Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia tọa độ không gian

r i ■■ NGƯT ThS LÊ HỒNH PHỊ ■ ĩi ■ ■■ ■ ì ■ ■■ C ác ch u y ên đ ề ■ V BÁin lfÍTĐế THÌ T H P T Q U Ố C GIA Th.s NHÀ GIÁO ƯU TỦ LÊ HOẢNH PHÒ CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT Q u ố c GIA TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - C hế bản: (04) 39714896; Q uản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011 Fax: (04) 39729436 C h ịu tr c h n h iệm x u ấ t bản: G iám dốc - T ố n g hiên tập: TS PH Ạ M T H Ị T R Â M B iên tập: VŨ T H Ị TH Ư Ý C h ế ban: N G U Y Ễ N K H Ở I M IN H T r ìn h bày bìa: N H À SÁ CH H N G ÂN Dối tác liê n k ế t x u ấ t bản: N H À SÁ CH H Ổ N G ÂN 20C N guyễn T hị M in h K hai - Q1 - T lh Hồ C h í M in h SACH MEN KET CÁC CHUYÊN ĐỄ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN_ _ _ _ _ _ _ _ _ Mã số: 1L-338ĐH2015 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang Địa chỉ: Số Nguyễn Trung Trực - P5 - Q, Binh Thạnh - TP Hổ Chí Minh Sô xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/2-217-189/ĐHŨGHN, ngày 3/6/2015 Quyết định xuất số: 356LK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN, ngày 13/6/2015 In xong nộp lưu chiểu quý III năm 2015 LỜI NÓI ĐẦU Các lOm học sinh thân mến! Nhằm mục đích ^'iúp hạn học sinh lớp 12 chuan bị thật tòl cho KY THI TRUNG HOC! PHÔ THÔNG QUỒC GIA dạt diem khá, diêm cao d(1 trúng tuyổn vào trường Cao dang Dại học mà dã xác dịnh nghề nghiệp cho tương lai, thoo dịnh hướng Bộ sách gồm cS cn cho chuvịn dồ, dơ om tiộn dùng ơn luyện th(í0 chương trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỔ - HÀM SỐ VẢ IMIƯƠNG TRÌNH MŨ LỊGARIT - NGUN HÀM VẢ TÍCH PHÂN - SỔ PHỨC VẢ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN - TỌA DỘ KHƠNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHẲ n G - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT DANG THỨC Cn TOA DƠ KHƠNG GIAN gơm có 12 phân nhỏ dc liộn luyện tcập theo chù d'ô l ù kiôn thúc phưcmg pháp giai Toán bàn Vcà nâng cao dần tlần, kơt họp ơn tập tốn lóp 10 11, bơ sung Vià mò rộng kiến thức phưong plỉáp giai khác nhau, luyộn tập Ihơm lồn khó, 1'ốn lơng hạp, btỢn ròn luyện kỹ Icàm bái v^z 'i=(l;0;0), ']=(0;1;0), k= (0;0;l) M(x,y,z) hay M=(x,y,z): O M = x i + y j + z k a (x,y,z) hay a =(x,y,z): a = X ỉ + y j z.k Phép toán vectơ / Hai vecíơ: It = (x,y,z) V = (x',y'zỹ thì: u ± V = (x ± x y ± y z ± z'); ku = (kx; ky, kz) u V = x x ' ^ y y ' ^ zz'] Ịu ,— , COS(u,v) = I = -ịx~ + y^ +z^ x.x’+y.y'+z.z' ■ — = = r ■yjx' + y^ + z\- (k u + 17v)(3 u - v ) = « u ^ - 17v^ + (51 - k ) u ’v = « k - 17.25 + (5 Ị - k)2.5 Vậy giá trị cần tìm k = 40 V2 y = 0 17k- 680 = « k = 40 Bài tốn 1.7: Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; Vs ; 5) C(sin5t; cos3t; sin3t) Tìm t để AB vng góc với o c Giải Ta có AB = (2; V3 ; 1), o c = (sinSt; cos3t; sin3t) Hai đường thẳng AB o c vng góc với khi: A B o c = 2sin5t + V3 cos3t + sin3t = /T Ị sinSt + cos3t + —sin3t = sinSt + sin(3t + — ) = 2 sinSt = sin(-3t - ^ ) n 2n V ây t = - — + k — - , ,t t == — + krt k e z 24 Bài toán 1.8: Xét đồng phẳng ba vectơ a) a ={-3; l ; - ) , b = (1 ; 1; 1), c = (-2; 2; 1) b ) a = (4 ;3 ;4 ), b = ( ; - l ; ) , c - ( l ; ; l ) Giải a) Ta có [a , b ] = -2^ -3 1 Do [ a , b ] c = -6 + - = -8 Vậy vectơ không đồng phẳng b )T a c ó [ a , b ] = (10; 0;-10) Vậy vectơ đồng phang = (3; l;-4 ) [ a , b l.c = Bài toán 1.9: Cho vectơ: a = (1; -1; 1), b = (0; 1; 2), c = (4; 2; 3) d = (2; 7; 7) a) Chứng minh vcctơ a , b , c không đồng phẳng b) Hãy biêu thị vectơ d theo vectơ a , b , c Giải a) Ta có [a , b I = (-3; -2; l)= 5> [a, b ]c = -135*0 Vậy vecto không dông phăng m + 4p = m = -2 b) Giả s d = m a + nb -t pc - m + n-t-2p = n = m + 2n + 3p = Vậy d = -2a + b + c P= Bài toán 1.10: Trong không gian cho bốn điổm; A(0; 0; 3), B (l; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0) a ) T ín h (Ã B B C )C A + C D ^ Ã B b) Chứng minh bốn điểm A, B, c, D đồng phang Giải a) ÃB = (1 ; 1;2), BC (-4 ;-l;-5 ), CA = (3; 0; 3), CD = ( ;- ;0 ) D ođó ÃB BC = -1 , C D ^= 18 n ên (Ã B ã C )C A + CD^ ÃB = -15C A + 18ÃB =(-27; 18;-9) b) ÃB = (1 ; 1;2), Ã c = (-3; 0;-3) => [ÃB , ÃC] = (-3;-3; 3) Và ÃD = (0 ; -3; -3) [Ã B , Ã C IÃ D = : đpcm Bài tốn 1.11: Chứng minh lính chất sau lích có hướng a) [a , b ] = - [ b , a I b) fka , b ] = k[a , b] = [a , k b ] Giải Gọi a = (x i;y i;Z ]), b = (X2; y 2; Z2) Ta có Yi a) [a , b ] = Y2 "2 ^2 ^2 Y2 = (yiZ - y2Zi; Z1X2 - Z2X1; Xiy2 - X2yi) = -(y2Z| - yiZ2; Z2Xi - Z1X2; X2yi - Xiy2) ^Y2 Z-) -2 ^2 X2 Y2 ' X, y ,, = -[ b , a ] Kết [ a , a J = -| a , a ] ^ [ a , a ] = Yi 7-1 7l X: Y2 7.2 72 ^2 'ky, kz, k b ) k [ a , b] V , Y2 72 kZ| 72 ,k kX| X2 X, y ,' ^2 Yl, kx, k y ,' ^2 Y2 , [k a , b l Tưong tự: k [a , b ] = [a , kh ] Bài tốn 1.12: Chímg minh lính chất sau tích vơ hướng a) a [b , c ] = [a , b ].c I b) [a b ] p = Giải Ia p Ib p a) Gọi a = (Xi; y i;Z i), b = (X2; y 2; Z2) , c = (X3; ys; Z3) Ta có - (a b)^ a [b c ] = X, ^2 y? 5^2 +y3 + z, X3 y? z, y, y2 X- +yi X, yi +G ^2 ^2 b) V P = I ã p I b l “ - ( a b ) ^ a b ]c ^2 yi b “ cos“a a 1^ I b = | a 1" l b | ~ ( l - cos^a) = I a "b I W a - I [a b ] p = VT Bài tốn 1.13: Trong khơng gian cho ba vectơ a , b , c đôikhông phuơng Chửng minh điều kiện cần đủ đổvcclơ long; a (- b + c = l [ a , b | = [ b, c] = [c, a | Giải T a + b + C = Õ =>a =-(b + c ) = ^ Ị a , - b - c ] = Õ Do [ ã , - b - c] = [ a , - b ] - [ a , c] = =>[c, a j = [ a , b] Tưcmg tự ta có [ b , c ] = [ a , b ] Vậy: [ a , b] [ b , c] - | c , k ị Ngược lại, t [ a , b] = | b , c ] = > [ b , + c] = Mặt khác, [ b , b ] == õ =í> [ b , a t b "t c J õ => b phương với veclơ a' + b + c Chứng minh tương tự ta có vectơ a phương với vectơ a + b + c NhuTig a b không phương, a + b + c = Bài toán 1.14: Cho điểm M(a; b; c) a) rim toạ độ hình chiếu M mặt phang toạ độ trục toạ độ b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phang toạ độ, đến trục toạ độ Giải a) Gọi Mi(x; y; 0) hình chiểu điểm M(a; b; c) mp(Oxy) thì: MM| = (x - a; y - b; -c) Vì MM,' ĩ = MM| ] = nên x - a = 0, y - b = Vậy Mi(a; b; 0) Tương tự hình chiếu M mp(Oyz) M2(0; b; c) hình chiếu M mp(Oxz) M 3(a; 0; c) Giả sử Mx(x; 0; 0) hình chiểu M(a; b; c) trục Ox thi MM, = (x - a; -b; -c) Vì MM^ = nên X = a, Mx(a; 0; 0) 10 Bán kính mặl cầu (S) R = lA = Vllt^ - t + l Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên / = d(I, (P)) = R < » Ế í ^ - V l l t ^ - t + l « t ^ - t = « í= 24 37 24 „ 77 Với t = R = 1, với t = ^ R = -— 37 37 Chọn bán kính nhỏ nên R = 1, I( 1; -1; 0) Vậy phưcmg trình mặt cầu cần tìm là: (S );(x -l)V (y + l)U z'= l Bài tốn 12.71: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phang (P): 2x + y - 2z + = 0, (Q): X - y + z + = ' J X x -1 y + z -3 đường thăng d: = - = - Viết phưomg trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đưÒTig thẳng d, tiếp xúc với (P) căt (Q) theo đường trịn có bán kính băng Giải Giả sử mặt cầu có tâm I, bán kính R V ÌI e d ^ I ( l - t ; - + t ; + t ) , , 12/ - 21 Mặt câu tiêp xúc với (P) nên R = d(I; (P)) = -Ta có R^ = d^(I, (Q)) + r^ = íllz lL + i 1= < » / - -3 / + 92 = » _23 Với l = = > I ( - ; ; ) , R = Phương trình mặt cầu (S): (x + 3)^ + (y - 5)^ + (z - 7Ý - 29 _ 23 _ , í 21 R = Với t = — ^ / ;20; ^ 2 V 21 ( 29^ + ( y - ) ^ + z = 49 l 7 Bài tốn 12.72: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC AiBiCi với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B,(4; 0; 4) Tìin tọa độ đỉnh Ai, C] lập phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCCiBi) Phương trình mặt cầu là: (S): X+ ■ 183 Giải Ta có AA, = c c , = BB, = (0; 0; 4) => A,(0; -3 4), c ,( ; 3; 4) Ta có c ĩi = (4; -3; 0) => f C c|;C B ] = (12; 16; 0) =í>(BCCiB,); 3x + y - 12 = 24 R = d(A ;(BCCiBi) Vậy phương trình mặt cầu (S): + (y -t- 3)^ + 7? = 576 25 Bài toán 12.73: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phang (P): x + y - z + = v mặt cầu (S): x^ + y^ + z^ - 2x + 4t + 2z - = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) A(3; -1; 1) song song với mặt phẳng (P) Giải Mặt phẳng (P) có VTPT tĩp = (1; 1; -2), Mặt cầu (S) có tâm 1(1; -2; -1) Ta có Ã4 = (2 ;l;2 ); VTCP đường thẳng d là: n,,' = [ĩÁ, n * = (-4; 6; 1) c A X “ y + _ z -1 Suy A: = — = - -4 Bài toán 12.74: Trong không gian với hộ toạ độ Oxyz, cho mặt phang (P); X + y - 2z +• = mặt cầu (S); x^ + y^ + z^ - 2x + 4y + 2z - = Viết phương trinh tham số đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) A(3; -1; 1) song song với mặt phẳng (P) Giải Mặt cầu (S) có tâm 1(1; -2; -1), mặt phẳng (P) có VTPT Up = (1; 1; -2) Ta có ĨA =(2; 1;2) Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) A(3; -1; 1) song song với mặt phang (P) nên VTCP đường thẳng d í : ; = [ Ĩ Ấ , n j = (- 4; 6; l ) X = - 4/ Vậy phương trình tham số đường thẳng d: y = - \ +6t z =\ +t 184 Bài toán 12.75: 'rrong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): X- + + '2- + 2x + 4y + 4z = x - y - l z - l Viết phương trình (P) chứa đường thẳng A: cất mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính Giải Mặt cầu (S) có tâm I(-l; -2; -2) có bán kính R = Suy (P) qua tâm mặt cầu Dường thẳng A qua M(2; 1; 1) có VTCP u^ = (3; 1; 1) Do (P) có VTPT là: n^^' = f Ilvi, u^ ] = (0; 6; -6) hay (0; 1; -1) Suy phương trinh (P): y - z = Bài toán 12.76: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)^ + (y - f + (z + l ỷ = 25 Viết phương trình (P) chứa đường thẳng A: — = = £ Ẳ cẳt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính Giải Mặt cầu có tâm 1(1; 2; -2); d(I; (P)) = VR“ - r = Vs ^ - ^ = Đường thẳng A qua M(0; 0; -5) có VTCP u^ = (1; 1; -4) Gọi n^ - (a; b; c) (a" + b^ + c^ 0) VTPT (P) Vì (P) qua M nên (P): ax + by + c(z + 5) = Ta có hệ phương trình: k-"A =o ^l«+ *-4c =0 Ịí/(/,(/’)) = Ị|a + 2/) + 3cj = + h' + c' Thế a = 4c - b vào phương trình sau: (7c + b)^ = 9((4c - b)^ + b^ + c^) « 104c^ - 86bc 17b^ = o ( c - b ) ( c - 17b) = Với 2c = b a - 2c chọn c = l , b = = > a = Khi (P): 2x + 2y + z + = Với 52c = 17b 17a = 16c chọn c = 17, b = 52 a = 16 Khi (P): 16x + 52y ■+ 17z + 85 = Bài tốn 12.77: Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD AiBiCiD] với A,(0; 0; 0), B,(l; 0; 0), Di(0; 2; 0), A(0; 0; 3) Gọi M, N, p, Q trung điểm cạnh AB, BiCi, C |D i, DịD: 185 a) Chứng minh điểm M, N, p, Q thuộc mặt phẳng Viết phưcmg trình mặt phẳng (a) chứa chúng b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (a) Tính thể tích khối chóp có đỉnh c đáy thiết diện c) Tìm toạ độ điểm I đối xứng với điểm Ai qua đường thẳng MP Hỏi điểm I nằm hay ngồi hình hộp? Giải a) Ta có M ( i ; 0; 3), N (l; 1; 0), P ( i ; 2; 0), Q(0; 2; | ) Phưong trình mặt phẳng (MNP) là: 6x + 3y + 2z - = Thay toạ độ điểm Q vào phương trình trên, ta thấy thoả mãn Vậy bốn điểm M, N, p, Q đồng phang, phương trình mặt phẳng (a), là: Gọi h chiều cao hình chóp C.MENPQP thì: , , 16.1 + 3.2 + 2.3-91 h = d(C, (a)) = ^^ ■ V 6H 3'+2' Gọi M', F' hình chiếu M F lên mp(AiBiCiDi) lục giác M'BiNPDiF' hình chiếu lục giác MENPQP lên mp(AiBiCiDi) Gọi góc m p(a) đáy hình hộp thì: coscp cos(n„,ĩc sM'B,NPD|F' ~ 23 ^ ^ ' S menpqi' 186 ^M'B,NPD,I-' cosọ “ ^MENPQP• 21 Vậy V c MENPỌl- ' '7 ~ c) Mặt phẳng qua Ai vng góc với MP có phương trinh: 2y - 3z = Gọi H giao điểm cùa đường thẳng MP mặt phang trên, ta có; 18 12^ ^ ^ r, 36 24' I ta tìm toạ độ điêm I là: 1;— — II —; — 13 13j V 1, 13 13 Điểm T(x; y; z) nằm hình hộp o < x < l , < y < , < z < 36 Nhưng tung độ điểm I y = — > Vậy điểm I nằm ngồi hình hộp Bài tốn 12.78: Cho hình chóp tứ giác s ABCD có cạrứi đáy a chiều cao bàng h Gọi I trung điểm cạnh bên s c Tính khoảng cách từ s đến mặt phang (ABI) Ta có giao điểm M so AI ừọng tàm tam giác SAC nên M(0; 0; —) Mặt phang (ABI) mặt phang (ABM) Vậy mp(ABI) có phương trình —-^ -+ ^ị= r + = av2 av2 ^ Do đó, khoảng cách từ s tới mặt phẳng (ABI) là: d(S; (ABI)) ah ^J4h^ + a ' Bài tốn 12.79: Cho hình chóp s ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bơn SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCM); khoảng cách hai đường SB CN b) Tính cosin góc hợp mặt phẳng (SCD), (SBC) c) Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp chia mặt phang (BCM) 187 Giải Chọn hệ trục Oxy cho gốc o điểm A, tia Ox chửa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa SA Khi A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), a) BC = (0; a; 0), BM = (-a; 0; a) => [ , ĨỈM ì -■=(a^ 0; a^) Do đó, mặt phăng (BCM) có vectơ pháp tuyến (1; 0; 1), suy phương trình mặt phắng (BCM) là: 1(x - a) 1(z - 0) = X + z - a = Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCM) là: I I d(A ,(B C M ))= -J^ =- ^ Vi'+rV2 Tac6:BS=(-a;0;2a),CN=(-a;-i;a,.SC^(a;a;-2a) Suy [ B S , CN ] - a„2.;-a„2.; — V ^ J sc = - - = => I BS, CN ] a" a^ a^ -a^ Vậy khoảng cách hai đường thẳng SB CN là; BS,CN^ sc 2a bs,c n ’ d(SB, CN) b) Vì [ S C , SD ] = (0; 2a“; a^) nên mp(SCD) có vcctơ pháp tuyến n = (0; 2; 1) Vì [SB , sc J = (2a^; 0; a") nên mp(SBC) có vectơ pháp tuyến n ' = (2; 0; 1) Gọi (p góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) n,n I'a có: coscp La ^/5.^/5 12 c) v.s a b c d ^ —a 2a 2—3a Vì M trung điểm SA, suy d(S, (BCM)) = d(A, (EiCM)) = V2 188 I lình chóp hình chóp s ABCD bị mp(BCM) chia thành hai phần, có phần s BCNM Hình chóp có dường cao d(S; (BCM)) = a r~ 3y[2a^ đáy hình thang BCNM có diện tích bàng —(a + —)a v = — — Suy ra: Vs BCNM = - hai phân hình chóp • V2 = - —=> = - Vây tỉ số thể tích s ABCD chia mp(BCM) — Bài toán 12.80: Cho khối lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a) Tính góc tạo dường thẳng AC' A'B b) Gọi M, N, p trung điếm cạnh A'B', BC, DD' Chứng minh AC' vng góc với mặt pháng (MNP) c) Tính thể tích tứ diộn AMNP Giải a) Ta chọn hệ tục Oxyz cho gốc o đỉnh A' hình lập phương, tia Ox chứa A'B', tia Oy chứa A'D' tia Oz chứa A'A Khi A'(0; ;0 ), B '(1;0; 0), D'(0; 1; 0) , A( 0; 0; 1) , C(l; 1; 1), B (1;0; 1),D(0; 1; 1), C '(l; 1;0) Do đó; AC' =(1; 1;-1), Ả"'B = ( ; ; 1) => Ã C ' Ã'B = AC’ A’B b ) Ta c ó M ( | ; ; 0),N(1; MN ^ 1), P(0; 1; ị ) ; 1) =í> ĩ ^ ' ÃC' = ^ MN AC 2 1; - ) = :» M P ÃC’ = = ^ M P AC Vậy AC' mp(MNP) c ) T acó: V amnp= = ( - - ; ; 1); Ị MN, MP] = f - - ; ^ ’ 4'4 - I [ MN , MP] m I = -6 16 189 Bài toán 12.81: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a cạnh bôn AA' = a^Í2 Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A'B'C' khoảng cách AM, B'C Giải Chọn hệ trục toạ độ Bxyz hình vẽ AABC vng cân B => AC = a =í> AA'C'C hình vng cạnh a B(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; a; 0), B' ( ; ; a V2 ) , A ' ( a ; ; a V ) C’( ; a ; a V ) Ta có: BA = (a; 0; 0), = (0; a; 0), BB' = ( ; ; a y ^ ) => [ B Ấ, BC] = (0;0;a^) Vabc a'B'c = ^ |[ b A ,B c ] BB'| = (đvtt) Ta có: M(0; - ; 0), ÃM = (-a; - ; ) ữ c = ( 0; a; -a^/2 ); ẢB' = ( -a; 0; a V2 ) [ AM, B' C] = -a V 2^ ; - a ^J2 ; - a [a M B'C AB' y, a " ^ ^ - a ’ V2 Nên d(AM, BC) = AM,B'C iVv' + 2a‘' +a'' Bài tốn 12.82: Cho hình lập phưong ABCD A'B'C'D' có cạnh bàng Gọi M, N, p trung điểm cạnh B'B, CD A'D' a) Tính khoảng cách cặp đường thẳng A'B, B'D cặp đưÒTig thẳng PI, AC' với I tâm đáy ABCD b) Tính góc hai dường thẳng MP C’N, góc hai mặt phang (PAI) (DCCD') Giải a) Ta chọn hộ tục Oxyz cho gốc toạ độ A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AA' Khi dó 190 A (0;0; ),B (1 ;0 ; 0), D(0; 1;0), A '(0;0; 1), C(l; 1;0), D'(0; 1; 1), B '(1;0; 1), C '(l; 1; 1) Suy A 'B = ( ; ; - ) ; B ^ = ( - l ; 1;-1), Ã Ĩ3 ' = (1;0; 0) => [ÃJ b , B' ] - ( 1; ; l ) n è n : n, n d(A' B, B'D) = — ị j ụ \ o Ị -rr- = - ~ [A'B,B'DJ v6 Ta có: P(0; i ; 1), I ( i ; i ; 0) ĨP = ( - i ; 0; 1) ÃC' = (1; 1; 1), ÃP =(0; ị ; 1) Su y r a d ( PI , AC) ^ ĨP,ẤC'] ã p | [IP,AC'J ^ 28 b ) T a c ó M (1;0; Ị x N ( Ị ; 1; 0) ::^ĩ^p = (-1; NC' = ( - ; ; ) ^ M P ị) =0=>MP1NC' Mặt phẳng (PAI) có vectơ pháp tuyến: n = ARAI \ ’2 ’ Mặt phẳng (D CCD') có vectơ pháp tuyến AD = (0; 1; 0) n.ÃD n AD Gọi (p góc hai mặt phăng thì; coscp Bài tốn 12.83 Tứ diện ABCD có tâm s độ dài cạnh bàng Một đường thẳng A quay quanh s Gọi A', B', C', D' hình chiếu A, B, c, D A Tìm tất cá vị trí A cho tổng SA''* í SB’'* + 80'"* + SD’'' đạt giá trị lớn Giải Dựng hình lập phưong ABiCDi CiDAiB ngoại tiếp tứ diện ABCD, hình lập phưcmg có độ dài cạnh Ĩ Chọn Di làm gốc Đe vng góc Oxyz cho A e Ox, B e Oy, ce o hệ trục toạ độ Oz 191 Ta c ó A(V2 ; 0; 0) , B(0; V2 ; 0), C (0;0; V2 ), D(V2 ; V 2; V2 ), 2 ’ Suy ra: SA sc - V2 V2 2 V2 V V2 r SB ’ ’ ’ ' A r A A ' 2''“ ’ -► J , SD = ’ ’ Gọi e = (x; y; z) vectơ đon vị phương đường thẳng A, thì: 1e 1ế SA' = SD' = Ta có: I I SÃ , SB' = SD 1ế ^ I , SC' = I e sc I, y- + 7? = s = SA’'*+ SB''* + s c ^ z)' = — [(-X 4- y 4- 4 SD’'* (x - y + '/ý (x 4- y - y ý 4- (x y -f z ý \ = + 4 AB = ^Ỉ66 192 Giá trị bé f(x; y) = M giao điểm đoạn AB với mặt phang Oxy Bài toán 12.85: Cho số thực ai; bi, Ci; ã2; h2, C2; ay, bs; C3 thoả mãn: ã\ + 32 + a = 3, bi +' b + b3 = 4; Ci ^ C2 ‘t“ C3 = 12 Chứng minh bất đẳng thức: yja'ị + b f + Cj -I- -y/ãj + bọ t- c^ + b + C3 > Giải Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chọn điểm: A(ai; bi; C]), B(ai -t- 32; bi + b 2; Ci + C2), C(ai + ã2 + 33; bi + b2 I b 3; Ci + C2 + C3) hay C(3; 4; 12) có: OA = + b^ + c'ỉ ; AB = ^a'ị f b^ + cị ; BC = Ậ l + b^, + c^ Nên ta có: yjal + bj -1- c^ + yịàị -I bg + c^ + ^Jàị + h l+ c ị = OA + AB + BC > o c = 13 BÀI TẬP Bài tập 12.1: Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S): x^ + y^ + TỈ' -4x - 2y + 4z -16 = với mp(yOz) UD-DS 3 Bài tập 12.2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu mặt phang: (S): x^ + y^ -I 7} - 2x -1 4y + 2z - = 0; (P): 2x - y + 2z - 14 = 1) Viết phương trình mặt phang (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính 2) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn IID-DS l) y - z = )M (-l;-l;-3 ) Bài tập 12.3: Trong không gian Oxyz, cho đicm 1(1; 3; 5) đường thăng (A): x -2 y+3 Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thắng (A) -1 hai điểm K L cho KL = 12 IID-DS ( x - l ) - + (y -3 )2 + ( z - ) ' = 50 Bài tập 12.4: Cho M (l; 2; -1), đường thẳng , x -2 y z+2 , d: -= — = —^— măt phang (P): 2x + y - z + = 193 Viết phương trinh đưímg thẳng A qua M, cắt d song song vcVi mặt phăng (P) ỉ Ìd - d s X- _ y - _ / + ■T " - ~ - ■ Bài tập 12.5: Trong không gian với hệ toạ dộ Oxy/, cho dicm A(2; 5; 3) dưcmg x-l_y_/-2 thăng d; 2 1) 'Tìm toạ dộ hình chiốu vng góc A dường thăng d 2) Viết phươnu trinh mặt phăng ((x) chứa d cho khoting cách từ A dến ((X) lớn ỈID-DS )H (3 ;1 ;4 ) 2) X - 4y i / - Bài tập 12.6: Viết phương trình mặt phang (Q) di qua dường thẩng X= -t (d):