi s H := R, N := 1, C := C1 := {0}, C1 := [0, 1/(n + 1)] v (n) x(0) = Khi ú thut toỏn chiu hi t mnh v dóy C1 cỏc li compac (n) gim dn hi t ti C1 theo ngha Mosco (Vớ d 2.4 v H qu 2.9) Tuy nhiờn thut toỏn chiu khụng hi t tuyn tớnh Thc vy, vi n ta cú (n) (n) x d(x(n) , C1 ) 1 = v = n n+1 D(x(n) , C1 ) (n) Vớ d 2.7 Gi s H := R, N := 1, C := C1 := {0}, C1 := (1)n [0, 1] v x(0) H tựy ý Khi ú thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh, bi vỡ x(n) C (n) vi mi n Tuy nhiờn dóy C1 cỏc li compac khụng hi t ti C1 theo ngha Mosco 33 Sau ó cm nhn c khỏi nim thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh, chỳng ta cung cp ti liu v s ớch li ca khỏi nim ny thụng qua kt qu lng phõn ca Aharoni v Censor nh lý 2.4 (Lng phõn II) Gi thit thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh v (n) cú s > tha i vi mi n ln v mi ch s i tớch cc ti n Khi ú, dóy (x(n) ) hoc hi t theo chun hoc khụng cú im t no theo chun Chng minh Gi s trỏi li rng (x(n) ) cú ớt nht hai im t theo chun, (m) chng hn y v z Ly > tha biu din (x(m) , ci ) d(X (m) , Ci ) vi mi m ln v mi ch s i tớch cc ti m C nh c C Do y / C (n) (trỏi li, húa dóy (x ) hi t theo chun bi H qu 2.1(ii)), ch s I = {i {1, , N } : y / Ci } l khỏc rng Ký hiu B := y + rBH , ú r := (1/2) min({ y z } {d(y, Ci ) : i I}) Khng nh 1: > cho (x(m) B v m ln) x(m) c (m) x(m+1) c iI i Mt khỏc, theo B 2.1(ii), nh ngha ca v y x(m) d(y, Ci ) d(x(m) , Ci ) ta cú x(m) c x(m+1) c (m) ài (m) d (x(m) , Ci ) iI (m) 2 i (m) d (x(m) , Ci iI 2 (m) r i ) iI Mt khỏc, x(m) c x(m+1) c = ( x(m) c x(m+1) c )ì( x(m) c + x(m+1) c ) v chun ca tha s sau cng nhiu nht bng 2(r + y c ) Gp tt c li = r2 /(2(r + y c )) lm vic v khng nh c kim tra Khng nh 2: > cho (x(m) B v m ln) x(m+1) y (m) x(m) y iI i Vi mi i {1, , N }\I, y l l im bt ng (m) ca ỏnh x khụng gión Ri 1.2) Ta cú ỏnh giỏ (xem Mnh 1.6(i), Mnh 1.6(iii) v H qu (j) x(j+1) y = (j) (j) i (Ri x(j) y) + i {1, , N } \ I (j) i (Ri x(j) y) iI 34 (j) (j) (j) i ||Ri x(j) y|| i ||x(j) y|| + iI i {1, , N } \ I (j) (j) i {||Ri x(j) x(j) || + ||x(j) y||} x(j) y + iI (j) (j) (j) i {i ||x(j) Pi x(j) || + ||x(j) y||} x(j) y + iI (j) x (j) i {2d(x(j) , Ci ) + r} y + iI (j) i {2(d(y, Ci ) + ||x(j) y||) + r} x(j) y + iI Do ú = max{d(y, Ci ) : i I} + 3r lm vic v khng nh c kim tra Phn chng minh cũn li c thc hin nhanh chúng t := r (< r) + v tỡm n ln cho x(n) y < d; ú (x(n) ) B Bõy gi z l mt im t theo chun khỏc ca (x(n) ) v cú khong cỏch dng ti B, vỡ th cú s m nh nht > n vi x(m) B Theo tớnh n iu Fejộr ca (x(n) ) v Khng nh ta cú m1 (m) yc x (n) c x (j) x i j=n iI m1 (j) < + y c i ; j=n iI ú m1 (j) i < j=n iI Tuy nhiờn theo Khng nh, m1 (m) x (n) y x (j) y + i < + j=n iI = r iu ny mõu thun vi y / B Vỡ th dóy (x(n) ) cú nhiu nht mt im t theo chun Nhn xột 2.14 Nh Vớ d 2.1 ó minh ha, cn phi cú thờm mt s gi thit m bo cú nhiu nht mt im t theo chun 35 H qu 2.10 Gi s thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh v cú s > (n) cho i vi mi n ln v mi ch s i tớch cc ti n Gi thit thờm rng H hu hn chiu hoc int C = Khi ú dóy x(n) hi t theo chun (n) ti im x no ú Nu n ài = + vi ch s i no ú thỡ x Ci H qu l nu (n) n ài = + vi mi ch s i thỡ x C Chng minh Theo H qu 2.1.(i), nu int C = thỡ (x(n) ) hi t theo chun Nu H hu hn chiu thỡ (x(n) ) cú im t theo chun; ú theo nh lý 2.4, dóy (x(n) ) cng hi t theo chun T ú kt qu c suy t nh lý 2.2.(iii) Suy hai vớ d sau õy Vớ d 2.8 Gi s H l hu hn chiu, thut toỏn chiu hi t tuyn tớnh v (n) cú s > cho i vi mi n ln v mi ch s i tớch cc ti n Khi ú dóy (x(n) ) hi t theo chun ti im x no ú (i) Nu lim (n) n : n tớch cc i vi i (ii) Nu int C = v (n) n ài ài > vi mi ch s i thỡ x C = + vi mi ch s i thỡ x C Vớ d 2.9 Gi s H l hu hn chiu, thut toỏn chiu cú cỏc hng (v (n) ú hi t tuyn tớnh theo H qu 2.8) v cú s > cho i (n) vi mi n ln v mi ch s i tớch cc ti n Khi ú dóy (x(n) ) hi t theo chun v gii hn ca dóy nm iI Ci , ú (n) I : {i {1, , N } : ài = +} n Nhn xột 2.15 Vi gi thit v tham s ni lng cỏc vớ d trờn õy, iu (n) (n) kin lim n : n tớch cc i vi i ài > tng ng vi lim n : n tớch cc i vi i i > (n) (xem Nhn xột 2.5) v iu kin n ài = + tng ng vi + (xem Nhn xột 2.10) vi mi ch s i (n) n i = Vớ d 2.8(i) c suy khụng ch t H qu 2.10, m cũn t nh lý 2.1 (n) Vớ d sau cho thy rng nu b gi thit n ài = + Vớ d 2.9 thỡ ta khụng th hy vng gii hn ca (x(n) ) nm Ci (n) (n) Vớ d 2.10 Gi s H := R, N := 2, C1 := C1 : (, 0] v C2 := C2 : (n) (n) (n) [0, +) Gi s x(0) > 0, : : 3/2 v < 3/2 vi mi n Khi ú x(n) = (n1) (0) x(0) , 2 36 v vỡ th (n) lim x(n) C1 lim x(n) n ài n = + n (n) nh lý 2.5 Cho mt thut toỏn chiu, gi s Pi hi t tớch cc theo tng im ti Pi vi mi ch s i Hn na, gi s cú dóy no ú (n ) ca (n) cho vi mi ch s i (n ) (n ) i v i i i vi i [0, 2] v i [0, 1] Nu phn ca C khỏc rng thỡ dóy (x(n) ) hi t theo chun ti mt im no ú C Chng minh Theo H qu 2.1(i), (x(n) ) hi t theo chun ti im x no ú Ta phi ch x C Tht vy, trc ht ta khng nh (n ) (n ) Pi (n ) (n ) x Vỡ Pi (n ) i (n ) Pi x Pi x vi mi ch s i (n ) (n ) x x x(n ) x nờn ta cú Pi (n ) Pi x Do i > nờn ta thy rng i l ch s tớch cc ti n vi mi n ln (n) (n ) Gi thit v (Pi ) kộo theo Pi gi x Pi x T ú suy iu khng nh Bõy N (n+1) x (n ) = i (n ) ((1 i (n ) )x(n ) + i (n ) (n ) Pi x ); i=1 bng cỏch ly gii hn theo dóy (x(n ) ) v t iu va khng nh, ta cú N i ((1 i )x + i Pi x) x= i=1 hay N i i x= N i=1 j j Pi x j=1 Mnh 1.10 kộo theo x C v chng minh c hon thnh Vớ d 2.11 Gi s H l hu hn chiu, thut toỏn chiu cú cỏc hng v (n) cỏc tham s ni lng ch ph thuc vo n, chng hn i (n) vi mi ch s i v mi n Gi s thờm rng cú dóy (n ) ca (n) cho vi mi ch s (n ) i, i i vi i > no ú 37 (n) (i) Nu cú > cho i vi mi n ln thỡ dóy (x(n) ) hi t theo chun ti im no ú C (ii) Nu phn ca C v cú dóy (n ) ca (n ) tha (n thỡ dóy (x(n) ) hi t theo chun ti im no ú C Chng minh (i) Gi thit v trng s kộo theo i Nh vy (i) suy t Vớ d 2.9 (ii) suy trc tip t nh lý 2.5 (n) n ài ) = + vi mi ch s (n) Nhn xột 2.16 ý l nh lý 2.5 lm vic tt c bit i Vỡ (n) trng hp ny ài nờn khụng cú kt qu no trc õy c ỏp dng Nu b gi thit int C = thỡ kt lun ca nh lý 2.5 khụng cũn ỳng (xem Vớ d 2.1) nh ngha 2.5 (iu khin) Ta núi thut toỏn chiu xột cỏc xa nht nu mi n, ớt nht mt ch s xa nht l tớch cc, tc l (n) Ixa := {i : d(x(n) , Ci ) = max{d(x(n) , Cj ) : j = 1, , N }} I (n) = Theo Censor, ta núi v iu khin xa nht nu thut toỏn chiu l chớnh quy v xột cỏc xa nht Rừ rng l nh lý 2.6 (Kt qu tụpụ yu) Gi s thut toỏn chiu hi t mnh v xột cỏc t xa Hn na, gi s rng (i(n) ) l dóy ch s tớch cc xa nht, tc l (n) i(n) Ixa vi mi n (i) Nu (n) n ài(n) = + thỡ cú dóy (x(nk ) )k ca (x(n) ) cho max{d(x(nk ) , Cj ) : j = 1, , N } 0, v (x(nk ) )k hi t yu ti im t yu nht ca (x(n) ) C (n) (ii) Nu limài(n) > thỡ (x(n) ) hi t yu ti mt im no ú C v max{d(x(n) , Cj ) : j = 1, , N } Chng minh (i) Theo B 2.1(iv), cỏc chui (n) ú limn d(x(n) , Ci(n) ) = Nh vy, ta cú th (n) (n) (n) n ài(n) d(x , Ci(n) ) hi t Do trớch dóy (x(nk ) )k v c 38 (n) nh ch s i tha d(x(n) , Ci(n) ) 0, i(nk ) i v (x(nk ) ) hi t yu Do thut toỏn hi t mnh v xột cỏc xa nht, nờn ta kt lun rng max{d(x(nk ) , Cj ) : j = 1, , N } Theo tớnh na liờn tc di yu ca d(ã, cj ) vi mi ch s j, gii hn yu ca x(nk ) nm C Theo nh lý 2.6(ii), (x(n) ) cú nhiu nht mt im t yu C Do ú (i) ỳng; (ii) c chng minh tng t Nhn xột 2.17 iu khin xa nht l khỏi nim c v thnh cụng T nm 1954 nhiu tỏc gi (Agmon, Motzkin v Schoenberg) ó nghiờn cu cỏc thut toỏn chiu gii h bt phng trỡnh tuyn tớnh nh dựng iu khin xa nht Bregman ó xột tỡnh cú hp tựy ý ca tng giao cỏc hp li úng Kt lun chng Chng ny ó cp ti s thut toỏn, bao gm thut toỏn chiu gii bi toỏn chp nhn c li Trỡnh by chi tit khỏi nim s lp ca thut toỏn nờu ti liu tham kho [3], cựng vi cỏc khỏi nim cú liờn quan (thut toỏn chớnh quy tim cn, thut toỏn khụng b ni lng, thut toỏn k d, thut toỏn trng s, ) Nờu cỏc tớnh cht c bn ca thut toỏn, khỏi nim thut toỏn hi t v kt qu hi t (nh lý lng phõn I v II) Vi thut toỏn chiu trỡnh by cỏc kt qu v s hi t tuyn tớnh ca thut toỏn 39 KT LUN Lun ny cp ti bi toỏn chp nhn c li v cỏc thut toỏn tỡm nghim ca bi toỏn khụng gian Hilbert õy l lp bi toỏn cú ng dng quan trng thc tin v c nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu nhiu nm gn õy Lun ó trỡnh by mt s ni dung c th sau Mt s khỏi nim v kin thc c bn v khụng gian Hilbert, s hi t yu v hi t mnh, toỏn t tuyn tớnh, ỏnh x khụng gión (ỏnh x khụng gión bn vng, ỏnh x trung bỡnh, nguyờn lý bỏn úng), toỏn t chiu, ỏnh x co, ỏnh x co mnh, dóy n iu Fejộr: Tớnh cht v mt s kt qu cú liờn quan Thut toỏn gii bi toỏn chp nhn c li: s thut toỏn, cỏc dng thut toỏn (chớnh quy tim cn, ni lng, k d, trng s, thut toỏn chiu, ); tớnh cht c bn ca thut toỏn, cỏc vớ d v nhn xột Cỏc kt qu v s hi t: nh lý lng phõn I, s hi t tụpụ yu Nguyờn mu ca thut toỏn chiu hi t, s hi t tuyn tớnh, nh lý lng phõn II v s hi t theo tụpụ yu Ni dung trỡnh by lun xem nh l mt s kin thc ó tỡm hiu bc u ca tỏc gi v bi toỏn chp nhn c li v cỏc thut toỏn gii bi toỏn Cỏc kin thc ny to c s sau ny tỏc gi s tỡm hiu thờm cỏc bi toỏn v thut toỏn khỏc lnh vc toỏn gii tớch v toỏn ng dng 40 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Phm K Anh, Trn c Long (2001), Giỏo trỡnh hm thc v gii tớch hm, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [2] Lờ Dng Mu, Nguyn Hin v Nguyn Hu in (2014), Giỏo trỡnh gii tớch li v ng dng, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni Ting Anh [3] H H Bauschke, J M Borwein (1996), On projection algorithms for solving convex feasibility problems, SIAM REVIEW, 38(3), 367-426, September [4] H H Bauschke, P L Combettes (2010), Convex Analysis and Mono-tone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [5] F E Browder (1967), Convergence theorems for sequences of nonlinear operators in Banach spaces, Math Z., 100, 201-225 [6] S D.Flam, J Zowe (1990), Relaxed outer projections, weighted averages and convex feasibility, BTT, 30, 289-300 ... Thuật toán giải toán chấp nhận lồi Chương đề cập tới thuật toán (bao gồm thuật toán chiếu) giải toán chấp nhận lồi Tài liệu sử dụng [3], [5], [6] Chương có số tiểu mục sau: 2.1 Mô tả sơ đồ thuật. .. chúng hội tụ tới nghiệm toán chấp nhận lồi Đó cách tiếp cận phân tích, nghiên cứu trình bày tài liệu tham khảo [3] Đề tài luận văn Về thuật toán chiếu giải toán chấp nhận lồi nhằm mục đích tìm... chiếu Ci , nhiên mô tả hình chiếu tập xấp xỉ rộng Ci Thường, Ci tập mức hàm lồi Tiếp cận hay sử dụng để giải toán chấp nhận lồi thuật toán chiếu Ý tưởng thuật toán là: chiếu tập Ci (hoặc tập xấp