Một số định lý tồn tại nghiệm trong quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỮU SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỮU SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu 2 Bài toán quy hoạch toàn phương Rn 1.1 Định lý quy hoạch tuyến tính 1.2 Định lý Frank-Wolfe quy hoạch toàn phương 1.3 Mở rộng định lý Frank - Wolfe 1.3.1 Quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương 1.4 Quy hoạch đa thức lồi Quy hoạch toàn phương không 2.1 Giả thiết bổ đề phụ trợ 2.2 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ 2.3 Trường hợp ràng buộc 2.4 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ hai gian Hilbert 4 12 13 15 17 17 21 29 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Lời cảm ơn Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI NGHIỆM TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG” kết trình cố gắng không ngừng thân giúp đỡ, động viên khích lệ thầy cô, bạn bè đồng nghiệp người thân Qua trang viết xin gửi lời cảm ơn tới người giúp đỡ thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TS Trần Vũ Thiệu, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ hoàn thành luận văn cao học Từ tận đáy lòng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo thầy cô Khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Những người động viên, chia khó khăn suốt thời gian theo học thạc sĩ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Hữu Sơn Bảng ký hiệu R R+ R ∪ {±∞} H l2 x |x| {xn } hay {xk } xk x0 xk → x0 x, y [x, y] x≤y x≥y conv{x1 , , xk } dC (x) A+B A−B A∪B A∩B A×B A⊂B A⊆B 0+ F intS tập số thực tập số thực không âm tập số thực mở rộng không gian Hilbert không gian dãy số vô hạn chuẩn véc-tơ x ∈ H giá trị tuyệt đối x ∈ R dãy điểm H xk hội tụ yếu (hội tụ theo tích vô hướng) tới x0 xk hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) tới x0 tích vô hướng hai véc-tơ x, y ∈ H đoạn thẳng nối x y véc-tơ x nhỏ hay véc-tơ y (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) véc-tơ x lớn hay véc-tơ y (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) bao lồi điểm x1 , , xk khoảng cách từ điểm x tới tập C tổng véc-tơ hai tập A B hiệu véc-tơ hai tập A B hợp hai tập A B giao hai tập A B tích Đề hai tập A B A tập B (mọi phần tử A phần tử B) A tập (có thể bằng) B nón lùi xa tập lồi F phần S(= intH S) Mở đầu Khi xét toán tối ưu min{f (x) : x ∈ D} ta thường đặt câu hỏi: Với điều kiện hàm hàm mục tiêu f tập ràng buộc D toán có nghiệm tối ưu? Trong quy hoạch tuyến tính ta biết kiện quen thuộc sau: hàm tuyến tính bị chặn tập lồi đa diện D = ∅ phải đạt cực tiểu D Tính chất xem định lý quy hoạch tuyến tính Frank - Wolfe [5] hàm toàn phương (bất kể hàm lồi hay không) mà bị chặn tập lồi đa diện D = ∅ hàm chắn đạt cực tiểu D Kết biết với tên gọi định lý Frank Wolfe quy hoạch toàn phương định lý mở rộng định lý quy hoạch tuyến tính Tiếp nhiều tác giả khác mở rộng định lý Frank - Wolfe cho lớp hàm mục tiêu khác tập ràng buộc D khác tập lồi đa diện Đề tài luận văn đề cập tới định lý tồn nghiệm dạng khác toán quy hoạch toàn phương lồi không lồi giới thiệu kết tổng quát mới, nêu tài liệu tham khảo [4] tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không gian Hilbert Để hiểu rõ dạng toán quy hoạch toàn phương định lý tồn nghiệm trình bày, luận văn nhắc lại số khái niệm cần thiết tập lồi, hàm toàn phương, dạng thức Legendre, toán tử compact không gian Hilbert kết tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương Rn Các kiến thức kết chủ yếu trình bày chương luận văn Nội dung luận văn giới thiệu kết nghiên cứu [4] tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không lồi không gian Hilbert Các định lý kiểu Frank - Wolfe thứ thứ hai hệ trường hợp riêng Những nội dung trình bày chi tiết chương luận văn Luận văn viết dựa chủ yếu trên tài liệu tham khảo [1] − [8] có gồm hai chương Chương "Bài toán quy hoạch toàn phương Rn " trình bày kết tồn nghiệm toán quy hoạch tuyến tính (định lý quy hoạch tuyến tính), toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính (định lý Frank - Wolfe quy hoạch toàn phương), toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương quy hoạch đa thức lồi Với lớp toán xét có dẫn ví dụ phân tích giả thiết nêu định lý tương ứng Chương "Quy hoạch toàn phương không gian Hilbert" trình bày kết nghiên cứu [4] tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không lồi với miền ràng buộc xác định bất đẳng thức tuyến tính hay toàn phương lồi không gian Hilbert Để thu kết này, tác giả [4] sử dụng tính chất dạng thức Legendre tính chất toán tử compac với miền giá trị đóng Các kết tồn nghiệm thiết lập không cần đến tính lồi hàm mục tiêu tính compact tập ràng buộc chúng bao hàm trường hợp riêng số kết tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không gian Rn Chương Bài toán quy hoạch toàn phương Rn Chương trình bày kết tồn nghiệm toán quy hoạch tuyến tính, toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] − [3] [5] − [7] 1.1 Định lý quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính, ký hiệu (LP ), phát biểu dạng: min{f (x) = cT x : Ax ≤ b}, (LP) A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rm , c, x ∈ Rn (x - véc tơ biến cần tìm) Trong quy hoạch tuyến tính ta biết kiện quen thuộc với tên gọi "định lý quy hoạch tuyến tính" Nội dung định lý sau Định lý 1.1.1 ([7], Định lý 9, tr 312) Một hàm tuyến tính f (x) = cT x bị chặn tập lồi đa diện D = ∅ phải đạt cực tiểu D Chứng minh Giả sử D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} Theo định lý biểu diễn tập lồi đa diện, x ∈ D có biểu diễn p q i x= λi u + i=1 k γk w , λi ≥ 0, µj v + j=1 p r j k=1 λi = 1, µj ≥ 0, λi , µj , γk ∈ R, i=1 Aui ≤ b, i = 1, , p, Av j ≤ 0, j = 1, , q, Awk = 0, k = 1, , r, wi , wj = 0, i = j (Nếu D không chứa đường thẳng nào, tức r = 0, lấy ui đỉnh D v j tia cực biên nón lồi đa diện K = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}.) Khi đó, hàm f (x) = cT x D cho p q T i T f (x) = c x = λi c u + i=1 r T j γk cT wk µj c v + j=1 (1.1) k=1 Do cT x bị chặn với µj ≥ γk ∈ R, phải có cT v j ≥ 0, j = 1, , q, cT wk = 0, k = 1, , r đó, rõ ràng (1.1) đạt p cực tiểu với điều kiện λi ≥ 0, λi = 1, µj ≥ 0, γk ∈ R i=1 Vì thế, cách đặt f ∗ = min{cT ui : i = 1, , p}, I1 = {i : cT ui = f ∗ }, I2 = {j : cT v j = 0}, thấy cực tiểu (1.1) đạt λ∗i , µ∗i , γk∗ cho λ∗i = với i∈ / I1 , λ∗i ≥ 0, λ∗i = 1, µ∗j ≥ 0, j ∈ I2 , µ∗j = với j ∈ / I2 Tập nghiệm i∈I1 toán (LP ) X∗ = x∗ : x∗ = λi ui + i∈I1 µj v j j∈I2 r γk wk , λi ≥ 0, + k=1 λi = 1, µj ≥ 0, γk ∈ R i∈I1 Liệu định lý hàm f khác hàm tuyến tính tập ràng buộc D không tập lồi đa diện? Nhận xét 1.1.2 Định lý 1.1.1 nói chung không f khác hàm tuyến tính tập D không tập lồi đa diện Các Ví dụ 1.1.3 1.1.4 minh hoạ cho nhận xét Ví dụ 1.1.3 Bài toán với hàm mục tiêu tuyến tính D khác tập lồì đa diện: min{x2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} vô nghiệm, θ := inf{x2 : x1 x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} = > −∞ (xem Hình 1.1) Hình 1.1: Ví dụ 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu khác hàm tuyến tính vô nghiệm hàm mục tiêu có cận hữu hạn Chẳng hạn, toán cực tiểu: : x ∈ D ≡ R vô nghiệm, + x2 θ := inf :x∈R + x2 (xem Hình 1.2) Hình 1.2: Ví dụ 1.1.4 1.2 Định lý Frank-Wolfe quy hoạch toàn phương Xét toán quy hoạch toàn phương, ký hiệu (QP ), có dạng min{f (x) = xT Qx + cT x : Ax ≤ b}, (QP) 24 Cố định k ≥ k0 chọn δk,i > cho t ci , v ≥ − ε ∀t ∈ (0, δk,i ) Ta có gi (xk − tv) = ci , xk − tv + αi ≤ ci , xk + αi − t ci , v ε ≤ − − t ci , v ≤ 0, ∀i ∈ I02 (2.13) Đặt δk := min{δk,i | i ∈ I02 } Từ (2.12) (2.13) suy gi (xk − tv) ≤ 0, ∀t ∈ (0, δk ), ∀i = 1, , m Điều có nghĩa xk − tv ∈ F, ∀k ≥ k0 , ∀t ∈ (0, δk ) (2.14) Theo (2.7) ta có f (xk − tv) = k x − tv, T (xk − tv) + c, xk − tv t2 = f (x ) + v, T v − t T xk + c, v ≤ f (xk ) k (2.15) Kết hợp (2.14), (2.15) ta có xk − tv ∈ Sk , ∀k ≥ k0 , t ∈ (0, δk ) (2.16) Do đó, tồn γ > cho xk − tv − xk − 2t xk , v + t2 v < xk , ∀t ∈ (0, γ) (2.17) Đặt δ := min{δk , γ} Khi đó, theo (2.16), (2.17) ta có xk − tv ∈ Sk xk − tv < xk , ∀k ≥ k1 , ∀t ∈ (0, δ) Điều trái với giả thiết xk phần tử có chuẩn nhỏ Sk Như vậy, ta chứng minh {xk } dãy bị chặn • Do {xk } bị chặn nên có dãy hội tụ yếu Không giảm tổng quát, ta giả sử xk hội tụ yếu tới x Do xk ∈ F với k F tập đóng yếu (xem Bổ đề 2.1.6) nên ta có x ∈ F Do x, T x dạng thức Legendre, nên nửa liên tục yếu ta có 1 x, T x) ≤ lim inf xk , T xk k−→∞ 2 25 Như vậy, theo (2.4) f (x) = 1 x, T x + c, x ≤ lim inf( xk , T xk + c, xk ) k−→∞ 2 ≤ lim inf(f ∗ + ) = f ∗ k−→∞ k Chứng tỏ x nghiệm (QP ) Định lý chứng minh xong Sau vài hệ quan trọng Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.2 Xét toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính (QLP ) (tức (QP ) với Ti = với i = 1, , m), x, T x dạng Legendre Giả thiết f (x) bị chặn tập F = ∅ Khi đó, toán (QLP ) có nghiệm Chứng minh Do Ti = với i = 1, , m, nên I1 = ∅ Vì điều kiện (A) đương nhiên thỏa mãn Từ suy hệ Hệ 2.2.3 Xét toán (QP ) với x, T x dạng Legendre Giả sử ci = với i ∈ I1 f (x) bị chặn tập F = ∅ Khi đó, toán (QP ) có nghiệm Chứng minh Do ci = với i ∈ I1 , nên ci , v = với i ∈ I1 Do điều kiện (A) thỏa mãn hệ suy Hệ 2.2.4 Xét toán (QP ) với x, T x dạng Legendre Giả sử {v ∈ 0+ F | v, T v = 0} ⊂ {0} f (x) bị chặn tập F = ∅ Khi đó, toán (QP ) có nghiệm Chứng minh Do {v ∈ 0+ F | v, T v = 0} ⊂ {0}, nên ci , v = với i = 1, , m, điều kiện (A) thỏa mãn Từ suy kết luận bổ đề Hệ 2.2.5 Cho x, T x dạng Legendre H Giả sử hàm toàn phương f (x) = 21 x, T x + c, x bị chặn không gian Hilbert H Khi đó, tồn x∗ ∈ H cho f (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ H Chứng minh Xét (QP ) với Ti = 0, ci = αi = với i = 1, m, Khi đó, F = H rõ ràng điều kiện (A) thỏa mãn Từ suy kết luận bổ đề Ví dụ sau cho thấy Định lý 2.2.1 thiếu giả thiết tính chất Legendre dạng toàn phương 26 Ví dụ 2.2.6 Ký hiệu H = L2 [0, 1] không gian Hilbert, gồm tất hàm [0, 1] bình phương khả tích với tích vô hướng x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [0, 1] x, y = Xét toán quy hoạch (QP ):   min{f (x) = x, T x } với điều kiện  x ∈ L [0, 1] : g (x) = c (t), x(t) + ≤ 0, i (2.18) T : L2 [0, 1] −→ L2 [0, 1] xác định T x(t) = tx(t) c1 : [0, 1] −→ R, xác định   √1 < t ≤ 1, c1 (t) = t  t = Để ý c1 (t) ∈ L2 [0, 1] Thật vậy, xét dãy hàm yn : [0, 1] −→ R, xác định với n nguyên dương  1   √ t ≥ , n t yn (t) = (2.19)   ≤ t < n Rõ ràng yn tăng [0, 1] yn (t) −→ y(t) với t ∈ [0, 1] Mỗi yn khả tích Riemann [0, 1] khả tích Lebesgue [0, 1] 1 yn (t)dt = 1 n 1 √ dt = − √ n t −→ n −→ ∞ Từ suy c1 (t)dt tồn tích phân Lebesgue có giá trị Như vậy, c1 (t) ∈ L2 [0, 1] Tiếp theo, ta chứng minh Q(x) = x, T x = tx2 (t)dt dạng thức Legendre Thật vậy, xét dãy hàm xk : [0, 1] −→ R, xác định với số nguyên dương k √ k ≤ t ≤ k1 , xk (t) = k1 ≤ t ≤ 27 Dễ kiểm tra lại xk (t) ∈ L2 [0, 1] Ta nhận xét với đa thức p 1 √ k | p, xk | = p(t)xk (t)dt = k p(t)dt ≤ k √ p(t)dt −→ k −→ ∞ k k Do tính liên tục p, k k k [p(t) − p(0)]dt −→ k −→ ∞ p(t)dt = p(0) + k 0 Như p, xk −→ ∞ k −→ ∞ với đa thức p Vì đa thức trù mật L2 [0, 1] xk = với k nên suy xk hội tụ yếu tới Do xk = với k nên xk hội tụ Mặt khác, k tx2k (t)dt Q(xk ) = xk , T xk = =k tdt = −→ k −→ ∞ 2k Như vậy, Q(x) = x, T x không dạng thức Legendre Xác định F = {x(t) ∈ L2 [0, 1] : −c1 (t), x(t) + ≤ 0} Tập F khác rỗng Thật vậy, xét dãy hàm xn : [0, 1] −→ R, xác định với n nguyên dương  √   n ≤ t ≤ , n2 n xn (t) = (2.20) 1   ≤ t < hay < t ≤ n2 n Dễ kiểm tra lại xn ∈ L2 [0, 1] Hơn nữa, ta có n −c1 , xn = − c1 (t)xn (t)dt = − √ 1 = −2 n √ − n n n2 √ √ n dt t = −2 + √ n (2.21) Suy −c1 (t), x(t) + ≤ với n ≥ Điều cho thấy xn ∈ F 28 với n ≥ F = ∅ Do x, T x = tx2 (t)dt ≥ với x ∈ L2 [0, 1] nên f (x) bị chặn F Dễ thấy ∈ / F f (x) > với x ∈ F (2.22) Mặt khác, n tx2n (t)dt fn (x) = = tn dt = n2 n 1 − n2 n4 −→ k −→ ∞ (2.23) Điều với (2.22) cho thấy infimum f F Tuy nhiên, bất đẳng thức (2.22) cho thấy cận không đạt x ∈ F Trên chứng minh (2.18) vô nghiệm Ví dụ sau lấy từ [2], tr 45, trường hợp tập I1 có nhiều phần tử, bỏ điều kiện (A) khỏi giả thiết Định lý (ngay cách đặt hữu hạn chiều) Ví dụ 2.2.7 ([2, tr.45]) Xét (QP ), H = R3 ,       0 0 0 0       T = 0 −1 ; T1 = 0 0 ; T2 = 0 0 , 0 0 0 −1 c = (2, 0, 0), c1 = (−1, 0, 0), c2 = (−1, 0, 0), α1 = 0, α2 = −1 Ta viết lại toán sau: f (x1 , x2 , x3 ) := 2x1 − 2x2 x3 s.t.F = {x ∈ R3 | x22 − x1 ≤ 0, x23 − x1 − ≤ 0} Một mặt, dễ dàng kiểm tra lại với toán I1 = I = {1, 2} 0+ F = {v ∈ R3 | T1 v = 0, c1 , v ≤ 0, T2 v = 0, c2 , v ≤ 0} = {v ∈ R3 | v1 ≥ 0, v2 = 0, v3 = 0}, {v ∈ 0+ F | v, T v = 0} = {v ∈ R3 | v1 ≥ 0, v2 = 0, v3 = 0}, {v ∈ 0+ F | c1 , v = 0, c2 , v = 0} = {v ∈ R3 | v1 = v2 = v3 = 0} 29 Do toán đặt không gian hữu hạn chiều, x, T x dạng thức Legendre Dễ thấy điều kiện (A) không Mặt khác, theo [2], tr 45, hàm f (x) bị chặn tập F = ∅ toán vô nghiệm 2.3 Trường hợp ràng buộc Định lý sau cho thấy (QP ) có ràng buộc, bỏ điều kiện (A) giả thiết Định lý 2.2.1 Định lý 2.3.1 Xét toán (QP ) với m = :    f (x) = x, T x + c, x ,  s.t.x ∈ H : g1 (x) = x, T1 x + c1 , x + α1 ≤ 0, (QP1) x, T x dạng thức Lagrendre Giả thiết hàm mục tiêu f bị chặn miền chấp nhận khác rỗng F := {x ∈ H : g1 (x) = 12 x, T1 x + c1 , x + α1 ≤ 0} Khi đó, (QP 1) có nghiệm Chứng minh Đặt f ∗ = inf f (x) > −∞ Xét tập hợp x∈F M = {v ∈ 0+ F | v, T v = 0} = {v ∈ H| T1 v = 0, c1 , v ≤ 0, v, T v = 0} Bây xét hai trường hợp phân biệt: Nếu c1 , v = với v ∈ M điều kiện (A) thỏa mãn Từ Định lý 2.2.1 suy (QP1 ) có nghiệm Xét trường hợp có v ∈ M cho c1 , v < Vì c1 , v < nên tồn t0 ≥ cho g1 (t0 v) < Hơn nữa, hàm toàn phương f bị chặn F Theo Định lý 2.1.4, tồn λ ≥ cho f (x) + λg1 (x) ≥ f ∗ với x ∈ H (2.24) Xét toán toàn phương min{f (x) + λg1 (x)| x ∈ H} (2.25) Do x, T x dạng thức Legendre T1 nửa xác định dương nên theo ta có x, (T + λT1 )x dạng thức Legendre Do đó, theo Hệ 2.2.5, toán 30 (2.25) có nghiệm, chẳng hạn x∗ Ta có f (x∗ ) + λg1 (x∗ ) ≤ f (x) + λg1 (x) với x ∈ H Từ f (x∗ ) + λg1 (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ F Suy f (x∗ ) + λg1 (x∗ ) ≤ f ∗ Kết hợp với (2.24) ta nhận f (x∗ ) + λg1 (x∗ ) = f ∗ (2.26) Ta xét ba khả tách biệt: Nếu g1 (x∗ ) = x∗ ∈ F Theo (2.26), x∗ nghiệm (QP1 ) Xét trường hợp g1 (x∗ ) < Đẳng thức g1 (x∗ − tv) = g1 (x∗ ) + t2 v, T1 v − t T1 x∗ + c1 , v = g1 (x∗ ) − t c1 , v , kéo theo g1 (x∗ − tv) = với t∗ = g1 (x∗ ) > Khi đó, ta có c1 , v x∗ − t∗ v ∈ F (2.27) Từ (2.24) ta thấy f (x∗ + t∗ v) + λg1 (x∗ + t∗ v) ≥ f ∗ hay tương đương f (x∗ ) + t∗ T x∗ + c, v + λg1 (x∗ ) + λt∗ c1 , v ≥ f ∗ Suy λt∗ c1 , v ≥ −t∗ T x∗ + c, v Kết hợp với (2.26) (2.27) ta có f (x∗ − t∗ v) = f (x∗ ) − t∗ T x∗ + c, v ≤ f (x∗ ) + λt∗ c1 , v = f (x∗ ) + λ g1 (x∗ ) c1 , v = f (x∗ ) + λg1 (x∗ ) = f ∗ c1 , v Điều cho thấy x∗ − t∗ v nghiệm (QP1 ) Xét trường hợp g1 (x∗ ) > Đẳng thức g1 (x∗ + tv) = g1 (x∗ ) + t2 v, T1 v + t T1 x∗ + c1 , v = g1 (x∗ ) + t c1 , v , g1 (x∗ ) kéo theo g1 (x + tv) = với t = − > Khi đó, ta có c1 , v ∗ ∗ x∗ + t∗ v ∈ F (2.28) 31 Từ (2.24) ta thấy f (x∗ − t∗ v) + λg1 (x∗ − t∗ v) ≥ f ∗ hay tương đương f (x∗ ) − t∗ T x∗ + c, v + λg1 (x∗ ) − λt∗ c1 , v ≥ f ∗ Suy −λt∗ c1 , v ≥ t∗ T x∗ + c, v Kết hợp với (2.26) (2.28) ta có f (x∗ + t∗ v) = f (x∗ ) + t∗ T x∗ + c, v ≤ f (x∗ ) − λt∗ c1 , v g1 (x∗ ) c1 , v = f (x∗ ) + λg1 (x∗ ) = f ∗ = f (x ) + λ c1 , v ∗ Điều cho thấy x∗ + t∗ v nghiệm (QP1 ) Như vậy, ta toán (QP1 ) có nghiệm Định lý chứng minh đầy đủ Để áp dụng Định lý 2.2.1, ta cần liệu hàm mục tiêu f (x) (QP ) có bị chặn tập F hay không Đó việc không dễ dàng Định lý sau đưa điều kiện đủ cho tồn nghiệm (QP ) Định lý 2.3.2 (Định lý kiểu Eaves) Xét toán (QP ), x, T x dạng thức Legendre Giả sử (i) F khác rỗng; (ii) Nếu v ∈ 0+ F v, T v ≥ 0; (iii) Nếu v ∈ 0+ F, v, T v = x ∈ F T x + c, v ≥ 0; (iv) Điều kiện (A) thỏa mãn Khi đó, toán (QP ) có nghiệm Chứng minh Để chứng minh (QP ) có nghiệm với điều kiện (i) − (iv), theo Định lý 2.2.1, ta cần kiểm tra lại f bị chặn F Giả sử điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) thỏa mãn Đặt f ∗ = inf{f (x) : x ∈ F } Do F = ∅ nên f ∗ = +∞ Nếu f ∗ > −∞ điều khẳng định định lý suy từ Định lý 2.2.1 (Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ nhất) Do ta cần chứng minh f ∗ > −∞ Để nhận mâu thuẫn, ta giả sử trái lại f ∗ = −∞ Khi tồn dãy {y k } ⊂ F cho f (y k ) −→ −∞ Không giảm tổng quát ta giả sử y k −→ ∞ k −→ ∞ f (y k ) ≤ với k k Đặt Sk = {x ∈ F | f (x) ≤ f (y k )} Ta có y k ∈ Sk , dó Sk đóng, khác rỗng Theo Bổ đề 2.1.8, Sk có phần tử với chuẩn nhỏ Giả sử xk ∈ Sk phần 32 tử Do f (xk ) ≤ f (y k ) f (y k ) −→ −∞ nên ta có f (xk ) −→ −∞ Không tổng quát ta giả sử xk −→ ∞ k −→ ∞ Để ý gi (xk ) = k x , Ti xk + ci , xk + αi ≤ 0, ∀i = 1, , m, ∀k ≥ Không tổng quát giả thiết xk = với k (2.29) xk xk v Theo Bổ đề 2.1.9, ta có v ∈ 0+ F Do f (xk ) −→ −∞ nên ta giả thiết f (xk ) = k x , T xk + c, xk ≤ với k ≥ Nhân hai vế bất đẳng thức (2.30) với xk lim sup k−→∞ xk −1 k −2 x , T xk (2.30) cho k −→ ∞ ta có −1 k x ≤ Theo tính nửa liên tục yếu x, T x , ta có 1 v, T v ≤ lim inf k−→∞ 2 xk xk −1 , T xk xk −1 ≤ lim sup k−→∞ xk xk −1 , T xk −1 xk (2.31) Từ (2.31) giả thiết (ii) ta có lim k−→∞ xk xk −1 , T xk xk −1 = v, T v = (2.32) xk Do x, T x dạng thức Legendre v nên ta kết luận xk v = Do v ∈ 0+ F nên theo (2.32) giả thiết (iii) nên ta kết luận T xk + c, v ≥ (2.33) Lặp lại lập luận chứng minh Định lý 2.2.1, ta tìm δ > k0 cho xk − tv ∈ Sk xk − tv ≤ xk , ∀k ≥ k0 , ∀t ∈ (0, δ) ≤ 33 Điều mâu thuẫn với kiện xk phần tử có chuẩn nhỏ Sk Ta chứng minh f bị chặn F Định lý chứng minh đầy đủ Chú ý 2.3.3 Để ý Ti = với i = 1, , m, ci = với i ∈ I1 điều kiện (A) tự động thỏa mãn Trong trường hợp, dễ giả thiết (ii) (iii) cần đủ để (QP ) có nghiệm, với điều kiện F = ∅ 2.4 Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ hai Trong phần lại mục đưa kết tồn nghiệm cho (QP ) với giả thiết tất toán tử ứng với dạng toàn phương toán tử compact với miền trị đóng Điều có nghĩa tất toán tử tương ứng với dạng toàn phương (QP ) có miền trị hữu hạn chiều Để ý giả thiết hạn chế cách dùng giả thiết ta nghiên cứu tồn nghiệm lớp toán (QP ), dạng toàn phương hàm mục tiêu không dạng thức Legendre Mệnh đề sau xem bổ sung Định lý 2.2.1 Định lý 2.4.1 (Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ 2) Xét toán (QP ) giả sử (i) T Ti (i = 1, m) toán tử compac với miền trị đóng; (ii) hàm mục tiêu f bị chặn tập F = ∅; (iii) điều kiện (A) thỏa mãn Khi đó, toán (QP ) có nghiệm Chứng minh Giả sử f ∗ = inf{f (x)| x ∈ F } Với số nguyên dương k, đặt Sk = x ∈ F | f (x) ≤ f ∗ + Do giả thiết f ∗ < −∞, nên Sk = ∅ k đóng Theo Bổ đề 2.1.8, Sk có phần tử với chuẩn nhỏ Giả sử x∗ ∈ Sk phần tử Khi ta có k x , T xk + c, xk ≤ f ∗ + k (2.34) k x , Ti xk + ci , xk + αi ≤ 0, i = 1, , m (2.35) f (xk ) = gi (xk ) = 34 Xét dãy {xk } Bây ta chứng minh {xk } bị chặn Giả sử trái lại {xk } không bị chặn Không giảm tổng quát ta giả thiết xk → ∞ xk k → ∞ xk = với k Đặt v k = k , ta có xk = Tồn x k dãy {x } hội tụ yếu tới v¯ Không giảm tổng quát ta giả thiết vk v¯ k → ∞ Do T ánh xạ compact nên x, T x liên tục yếu Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, ta có kết luận v ∈ 0+ F, v, T v = Nếu v = cách lặp lại lập luận chứng minh Định lý 2.2.1, ta tìm δ > k0 cho xk − tv ∈ Sk xk − tv ≤ xk , ∀k ≥ k0 , ∀t ∈ (0, δ) Điều mâu thuẫn với kiện xk phần tử có chuẩn nhỏ Sk Như V = Khi đó, ta có T v = 0, c, v = 0, Ti v = 0, ci , v = 0, ∀i = 1, , m Giả sử £ = H ⊕ H ⊕ ⊕ H ⊕ Rm+1 , ⊕ ký hiệu tổng trực tiếp không gian Hilbert ta viết , £ • £ để tích vô hướng chuẩn £ tương ứng Cho A : H −→ £ xác định Ax = (T x, T1 x, , Tm x, c, x , c1 , x , , cm , x ) Do T Ti (i = 1, , m) liên tục với miền giá trị đóng nên A liên tục có miền giá trị đóng Với k, xét hệ tuyến tính Ax = Axk (2.36) Do A liên tục với miền giá trị đóng nên tồn giả nghịch đảo liên tục A+ A nghiệm xk (2.36) cho xk = A+ Axk Vì thế, tồn ρ > 0, phụ thuộc A, cho xk ≤ ρ( Axk £ ) Điều dẫn tới m x k k m k ≤ ρ(T x + k Ti x + c, x i=1 ci , xk ) + i=1 35 Theo (2.36) Axk = Axk Có thể kiểm tra lại xk ∈ Sk f (xk ) = f (xk ) ≤ f ∗ + k Do xk phần tử với chuẩn nhỏ Sk nên ta có m k x ≤ x k k m k ≤ ρ(T x + k Ti x + c, x i=1 ci , xk ) + i=1 Chia hai vế bất đẳng thức cho xk , cho k −→ ∞ T compac nên m m ≤ ρ(T v + Ti v + | c, v | + i=1 ci , v ) i=1 Điều mâu thuẫn với kiện T v = 0, c, v = 0, Ti v = 0, ci , v = với i = 1, , m Vậy {xk } bị chặn Do có dãy hội tụ yếu Không giảm tổng quát ta giả thiết xk x k −→ ∞ Do F đóng yếu xk ∈ F nên x ∈ F Do T compac nên x, T x liên tục yếu Do theo (2.34) F (x) = 1 k x, T x + c, x = lim x , T xk + c, xk k−→∞ 2 ≤ lim k−→∞ f∗ + k = f ∗ Từ suy x nghiệm (QP ) Định lý chứng minh đầy đủ Để ý hệ sau Định lý 2.4.1, điều kiện (A) tự động thỏa mãn Hệ 2.4.2 Xét toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính (QLP ) (tức toán (QP ) với Ti = 0, i = 1, , m), T toán tử compac với miền giá trị đóng Giả sử hàm f (x) bị chặn tập ràng buộc F = ∅ Khi đó, toán (QLP ) có nghiệm Hệ 2.4.3 Xét toán qui hoạch tuyến tính (LP ) (tức toán (QP ) với T = 0, Ti = 0, i = 1, , m) Giả sử hàm f (x) bị chặn tập ràng buộc F = ∅ Khi đó, toán (LP ) có nghiệm Hệ 2.4.4 Xét toán (QP ), T Ti với i = 1, , m, toán tử compac với miền giá trị đóng Giả sử ci = với i ∈ I1 36 f (x) bị chặn tập ràng buộc F = ∅ Khi đó, toán (QP ) có nghiệm Hệ 2.4.5 Xét toán (QP ), T Ti với i = 1, , m, toán tử compac với miền giá trị đóng Giả sử {v ∈ 0+ F | v, T v = 0} ⊂ {0} f (x) bị chặn tập ràng buộc F = ∅ Khi đó, toán (QP ) có nghiệm Hệ 2.4.6 Cho T toán tử compac với miền giá trị đóng Giả sử hàm toàn phương f (x) = 12 x, T x + c, x bị chặn không gian Hilbert H Khi đó, tồn x∗ ∈ H cho f (x∗ ) ≤ f (x) với x ∈ H Chú ý Nếu H hữu hạn chiều toán tử liên tục T H compac với miền giá trị đóng x, T x dạng thức Legendre Vì thế, cách phát biểu hữu hạn chiều, Định lý 2.2.1 Định lý 2.4.1 hoàn toàn trùng Kết luận chương Chương trình bày kết nghiên cứu [4] tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không lồi không gian Hilbert Để thu kết này, tác giả [4] sử dụng tính chất dạng thức Legendre tính chất toán tử compact với miền giá trị đóng Các kết thu không cần đến tính lồi hàm mục tiêu tính compac tập ràng buộc bao hàm số kết tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không gian Rn 37 Kết luận Luận văn đề cập tới vấn đề tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương Đây chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết tối ưu, nhiều người quan tâm nghiên cứu hai cách đặt hữu hạn vô hạn chiều Luận văn trình bày số nội dung cụ thể sau: Định lý tồn nghiệm toán quy hoạch tuyến tính, định lý Frank - Wolfe tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính, dạng mở rộng định lý Frank - Wolfe cho toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương cho toán quy hoạch đa thức lồi Các toán xét không gian hữu hạn chiều Rn Kết nghiên cứu [4] tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương không lồi với ràng buộc tuyến tính toàn phương lồi không gian Hilbert Các kết thu không cần đến tính lồi hàm mục tiêu tính compac tập ràng buộc mở rộng vào không gian Hilbert kết có tồn nghiệm quy hoạch toàn phương không gian Rn Nội dung trình bày luận văn kiến thức mà tác giả thu thập tìm hiểu tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương cách đặt toán khác Các kiến thức tạo sở để sau tác giả tìm hiểu thêm toán khác lĩnh vực toán giải tích toán ứng dụng 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Belousov E G., Klatte D (2002), "A Frank–Wolfe Type Theorem for Convex Polynomial Programs", Computational Optimization and Applications, 1, 37 - 48 [4] Dong V V., Tam N N (2016), "On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces", AMVI manuscript, - 16 [5] Frank M., Wolfe P (1956), "An Algorithm for Quadratic Programming", Naval Research Logistics Quaterly, 3, 95 - 110 [6] Luo Z Q., Zhang S (1999), "On Extensions of the Frank-Wolfe Theorems", Computational Optimization and Applications, 13, 87–110 [7] Polyak B T (1987), Introduction to Optimization, Inc., Publication Division, New York [8] Unknown Author, "The Frank-Wolfe Theorem" (Sildes of a course on quadratic programming and the linear complementarity problem), University of Stanford, http://www.stanford.edu/class/msande316/slides/041204.pdf ... 1.1 nh lý c bn ca quy hoch tuyn tớnh 1.2 nh lý Frank-Wolfe ca quy hoch ton phng 1.3 M rng nh lý Frank - Wolfe 1.3.1 Quy hoch ton phng vi rng buc ton phng 1.4 Quy hoch... Rn (x - vộc t bin cn tỡm) Trong quy hoch tuyn tớnh ta ó bit s kin quen thuc vi tờn gi "nh lý c bn ca quy hoch tuyn tớnh" Ni dung nh lý nh sau nh lý 1.1.1 ([7], nh lý 9, tr 312) Mt hm tuyn tớnh... "Bi toỏn quy hoch ton phng Rn " trỡnh by cỏc kt qu v s tn ti nghim ca bi toỏn quy hoch tuyn tớnh (nh lý c bn ca quy hoch tuyn tớnh), bi toỏn quy hoch ton phng vi cỏc rng buc tuyn tớnh (nh lý Frank