Thuật toán chấp nhận trì hoãn và thiết kế thị trường

Lời mở đầuKhi nghiên cứu về sự tắc nghẽn của việc phân bổ lao động của một sốthị trường tại Mỹ, Alvin Roth đã nhận thấy sự tương đồng của những thịtrường này với mô hình toán học đã được

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————

NGUYỄN TIẾN HUY

THUẬT TOÁN CHẤP NHẬN TRÌ HOÃN

VÀ THIẾT KẾ THỊ TRƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————

NGUYỄN TIẾN HUY

THUẬT TOÁN CHẤP NHẬN TRÌ HOÃN

VÀ THIẾT KẾ THỊ TRƯỜNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên, năm 2014

Mục lục

1.1 Tuyển sinh đại học và hôn nhân bền vững 7

1.1.1 Giới thiệu 7

1.1.2 Các tiêu chí về phân bổ 8

1.1.3 Hôn nhân bền vững 10

1.2 Thuật toán chấp nhận trì hoãn 11

1.2.1 Định lý về sự tồn tại phân bổ ổn định với vấn đề hôn nhân 11

1.2.2 Phân bổ ổn định với vấn đề tuyển sinh 14

1.2.3 Phân bổ ổn định tối ưu 15

Chương 2 Thiết kế thị trường 16 2.1 Sự minh bạch: Những Thị trường bác sĩ 16

2.1.1 Thị trường cho những bác sĩ mới ở Mỹ 17

2.1.2 Thị trường y tế địa phương tại Vương quốc Anh 18

2.1.3 Bằng chứng thử nghiệm 20

2.2 Thiết kế thị trường 21

2.2.1 Thiết kế lại thị trường bác sĩ 21

2.2.2 Tuyển sinh đại học 23

2.2.3 Trao đổi thận 25

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới GS TSKH Hà Huy Khoái, người đã tận tình hướng dẫn,giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành được luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo thuộc KhoaToán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, bạn bè, đồngnghiệp, người thân đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn

Lời mở đầu

Khi nghiên cứu về sự tắc nghẽn của việc phân bổ lao động của một sốthị trường tại Mỹ, Alvin Roth đã nhận thấy sự tương đồng của những thịtrường này với mô hình toán học đã được Lloyd Shapley nghiên cứu từ cáchđây 50 năm Sau đó, ông đã nghiên cứu và thiết kế lại những thị trường nàydựa trên thuật toán chấp nhận trì hoãn được đưa ra bởi D Gale và LloydShapley năm 1962 Những đóng góp to lớn của Roth đã được ghi nhận, tháng

10 năm 2012 Alvin Roth và Lloyd Shapley vinh dự nhận Giải Nobel Kinh tế

về Lý thuyết phân bổ ổn định và thiết kế thị trường

Câu chuyện bắt đầu vào năm 1962, David Gale (người đã qua đời năm2008) và Shapley, hiện 89 tuổi, đã cho công bố bài báo mang tên "Tuyển sinhđại học và Sự ổn định của hôn nhân" (College Admissions and the Stability

of Marriage) Hai ông cho rằng sự tương đồng giữa tuyển sinh đại học, trong

đó sinh viên và trường đại học đang tạo thành cặp đôi với sự cố gắng làm cảhai bên hài lòng, và thị trường hôn nhân, trong đó một số cố định nam giới

và nữ giới đang cố gắng tìm kiếm hôn nhân

Trong các vở kịch lãng mạn, từng người đàn ông và đàn bà đều kết hônvới tình yêu đích thực của mình Trong cuộc sống thực tế, một số người miễncưỡng chấp nhận "nhân vật hạng hai" một việc làm có thể dẫn đến rất nhiềurắc rối Nếu John và Mary yêu nhau nhưng đã kết hôn với những người khác,rất có thể họ sẽ bỏ người bạn đời hiện tại và cưới nhau Nhưng nếu John yêuMary, trong khi Mary yêu chồng cô hơn John, cả hai sẽ không có thay đổinào trong cuộc hôn nhân của họ

Gale và Shapley nghĩ ra một thuật toán để ghép một số lượng bằng nhaunam giới và nữ giới Từng nam giới và nữ giới sẽ xếp hạng đối tác yêu thíchcủa họ Từng nam giới cầu hôn người phụ nữ được anh ta xếp hạng cao nhất.Mỗi người nữ giới từ chối toàn bộ những lời cầu hôn chị ta nhận được ngoại

trừ người được xếp hạng cao nhất Nhưng người phụ nữ này không chấpnhận lời cầu hôn, nếu người đàn ông chị ta yêu thích thậm chí lại cầu hônvào lần tới Thuật toán này được lặp lại cho đến khi toàn bộ số phụ nữ cóđược lời cầu hôn vừa ý.

Trên thực tế thì lý thuyết ổn định và thuật toán chấp nhận trì hoãn không

có cơ hội để biến đổi thị trường hôn nhân Nhưng Roth đã đưa ứng dụngthực tiễn của thuật toán vào những lĩnh vực khác Trong những năm 1940,cuộc cạnh tranh giành bác sĩ đôi khi đã chứng kiến việc các bệnh viện thậmchí "chào mời" sinh viên nhiều năm trước khi họ tốt nghiệp, trước khi biết

rõ bằng cấp và khả năng chuyên môn của họ Chương trình quốc gia về lựachọn bác sĩ phù hợp (The National Resident Matching Programme) đượcđưa ra nhằm lựa chọn bác sĩ phù hợp cho các bệnh viện theo phương thứctối đa hóa sự hài lòng của cả 2 bên Chương trình này Roth đã viết trongmột tài liệu năm 1984, là ví dụ đời thực về thuật toán "chấp nhận trì hoãn"(deferred-acceptance) của 2 ông Gale và Shapley

Những hệ thống khác hoạt động ít hiệu quả hơn Cả hệ thống trường côngNew York và Boston được sử dụng để chỉ định sinh viên theo sự lựa chọn yêuthích của họ, nhưng sinh viên thường phải quyết định trước khi biết toàn bộquyền lựa chọn của họ Hàng nghìn người học xong phổ thông mà không bày

tỏ sự yêu thích nào Ông Roth giúp thiết kế thuật toán cho cả 2 trường trên

và giúp giảm đáng kể những lựa chọn sai lầm

Roth cũng áp dụng kiến thức của mình vào hoạt động hiến nội tạng Mộtngười sẽ không hiến thận trong nhiều tình huống và hoàn cảnh, nhưng lại cóthể hiến thận nếu vợ anh ta cần Nếu nhóm máu của họ không phù hợp, họ

có thể được ghép đôi với những cặp đôi khác tương tự Chương trình Traođổi Thận của New England, được sáng lập một phần nhờ ông Roth, tích hợpnhiều chuỗi những người hiến tặng và người tiếp nhận và tăng nguồn cungcấp thận bằng cách làm cho người hiến tặng tự tin hơn rằng người yêu dấucủa họ cũng sẽ tìm được một quả thận phù hợp

Ngày nay internet có thể giúp hệ thống đối xứng phù hợp trở nên khả thi.Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể cải tiến những hệ thống hiện có.Utku ¨Unver tại Đại học Boston, người đã cùng ông Roth phát triển chươngtrình trao đổi thận, chỉ rõ việc sắp xếp sinh viên luật vào vị trí thư ký chothẩm phán liên bang Các thẩm phán có quyền kiểm soát toàn bộ đối với

những người họ thuê làm, và những sinh viên mà họ chọn, do vậy, hệ thốnglựa chọn phù hợp mang lại ít lợi ích hơn.

Khi các khoa kinh tế học thuê mới tiến sĩ đến làm việc, hệ thống lựa chọnphù hợp sẽ giúp các giao dịch trở nên thuận lợi hơn vì rất khó để gian lậntrong hệ thống này Ông Utku ¨Unver cùng cộng sự đang phát triển phươngthức giới thiệu những đứa trẻ phù hợp đến các giai đình muốn nhận con nuôi

ở Pennsylvania, tuy vậy, quyết định cuối cùng lại tùy thuộc vào nhân viên

đề đời thực

Trong luận văn này, tôi xin trình bày về thuật toán chấp nhận trì hoãncũng như những đóng góp của Giáo sư Roth trong việc ứng dụng thuật toántrên vào việc thiết kế thị trường

Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày về thuật toán Gale-Shapley (thuật toán chấp nhậntrì hoãn) và những lý thuyết về phân bổ ổn định

Chương 2 luận văn xin được đưa ra ứng dụng của thuật toán chấp nhậntrì hoãn vào thiết kế thị trường cũng như những đóng góp của Giáo sư Roth

Do thời gian nghiên cứu có hạn, luận văn không tránh khỏi những thiếusót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014

Người thực hiện

Nguyễn Tiến Huy

Chương 1

Thuật toán chấp nhận trì hoãn

1.1 Tuyển sinh đại học và hôn nhân bền vững

1.1.1 Giới thiệu

Bài toán mà chúng ta quan tâm liên quan tới tình huống điển hình sau:Một trường đại học đang xem xét một tập n thí sinh (đơn xin nhập học)trong đó chỉ có nhận q chỉ tiêu Qua việc đánh giá khả năng trình độ của họ,phòng tuyển sinh phải quyết định những thí sinh nào được nhận Phươngthức tuyển sinh chỉ q− thí sinh đủ năng lực trình độ sẽ không được thỏađáng, không thể giả định rằng tất cả những người được nhập học sẽ chấpnhận Theo đó, để trường đại học nhận đủq− chấp thuận, trường đó thườngphải đưa ra chấp nhận nhiều hơnq− thí sinh Bài toán xét xem có bao nhiêungười và những người nào trong số họ đồng ý cần thiết hơn là sự phỏng đoán

Có thể không biết được liệu một thí sinh ở trên cũng nộp đơn ở những trườngkhác hay không; nếu biết được điều này thì cũng có thể không thể biết đượcthí sinh đó xếp hạng những trường đại học thí sinh đó đã nộp đơn như thếnào; thậm chí nếu điều này được biết thì cũng sẽ không biết được có nhữngtrường khác chấp nhận nhập học cho anh ta Kết quả của những điều khôngchắc chắn này là những trường đó chỉ có thể trông đợi ở những lớp nhập họcvới số sinh viên hợp lý gần đạt đến chỉ tiêu mong muốn, và chất lượng tốtnhất có thể đạt được

Một vấn đề khó khăn đó là việc đưa ra "danh sách đợi", theo đó một thí

sinh không được nhận nhưng có thể được nhận sau đó nếu trường đó vẫnchưa tuyển đủ Việc này nảy sinh thêm vấn đề mới, giả sử một thí sinh đượcnhận vào một trường và có tên trong danh sách đợi của một trường khác màanh ta thích hơn Anh ta có nên lựa chọn an toàn bằng việc chấp nhận vàohọc trường đã nhận mình hay chờ đợi một cơ hội rằng trường anh ta thíchhơn sẽ nhận anh ta?

Chúng ta nên cố gắng để những vấn đề khó khăn được nêu ra ở trên đây

có thể tránh được Chúng ta sẽ mô tả một phương thức gán một thí sinh vớimột trường đại học mà có thể thỏa mãn cả đôi bên trong đó chúng ta loại bỏhết sự không chắc chắc trong các trường hợp và giả sử rằng có đủ thí sinhvào mỗi trường theo đủ chỉ tiêu

1.1.2 Các tiêu chí về phân bổ

Một tập n thí sinh được phân giữa m trường đại học, với qi là chỉ tiêu củatrường thứi Mỗi thí sinh xếp hạng trường theo thứ tự ưu tiên của người đó,chỉ bỏ sót những trường mà người đó không bao giờ chấp nhận vào học dướimọi trường hợp Để thuận tiện hơn, chúng ta giả sử giữa thí sinh và trườngkhông có quan hệ nào, theo đó một thí sinh vô tư giữa hai hay nhiều trường

mà người đó không cần thiết sắp xếp theo trật tự nào đó Mỗi trường đạihọc tương tự cũng xếp hạng thí sinh đã nộp đơn theo tiêu chí của mình, loạinhững thí sinh mà không đáp ứng yêu cầu dưới mọi trường hợp, thậm chí

kể cả không tuyển đủ chỉ tiêu Từ những dữ kiện trên, bao gồm cả chỉ tiêutuyển sinh của các trường và hai tập hợp sắp xếp đó, chúng ta muốn xácđịnh một sự phân bổ của thí sinh vào các trường dựa vào sự thỏa thuận dựatrên tiêu chí công bằng nhất

Phát biểu như cách ở trên nghe có vẻ không sâu sắc, lời giải có thể sẽ rõràng Việc này đơn thuần tạo nên sự phân bổ theo những tiêu chí đã đượcđưa ra Nhưng chỉ một vài sự việc đối ngược nảy sinh cũng làm cho việc phân

bổ trở lên khó khăn Một ví dụ trong trường hợp đơn giản giữa 2 trường A

vàB, và hai thí sinh α và β trong đó α thích trườngA hơn vàβ thích trường

B hơn, nhưng trường A thích thí sinh β hơn và trường B thích thí sinh α

hơn Và ở đây không có sự phân bố nào có thể thỏa mãn tất cả tiêu chí trên.Phải quyết định làm thế nào đó trong trường hợp như thế này Theo triết

lý thì trường đại học tồn tại là để cho sinh viên học, vì vậy hợp lý hơn nếuphân thí sinh α vào trường A và thí sinh β vào trường B.

Vấn đề chốt lại ở đây đó là phải quyết định như thế nào trong trường hợp

ở bên trên

Định nghĩa 1.1 Một sự phân bổ giữa các thí sinh và các trường đại họcđược gọi là không ổn đinh (không bền vững) nếu có hai thí sinh α và β lầnlượt được phân vào trường A và trường B, mặc dù β thích trường A hơntrường B và trường A cũng muốn có được sinh viên α hơn β

Giả sử tình huống mô tả ở trên không xảy ra Thí sinhβ không được phânvào trường A, trường mà thí sinh đó muốn được vào học Khi đó trường A

có thể thay đổi lại bằng việc không nhận thí sinh α và giành chỉ tiêu đó chosinh viên β Sự phân bổ lúc này được gọi là không ổn định với nghĩa là nó

có thể bị phá bỏ bởi việc một trường có thể nhận thí sinh mình thích hơn.Yêu cầu đầu tiên của chúng ta trong sự phân bổ trên có vể như không ổn.Điều này ngay lập tức nảy sinh câu hỏi: Liệu có khả năng tìm được một sựphân bổ? Một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này được đưa ra ở phầntiếp theo

Giả sử lúc này phân bổ ổn định tồn tại, chúng ta vẫn phải quyết địnhxem trong những khả năng phân bổ ổn định đó, đâu là tốt nhất

Định nghĩa 1.2 Một sự phân bổ ổn định được gọi là tối ưu nếu mỗi thísinh ít nhất đều được vào trường mình ưng ý hơn so với bất kỳ sự phân bổ ổnđịnh nào khác

Thậm chí cho rằng sự tồn tại của sự phân bổ ổn định khác xa so với sựphân bố ổn tối ưu Tuy nhiên, một điều rõ ràng sự phân bổ ổn định tối ưunếu có tồn tại thì sẽ duy nhất Thực sự nếu có hai sự phân bổ, trong đó ítnhất một thí sinh sẽ được chấp nhận vào trường tốt hơn trong trường hợpcòn lại; vì vậy một trong sự phân bổ đó sẽ không là tối ưu Vì vậy nguyêntắc về ổn định và tối ưu sẽ xảy ra, khi câu hỏi tồn tại đã được giải quyết,dẫn dắt chúng ta tới một sự phân bổ tốt nhất

1.1.3 Hôn nhân bền vững

Một vấn đề có nhiều nét tương đồng với vấn đề tuyển sinh đại học đó làvấn đề hôn nhân bền vững Trong một cộng đồng nhất định bao gồm nngườiđàn ông và m người phụ nữ Mỗi người xếp hạng những người trong giới đốilập với họ theo một thứ tự ưu tiên nhất định để chọn người phù hợp để kếthôn Chúng ta tìm kiếm cách phù hợp để có thể tạo nên hôn nhân cho tất cảcác thành viên trong cộng đồng người đó Theo như định nghĩa trước, chúng

ta gọi một tập những hôn nhân không bền vững nếu có một người đàn ông

và một người phụ nữ không kết hôn với nhau mặc dù họ rất thích nhau.Câu hỏi: Với bất kỳ tiêu chí ưu tiên đưa ra, liệu có thể tìm được một tậphôn nhân bền vững hay không?

Trước khi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi này, chúng ta hãy xem ví dụ sau

Ví dụ 1.1 Dưới đây là "ma trận xếp hạng" của 3 người đàn ông α, β và γ

và cuối cùng là C, trong khi người đàn ông A lại chọn phụ nữ β là sự lựachọn số một, γ là thứ hai và cuối cùng mới chọn α

Có 6 khả năng kết hôn, trong đó có 3 là bền vững Một kết hôn trong số

đó được thực hiện bằng việc mỗi người đàn ông sẽ cưới người phụ nữ mà anh

ta thích nhất, tức là α kết hôn với A, β kết hôn với B và γ kết hôn với C.Chú ý rằng mỗi người phụ nữ cưới được người đàn ông đều là những ngườiđàn ông thứ ba trong số 3 người đàn ông mà họ được chọn Sự sắp xếp nhưtrên tuy thế mà bền vững Ngoài ra còn một cách kết hôn đó là mỗi ngườiphụ nữ cưới người đàn ông mà họ thích nhất, α cưới C, β cưới A và γ cưới

B Cách kết hôn bền vững thứ ba đó là cho họ cưới người mà họ chọn thứ

hai trong số 3 người, ta có α cưới B, β cưới C và γ cưới A Chúng ta hoàntoàn có thể chỉ ra rằng các cách kết hôn còn lại khác là không bền vững.

Ví dụ 1.2 Ma trận xếp hạng được cho như sau:

Ví dụ 1.3

Một vấn đề tương tự với vấn đề hôn nhân, đó là vấn đề "bạn cùng phòng".Một số chàng trai muốn được chia thành các cặp để ở cùng phòng với nhau.Một tập các cặp như trên được gọi là ổn định nếu không có hai anh chàngnào không cùng phòng và lại thích ở với người bạn khác hơn là ở với ngườicùng phòng với mình hiện tại Một ví dụ đơn giản chỉ ra rằng có tình huống

mà không tìm được cặp ổn định Cụ thể là, xét bốn anh chàng α, β, γ và δ

α thích ở với β nhất, β chọn γ là người muốn ở chung phòng nhất, γ chọnngười mình muốn ở cùng phòng nhất là α, và cả ba người α, β, γ đều xếp δ

vào vị trí cuối cùng trong số những người mình muốn chung phòng Do đóbất kể sự lựa chon của δ là như thế nào đi nữa thì cũng không thể có đượccặp chung phòng ổn định vì bất cứ ai được xếp ở cùng phòng với δ đều muốndọn đi và một trong hai chàng còn lại sẵn sàng để cho người đó vào ở chungphòng với mình

1.2 Thuật toán chấp nhận trì hoãn

1.2.1 Định lý về sự tồn tại phân bổ ổn định với vấn đề hôn nhân

Trong các ví dụ ở phần trên, lời giải với bài toán phân bổ ổn định cònchưa rõ ràng, và chúng ta luôn quan tâm đến câu hỏi phân bổ ổn định có

luôn luôn tồn tại hay không Để trả lời câu hỏi này, trong bài báo năm 1962(xem [5]), D Gale và L Shapley đã chỉ ra rằng:

Định lý 1.1 Luôn luôn tồn tại một hôn nhân bền vững

Chứng minh D Gale và L Shapley đã chứng minh định lý trên bằng việcđưa ra thuật toán, mang tên Thuật toán Gale-Shapley hay còn gọi là "Thuậttoán chấp nhận trì hoãn"

Thuật toán chấp nhận trì hoãn được mô tả như sau:

Bước 1: cho mỗi chàng trai đưa ra lời cầu hôn tới người con gái mà anh

ta thích nhất Mỗi người con gái nhận được nhiều hơn một lời cầu hôn sẽ từchối tất cả và chỉ giữ lại lời cầu hôn của người con trai mà cô ta thích Tuynhiên cô ta chưa đồng ý ngay, nhưng giữ lại lời cầu hôn của người con trai

đó và chờ đợi lời cầu hôn từ người mà cô ta mong muốn hơn

Bước 2: Những người con trai bị từ chối ở lần cầu hôn đầu tiên, tiếp tụccầu hôn với người con gái mà anh ta thích thứ hai Mỗi cô gái nhận được lờicầu hôn sẽ chọn lời cầu hôn từ nhóm bao gồm những lời cầu hôn mới và lờicầu hôn của người con trai mà cô ta đã giữ lại trước đó Cô ta tiếp tục từchối và chỉ giữ lại lời cầu hôn từ người mà cô ta còn phân vân

Bước k: Những người con trai bị từ chối ở lần cầu hôn thứ trước đó tiếptục cầu hôn với cô gái trong lựa chọn tiếp theo của mình, các cô gái từ chốitất cả các lời cầu hôn và chỉ giữ lại lời cầu hôn từ người con trai mà cô tathích nhất trong số những lời cầu hôn đó

Cuối cùng, mọi cô gái đều nhận được lời cầu hôn cho đến khi bất kỳ côgái nào không được cầu hôn sẽ bị từ chối và nhận lời cầu hôn mới, nhưng

vì không có anh chàng nào có thể cầu hôn tới cùng một cô gái hơn một lần,nên mọi cô gái chắc chắn sẽ nhận được lời cầu hôn Ngay sau khi các cô gáinhận được những lời "tán tỉnh" như trên, mỗi cô gái bây giờ cần thiết phảichấp nhận những chàng trai trong danh sách đợi của cô gái đó

D Gale và L Shapley đã chỉ ra rằng thuật toán trên tối đa sẽ phải thựchiện n2 − 2n + 2 bước lặp

Chúng ta khẳng định rằng cách thiết lập hôn nhân này là bền vững Thậtvậy, giả sử John và Mary đều chưa kết hôn với nhau nhưng John thích Maryhơn vợ của anh ấy Theo đó, John đã phải cầu hôn Mary ở một bước nào đó

và bị Mary từ chối bởi vì Mary nhận được lời cầu hôn từ một người mà cô

ấy thích hơn Rõ ràng là Mary phải thích chồng của cô ấy hơn John và do

đó sẽ không có hôn nhân bền vững

Chú ý:

+) Điều kiện về số con trai và con gái bằng nhau là không cần thiết Nếu

có b chàng trai và g cô gái với b < g, quá trình sẽ dừng lại ngay khi b cô gáiđược cầu hôn Nếu b > g thì quá trình trên sẽ kết thúc mọi chàng trai đềunằm trong danh sách đợi của các cô gái hoặc bị tất cả các cô gái từ chối.Trong những trường hợp này thì hôn nhân đều bền ổn định bền vững.+) Rõ ràng, còn có một cách ngược lại đó là việc các cô gái đi cầu hôncon trai, và cũng dẫn đến hôn nhân bền vững Hai lời giải của bài toán hônnhân bền vững này không giống nhau Trong trường hợp khi người con traicầu hôn thì kết quả nhận được là tối ưu đối với người con trai, và ngược lạivới lời cầu hôn của các cô gái thì kết quả nhận được là tối ưu với các cô gái.Lời giải trong hai trường hợp trên là giống nhau chỉ khi có một hôn nhânbền vững duy nhất