Các chuyên đề thi THPT quốc gia môn toán

LỚP TỐN THẦY ĐĂNG CÁC CHUN ĐỀ TỔNG ƠN KỲ THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN 33/8A Giải Phóng MỤC LỤC Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ A Tìm tham số để hàm số đơn điệu K 1 Ví dụ Bài tập tương tự phát triển Bảng đáp án Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm hợp Ví dụ Bài tập tương tự phát triển Bảng đáp án Đơn điệu cực trị hàm số hợp Bài tập mẫu Bài tập tương tự phát triển 11 B C Bảng đáp án 13 Chuyên đề Phương trình mũ lơgarít A 14 Dạng phương trình lập tham số 14 Ví dụ 14 Bài tập tương tự phát triển 14 Bảng đáp án 16 B Bài toán sử dụng hàm đặc trưng 16 Ví dụ 16 Bài tập tương tự phát triển 17 Chuyên đề NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A 20 Tích phân hàm số cho nhiều công thức 20 Ví dụ 20 Bài tập tương tự phát triển 20 Bảng đáp án 22 B Tích phân kết hợp: Đổi biến & phần 22 Ví dụ 22 Bài tập tương tự phát triển 22 Bảng đáp án 23 C Tích phân hàm ẩn 23 Ví dụ 23 Bài tập tương tự phát triển 24 Bảng đáp án 25 D Diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay 25 Ví dụ 25 Bài tập tương tự phát triển 28 Bảng đáp án 31 Ƅ MỤC LỤC Trang ii/59 Chuyên đề SỐ PHỨC A B 32 Xác định thuộc tính số phức 32 Ví dụ 32 Bài tập tương tự phát triển 32 Cực trị biểu thức chứa mô-đun số phức 33 Ví dụ 33 Bài tập tương tự phát triển 35 Bảng đáp án 36 Chuyên đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A 37 Góc đường thẳng mặt phẳng 37 Ví dụ 37 Bài tập tương tự phát triển 37 Bảng đáp án 39 B Thể tích có chứa liệu góc 39 Ví dụ 39 Bài tập tương tự phát triển 40 Bảng đáp án 42 C Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 42 Ví dụ 42 Bài tập tương tự phát triển 43 Bảng đáp án 44 D Khoảng cách hai đường thẳng chéo 44 Ví dụ 44 Bài tập tương tự phát triển 44 Bảng đáp án 45 E Góc hai mặt phẳng 45 Ví dụ 45 Bài tập tương tự phát triển 46 Bảng đáp án 47 F G Thể tích khối đa diện liên quan góc, khoảng cách 48 Ví dụ 48 Bài tập tương tự phát triển 49 Bảng đáp án 51 Bài toán cực trị (thực tế) nón trụ cầu 51 Ví dụ 51 Bài tập tương tự phát triển 53 Bảng đáp án 53 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A B 54 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng 54 Ví dụ 54 Bài tập tương tự phát triển 54 Bảng đáp án 56 Cực trị hình học Oxyz 57 Ví dụ 57 Bài tập tương tự phát triển 58 Bảng đáp án 59 Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT HÀM SỐ A TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN K VÍ DỤ Tìm tham số m để hàm số đơn điệu khoảng K Nếu K = R → sử dụng ∆ Cho f (x) = ax2 + bx + c (a = 0) Khi ○ f (x) ≥ với x ⇔ a>0 ∆ ≤ ○ f (x) ≤ với x ⇔ a0 ⇔ ∆ ≤0 Vậy có giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu toán 1>0 m2 − ≤ ⇔ m ∈ [−2; 2] Chọn đáp án A Câu (Câu 36 - Đề tham khảo BGD&ĐT 2019) Tập hợp tất giá trị m đểï hàm số yã= −x3 − 6x2 + (4m Å − 9)x +ò nghịch biến (−∞; −1) 3 A (−∞; 0] B − ; +∞ C +∞; − D [0; +∞) 4 ✍ Lời giải Ta có y = −3x2 − 12x + 4m − Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) y ≤ ∀x ∈ (−∞; −1) Ƅ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Trang 2/59 Khi −3x2 − 12x + 4m − ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ 4m ≤ 3x2 + 12x + 9, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ 4m ≤ (3x2 + 12x + 9) (∗) x∈(−∞;−1) Đặt g(x) = 3x2 + 12x + Khi g (x) = 6x + 12 Cho g (x) = ⇔ x = −2 Bảng biến thiên −∞ x −2 − g (x) −1 + g(x) −3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (∗) ⇔ 4m ≤ −3 ⇔ m ≤ − Chọn đáp án C Câu (Câu 40 - Đề TN THPT BGD&ĐT 2020) x+4 đồng biến khoảng (−∞; −7) Tập hợp tất giá trị thực m để hàm số y = x+m A [4; 7) B (4; 7] C (4; 7) D (4; +∞) ✍ Lời giải Điều kiện x = −m m−4 Ta có y = (x + m)2 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −7) y > với x ∈ (−∞; −7) ⇔ m−4>0 ⇔ −m∈ / (−∞; −7) m>4 ⇔ − m ≥ −7 m>4 ⇔ m ∈ (4; 7] m≤7 Chọn đáp án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến R? A B C 54 D Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m − 5)x + m nghịch biến R A m < B m ≤ C m = D −4 < m < x+m Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = đồng biến khoảng xác định x+1 A m ≤ B m > C m = D m < mx + Câu Cho hàm số y = , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số nghịch 2x + m biến khoảng (0; 1) Tìm số phần tử S A B Lớp Toán Thầy Đăng C D 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Trang 3/59 Câu Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = A B C Câu Số giá trị nguyên m để hàm số f (x) = A B 2x − m + nghịch biến (1; +∞) x−m C D vô số Câu Tìm tất giá trị m cho hàm số y = A m ≥ mx + 10 nghịch biến khoảng (0; 2)? 2x + m D B m ≤ −2 x+1 nghịch biến khoảng (2; +∞) x+m C m = −2 D −2 ≤ m < Câu Có giá trị nguyên m để hàm số y = x3 + 3x2 − 3(m2 − 1)x + 12 đồng biến khoảng (1; 2)? A B Vô số C D Câu Số giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y = −x3 + (m + 1)x2 + 2x − đồng biến khoảng (0; 2) A B C D Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − đồng biến khoảng (1; 3) A m ∈ (−∞; −5) B m ∈ (2; +∞) C m ∈ [−5; 2) D m ∈ (−∞; 2] Câu 11 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + 3mx + m có độ dài khoảng nghịch biến A m = B m = C m = −3 D m = −4 √ (4 − m) − x + √ Câu 12 Cho hàm số y = Có giá trị nguyên tham số thực m khoảng (−10; 10) 6−x+m cho hàm số cho đồng biến (−8; 5)? A 14 B 13 C 12 D 15 Câu 13 Có giá trị nguyên m khoảng (−8; 8) để hàm số y = A B C π cos x + đồng biến 0; ? cos x − m D 11 Câu 14 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = ln x2 − 2mx + 10 + mx + m2 + đồng biến (−∞; +∞)? A B C D Câu 15 Có giá trị nguyên dương tham số m cho hàm số y = π π ; ? A B C m − sin x nghịch biến khoảng cos2 x D Vô số tan x − π Câu 16 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = đồng biến khoảng 0; ? tan x − m A B C D Vô số √ 2 9−x −m Câu 17 Cho hàm số y = √ , với m tham số Gọi S tập hợp tất cá giá trị nguyên không vượt 2020 Ä 9√− äx − m để hàm số đồng biến 0; Tính tổng phần tử tập hợp S A 2041205 B 2039190 C 2039191 D 2041210 BẢNG ĐÁP ÁN D B D C D A D 11 C 12 A 13 D 14 A 15 C 16 C 17 D C D 10 D B GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM HỢP Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Trang 4/59 VÍ DỤ Câu (Câu 39 - Đề tham khảo - Bộ GD & ĐT năm 2021) Cho hàm số f (x), đồ thị hàm số y = f (x) đường ï cong ò hình bên Giá trị lớn hàm số g(x) = f (2x) − 4x đoạn − ; A f (0) B f (−3) + C f (2) − D f (4) − y −3 O 4x ✍ Lời giải ï ị Ta có g (x) = 2f (2x) − 4, ∀x ∈ − ; g (x) = y ⇔ 2f (2x) − = ⇔ f (2x) = ⇔ x=0 x = −3 O 4x Ta có bảng biến thiên sau x − + g (x) + − f (2) − g(x) Từ bảng biến thiên ta max g(x) = f (2) − − ;2 ï ò Cách 2: Đặt t = 2x, với x ∈ − ; t ∈ [−3; 4] Hàm số trở thành h(t) = f (t) − 2, ∀t ∈ [−3; 4] t=0 Ta có h (t) = f (t) − 2, h (t) = ⇔ , ∀t ∈ [−3; 4] t=2 x h (t) −3 + + − f (2) − h(t) Từ bảng biến thiên, suy max h(t) = h(2) = f (2) − t∈[−3;4] Chọn đáp án C Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Trang 5/59 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho hàm số f (x) xác định R có đồ thị f (x) hình vẽ bên y Giá ï ò trị nhỏ hàm số g(x) = f (2x) − 2x + đoạn − ; A f (0) − B f (1) C f (2) − D f (−1) + −1 O x x −1 Câu Cho hàm số f (x), đồ thị hàm số y = f (x) đường cong ï ị hình vẽ Giá trị nhỏ hàm số g(x) = f (2x − 1) + 6x đoạn ; Å ã A f B f (0) + C f (1) + D f (3) + 12 y −1 O −3 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ x Hàm số g(x) = f + − ln x2 + 8x + 16 đạt giá trị lớn đoạn [−2; 4] x =Åx0 Khi ã x0 thuộcÅkhoảng ã sau đây? Å ã A ;2 B 2; C (−1; 0) D −1; 2 y O x Câu Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Trang 6/59 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có f (5) = 12 Đồ thị y hàm số y = f (x) cho hình vẽ bên Giá trị nhỏ hàm số g(x) = f (1 − 2x) − 2x2 + 2x đoạn [−2; 2] A B f (−3) − C D f (1) −3 O x −3 Câu Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Giá trị nhỏ hàm số g(x) = Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có f (0) = y 4f (x + 1) + x2 + 2x đoạn [−3; 3] A 4f (−2) + B 4f (4) + 15 C D 4f (3) + −2 O x −2 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số y = f (x) y hình bên Lập hàm số g(x) = f (x) − x2 − x Mệnh đề sau đúng? A g(−1) > g(1) B g(−1) = g(1) C g(1) = g(2) D g(1) > g(2) O −1 −1 x Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có đồ thị hàm số y = f (x) y hình vẽ Biết điểm A(1; 0), B(−1; 0) thuộc đồ thị Giá trị nhỏ y = f (x) giá trị lớn hàm số f (x) đoạn [−1; 4] A f (1); f (−1) B f (0); f (2) C f (1); f (4) D f (−1); f (4) B −1 A O x Câu Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 45/59 Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1 B1 C1 D1 có AA1 = 2a, AD = 4a Gọi M trung điểm của AD đáy hình vng cạnh a, SA A 3a (ABCD) SA = a Khoảng cách hai đường thẳng SC BD √ √ B 2a C a D 2a Câu (THPT Quốc Gia năm 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), mặt phẳng (ABCD) 45◦ √ Tính khoảng cách hai đường √góc đường thẳng SC √ √ thẳng SB, AC a 10 a a a A B C D 10 5 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Biết SA = a cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) góc 30◦ Tính khoảng cách hai √ đường thẳng AB SC theo√a √ √ 17a 17a A D 17a B C 17a 17 17 √ a 17 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = Hình chiếu vng góc H S (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính khoảng cách hai đường thẳng HK SD theo a √ √ √ 2a 3a 3a 3a A B C D 5 √ Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) AB = a, AD = a 3, góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) bằng√60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD theo √ a 3a 3a a 3a B C D A 5 Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a √ √ a A B √ 21a C √ 7a 2a D BẢNG ĐÁP ÁN B 11 B D D D A B A A B 10 C E GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG VÍ DỤ √ Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A AB = a Biết SA ⊥ (ABC) SA = a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ ✍ Lời giải Gọi M trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC, SM ⊥ BC  (SBC) ∩ (ABC) = BC    ’ Ta có BC ⊥ AM ⊂ (ABC) ⇒ ((SBC), (ABC)) = (AM, SM ) = SM A    BC ⊥ SM ⊂ (SBC) … Ä √ ä2 Ä √ ä2 a + a = a = SA Mà AM = BC = 2 ’ Suy tam giác AAM vuông cân S ⇒ SM A = 45◦ S A C M B Chọn đáp án B Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 46/59 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, cạnh bên SA, vuông góc với √ mặt phằng đáy SA = a Cho biết AB = 2AD = 2DC = 2a Góc hai mặt phẳng (SBA) (SBC) A arccos Å ã B 30◦ C 45◦ D 60◦ ✍ Lời giải Dựng CH ⊥ AB, (CH cẳt hai mặt vuông với giao tuyến SB ) HK ⊥ S SB   (SAB) ∩ (SBC) = SB  Ta có SB ⊥ HK ⊂ (SAB)    SB ⊥ CK ⊂ (SBC) K ÷ ⇒ ((SAB), (SBC)) = (HK, CK) = HCK HB HK = Mà HKB SAB ⇔ SA √SB √ HB · SA a·a a ⇔ HK = = …Ä = √ ä2 SB a + (2a) √ a √ CH ÷ = 60◦ ÷ =a: = ⇒ HKC Do tan HKC = HK A D H B C Chọn đáp án D BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho √ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật thỏa mãn AD = AB Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng S (SAB) (SCD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ A D B C Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy S (ABCD) Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ) Cơsin góc hai mặt phẳng √ (SM D) (ABCD) A B √ C D √ 10 A B D M C Câu Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 47/59 √ ’ = 45◦ , BSA ’ = α (tham Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SB = BC = 2a 2, BSC S ◦ khảo hình 45 √ vẽ) Giá trị sin α√để góc hai mặt phẳng √ (SAC) (SBC) √ 14 14 A B C D 14 A C B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAD S vuông S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Cho biết AB = a, SA = 2SD, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Thể tích khối chóp S.ABCD 5a3 15a3 A B 5a3 C 2 D 3a3 A D B C Câu Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác Mặt phẳng A C (A BC) tạo với đáy góc 30◦ tam giác A BC có diện tích (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối lăng trụ cho √ √ √ B 16 C 64 A √ D B A C B Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi tâm O, biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) Cho √ a AB = a; SB = a; SO = Số đo góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) ◦ A 90 B 45◦ C 60◦ D 30◦ Câu Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có cạnh đáy a Trên tia AA , BB , CC lấy A1 , B1 , C1 a 3a cách mặt phẳng đáy (ABC) khoảng , a, Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (A1 B1 C1 ) 2 ◦ ◦ A 60 B 90 C 45◦ D 30◦ √ Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AA = a, AD = 3a Góc hai mặt phẳng (ABC D ) (ABCD) A 30◦ B 45◦ C 90◦ D 60◦ Câu Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Tính √ giá trị x để hai mặt phẳng √ (ABC) (ABD) vng góc a a a a A x = B x = C x = D x = 3 Câu 10 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thằng √ OI cho M O = 2M I Khi √ cơ-sin góc tạo hai √ mặt phẳng (M C D ) (M √AB) 85 13 17 13 85 A B C D 85 65 65 85 BẢNG ĐÁP ÁN Lớp Tốn Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chun đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN B B A A Trang 48/59 A A C A A 10 D F THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LIÊN QUAN GÓC, KHOẢNG CÁCH Hướng Đề cho cách góc −→ Chân chiều cao ≡ tâm ngoại tiếp đa giác đáy Hướng Đề cho góc hai mặt vng −→ Dựng thêm hình để đưa toán quen sách giáo khoa Hướng Đề cho chân chiều cao, tính tốn thơng qua khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt VÍ DỤ ’ = 30◦ Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, ACB SA = SB = SD với D trung điểm BC Cạnh bên SA hợp với đáy góc 45◦ Thể tích khối chóp S.ABC a3 A 12 ✍ Lời giải B a3 C a3 D a3 √ AB a = = ⇒ BC = 2a AC AC √ √ 1 a2 ⇒ SABC = · AB · AC = · a · a = 2 Do AB = BD = AD = a nên ∆ABD ◦ Ta có tan 30 = S ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD trọng tâm G C 30◦ A Ta có SA = SB = SD ⇒ SG ⊥ (ABD) hay SG ⊥ (ABC) D G M √ √ a a 3 ◦ ’ = 45 ⇒ SG = AG = AM = · = Khi (SA, (ABC)) = (SA, AG) = SAG 3 √ √ 1 a2 a a3 Vậy VS.ABC = · SABC · SG = · · = 3 Chọn đáp án B B ’ = SCB ’ = 90◦ , góc Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = 2a, SAB đường√thẳng AB (SBC) √ 30◦ Thể tích khối chóp√ S.ABC 3 4a 4a 2a3 A B C 9 √ 2a3 D ✍ Lời giải Dựng SD ⊥ (ABC) ⇒ SD ⊥ (ABCD) D ⇒ ABCD hình vng Ta có AB S CD ⇒ (AB, (SBC)) = (CD, (SBC)) = (HC, CD) ’ = 30◦ = SCD √ SD 2a ◦ Ta có tan 30 = ⇒ SD = 2a √ √ 1 2a 4a3 = VS.ABC = · SABC · SD = · 2a · 2a · H 30 C ◦ A D B Chọn đáp án A Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 49/59 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, cạnh bên SA vng góc với √ mặt phẳng đáy Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Biết khoảng cách từ I đến (SBC) , thể tích khối chóp S.ABC có giá trị nhỏ A B C D 2 ✍ Lời giải Dựng hình xác định tâm I mặt cầu như√hình vẽ GA √ Ta có d[A, (SBC)] = · d[I, (SBC)] = · = GI Đặt SA = x > 0, AB = y > 0, AC = z > 1 1 Khi = 2+ 2+ d [A, (SBC)] x y z 1 1 ⇒ 2+ 2+ = x y z d S N I G A C M 1 1 Ta có = + + x y z Vậy VS.ABC = Chọn đáp án B Cauchy ≥   33 B 1 xyz ⇒ 2 ≤ ⇒ xyz ≥ 27 ⇒ VS.ABC = ≥ 2 x y z x y z 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN ’ = 60◦ Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, ACB Cạnh bên√SB tạo với đáy góc 30◦ Thể tích khối chóp S.ABC √ a3 a3 a3 A B C 6 12 √ a3 D √ Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng A, gọi M trung điểm AC AB = a 3, AC = 2a Các đường thẳng SA, SB, SM tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60◦ Thể tích khối chóp S.ABC a3 4a3 A a3 B C 3a2 D 3 Câu Cho khối lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác đều, cạnh a, điểm A cách điểm A, B, C cạnh bên AA tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C √ √ √ 3a a3 3a a3 A B C D 12 ’ = 120◦ AB = a, Cạnh Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A với BAC bên SA hợp với √ mặt phẳng đáy Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Biết khoảng cách từ I đến a (SBC) Khi thể tích khối chóp S.ABC √ √ √ √ 6 6 A a B a C a D a 24 12 Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 50/59 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng √ đáy Gọi I a tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) Khi thể 18 tích khối√chóp S.ABC √ √ √ 3a 5a 3a3 5a3 A B C D 20 20 20 20 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 4a Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABC) √ SA = 3a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, SC Gọi điểm K cho AK đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối tứ diện KM N P 13a3 A B 8a3 C 7a3 D Câu Cho khối chóp S.ABC có AB ⊥ BC, BC ⊥ SC, SC ⊥ SA, BC = a, SC = Thể tích khối chóp S.ABC √ 5a3 3a3 A B 2 √ 19a3 15a góc AB, SC 30o √ 3a3 D 5a3 C Câu Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân đỉnh C BD = 12 Tam giác ABC vuông đỉnh B, tam giác ADC vng đỉnh D Biết góc đường thẳng AB mặt phẳng (BCD) 45o Thể tích khối tứ diện ABCD √ A 72 √ B 48 √ C 54 √ D 36 Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, tam giác SBA vuông B, tam giác SAC vuông o C Biết khối chóp S.ABC bằng√ √ 3góc hai mặt phẳng (SAB) √ (ABC) 60 Thể √ tích 3a 3a 3a3 3a3 A B C D 12 Câu 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, (a > 0) Biết hai mặt bên (SAB), (SAC) tạo với đáy góc 60◦ , mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 30◦ hình chiếu vng góc đỉnh S mặt đáy H √ thuộc miền tam giác ABC √ Tính thể tích V khối 3chóp √ S.ABC a3 a3 3a A V = B V = C V = 48 56 32 Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ABC tam giác √ a3 D V = 40 S cạnh a Các mặt (SAB), (SAC), (SBC) tạo với đáy góc 30◦ , 45◦ , 60◦ Tính thể tích V khối chóp S.ABC, biết hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) nằm √ √ tam giác ABC a3 a3 ä Ä B V = A V = Ä √ √ ä 4+ 4+ √ √ a3 a3 √ C V = Ä D V = √ ä 4+ 4+ I A C H M N B √ Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = 3, AC = BD = 4, AB = CD = Tính thể tích khối tứ diện ABCD.√ A 2740 12 √ B 2474 12 √ C 2047 12 √ D 2470 12 ’ SCB ’ vuông, M trung điểm SA Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Các góc SAB, 6a Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (M BC) √ Tính thể tích khối chóp S.ABC 21 Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 51/59 √ √ √ √ 8a3 39 10a3 4a3 13 A B C D 2a3 3 Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC.A B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC ) a, góc hai mặt phẳng (ABC ) (BCC B ) α với cos α = √ Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C √ √ √ √ 2 3 3 A 3a B 3a C a D 3a 8 ’ = 120◦ Hình chiếu vng góc Câu 15 Cho lăng trụ ABCD.A B C D với đáy ABCD hình thoi, AC = 2a, BAD điểm B mặt phẳng (A B C D ) trung điểm cạnh A B , góc mặt phẳng (AC D ) mặt đáy lăng trụ 60◦ Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD.A B C D √ √ B 3a3 A 3a3 C √ √ D 3a3 3a3 ’ = 60◦ , AOC ’ = 120◦ , BOC ’ = 90◦ Khi đó, tính thể tích tứ Câu 16 Khối tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB diện OABC √ √ a3 a3 a3 a3 A B C D 12 12 12 Câu 17 Tứ diện OABC có OA = OB = OC = OA ⊥ OB Tìm góc OC (OAB) để tứ diện tích 12 A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ Câu 18 Xét tứ diện ABCD có cạnh AB = BC = CD = DA = AC, BD thay đổi Giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD √ √ √ √ 3 A B C D 27 27 9 Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam √ giác ABD Cạnh bên SD tạo √ với đáy góc 60◦ Tính thể√tích khối chóp S.ABCD 3 a 15 a 15 a3 15 a3 A B C D 27 BẢNG ĐÁP ÁN B A A A D B D A B 11 A 12 D 13 B 14 B 15 D 16 D 17 A 18 A 19 C 10 D G BÀI TỐN CỰC TRỊ (THỰC TẾ) TRONG NĨN TRỤ CẦU VÍ DỤ Câu Một hình trụ tích 16 cm3 Khi đó, bán kính R để diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhất? A R = 1,6 cm B R = 16 cm π ✍ Lời giải Thể tích khối trụ V = πR2 h = 16π ⇒ h = C R = cm D R = π cm 16 R2 Diện tích tồn phần hình trụ Stp … ã Å ã Å 16 8 8 2 = 2πRh + 2πR = 2π R + = 2π R + + ≥ 2π · · R2 · · = 24π R R R R R Suy Stp max = 24π dấu “=”xảy R2 = ⇔ R = R Chọn đáp án C Câu (Câu 30 - Đề thi THPT QG năm 2018 - Mã đề 103) Ông A dự định sử dụng hết m2 kính để làm bể cá kính có dạng hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu? Lớp Tốn Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A 1,01 m3 Trang 52/59 B 0,96 m3 C 1,33 m3 D 1,51 m3 ✍ Lời giải Gọi x, y chiều rộng chiều cao bể cá Khi đó, D A B V = 2x2 y Theo đề, diện tích tồn phần khơng nắp 5, tức có C y A 2x D x » = 2xy + · 2xy + 2x2 = 3xy + 2x2 ≥ 3 18(x2 y)2 B √ 30 Suy 125 ≥ 27 · 18(x2 y)2 ⇔ 2x2 y = V ≤ ≈ 1,0143 27 C Chọn đáp án A Câu Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính R (cho trước), tính thể tích V khối chóp tích lớn nhất? 64R3 64R3 A B 81 27 C 16R3 27 D 16R3 81 ✍ Lời giải Xét mặt cắt dọc qua đỉnh S chứa đường chéo AC hình chóp S.ABCD √ Đặt IO = x ⇒ chiều cao chóp SO = R + x ⇒ OC = R2 − x2 √ √ √ Do đó, AC = R2 − x2 ⇒ AB = R2 − x2 Thể tích khối chóp V = · · R2 − x2 (R + x) = · (2R − 2x)(R + x)(R + x) 3 [(2R − 2x) + (R + x) + (R + x)] ≤ · 27 64R3 = 81 64R R 4R Suy Vmax = 2R − 2x = R + x ⇔ x = h = 81 3 Chọn đáp án A S R I R x A C O Nhận xét Các khối nón, khối chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác nội tiếp mặt cầu có điểm chung thể tích R chúng lớn mặt đáy cách tâm I mặt cầu khoảng x = Khi đó, chiều cao khối nón, khối 4R chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác h = Câu Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà kính 4,45m 150◦ cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá tiền m2 kính 500 000 đồng Hỏi 1,35m số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng Bình mua kính bao nhiêu? A 23 591 000 đồng B 36 173 000 đồng C 437 000 đồng D 718 000 đồng ✍ Lời giải Gọi r bán kính đáy hình trụ Ta có 4,45 = 2r sin 150◦ ⇒ r = 4,45 m Như vậy, góc tâm cung 60◦ nên πr độ dài cung chu vi đường tròn hay = Tấm kính cần mua có diện tích diện tích hình chữ nhật có cạnh 1,35 m cạnh lại nên số tiền để Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang 53/59 mua kính 500 000 × 1,35 × π × 4,45 ≈ 437 000 đồng Chọn đáp án C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu tích 256π , thể tích V khối chóp tích lớn cạnh đáy 16 C D Câu Trong tất hình chóp tam giác nội tiếp mặt cầu bán kính 6, thể tích lớn khối chóp √ √ √ √ A 32 B 64 C 72 D 81 A B Câu Cho khối cầu tâm O bán kính Mặt phẳng (P ) cách điểm O khoảng x cắt khối cầu theo hình trịn (C) Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy hình trịn (C) Biết khối nón tích lớn nhất, giá trị x A x = √ C x = B x = √ D x = Câu Người ta làm thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu 2π m3 Hỏi bán kính đáy R chiều cao h thùng phi để làm tiết kiệm vật liệu nhất? 1 A R = m h = m B R = m h = m C R = m h = m D R = m h = m Câu Cho hình trụ có tính chất: thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ A 8π cm3 B 16π cm3 C 32π cm3 D 64π cm3 BẢNG ĐÁP ÁN B B Lớp Toán Thầy Đăng A D A 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÍ DỤ Câu (Câu 45 - Đề tham khảo - Bộ GD & ĐT năm học 2020 - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − = hai đường thẳng d1 : x−2 = x−3 A x−1 C d2 : x−1 y z+1 = = , −2 y z+1 = Đường thẳng vng góc với (P ), đồng thời cắt d1 d2 có phương trình −1 y−2 z+2 x−2 y−2 z+1 = = B = = −1 −2 y z+1 x−2 y+1 z−2 = = D = = −2 −1 2 −1 ✍ Lời giải #» n (P ) Gọi M = d ∩ d1 , N = d ∩ d2 Khi M (1 + 2t; t; −1 − 2t) ∈ d1 , N (2 + s; 2s; −1 − s) ∈ d2 # » ⇒ M N = (s − 2t + 1; 2s − t; −s + 2t) #» n (P ) = (2; 2; −1) # » Vì M N vng góc với (P ) nên ta có M N phương với #» n (P ) 2s − t −s + 2t s − 2t + = = Suy 2 −1 s − 2t + = 2s − t s=1 M (1; 0; −1) ⇔ ⇔ ⇒ − 2s + t = −2s + 4t t=0 N (3; 2; −2) ∆ d2 N M d1 P x−3 y−2 Đường thẳng ∆ cần tìm qua điểm N (3; 2; −2) có véc-tơ phương #» u = #» n (P ) = (2; 2; −1) = = 2 z+2 −1 Chọn đáp án A BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN  x=4+t    y − 11 z−5 x−5 = = Đường thẳng d Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d1 : y = −4 − t , d2 :    z = + 2t AB qua A(5; −3; 5) cắt d1 , d2 B, C Tỷ số AC 1 A B C D x−1 = Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x + 3y + 5z + = phương trình hai đường thẳng d1 : y+3 z x y−2 z+4 = , d2 : = = Đường thẳng vuông góc với (P ) đồng thời cắt d1 d2 A B Độ dài AB 1 √ √ √ √ A 43 B 43 C 13 D 13 54 Ƅ Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 1; 3) đường thẳng d : Trang 55/59 x+1 y−1 z−2 = = Đường thẳng qua A, −2 vng góc trình  với d cắt trục Oy có phương  x = 2t x = + 2t       A B y = −3 + 4t y =1+t       z = 3t z = + 3t   x = + 2t x = 2t       C D y = + 3t y = −3 + 3t       z = + 2t z = 2t  x = + 3t    Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) đường thẳng d : y = + t Đường thẳng qua M , cắt    z = −1 + t vng góc với d có phương trình y−2 z x−1 y z x−1 y−1 z x y z−1 x = = B = = C = = D = = A −1 −1 −2 1 −1 x−3 y−3 z Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng (P ) : x + y − z + = điểm A (1; 2; −1) Đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P ) cắt d có phương trình         x = + t x = − t x = + t x = + t     A B C D y = + 2t y = − 2t y = − 2t y = − 2t             z = −1 + t z = −1 + t z = −1 − t z = −1 + t  x=3+t    x−5 y+1 z−2 x−1 Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d1 : y = + 2t ; d2 : = = d3 : =  −2 −1   z = −2 − t z−1 y−2 = Đường thẳng d song song với d3 , cắt d1 d2 có phương trình x−1 y+1 z x−2 y−3 z−1 x−3 y−3 z+2 x−1 y+1 z A = = B = = C = = D = = 3 3 y+1 z−4 x−2 y−4 x−3 = = d2 : = = Câu Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo d1 : −1 −1 z+3 Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 x−7 y−3 z+9 x−3 y−1 z−1 x−1 y−1 z−2 x+7 y+3 z−9 A = = B = = C = = D = = −1 −1 −1 −1 x y+1 z−1 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = mặt phẳng (P ) : x−2y−z +3 = Đường thẳng nằm (P ) đồng thời cắt vuông góc với ∆ có phương trình         x = + 2t x = x = −3 x = + t     A B C D y = − 2t y =1−t y = −t y =1−t             z = + 3t z=2 z = 2t z = + 2t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x+1 y−1 z−1 x−1 y−2 = = ; d2 : = = −1 1 z+1 mặt phẳng (P ) : x − y − 2z + = Biết đường thẳng ∆ nằm (P ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 Viết phương trình đường thẳng ∆ x−2 y−3 z−1 x−1 y z−2 A ∆ : = = B ∆ : = = 1 −1 x−1 y z−2 x−2 y−3 z−1 C ∆ : = = D ∆ : = = −1 1 −3 Câu 10 Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; −1; 3), vng góc với đường thẳng x y−5 z+2 x−1 y+1 z−1 d1 : = = cắt đường thẳng d2 : = = −1 −1 x−2 y+1 z−3 x−2 y+1 z−3 x+2 y−1 z+3 x−2 y+1 z+3 A = = B = = C = = D = = 2 −2 −2 2 2 x+1 Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −1; 2), mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + = đường thẳng d : = y z−2 = Phương trình đường thẳng ∆ cắt d (P ) M N cho A trung điểm đoạn thẳng M N 1 có dạng x+1 y−1 z+2 x−1 y+1 z−2 A = = B = = −1 2 Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN C x−1 y+1 z−2 = = −3 D Trang 56/59 x−1 y+1 z−2 = = −1 x−1 y z+1 = = , −1 √ y−3 z+1 x−1 = = Mặt phẳng (α) song song với (P ) cắt d1 , d2 theo thứ tự M , N cho M N = d2 : 1 Điểm sau thuộc mặt phẳng (α)? Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 3z − = hai đường thẳng d1 : A A(1; 2; 3) B B(0; 1; −3) C C(0; −1; 3) D D(0; 1; 3)  x = + 3t    x−1 y+1 z−3 Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = đường thẳng d2 : y = −4  1 −2   z =4+t 2 Đường thẳng d qua điểm A(1; 2; −1) cắt d1 M , cắt d2 N Khi AM + AN A 81 B 100 C 90 D 85 Câu 14 Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d nằm (P ) : x + y + z − = 0, đồng thời d cắt y + 10 z−5 x+1 y+2 z−3 x−6 = = vng góc với d2 : = = d1 : 2 −7 3    x = + 3t x = + 62t x = −4 + 2t x = + 3t             A B C D y = −3 + 4t y = −3 − 22t y = − 4t y = −3 − 4t             z =2+t z = − 25t z = −2 + t z =2+t Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) đường thẳng d : thẳng ∆ qua A, vuông góc cắt d x−1 y z−2 x−1 y z−2 A = = B = = 1 1 −1 x−1 y z+1 = = Viết phương trình đường 1 x−1 y z−2 = = −3   x=2−u x=1−t       , d2 : y = + 2u Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x−y+3z = hai đường thẳng d1 : y = t       z=4 z = 4t Đường thẳng vng góc với (P ), đồng thời cắt d1 d2 có phương trình x−2 y+2 z+8 x−2 y+2 z+8 x−2 y+2 z+8 x−7 y+6 z−4 A = = B = = C = = D = = −1 −1 −1 −1 −1 −1 C x−1 y z−2 = = 2 D Câu 17 Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; −1; 4), đồng thời d song song với x+1 y−1 z mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 15 = d cắt đường thẳng ∆ : = = −3 x−1 y+1 z−4 x+1 y−1 z+4 x−1 y+1 z−4 x−1 y+1 z−4 A = = B = = C = = D = = −3 −7 −1 −1 −5 −3 −7 x−6 y−4 z−4 Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = −4 y−2 z x−2 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng d1 d2 : −2 d2 x−4 y−3 z−2 x−4 y−3 z−2 x−4 y−3 z−2 x−4 y−3 z−2 A = = B = = C = = D = = −4 −1 2 x+2 Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − y + z − 10 = 0, điểm A(1; 3; 2) đường thẳng d : = y−1 z−1 = Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt (P ) d hai điểm M, N cho A trung điểm −1 đoạn M N x+6 y+1 z−3 x−6 y−1 z+3 x−6 y−1 z+3 x+6 y+1 z−3 A = = B = = C = = D = = −1 −1 −4 −1 −4 −1 BẢNG ĐÁP ÁN C A A A C A C A B 11 B 12 B 13 C 14 D 15 B 16 A 17 C 18 C 19 A Lớp Toán Thầy Đăng 10 A 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trang 57/59 B CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXY Z TÂM TỈ CỰ - TÂM TỈ CỰ DI ĐỘNG Cho trước ba điểm A, B, C  α · xA + β · xB + γ · xC  xI =    α+β+γ    α · yA + β · yB + γ · yC #» #» # » #» (1) Tìm toạ độ điểm I thoả α · IA + β · IB + γ · IC = ⇒ yI =  α+β+γ      zI = α · zA + β · zB + γ · zC α+β+γ Luôn có  # » # » # » # »    α · M A + β · M B + γ · M C = (α + β + γ) · M I = (α + β + γ) · M I (2) α · M A2 + β · M B + γ · M C = (α + β + γ) · M I + α · IA2 + β · IB + γ · IC    (3) const VÍ DỤ Câu (Đề tham khảo - Bộ GD-ĐT năm 2019 - câu 41) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −2; 4), B(−3; 3; 1) mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − = Xét điểm M điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ 2M A2 + 3M B A 135 B 105 C 108 D 145 ✍ Lời giải #» # » #» Tìm điểm I thoả 2IA + 3IB = ⇒ I(−1; 1; 1) Ta có T = 2M A2 + 3M B = 5M I + 2IA2 + 3IB = 5M I + 90 Khi Tmin ⇔ M Imin ⇔ M hình chiếu điểm I mặt phẳng (P )  2x − y + 2z − =      x = −1 + 2t ⇒ t = Ta có M = M I ∩ (P ) thoả   y = − t    z = + 2t Suy M (1; 0; 3) ⇒ M I = ⇒ Tmin = 135 Chọn đáp án A Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 10)2 = 10, điểm M nằm mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − 26 = Gọi A, B hai điểm nằm mặt cầu (S) cho AB = Giá trị # » # » nhỏ 5M A + 13M B A 108 B 145 C 150 D 210 ✍ Lời giải √ Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 10) bán kính R = 10 # » # » #» # » # » Gọi K điểm thoả mãn 5KA + 13KB = ⇔ 5KA = −13KB 5KA = 13KB 13 ⇒ K thuộc đoạn AB ⇒ KB = , KA = 3 KA + KB = Gọi H trung điểm đoạn AB ⇒ IH ⊥ AB ⇒ HK = ⇒ IK = 3 # » # » Suy 5M A + 13M B = 18 · M Kmin = 18 · (d(I, (P )) − IK) = 150 Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trang 58/59 M P K I A H K B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ PHÁT TRIỂN x−1 y−1 z = = Gọi M (a; b; c) ∈ d cho biểu thức 2M A2 + 3M B − 4M C đạt giá trị nhỏ Khi a + b + c Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(1; 1; 2), C(−2; 1; 1) đường thẳng d : A B 10 C 18 D Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4), C(2; 1; −6) mặt cầu (S) : (x − 4)2 + (y − 2)2 + # » # » # » (z + 1)2 = Gọi M (xM ; yM ; zM ) điểm mặt cầu (S) cho biểu thức M A − M B − M C đạt giá trị nhỏ Giá trị xM + yM A B C −2 D Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−2)2 +(y −1)2 +(z −10)2 = 90 , mặt phẳng (P ) : 2x+2y −z −26 = điểm M nằm mặt phẳng (P ) Hai điểm A, B nằm mặt cầu (S) cho AB = 18 Giá trị nhỏ 5M A2 + 13M B A 2970 B 5220 C 1620 D 1195 Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − = Lấy hai điểm A, B ∈ (S) cho AB = điểm M ∈ (P ) Giá trị nhỏ M A2 + 3M B √ √ B 46 C 48 D 122 − 40 A 128 − 40 Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = mặt phẳng (P ) : 4x − 3z + 10 = Xét hai điểm M , N di động (S) cho M N = Lấy điểm A nằm (P ) Giá trị nhỏ Q = AM + AN √ A 58 − 10 √ B 56 − 20 √ C 58 − 20 √ D 30 − 10 Câu Cho z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn |z − + 5i| = |z1 − z2 | = Giá trị lớn biểu thức |z1 + z2 | √ A 16 + 34 √ B + 34 C + √ 34 √ D 10 + 34 Câu Giả sử z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn (z + i)(z + 3i) số ảo Biết |z1 − z2 | = 3, giá trị lớn biểu thức |z1 + 2z2 | √ √ A − B + C √ + D √ − Câu Giả sử z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn (z − 6)(8 + zi) số thực Nếu |z1 − z2 | = giá trị nhỏ biểu thức |z1 + 3z2 | √ √ A − 21 B 20 − 21 √ C 20 − 22 D − √ 22 x − 15 = Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = 0, đường thẳng (d) : y − 22 z − 37 = mặt cầu (S) : x2 + y + z − 8x − 6y + 4z + = Một đường thẳng (∆) thay đổi cắt mặt cầu (S) 2 hai điểm phân biệt A, B cho AB = Gọi A , B hai điểm thuộc mặt phẳng (P ) cho AA , BB song song với (d) Giá trị lớn biểu thức AA + BB Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trang 59/59 √ √ √ √ 12 + 16 + 60 24 + 18 + 30 A B C D 9 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; −2; 1), B(5; 0; −1), C(3; 1; 2) mặt phẳng (Q) : 3x + y − z + = Gọi M (a; b; c) điểm thuộc mặt phẳng (Q) thỏa mãn M A2 + M B + 2M C nhỏ Tính tổng a + b + 5c A 11 B C 15 D 14 Câu 11 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm N (0; 3; 0) mặt cầu (S) tâm I(1; −2; 1) bán kính R = 3, biết M (x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (S) cho A = 2x0 − y0 + 2z0 đạt giá trị nhỏ Khi độ dài M N √ √ √ A B 3 C D Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3) mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z + = Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (Q) : 3x + 4y − 4z + = cắt mặt phẳng (P ) B Điểm M nằm mặt phẳng (P ) cho M ln nhìn đoạn thẳng √ AB góc vng độ√dài M B lớn Tính độ dài M B √ √ 41 A M B = B M B = C M B = D M B = 41 2 Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; − 1), B(−1; 2; 0), C(3; −1; −2) Giả sử M (a; b; c) thuộc mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y + (z + 1)2 = 861 cho P = 2M A2 − 7M B + 4M C đạt giá trị nhỏ Giá trị |a| + |b| + |c| A 49 B 51 C 55 D 47 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x+y+z −1 = hai điểm A(1; −3; 0), B(5; −1; −2) Điểm M (a; b; c) nằm (P ) |M A − M B| lớn Giá trị tích a · b · c A B 12 C 24 D −24 Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(15; −1; 4), B(7; 6; 3), C(6; −3; 6), D(8; 14; −1) M (a; b; c) thuộc mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x + 4y − 6z − 11 = Tính giá trị biểu thức P = a + b + c M A2 + M B + M C + M D2 đạt giá trị nhỏ A B −5 C 16 D Câu 16 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 0; −1), C(0; 21; −19) mặt cầu (S) : (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 = Gọi M (a; b; c) điểm thuộc mặt cầu (S) cho biểu thức T = 3M A2 +2M B +M C đạt giá trị nhỏ Tính tổng S = a + b + c 14 12 A S = B S = C S = 12 D S = 5 Câu 17 Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn hệ thức z − − 4i = z1 − z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 2 − z2 A −10 √ D −4 − √ C −6 − B −5 Câu 18 Kí hiệu A tập hợp số phức z đồng thời thỏa mãn hai điều kiện |z − 1| = √ 34 |z + + mi| = |z + m + 2i| (trong m ∈ R) Gọi z1 , z2 hai số phức thuộc tập hợp A cho |z1 − z2 | lớn Khi tính giá trị |z1 + z2 | √ √ C |z1 + z2 | = D |z1 + z2 | = 130 √ Câu 19 Giả sử z1 , z2 hai số số phức z thỏa mãn iz + − i = |z1 − z2 | = Giá trị lớn A |z1 + z2 | = 10 B |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | √ B A √ D C BẢNG ĐÁP ÁN B D C C A B B C C 11 C 12 A 13 B 14 C 15 A 16 B 17 A 18 B 19 A Lớp Toán Thầy Đăng 10 B 0377.085.011 ... = (−3 + − 3) = − 9 −3 Chọn đáp án B Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 Ƅ Chuyên đề NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Trang 27/59 Câu (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 Câu 36) Cho hai y hàm số f (x) = ax... KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÍ DỤ Câu (Câu 44 - Đề thi TN THPT năm 2020 - mã đề 102) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác cạnh a AA = 2a Gọi M trung điểm CC Khoảng √ cách từ... 10 B 11 C 12 A 13 D 14 A 15 C 16 D 17 A 18 C 19 A 20 A Lớp Toán Thầy Đăng 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÍ DỤ Câu Cho hình