Giải bài tập chương 3 và 4 quản trị rủi ro tài chính

CHƯƠNG 3 CÁC NGUYÊN TẮC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN I.Cơ sở lý thuyết: 1 Giá trị nội tại quyền chọn kiểu Mỹ: giá trị nhỏ nhất của quyền chọn còn được gọi là giá trị nội tại.. - Quyền chọn mua :

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TÀI CHÍNH -* -

Giải bài t p chương 3 & 4 ập chương 3 & 4 QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH

CHƯƠNG 3 CÁC NGUYÊN TẮC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

I.Cơ sở lý thuyết:

1) Giá trị nội tại quyền chọn kiểu Mỹ: giá trị nhỏ nhất của quyền chọn còn được gọi

là giá trị nội tại

- Quyền chọn mua :

- Quyền chọn bán :

2) Giá trị thời gian quyền chọn kiểu Mỹ: là chênh lệch giữa giá quyền chọn và và giá

trị thời gian hay giá trị đầu cơ

- Quyền chọn mua :

- Quyền chọn bán :

3) Giới hạn dưới của quyền chọn kiểu Châu Âu: giới hạn dưới của quyền chọn mua

kiểu Châu Âu sẽ cao hơn giá trị nội tại của một quyền chọn mua kiểu Mỹ

4) Ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán:

- Là mối quan hệ giữa giá quyền chọn mua, quyền chọn bán, giá cổ phiếu, giá

thực hiện, lãi suất phi rủi ro và thời gian đến khi đáo hạn

giá trị nội tại = Max(0, So - X)giá trị nội tại = Max(0, X- So)

Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X)Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So)

Giới hạn dưới = Max[ 0, So – X(1+r)-T ]Giới hạn dưới = Max[ 0, X(1+r)-T - So ]

Giới hạn dưới = Max[ 0, So(1+ p)-T– X(1+r)-T ]Giới hạn dưới = Max[ 0, X(1+r)-T - So(1+p)-T ]

- Theo luật một giá, giá của một cổ phiếu cộng với quyền chọn bán bằng với giá

quyền chọn mua cộng với trái phiếu phi rủi ro

- Nếu tài sản cơ sở là tiền tệ thì ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán sẽ

là

- Ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu Mỹ được diễn giải dưới

dạng bất phương trình:

5) Mối quan hệ giữa giá thực hiện và giá quyền chọn:

- Đối với 2 quyền chọn mua hoặc bán chỉ khác nhau giá thực hiện, chênh lệch

phí quyền chọn không thể lớn hơn chênh lệch giá thực hiện

a) Tháng 7 giá thực hiện 160:

X = 160

So = 165 1/8 = 165.125

Ca(So ,T,X) = 6

- Giá trị nội tại của quyền chọn mua kiểu Mỹ

Giá trị nội tại = Max(0, So - X) = Max(0, 165.125 - 160) = 5.125

- Giá trị thời gian của quyền chọn mua kiểu Mỹ:

Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X) = 6 – 5.125 = 0.875

- Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu( T = 11 ngày ):

Giới hạn dưới = Max[ 0, So – X(1+r)-T ]

- Giá trị nội tại của quyền chọn mua kiểu Mỹ

Giá trị nội tại = Max(0, So - X) = Max(0, 165.125 - 155) = 10.125

- Giá trị thời gian của quyền chọn mua kiểu Mỹ:

Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X) = 14 – 10.125 = 3.875

- Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu ( T = 102 ngày):

Giới hạn dưới = Max[ 0, So – X(1+r)-T ]

- Giá trị nội tại của quyền chọn mua kiểu Mỹ

Giá trị nội tại = Max(0, So - X) = Max(0, 165.125 - 170) = 0

- Giá trị thời gian của quyền chọn mua kiểu Mỹ:

Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X) = 3.2 – 0 = 3.2

- Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu( T = 46 ngày):

Giới hạn dưới = Max[ 0, So – X(1+r)-T ]

= Max[0, 165.125 – 170(1+0.0550)-46/365]

= Max(0,-3.732) = 0

Bài 12: Tính toán giá trị nội tại, giá trị thời gian và giới hạn dưới của các quyền chọn bán

sau Xác định cơ hội tìm kiếm lợi nhuận có thể tồn tại Xem các quyền chọn này là kiểu

Mỹ khi xác định giá trị nội tại và giá trị thời gian; và là quyền chọn kiểu Châu Âu khi xácđịnh giới hạn dưới

a) Tháng 7 giá thực hiện 165:

X = 165

So = 165 1/8 = 165.125

Pa(So ,T,X) = 2.35

- Giá trị nội tại của quyền chọn bán kiểu Mỹ

Giá trị nội tại = Max(0, X- So) = Max(0, 165 - 165.125) = 0

- Giá trị thời gian của quyền chọn bán kiểu Mỹ:

Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So) = 2.35 – 0 = 2.35

- Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu(T=11 ngày):

Giới hạn dưới = Max[ 0, X(1+r)-T - So ]

- Giá trị nội tại của quyền chọn bán kiểu Mỹ

Giá trị nội tại = Max(0, X- So) = Max(0,160-165.125) = 0

- Giá trị thời gian của quyền chọn bán kiểu Mỹ:

Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So) = 2.75 – 0= 2.75

- Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu( T = 46 ngày):

Giới hạn dưới = Max[ 0, X(1+r)-T - So]

- Giá trị nội tại của quyền chọn bán kiểu Mỹ

Giá trị nội tại = Max(0, X- So) = Max(0, 170 - 165.125) = 4.875

- Giá trị thời gian của quyền chọn bán kiểu Mỹ:

Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So) = 9 – 4.875 = 4.125

- Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu( T = 102 ngày):

Giới hạn dưới = Max[ 0, X(1+r)-T - So]

= Max[0, 170(1+0.0588)-102/365 - 165.125)

= Max(0,2.97) = 2.182

Bài 13 Kiểm tra các kết hợp giữa quyền chọn bán và quyền chọn mua sau, và xác định

liệu chúng có tuân thủ qui tắc ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu Châu Âukhông Nếu bạn thấy bất kỳ vi phạm nào,hãy đề xuất chiến lược thu lợi nhuận

0X

(ST –X)X

Kết luận : Chúng ta sẽ nhận được 1 khoản tiền lúc ban đầu = 165.325 - 165.265= 0.06 và

không phải trả gì khi đáo hạn

 Vì Pe(So ,T,X) + So > Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T  Chúng ta có thể kiếm lời bằng cách muaquyền chọn mua và trái phiếu và bán khống quyền chọn bán và cổ phiếu.

Thu nhập từ Giá trị hiện

0X

(ST –X)X

Kết luận : Chúng ta sẽ nhận được 1 khoản tiền lúc ban đầu = 167.875- 167.024= 0.851

và không phải trả gì khi đáo hạn

Thu nhập từ Giá trị hiện tại Thu nhập từ danh mục với giá CP khi đáo hạn

0X

(ST –X)X

Kết luận: Chúng ta sẽ nhận được 1 khoản tiền lúc ban đầu = 174- 173.307= 0.693 và

không phải trả gì khi đáo hạn

Bài 14 : Lập lại câu 13, sử dụng qui tắc ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu

Mỹ, nhưng không đề xuất chiến lược

- Qui tắc ngang giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Mỹ

C a (S o ,T,X) +X ≥ S o + P a (S o ,T,X) ≥ C a (S o ,T,X) + X(1+r) -T

Giá thực hiện Tháng 7

X=155

Tháng 8X=160

Tháng 10X=170

Bài 15: Xét các cặp quyền chọn mua sau, chỉ khác nhau về giá thực hiện Xác định liệu

có sự vi phạm nào về các qui tắc liên quan đến mối quan hiệ giữa các quyền chọn kiểu

Mỹ chỉ khác nhau về giá thực hiện không

- Mối quan hệ giữa giá thực hiện và giá quyền chọn mua kiểu Mỹ:

( X 2 – X 1 ) ≥ C a (S o ,T, X 1 ) - C a (S o ,T, X 2 )

Giá thực hiện Giá quyền chọn mua

Bài 16: Xét các cặp quyền chọn bán sau, chỉ khác nhau về giá thực hiện Xác định liệu có

sự vi phạm nào về các qui tắc liên quan đến mối quan hiệ giữa các quyền chọn kiểu Mỹchỉ khác nhau về giá thực hiện không

- Mối quan hệ giữa giá thực hiện và giá quyền chọn bán kiểu Mỹ:

Bài 17: Vào ngày 9/12 quyền chọn mua đồng Franc Thụy Sỹ tháng 1, giá thực hiện 46 có

giá là 1.63 Quyền chọn bán tháng 1 giá thực hiện 46 là 0.14 Tỷ giá giao ngay là 47.28.Tất cả các giá này đều tính theo đơn vị cent trên 1 franc Thụy Sĩ Các quyền chọn đáohạn vào ngày 13/1 Lãi suất phi rủi ro của Mỹ là 7.1% và lãi suất phi rủi ro của Thụy Sĩ là3.6% Hãy tính:

a) Giá trị nội tại của quyền chọn mua

b) Giới hạn dưới của quyền chọn mua

c) Giá trị thời gian của quyền chọn mua

d) Giá trị nội tại của quyền chọn bán

e) Giới hạn dưới của quyền chọn bán

f) Giá trị thời gian của quyền chọn bán

g) Xác định ngang giá quyền chọn mua- quyền chọn bán có được tuân thủ

Bài làm

Ta có : X = 46

C(So,T,X) =1.63P(So,T,X) = 0.14

So = 47.28

rf( Mỹ) = 0.071

p = 0.036T= 35 ngày

- Vì tài sản cơ sở là tiền tệ nên thay S o = S o ( 1+p) -T

a) Giá trị nội tại của quyền chọn mua

Giá trị nội tại = Max( 0, So - X ) = Max( 0, 47.28- 46) = 1.28

b) Giới hạn dưới của quyền chọn mua

Giới hạn dưới = Max[ 0, So(1+p)-T – X(1+r)-T ]

= Max[ 0, 47.28*(1+0.036)-35/365 – 46(1+0.071)-35/365 ] = Max[0, 46.841-45.698]= 1.142

c) Giá trị thời gian của quyền chọn mua:

Giá trị thời gian = C(So,T,X) - Max( 0, So – X) =1.63 – 1.28 = 0.35

d) Giá trị nội tại của quyền chọn bán:

Giá trị nội tại = Max( 0, X – So) = Max( 0, 46- 47.28) = 0

e) Giới hạn dưới của quyền chọn bán :

Giới hạn dưới = Max[ 0,X – So(1+p)-T]

= Max[0, 46 - 47.28*(1+0.036)-35/365] = Max [0, 46 – 46.841] = 0

f) Giá trị thời gian của quyền chọn bán:

Giá trị thời gian = P(So,T,X) - Max( 0, X – So) = 0.14 – 0 = 0.14

g) Xác định ngang giá quyền chọn mua- quyền chọn bán có được tuân thủ:

P(So,T,X) + So(1+p)-T = 0.14 + 47.28*(1+0.036)-35/365

C(So,T,X) + X(1+r)-T = 1.63 + 46(1+0.071)-35/365

= 1.63 + 45.698 = 47.328 (3)

Khi ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu Mỹ được tuân thủ thì:

(1) ≥ (2) ≥ (3) nhưng theo bài thì (1) ≥ (3) ≥ (2) nên ngang giá quyền chọn mua khôngđược tuân thủ

CHƯƠNG 4 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BẰNG MÔ HÌNH NHỊ PHÂN

r : Lãi suất phi rủi ro

 Giá quyền chọn đáo hạn:

 Giá quyền chọn hiện tại :

Với :

 Xây dựng danh mục phòng ngừa

- Với h cổ phiếu và một vị thế bán quyền chọn MUA

- Giá trị hiện tại của danh mục là V = hS – C

- Tại ngày đáo hạn : Vu = hSu – Cu

Vd = hSd – Cd

PC

2) Mô hình nhị phân hai thời kỳ (n=2)

 Giá quyền chọn đáo hạn

 Giá quyền chọn tại thời điểm n=1

 Giá quyền chọn ở hiện tại

Hoặc

h= C u−C d Su−Sd

PC

II Bài tập ứng dụng:

Bài 2: Xem xét một cổ phiếu hiện có giá $80 Trong kỳ tiếp theo cổ phiếu có thể tăng

30% hoặc xuống 15% Giả sử có một quyền chọn mua với giá thực hiện $80 với tỷ suấtphi rủi ro là 6% Giả sử quyền chọn mua hiện đang giao dịch với giá 12$ Nếu quyềnchọn bị đánh giá sai, tỷ suất sinh lợi phi rủi ro từ việc phòng ngừa phi rủi ro là bao nhiêu?

Giải

Mô hình nhị phân một thời kỳ (One-Period Binomial Model)

Xem xét một cổ phiếu có giá S = $80

Trong kỳ tiếp theo cổ phiếu có thể

- Giả sử có một quyền chọn mua với giá thực hiện X=$80 Và lãi suất phi rủi ro là r=6%

- Quyền chọn mua hiện đang giao dịch với giá 12$

- Tỷ suất phòng ngừa h là h= C u−C d

24−0104−68=0.667

Vậy phải mua 667 cổ phần và bán 1000 quyền chọn mua với xác suất p trong mô hình nhịphân là :

p= 1+r −d

1+6 %−0.851.3−0.85 =0.4667

- Phí quyền chọn mua được định giá :

C= p C u+(1− p) Cd

0,4667.24+01+ 0.06 =10.567 $

Vậy giá trị lý thuyết của quyền chọn mua này là $10.567 nhưng trên thị trường đang giaodịch là 12$

Danh mục phòng ngừa :

- Giá trị hiện tại của danh mục là

V = hS-C=667($80) – 1000($10.567) = $ 42793

Do quyền chon bị định giá sai, định giá cao => arbitrage xảy ra.

Giá trị hiện tại của khoản đầu tư ngày hôm nay là 667($80) – 1000($12) = $ 41360

- Nếu giá cổ phiếu tăng lên 104$ thì tại ngày đáo hạn quyền chọn được định giá là $24 vàdanh mục có giá trị là 667($104) – 1000($24)= $ 45368

- Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 68$ thì tại ngày đáo hạn quyền chọn không có giá trị 0$

Bài 7: Xem xét một cổ phiếu trị giá $25 và có thể tăng hoặc giảm 15% mỗi thời kỳ Lãi

suất phi rủi ro 10% Sử dụng mô hình nhị phân để :

a Xác định hai mức giá khả thi của cổ phiếu trong kỳ tới

b Xác định giá trị nội tại tại ngày đáo hạn của một quyền chọn mua kiểu Châu Âu vớimột mức giá thực hiện là 25$

c Tính giá trị của quyền chọn ngày hôm nay

d Xây dựng một danh mục phòng ngừa bằng cách kết hợp một vị thế cổ phiếu với một vịthế quyền chọn mua Chứng minh tỷ suất sinh lợi của danh mục phòng ngừa sẽ bằng lãisuất phi rủi ro bất chấp kết quả là bao nhiêu, giả định quyền chọn mua được bán với giátính được trong câu c

e Xác định tỷ suất sinh lợi của danh mục phi rủi ro nếu quyền chọn mua được bán vớigiá $3.50 tại thời điểm danh mục phòng ngừa được thiết lập

Giải

Hai mức giá khả thi :

Su= 25(1.15) = 28.75Sd= 25(0.85) = 21.25

b Giá trị nội tại tại lúc đáo hạn:

- Tại thời điểm đáo hạn Vu = Vd = 10,625

→r h = (10,625/9,000) – 1  0.18

Bài 17: Xem xét 3 quyền chọn mua giống nhau chỉ khác nhau giá thực hiện lần lượt là

$90, $100 và $110 Cổ phiếu đang được giao dịch với giá $100, lãi suất phi rủi ro ghéplãi hàng năm là 5%, thời gian đến khi đáo hạn là 1 năm Hãy sử dụng mô hình nhị phânmột thời kỳ với u = 4/3 và d= 3/4 Tính p và h Hãy giải thích

Bài 8: Xem xét một mô hình nhị phân hai thời kỳ Gỉa sử giá cổ phiếu hiện tại là 45 và lãi

suất phi rủi ro là 5% Trong mỗi thời kỳ giá cổ phiếu có thể tăng lên hoặc giảm xuống

10% Một quyền chọn mua có ngày hiệu lực tại thời điểm cuối thời kỳ thứ hai với giáthực hiện là 40.

a) Hãy tìm chuỗi giá cổ phiếu

b) Xác định các mức giá quyền chọn mua tại ngày đáo hạn

c) Tìm các mức giá của quyền chọn mua tại cuối thời kỳ thứ nhất

d) Gía trị hiện tại của quyền chọn là bao nhiêu?

e) Tỷ số phòng ngừa ban đầu bằng bao nhiêu?

f) Hai giá trị có thể của tỷ số phòng ngừa tại cuối thời kỳ đầu tiên là bao nhiêu?g) Cho một ví dụ để chứng minh rằng danh mục phòng ngừa hoạt động, và hãy chắcrằng ví dụ này minh họa danh mục phòng ngừa sẽ kiếm được một tỷ suất sinh lợiphi rủi rỏ như thế nào

h) Nhà đầu tư sẽ làm gì nếu quyền chọn mua được định giá cao và định giá thấp

Sd2=45(0.9)2=36.45 Sud=45(1.10)(0.9)=44.55

b Các mức giá quyền chọn mua lúc đáo hạn

=701(125)-r h = (56085/52410)-1 0.07

h u =1000 mua 299 quyền chọn mua giá

$31.54 Vay $9430 Giữ 701 cổ phần giá $125, bán 701 quyền chọn mua giá

$31.54, nợ một khoản $9430

Su2=156.25

C u2= 56.25

V u2 9430(1.07)=60010

=701(156.25)-701(56.25)-rh=(60010/56080)-10.07

S d2=64

C d2= 0

V d2 1000(0)+56080(1.07)=60006

1000 quyền chọn mua giá $0; giữ

$56080 bằng trái phiếu

Sud =100 Cud= 0 Vud=701(100)-701(0)- 9430(1.07)=60010

r h =(60010/56085)-10.07 Vud=0(100)-1000(0) +56080(1.07)=60006 rh=(60006/56080)-10.07

h) Nếu quyền chọn mua được định giá cao:

- Giả sử lấy kết quả câu g ta có giá lý thuyết của quyền chọn mua này là : C=$17.69

- Giả sử giá thị trường của quyền chọn này là $19

- Vì quyền chọn được định giá cao nên lúc này nhà đầu tư sẽ mua 701cổ phần và bán

1000 quyền chọn mua

- Giá trị của khoản đầu tư ngày hôm nay là:

V= 701($100) – 1000($19) = 51,100+ Nếu cổ phiếu tăng $125 thì tại ngày đáo hạn :

Cu=31.54 => Vu = 701($125)-1000(31.54) = 56,085+ Nếu cổ phiếu giảm $80 thì tại ngày đáo hạn :

Cd= 0 => Vd =701(80) - 1000(0) = 56,080

- Khoản đầu tư ban đầu tăng từ 51,100 lên 56,085, nên tỷ suất sinh lợi phi rủi ro là:

rh= (56,085/51,100)-1 0.098 = 9.8% > rf = 7% => nhà đầu tư có lời

Kết luận, khi quyền chọn mua được định giá cao nhà đầu tư có thể đi vay 51,100 với lãi

suất phi rủi ro để mua 701 cổ phần và bán 1000 quyền chọn mua để thu được được một

tỷ suất sinh lời cao hơn lãi suất phi rủi ro

Nếu quyền chọn mua được định giá thấp:

- Giả sử giá thị trường của quyền chọn này là $16

- Vì quyền chọn được định giá thấp nên lúc này nhà đầu tư sẽ bán khống 701cổ phần

và mua 1000 quyền chọn mua

+ Nếu cổ phiếu tăng $125 thì nhà đầu tư mua lại cổ phiếu và thực hiện quyền chọn mua

+ Nếu cổ phiếu giảm $80 thì nhà đầu tư mua lại cổ phiếu và không thực hiện quyền chọn mua.

Mua CP : - 701($80) = - 56.080

- Nhà đầu tư lúc ban đầu nhận trước + 54,100 và sau đó trả lại - 56,085 Điều này tương đương với việc nhà đầu tư đi vay với một mức lãi suất :

rh= (56,085/54,100)-1 0.037 = 3.7% < rf = 7% => nhà đầu tư có lời

Kết luận, khi quyền chọn mua được định giá thấp nhà đầu tư sẽ sẽ bán khống 701cổ phần

và mua 1000 quyền chọn mua để thu được một khoản phi rủi ro

Bài 9 Xem xét một tình huống định giá quyền chọn mua kiểu Mỹ bằng mô hình nhị phân

sau đây Quyền chọn mua này còn lại hai thời kỳ trước khi hết hiệu lực Gía cổ phiếu cơ

sở của nó là 30 và giá thực hiện quyền chọn là 25 Lãi suất phi rủi ro là 0.05 Gía trị của u

là 1.15 và của d là 0.90 Chứng khoán chi trả cổ tức tại cuối thời kỳ đầu tiên với tỷ lệ0.06 Hãy định giá của quyền chọn này

Su2= 32.43(1.15)=37.29

Sud=32.43(0.9)= 29.19 Sud=25.38(1.15)=29.19

Sd=30(0.9)=27

cổ tức là 27*6%=1.62 giá khi chi trả cổ tức là 25.38

Sd2=25.38(0.9)=22.84

Bài 10: Hãy định giá quyền chọn bán kiểu Mỹ sử dụng mô hình nhị phân với các thông

số sau: S= 62, X= 70, r=8%, u=1.10 và d=0.95 Không có cổ tức Sử dụng n =2

Theo việc định giá quyền chọn bán kiểu Mỹ thì trong suốt đời sống của quyền chọnchúng ta có thể thực hiện sớm tại bất cứ thời điểm nào nếu đó là cơ hội tốt nhất

 Giá trị hiện tại của quyền chọn là:

P= p P u+(1−p ) Pd

0,87 1.8+(1−0.87 ).11.1

1+8 % =2.7 9 $

Mà giá trị nội tại P = Max(0,X-So) = Max (0, 70 – 62) = 8

Vậy nên, giá quyền chọn bán lúc này là: P = 8