Từ đây trở về sau ta dành riêng xét tình huống sau đây.
Đặt vấn đề. Ta giữ lại các giả thiết ở Chương 2, trong đó ta đã định nghĩa thuật toán. Ở đây ta giả thiết thêm rằng Ti(n) là phép chiếu trên tập lồi đóng khác rỗng Ci(n) nào đó chứa Ci.
Ti(n) := Pi(n) := PC(n)
i
và Ti(n) ⊇ Ci với mọi chỉ số i và mọi m≥ 0.
Ta còn giả thiết rằng D := H, điều này là có thể vì phép chiếu được xác định khắp mọi nơi. Ta ký hiệu ngắn gọn
và gọi thuật toán trong cách đặt này là thuật toán chiếu (projection algorithm). Ta nói thuật toán chiếu có các tập hằng (constant sets) nếuCi(n) ≡ Ci với mọi
n≥ 0 và mọi chỉ số i.
Nhận xét 2.11. Về mặt hình thức thuật toán chiếu là sự mở rộng đôi chút của thuật toán Flam và Zower [6] (tuy nhiên, do ta cho phép các không gian Hilbert vô hạn chiều và giả thiết các siêu phẳng ít hạn chế hơn, cho nên ta sẽ nhận được các kết quả thực chất tổng quát hơn.
Đương nhiên, tất cả các kết quả trình bày ở các mục trước đây có thể áp dụng được cho thuật toán chiếu. Tuy nhiên, trước khi có thể làm điều đó ta cần phải hiểu rõ hơn ý nghĩa của thuật toán chiếu hội tụ. Nguyên mẫu đầu tiên của thuật toán chiếu hội tụ được diễn đạt theo ngôn từ của sự hội tụ tập theo nghĩa của Mosco.
Bổ đề 2.2. Giả sử (Sn) là một dãy các tập hợp lồi đóng và có tập hợp lồi đóng
S nào đó với S ⊆ Sn với mọi n. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) PSn →Ps từng điểm theo chuẩn.
(ii) Sn →S theo nghĩa Mosco, nghĩa là hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(a) Với mọi s ∈ S tồn tại dãy (sn) hội tụ theo chuẩn về s, sn ∈Sn,∀n.
(b) Nếu (snk)k là dãy hội tụ yếu với snk ∈ Snk với mọi k, thì giới hạn yếu của dãy nằm trong S.
(iii) Nếu (xnk)k là dãy hội tụ yếu với xnk−Psnk →0, thì giới hạn yếu của dãy nằm trong S.
Hơn nữa, nếu một (do đó mỗi) trong các điều kiện trên được thỏa mãn thì
S =\
n
Sn.
Chứng minh. (i) ⇔ (ii): Đây là trường hợp không gian Hilbert của Tkusada (Định lý 3.2 [10]). Chứng minh (ii) ⇔(iii) và phần “Hơn nữa” khá dễ dàng nên bị bỏ qua.
Định lý 2.3. (Nguyên mẫu thứ nhất của thuật toán chiếu hội tụ). Nếu (Pi(n))
hội tụ tích cực từng điểm tới Pi với mọi chỉ số i, thì thuật toán chiếu hội tụ và
Ci = \
n:n tích cực đối vớii
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.2 cho (Ci(n)) n:ntích cực đối vớii đối với mọi i.
Ví dụ 2.4. Giả sử Ci =T
nCi(n) và (Ci(n))n giảm, nghĩa là (Ci(1))⊇ (Ci(2))⊇ . . .⊇ (Ci(n))⊇ . . .
với mọi n≥ 0và mọi chỉ số i. Khi đó thuật toán chiếu là hội tụ. Hơn nữa, nếu thuật toán chiếu là đứt đoạn và lim n:ntích cực đối vớii µ(in) > 0 với mọi chỉ số
i thì dãy (x(n)) là chính quy tiệm cận và hội tụ yếu tới điểm nào đó trong C.
Chứng minh. Mosco đã chứng minh rằng một dãy giảm dần các tập lồi đóng hội tụ tới giao của chúng. Từ Định lý 2.3 và Bổ đề 2.2 suy ra thuật toán chiếu là hội tụ. Kết luận bây giờ được suy ra từ Định lý 2.2(i).
Nhận xét 2.12. Ballon đã thu được Ví dụ 2.4 với thuật toán là hầu tuần hoàn (tức đứt đoạn và kỳ dị) và không bị nới lỏng (tức α(in) = 1 với mọi n và mọi chỉ số i là tích cực tại n bất kỳ).
Ví dụ 2.5. (Phép chiếu ngẫu nhiên). Giả sử thuật toán chiếu là kỳ dị (tứcI(n)
gồm duy nhất một phần tử với mọi n), không bị nới lỏng và có các tập hằng số. Nếu đối với chỉ số j nào đó, tập Cj là compac bị chặn thì dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới điểm nào đó trong C. Nói riêng, điều này đúng nếu H là hữu hạn chiều.
Chứng minh. Ví dụ 2.4 cho thấy rằng thuật toán hội tụ. Cũng vậy, µ(in) = 1 với mọin≥ 0 và mọi chỉ sối tích cực tạin. Dãy (x(n))n:ntích cực đối vớij nằm trong Cj và vì thế phải có một điểm tụ theo chuẩn. Do đó theo Định lý 2.1, toàn bộ dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới điểm nào đó trong C.
Để phát biểu nguyên mẫu thứ hai của thuật toán chiếu hội tụ (cũng như các kết quả hội tụ theo chuẩn và hội tụ tuyến tính trong các tiết sau) ta cần thêm một số định nghĩa.
Định nghĩa 2.4. Ta nói thuật toán chiếu là hội tụ tuyến tính (linearly focus- ing) nếu có số β > 0 sao cho βd(x(n), Ci) ≤ d(x(n), Ci(n)) với mọi n đủ lớn và mọi chỉ số i tích cực tại n.
Ta nói phép chiếu hội tụ mạnh (strongly focusing) nếu x(nk) * x,
d(x(nk), C(nk)
i )→0, i tích cực tại nk kéo theo d(x(nk), Ci)→0 với mọi chỉ số i
Theo Định nghĩa 2.1 và tính nửa liên tục dưới yếu của d(·, Ci), ta nhận được hội tụ tuyến tính ⇒ hội tụ mạnh ⇒ hội tụ.
Hệ quả 2.7. (Nguyên mẫu thứ hai của thuật toán chiếu hội tụ). Mọi thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính là hội tụ.
Nhận xét 2.13. Flam và Zowe [6] đã dùng các thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính trong không gian Euclide rất có kết quả (xem thêm Ví dụ 2.8).
Hệ quả 2.8. (Nguyên mẫu của thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính). Nếu thuật toán chiếu có các tập hằng thì thuật toán hội tụ tuyến tính.
Hệ quả 2.9. (Nguyên mẫu của thuật toán chiếu hội tụ mạnh). Giả sử thuật toán chiếu hội tụ. Nếu các số hạng của dãy (x(n)) tạo nên một tập compac tương đối thì thuật toán chiếu hội tụ mạnh. Nói riêng, điều này xảy ra khi H hữu hạn chiều hoặc phần trong của C khác rỗng.
Chứng minh. Giả sử không đúng. Khi đó ta có ε > 0, x ∈ H, một chỉ số i và một dãy con (x(nk))k với x(nk) * x, x(nk) −P(nk)
i x(nk) → 0, i tích cực tại nk, nhưng kx(nk)−Pix(nk)k ≥ ε với mọi k. Do thuật toán hội tụ nên x ∈ Ci. Sau khi chuyển qua dãy con nếu cần, ta có thể giả thiết (do giả thiết compac) rằng
x(nk) → x. Nhưng khi đó x(nk) −Pix(nk) → x−Pix = 0, ta gặp mâu thuẫn. Vậy thuật toán chiếu hội tụ mạnh. Nếu H hữu hạn chiều thì các số hạng của (x(n)) tạo nên tập compac tương đối do (x(n)) bị chặn (Bổ đề 2.1(iv)). Cuối cùng, nếu intC 6=∅ thì (x(n))hội tụ theo chuẩn (Hệ quả 2.1(i)).
Hai nguyên mẫu của Thuật toán chiếu hội tụ (Định lý 2.3 và Hệ quả 2.7) là không bị nới lỏng, như được minh họa ở hai ví dụ sau.
Ví dụ 2.6. Giả sử H := R, N := 1, C := C1 := {0}, C1(n) := [0,1/(n+ 1)] và
x(0) = 2. Khi đó thuật toán chiếu hội tụ mạnh và dãy C1(n) các tập lồi compac giảm dần hội tụ tới C1(n) theo nghĩa Mosco (Ví dụ 2.4 và Hệ quả 2.9). Tuy nhiên thuật toán chiếu không hội tụ tuyến tính. Thực vậy, với n≥ 1 ta có
x(n) = 1 n và d(x(n), C1(n)) D(x(n), C1) = 1 n+ 1 →0. Ví dụ 2.7. Giả sử H := R, N := 1, C := C1 := {0}, C1(n) := (−1)n[0,1] và
x(0) ∈ H tùy ý. Khi đó thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính, bởi vì x(n) ≡ 0∈ C
với mọi n≥ 2. Tuy nhiên dãy C1(n) các tập lồi compac không hội tụ tới C1 theo nghĩa Mosco.
Sau khi đã cảm nhận được khái niệm thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính, chúng ta cung cấp tài liệu về sự ích lợi của khái niệm này thông qua kết quả lưỡng phân của Aharoni và Censor.
Định lý 2.4. (Lưỡng phân II). Giả thiết thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính và có số ε > 0 thỏa mãn ε ≤ αi(n) ≤ 2−ε với mọi n lớn và mọi chỉ số i tích cực tại n. Khi đó, dãy (x(n)) hoặc hội tụ theo chuẩn hoặc không có điểm tụ nào theo chuẩn.
Chứng minh. Giả sử trái lại rằng (x(n)) có ít nhất hai điểm tụ theo chuẩn, chẳng hạn y và z. Lấy β > 0 thỏa mãn biểu diễn (x(m), ci) ≤ d(X(m), Ci(m)) với mọi m lớn và mọi chỉ số i tích cực tại m. Cố định c ∈ C. Do y /∈ C
(trái lại, hóa ra dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn bởi Hệ quả 2.1(ii)), tập chỉ số
I = {i∈ {1, . . . , N} : y /∈ Ci} là khác rỗng. Ký hiệu B := y +rBH, trong đó
r := (1/2) min({ky −zk} ∪ {d(y, Ci) : i∈I}).
Khẳng định 1: ∃γ1 > 0 sao cho (x(m) ∈ B và m đủ lớn) ⇒ kx(m) − ck − kx(m+1)−ck ≥ γ1Pi∈Iλ(im). Mặt khác, theo Bổ đề 2.1(ii), định nghĩa của β
và ky−x(m)k ≥d(y, Ci)−d(x(m), Ci) ta có kx(m)−ck2 − kx(m+1)−ck2 ≥ X i∈I µ(im)d2(x(m), Ci(m)) ≥ X i∈I λ(im)ε2β2d2(x(m), Ci(m)) ≥ ε2β2r2X i∈I λ(im). Mặt khác, kx(m)−ck2−kx(m+1)−ck2 = (kx(m)−ck−kx(m+1)−ck)×(kx(m)−ck+kx(m+1)−ck)
và chuẩn của thừa số sau cũng nhiều nhất bằng 2(r+ky−ck). Gộp tất cả lại
γ1 =ε2β2r2/(2(r+ky −ck)) làm việc và khẳng định 1 được kiểm tra.
Khẳng định 2: ∃γ2 > 0 sao cho (x(m) ∈ B và m đủ lớn) ⇒ kx(m+1)− yk − kx(m)− yk ≥ γ2Pi∈Iλ(im). Với mỗi i ∈ {1, . . . , N}\I, y là là điểm bất động của ánh xạ không giãn R(im) (xem Mệnh đề 1.6(i), Mệnh đề 1.6(iii) và Hệ quả 1.2). Ta có đánh giá kx(j+1)−yk= X i∈ {1, ... , N} \I λi(j)(Ri(j)x(j)−y) +X i∈I λi(j)(Ri(j)x(j)−y)
≤ X i∈ {1, ... , N} \I λ(ij)||x(j)−y||+X i∈I λi(j)||Ri(j)x(j)−y|| ≤ kx(j)−yk+X i∈I λ(ij){||R(ij)x(j)−x(j)||+||x(j)−y||} ≤ kx(j)−yk+X i∈I λi(j){α(ij)||x(j)−Pi(j)x(j)||+||x(j)−y||} ≤ kx(j)−yk+X i∈I λ(ij){2d(x(j), Ci) +r} ≤ kx(j)−yk+X i∈I λ(ij){2(d(y, Ci) +||x(j)−y||) +r}.
Do đó γ2 = 2 max{d(y, Ci) : i ∈ I}+ 3r làm việc và khẳng định 2 được kiểm tra. Phần chứng minh còn lại được thực hiện nhanh chóng. Đặt
δ := r γ1 γ1+γ2
(< r)
và tìm n lớn sao cho kx(n)−yk< d; do đó (x(n))∈ B. Bây giờ z là một điểm tụ theo chuẩn khác của (x(n)) và có khoảng cách dương tới B, vì thế có số m
nhỏ nhất > nvớix(m) ∈ B. Theo tính đơn điệu Fejér của(x(n))và Khẳng định 1 ta có ky −ck ≤ kx(m)−ck ≤ kx(n)−xk −γ1 m−1 X j=n X i∈I λ(ij) < δ+ky−ckγ1 m−1 X j=n X i∈I λ(ij); do đó m−1 X j=n X i∈I λ(ij) < δ γ1 .
Tuy nhiên theo Khẳng định,
kx(m)−yk ≤ kx(n)−yk+γ2 m−1 X j=n X i∈I λ(ij) < δ+ γ2 γ1δ = r.
điều này mâu thuẫn với y /∈ B. Vì thế dãy (x(n)) có nhiều nhất một điểm tụ theo chuẩn.
Nhận xét 2.14. Như Ví dụ 2.1 đã minh họa, cần phải có thêm một số giả thiết để đảm bảo có nhiều nhất một điểm tụ theo chuẩn.
Hệ quả 2.10. Giả sử thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính và có số ε > 0 sao cho ε ≤ α(in) ≤ 2−ε với mọi n lớn và mọi chỉ số i tích cực tại n. Giả thiết thêm rằng H hữu hạn chiều hoặc intC 6= ∅. Khi đó dãy x(n) hội tụ theo chuẩn tới điểm x nào đó. Nếu Pnµ(in) = +∞ với chỉ số i nào đó thì x ∈Ci. Hệ quả là nếu Pnµ(in) = +∞ với mọi chỉ số i thì x∈ C.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.1.(i), nếu intC 6= ∅ thì (x(n)) hội tụ theo chuẩn. Nếu H hữu hạn chiều thì (x(n)) có điểm tụ theo chuẩn; do đó theo Định lý 2.4, dãy (x(n)) cũng hội tụ theo chuẩn. Từ đó kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.(iii).
Suy ra ngay hai ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.8. Giả sử H là hữu hạn chiều, thuật toán chiếu hội tụ tuyến tính và có số ε > 0 sao cho ε ≤ αi(n) ≤ 2−ε với mọi n lớn và mọi chỉ số i tích cực tại
n. Khi đó dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới điểm x nào đó.
(i) Nếu lim n:ntích cực đối vớiiµi(n) >0 với mọi chỉ số i thì x ∈ C.
(ii) Nếu intC 6= ∅ và Pnµi(n) = +∞ với mọi chỉ số i thì x ∈C.
Ví dụ 2.9. Giả sử H là hữu hạn chiều, thuật toán chiếu có các tập hằng (và do đó hội tụ tuyến tính theo Hệ quả 2.8) và có số ε > 0 sao cho ε ≤ α(in) ≡
α(n) ≤ 2−ε với mọi n lớn và mọi chỉ số i tích cực tại n. Khi đó dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn và giới hạn của dãy nằm trong Ti∈ICi, trong đó
I :≡ {i∈ {1, . . . , N} : X
n
µ(in) = +∞}.
Nhận xét 2.15. Với giả thiết về tham số nới lỏng trong các ví dụ trên đây, điều kiệnlim n:ntích cực đối vớiiµ(in) >0tương đương vớilim n:ntích cực đối vớii λ(in) >
0 (xem Nhận xét 2.5) và điều kiệnPnµ(in) = +∞ tương đương với Pnλ(in) = +∞ (xem Nhận xét 2.10) với mọi chỉ số i.
Ví dụ 2.8(i) được suy ra không chỉ từ Hệ quả 2.10, mà còn từ Định lý 2.1. Ví dụ sau cho thấy rằng nếu bỏ giả thiết P
nµ(in) = +∞ ở Ví dụ 2.9 thì ta không thể hy vọng giới hạn của (x(n)) nằm trong Ci.
Ví dụ 2.10. Giả sử H := R, N := 2, C1 := C1(n) :≡ (−∞,0] và C2 := C2(n) :≡
[0,+∞). Giả sử x(0) > 0, α1(n) :≡α2(n) :≡ 3/2 và λ1(n) <3/2 với mọi n. Khi đó
x(n) = 1− 3 2λ (n−1) 1 . . . 1− 3 2λ (0) 1 x(0),
và vì thế lim n x(n) ∈C1 ⇔lim n x(n) ⇔X n µ(in) = +∞.
Định lý 2.5. Cho một thuật toán chiếu, giả sử Pi(n) hội tụ tích cực theo từng điểm tới Pi với mọi chỉ số i. Hơn nữa, giả sử có dãy con nào đó (n0) của (n)
sao cho với mọi chỉ số i
α(n
0)
i →αi và λ(n
0)
i →λi
với αi ∈ [0,2] và λi ∈ [0,1]. Nếu phần trong của C khác rỗng thì dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới một điểm nào đó trong C.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.1(i), (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới điểm x nào đó. Ta phải chỉ ra x ∈C. Thật vậy, trước hết ta khẳng định
Pi(n0)x(n0) →Pix với mọi chỉ số i. Vì kP(n 0) i x(n0) −P(n 0) i xk ≤ kx(n0)− xk nên ta có P(n 0) i x(n0) −P(n 0) i x → 0. Do λ(n 0)
i → λi > 0 nên ta thấy rằng i là chỉ số tích cực tại n0 với mọi n0 đủ lớn. Giả thiết về (Pi(n)) kéo theo Pi(n0)x→ Pix. Từ đó suy ra điều khẳng định. Bây giờ x(n+1) = N X i= 1 λ(n 0) i ((1−α(n 0) i )x(n0)+α(n 0) i P(n 0) i x(n0));
bằng cách lấy giới hạn theo dãy con (x(n0)) và từ điều vừa khẳng định, ta có
x = N X i= 1 λi((1−αi)x+αiPix) hay x= N X i= 1 λiαi N P j=1 λjαj Pix.
Mệnh đề 1.10 kéo theo x∈ C và chứng minh được hoàn thành.
Ví dụ 2.11. Giả sử H là hữu hạn chiều, thuật toán chiếu có các tập hằng và các tham số nới lỏng chỉ phụ thuộc vào n, chẳng hạn α(in) ≡ α(n) với mọi chỉ số i và mọi n. Giả sử thêm rằng có dãy con(n0) của (n) sao cho với mọi chỉ số
i, λ(n
0)
(i) Nếu có ε >0 sao cho ε ≤ α(in) ≤ 2−ε với mọi n lớn thì dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới điểm nào đó trong C.
(ii) Nếu phần trong của C và có dãy con (n00) của (n0) thỏa mãn α(n00) → 2 thì dãy (x(n)) hội tụ theo chuẩn tới điểm nào đó trong C.
Chứng minh. (i) Giả thiết về trọng số kéo theo Pnµ(in) = +∞ với mọi chỉ số
i. Như vậy (i) suy ra từ Ví dụ 2.9. (ii) suy ra trực tiếp từ Định lý 2.5.
Nhận xét 2.16. Để ý là Định lý 2.5 làm việc tốt đặc biệt khi α(in) ≡ 2. Vì trong trường hợp này µ(in) ≡ 0 nên không có kết quả nào trước đây được áp dụng. Nếu bỏ giả thiết intC 6=∅ thì kết luận của Định lý 2.5 không còn đúng (xem Ví dụ 2.1).
Định nghĩa 2.5. (Điều khiển). Ta nói thuật toán chiếu xét các tập xa nhất nếu mỗi n, ít nhất một chỉ số xa nhất là tích cực, tức là
Ixa(n) := {i:d(x(n), Ci) = max{d(x(n), Cj) : j = 1, . . . , N}} ∩I(n) 6= ∅.
Theo Censor, ta nói về điều khiển tập xa nhất nếu thuật toán chiếu là chính quy và xét các tập xa nhất. Rõ ràng là
Định lý 2.6. (Kết quả tôpô yếu). Giả sử thuật toán chiếu hội tụ mạnh và xét các tập từ xa. Hơn nữa, giả sử rằng (i(n)) là dãy chỉ số tích cực xa nhất, tức là
i(n) ∈ Ixa(n) với mọi n.
(i) Nếu Pnµ(i(nn)) = +∞ thì có dãy con (x(nk))k của (x(n)) sao cho
max{d(x(nk)
, Cj) :j = 1, . . . , N} →0,
và (x(nk))k hội tụ yếu tới điểm tụ yếu duy nhất của (x(n)) trong C.
(ii) Nếu limµ(in(n)) >0 thì (x(n)) hội tụ yếu tới một điểm nào đó trong C và
max{d(x(n), Cj) : j = 1, . . . , N} → 0.
Chứng minh. (i) Theo Bổ đề 2.1(iv), các chuỗiPnµ(i(nn))d(x(n), Ci((nn)))hội tụ. Do đó limnd(x(n), Ci((nn))) = 0. Như vậy, ta có thể trích ra dãy con (x(nk))k và cố
định chỉ số i thỏa mãn d(x(n), Ci((nn))) → 0, i(nk) ≡ i và (x(nk)) hội tụ yếu. Do thuật toán hội tụ mạnh và xét các tập xa nhất, nên ta kết luận rằng
max{d(x(nk), Cj) :j = 1, . . . , N} →0.
Theo tính nửa liên tục dưới yếu của d(·, cj) với mọi chỉ số j, giới hạn yếu của
x(nk) nằm trongC. Theo Định lý 2.6(ii), (x(n)) có nhiều nhất một điểm tụ yếu trong C. Do đó (i) đúng; (ii) được chứng minh tương tự.
Nhận xét 2.17. Điều khiển tập xa nhất là khái niệm cũ và thành công. Từ năm 1954 nhiều tác giả (Agmon, Motzkin và Schoenberg) đã nghiên cứu các thuật toán chiếu giải hệ bất phương trình tuyến tính nhờ dùng điều khiển tập xa nhất. Bregman đã xét tình huống khi có tập hợp tùy ý của tương giao các tập hợp lồi đóng.
Kết luận chương. Chương này đã đề cập tới sơ đồ thuật toán, bao gồm thuật toán chiếu giải bài toán chấp nhận được lồi. Trình bày chi tiết khái niệm sơ đồ lặp của thuật toán nêu ở tài liệu tham khảo [3], cùng với các khái niệm có liên quan (thuật toán chính quy tiệm cận, thuật toán không bị nới lỏng, thuật toán kỳ dị, thuật toán trọng số, ...). Nêu các tính chất cơ bản của thuật toán, khái niệm thuật toán hội tụ và kết quả hội tụ (định lý lưỡng phân I và II). Với thuật toán chiếu trình bày các kết quả về sự hội tụ tuyến tính của thuật toán.