Định lý kiểu Frank-Wolfe thứ hai

2 Quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert

2.4 Định lý kiểu Frank-Wolfe thứ hai

Trong phần còn lại của mục này sẽ đưa ra một kết quả tồn tại nghiệm cho

(QP) với giả thiết rằng tất cả các toán tử ứng với các dạng toàn phương là các toán tử compact với miền trị đóng. Điều này có nghĩa là tất cả toán tử tương ứng với các dạng toàn phương trong (QP) có miền trị hữu hạn chiều. Để ý rằng giả thiết này rất hạn chế nhưng bằng cách dùng giả thiết này ta có thể nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán (QP), trong đó dạng toàn phương ở hàm mục tiêu không là dạng thức Legendre. Mệnh đề sau đây có thể xem như một bổ sung của Định lý 2.2.1.

Định lý 2.4.1 (Định lý kiểu Frank - Wolfe thứ 2). Xét bài toán (QP) và giả sử rằng

(i) T và Ti(i = 1, ...m) là các toán tử compac với miền trị đóng;

(ii) hàm mục tiêu f bị chặn dưới trên tập F 6= _∅;

(iii) điều kiện (A) được thỏa mãn. Khi đó, bài toán (QP) có nghiệm.

Chứng minh. Giả sử f^∗ = inf{f(x)| x ∈ F}. Với mỗi số nguyên dương k, đặt S_k =

x ∈ F| f(x) ≤ f^∗ + ¹

k

. Do giả thiết f^∗ < −∞, nên S_k 6= _∅ và đóng. Theo Bổ đề 2.1.8, Sk có phần tử với chuẩn nhỏ nhất. Giả sử x^∗ ∈ Sk là phần tử như thế. Khi đó ta có f(x^k) = ¹ 2hx^k, T x^ki+hc, x^ki ≤ f^∗+ ¹ k^{. (2.34)} gi(x^k) = ¹ 2hx^k, Tix^ki+hci, x^ki+αi ≤ 0, i = 1, ..., m. (2.35)

Xét dãy {x^k}. Bây giờ ta chứng minh {x^k} bị chặn. Giả sử trái lại {x^k} không bị chặn. Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết rằng kx^kk → ∞ khi k → ∞ và kx^kk 6= 0 với mọi k. Đặt v^k = ^x

k

kxkk^{, ta có kx}

kk = 1. Tồn tại dãy con của {x^k} hội tụ yếu tới v¯. Không giảm tổng quát ta giả thiết rằng

v^k * v¯ khi k → ∞. Do T là ánh xạ compact nên hx, T xi liên tục yếu. Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.1, ta có kết luận

v ∈ 0⁺F,hv, T vi = 0.

Nếu v 6= 0 thì bằng cách lặp lại lập luận như trong chứng minh Định lý

2.2.1, ta có thể tìm δ > 0 và k₀ sao cho

x^k −tv ∈ S_k và kx^k −tvk ≤ kx^kk, ∀k ≥ k₀, ∀t ∈ (0, δ).

Điều này mâu thuẫn với sự kiện x^k là phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong

Sk. Như vậy V = 0. Khi đó, ta có

T v = 0,hc, vi = 0, T_iv = 0,hc_i, vi = 0, ∀i = 1, . . . , m.

Giả sử £= H⊕H⊕. . . ⊕H⊕_Rm+1, trong đó ⊕ là ký hiệu tổng trực tiếp của các không gian Hilbert và ta viết h., .i£ và k • k£ để chỉ tích vô hướng và chuẩn trong £ tương ứng.

Cho A : H −→ £ xác định bởi

Ax = (T x, T₁x, . . . , T_mx,hc, xi,hc₁, xi, . . . ,hc_m, xi).

Do T và Ti(i = 1, . . . , m) liên tục với miền giá trị đóng nên A cũng liên tục và có miền giá trị đóng. Với mỗi k, xét hệ tuyến tính

Ax= Ax^k. (2.36)

Do A liên tục với miền giá trị đóng nên tồn tại giả nghịch đảo liên tục A⁺

của A và nghiệm x^k của (2.36) sao cho x^k = A⁺Ax^k. Vì thế, tồn tại ρ > 0, phụ thuộc A, sao cho kx^kk ≤ρ(kAx^kk£). Điều này dẫn tới

kxk^k ≤ ρ(T x^k+ m X i=1 T_ix^k +hc, x^ki+ m X i=1 hc_i, x^ki)

Theo (2.36) Ax^k = Ax^k. Có thể kiểm tra lại rằng x^k ∈ Sk và

f(x^k) =f(x^k) ≤ f^∗ + ¹

k^.

Do x^k là phần tử với chuẩn nhỏ nhất trong S_k nên ta có

kx^kk ≤ kx^kk ≤ ρ(T x^k+ m X i=1 T_ix^k+hc, x^ki+ m X i=1 hc_i, x^ki).

Chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho kx^kk, cho k −→ ∞ và do T compac nên 1 ≤ ρ(T v+ m X i=1 Tiv+|hc, vi|+ m X i=1 hci, vi).

Điều này mâu thuẫn với sự kiện là T v = 0, hc, vi = 0, T_iv = 0, hc_i, vi = 0 với mọi i = 1, ..., m. Vậy {x^k} bị chặn. Do đó có dãy con hội tụ yếu. Không giảm tổng quát ta giả thiết rằng x^k * x khi k −→ ∞. Do F đóng yếu và

x^k ∈ F nên x ∈F. Do T compac nên hx, T xi liên tục yếu. Do đó theo (2.34)

F(x) = ¹ 2hx, T xi+hc, xi = lim k−→∞ 1 2hx^k, T x^ki+hc, x^ki ≤ lim k−→∞ f^∗ + ¹ k = f^∗.

Từ đó suy ra x là nghiệm của (QP). Định lý được chứng minh đầy đủ.

Để ý rằng trong các hệ quả sau đây của Định lý 2.4.1, điều kiện (A) tự động được thỏa mãn.

Hệ quả 2.4.2 . Xét bài toán qui hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính

(QLP) (tức là bài toán (QP) với mọi T_i = 0, i = 1, ..., m), trong đó T là toán tử compac với miền giá trị đóng. Giả sử hàm f(x) bị chặn dưới trên tập ràng buộc F 6= _∅. Khi đó, bài toán (QLP) có nghiệm.

Hệ quả 2.4.3 . Xét bài toán qui hoạch tuyến tính(LP) (tức là bài toán (QP)

với T = 0, và mọi T_i = 0, i = 1, ..., m). Giả sử hàm f(x) bị chặn dưới trên tập ràng buộc F 6= _∅. Khi đó, bài toán (LP) có nghiệm.

Hệ quả 2.4.4 . Xét bài toán (QP), trong đó T và Ti với mọi i= 1, ..., m, là các toán tử compac với miền giá trị đóng. Giả sử rằng c_i = 0 với mọi i ∈ I₁

và f(x) bị chặn dưới trên tập ràng buộc F 6= _∅. Khi đó, bài toán (QP) có nghiệm.

Hệ quả 2.4.5 . Xét bài toán (QP), trong đó T và T_i với mọi i = 1, ..., m,

là toán tử compac với miền giá trị đóng. Giả sử rằng {v ∈ 0⁺F| hv, T vi = 0} ⊂ {0} và f(x) bị chặn dưới trên tập ràng buộc F 6= _∅. Khi đó, bài toán

(QP) có nghiệm.

Hệ quả 2.4.6 . Cho T là toán tử compac với miền giá trị đóng. Giả sử hàm toàn phương f(x) = ¹₂hx, T xi+hc, xi bị chặn dưới trên không gian Hilbert H. Khi đó, tồn tại x^∗ ∈ H sao cho f(x^∗) ≤ f(x) với mọi x∈ H.

Chú ý 1.Nếu H hữu hạn chiều thì mọi toán tử liên tục T trên H là compac với miền giá trị đóng và hx, T xi là dạng thức Legendre. Vì thế, trong cách phát biểu hữu hạn chiều, Định lý 2.2.1 và Định lý 2.4.1 hoàn toàn trùng nhau.

Kết luận chương. Chương này đã trình bày kết quả nghiên cứu mới ở

[4]về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi trong không gian Hilbert. Để thu được các kết quả này, các tác giả [4] đã sử dụng các tính chất của dạng thức Legendre hoặc các tính chất của toán tử compact với miền giá trị đóng. Các kết quả thu được không cần đến tính lồi của hàm mục tiêu hoặc tính compac của tập ràng buộc và bao hàm một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian _Rⁿ.

Kết luận

Luận văn này đề cập tới vấn đề về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương. Đây là một chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong lý thuyết tối ưu, được nhiều người quan tâm nghiên cứu trong cả hai cách đặt hữu hạn và vô hạn chiều.

Luận văn đã trình bày một số nội dung cụ thể sau:

1. Định lý về tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến tính, định lý Frank - Wolfe về tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với các ràng buộc tuyến tính, các dạng mở rộng của định lý Frank - Wolfe cho bài toán quy hoạch toàn phương với các ràng buộc toàn phương và cho bài toán quy hoạch đa thức lồi. Các bài toán được xét trong không gian hữu hạn chiều _Rⁿ.

2. Kết quả nghiên cứu mới ở [4] về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi với các ràng buộc tuyến tính hoặc toàn phương lồi trong không gian Hilbert. Các kết quả thu được không cần đến tính lồi của hàm mục tiêu hoặc tính compac của tập ràng buộc và là mở rộng vào không gian Hilbert các kết quả đã có về sự tồn tại nghiệm của quy hoạch toàn phương trong không gian _Rⁿ.

Nội dung trình bày trong luận văn là những kiến thức mà tác giả đã thu thập và tìm hiểu được về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương dưới các cách đặt bài toán khác nhau. Các kiến thức này tạo cơ sở để sau này tác giả sẽ tìm hiểu thêm các bài toán khác trong lĩnh vực toán giải tích và toán ứng dụng.

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hiền và Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tiếng Anh

[3] Belousov E. G., Klatte D. (2002), "A Frank–Wolfe Type Theorem for Convex Polynomial Programs", Computational Optimization and Appli- cations, 1, 37 - 48.

[4] Dong V. V., Tam N. N. (2016), "On the Solution Existence of Non- convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces", AMVI manuscript, 1 - 16.

[5] Frank M., Wolfe P. (1956), "An Algorithm for Quadratic Programming", Naval Research Logistics Quaterly, 3, 95 - 110.

[6] Luo Z. Q., Zhang S. (1999), "On Extensions of the Frank-Wolfe Theo- rems", Computational Optimization and Applications, 13, 87–110. [7] Polyak B. T. (1987), Introduction to Optimization, Inc., Publication Di-

vision, New York.

[8] Unknown Author, "The Frank-Wolfe Theorem" (Sildes

of a course on quadratic programming and the lin-

ear complementarity problem), University of Stanford,