Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia nguyên hàm và tích phân

NGƯT ThS LÊ HOÀNH PHÒ ■ ■ ;• ỉ■ : ' aĩ l t i ặ y l V V ■ ỉỉl ■ ■■ ■■ ■■■■■ ■ *■ ■ ■ ■■ ■ C c ch uyên đề I ã ■_■ ■ z X ^ ■ ■■ ■■ i ■ ■■ I _ I M Sũĩ ĐỀ THI ã M a i a i o ; Th.s NHÀ GIÁO ƯU TÚ LẺ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐẾ THI THPT QUỐC GIA NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q UỐ C G IA H À N Ộ I LỜI NÓI ĐẦU Các Em học sinh thân mô"n! Nhằm mục đích giúp bạn h(x: sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC PHÔ THÒNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng tuvển vào trường Cao đẳng, Đại học mà xác định nghề nghiệp cho tưcing lai, theo định hướng Bộ sách gồm cuô'n cho chuyên đề, để om tiện dùng ôn luyện theo chướng trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT đ Ẳn G THỨC Cuốn NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN gồm có 18 phần nhỏ để liện luyện lập theo chủ đề 'lư kiến thức phương pháp giải 'loán nâng cao dần dần, kếl hợp ôn tập Toán lớp 10 11, bố sung mở rộng kiến Ihức phương pháp giải khác nhau, luyện tập thêm Toán khó, Toán tổng hợp, bạn ròn luyện kỹ làm lừng bước giải đúng, giải gọn lập, toán kicm tra, thi cử Dù dã cố gẩng kiếm tra trình biên tập song không tránh khỏi sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong dón nhận góp ý quý bạn dọc, học sinh dể lần in sau hoàn thiện Tác giả LÊ HƠÀNH PHÒ Ồ N Đ Ạ O H ÀM VÀ VI PH ÂN Đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm Xo thuộc khoảng Giới hạn hữu hạn có tỉ s ổ -— — X dần đến Xo gọi X-Xo đạo hàm hàm sổ cho điểm Xo, kỉ hiệu f'(xo) y'(xo), nghĩa là: f'(xo)= lim f(x )-f(X p ) X-Xn Nếu đặt Ax = X - Xo số gia biến số Ay =^f(xo + Ax) -f(xo) số gia hàm so ta có: = I, f(x + A x )-f(x „ ) ^ ^ Ax->0 Ax Ax->0 Ax Phương pháp tính đạo hàm điểm Xo theo định nghĩa Tinh giới hạn lim ——, X - X() Nếu giới hạn tồn hữu hạn đạo hàm điểm Xo là: f(x )-f(x j f'(xo) = lim x -x „ Hoặc ta thực hai bước sau: Tỉnh sổ gia hàm số Ay =f(xo + Ax) - f(xo) Ax số gia biển số Xo Tim giới hạn lim Ạx ' ' ' Av Nêu giới han tôn tai hữu han f'(xo) cân tìm: f'(xo) = lim — , Ax->0 ngược lại hàm sổ đạo hàm Quan hệ đạo hàm tinh liên tục Nếu hàm sổ y =f(x) có đạo hàm điểm Xo liên tục điểm XoỶ nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm sổ y =f(x) điếm Xo hệ sổ góc tiếp tuyến đồ thị hàm sổ điếm Mo(xo; f(xo)) Nếu hàm sổ y = f(x) có đạo hàm điểm Xo tiếp luyến đồ thị hàm sổ điểm Mo(xo;f(xo)) có phương trình là: y = f'(xo)(x - Xo) + f(xo) Ỷ nghĩa học đạo hàm Vận tổc tức thời v(to) thời điểm to (hay vận tốc to) chuyển động cổ phương trình s = s(t) đạo hàm hàm số s = s(t) điểm to, tức là: v(to) = s'(to) Đạo hàm hàm so khoảng Hàm sổ f gọi có đạo hàm khoảng K có đạo hàm f Ỵx) điếm X thuộc K Kỉ hiệu y' =f'(x) Đạo hàm số hàm sổ thường gặp ( c ) ' = (c l h ằ ng số ) (x)'= l ( x ”) ' = n x ” ' ' ( n (ứ ')' = n u " ' ' u ' e N , n > 2) t ì (V x) = ( x > 0) 2v u Đạo hàm hàm sổ lượng giác (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (sinu)' = u'.cosu (cosu)' = -u'.sinu (lanx)' = — — = I + ían^x cos X / u' — ựanu) = —— cos u —u' (cOtuỴ = r— sin u (cotx)' = — ^ = -(ỉ + cot^x) sin X Các quy tắc tính đạo hàm (u + v / = u’ + v' (u -v )' = u '-v ' (u v / = u'.v + u.v' Tông hai hàm sổ: Hiệu hai hàm số: Tích hai hàm so: u'.v - u.v' Thương hai hàm số: Hàm sổ hợp: f'x = f'u- u'x Vi phân hàm số Vi phân hàm sổ y = f(x) lại điểm Xo ứng với sổ gia Ax kí hiệu df(xo) là: df(xo) =f'(xo)àx Nếu f có đạo hàm f ' vi phân hàm so flà d y = y'dx Chú ỷ: 1) Đê linh đạo hàm hay vi phân cùa hàm số, ta phải xác định dạng cùa hàm số sau vận dụng công thức quy tắc để tinh Có thể chia tách, viết lại dạng, khai triên, nâng lũy thừa, mũ hóa, logarit hóa để chuyến dạng tinh đạo hàm 2) Đổi với hàm hợp nhiều hàm số liên tiếp làm dần bước, đặt hàm sổ trung gian cần 3) Đạo hàm tổng, hiệu nhiều hàm số (u ± v ± ±w )' = u' ± v' ± ±w' 4) Đạo hàm tích nhiều hàm so: (uvw)' = [(uv)w]' = (uv)'w + (uv)w' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw' Bài toán 1.1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau; a) y = với X x -l b) y = -y/3-x với X < — Giải a) Cho X — sổ gia Ax Ay = f(x + Ax) - f(x) = lim ÂÍToạx 1 2(x + A x )-l x - l 11 11 2x + A x -l x - l lim - ? -= -Ãr^ô(2x-l)(2x + 2A x-l) (2x-l)^ Vậy y = — - ^ với (2 x -l)- -2Ax (2 x-l)(2x + 2Ax-1) b) Cho X < số gia Ax -A x Ay = f(x + Ax) - f(x) = -v/3 - X- Ax - -v/3-x = ■ v / - x - Ax + V - X lim = lim ■ = , = — ^ ^ “Ax ữ^-*o^2-x-Á x+ ^J3-x 2V3-X -1 v i X < Vậy y' = 2V3-X Cách khác: lim X- X Xo, = lim - ^ ^^•'0 X - Xq = lim1 - lim x-»x“ (x-Xo)(v3-x+ - X 0) — ■- 2^3-Xo -1 v i X < -X Bài toán 1.2: Chứng minh hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm Xo liên tục Giải ■ Ay • Giả sử hàm sô f có đạo hàm f'(xo) tức lim — = f'(xo) Ax^o Ạx Vậy y' = V3 Ta có: lim Ay = lim — Ax = lim — lim Ax = f '(xo) = Ax->0 Ax-^0 Ạ y Ax^O Ạ x Ax->0 Do đó: lim (f(x)-f(X o)) = lim Ay = X->X|J Ax^O Suy lim /(x ) = f(xo) Vậy hàm số f liên tục điểm Xo X-*Xq' Bài toán 1.3: Chứng nũnh hàm số y = đạo hàm X= Giải Cho X= số gia Ax, ta có; Ay = f(0 + Ax) - f(0) = ^ỊAxỊ lim — = lim — = lim - = Ax^o* Ax Ax->0* Ax Ax->0* J|A x| +00 Vậy không tồn đạo hàm X= Bài toán 1.4: Chứng mirủi hàm số: í2x X < f(x) = < •; _ có đạo hàm X= sin 2x khix> Giải Hàm sổ xác định liên tục R X < lo o irU„.nên [2 cos 2x X > Ta có f'(x) Vậy f có đạo hàm lim/'(x) = = lim/'(x) = f ’(x) = X x ^ -2 Bài toán 1.5: Tìm a, b để hàm số: f(x) khix < x^ + ax + b X >0 có đạo hàm X = 0, tính f '(0) Giải Hàm số có đạo hàm X = liên tục X = nên lim f (x) = f (0) => lim (x^ + ax + b) = -2 ^ b = -2 x-»0* x->0* f (x )-f(0 ) x"+ax ■= lim = Iim(x + a) = a x->0* x^o* X- Ta CÓ lim ,,„ f ( x ) - f ( ) ,,.„ x ' ^ lim ^ ^ = lim — = lim X = x->0" X —0 x->0“ X x->0' Từ suy điều kiện tồn đạo hàm X = a = b = -2 Khi f '(0) = Bài toán 1.6: Tính đạo hàm hàm số sau điểm Xo a) y = + X - x“, Xo = b) y = — - — + — + ; r , Xo = Giải Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng hiệu a) y’ = (7)' + (x)' - (x^)' = - 2x Vơi Xo = f '(1) = - = -1 , , _ b ) T a c ó y = —X - ^ —X + —X + 7Ĩ nên y' = —.4x^ - - ,3x^ + —.2x = x^ - x^ + X Với Bài toán 1.7:Tính đạo hàm hàm số sau: X _ , _ 3x-8 a)y = x + - b ) y = X 1- -X Giải a) Tập xác định D = R \ {0} Ta có y = X + — X nên y' = - ^ X x '- x^ Xo = f '(0) = b) Tập xác định D = R \ {1} x -8 3(l-jc) + (3x-8) Ta có y — nên y' = ^ ^ -x (1 -x )^ -5 ^ ạ-xÝ Bài toán 1.8: Tính đạo hàm hàm số sau: a) f(x) = ax^+bx^+c (a + b)x ^ b)f(x) J_ b ax — t + X V Giải a) Tập xác định D = R \ {0} c ■X +■ -x + a+b a+b a+bx , ^ 2a b c 2ax^+bx^-c nên t (x)= — + -— y = -——;— a +b a + b {a + b)x {a + b)x b) Tập xác định D = R \ {0} Ta có: f(x) = í ỡ f'(x)= o x r + 3c 3ax = 121 ax^ - - ^ + 3c X J ax + x"* ) V Bài toán 1.9: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = Vx’ - 2x b)y V x^-2x + 2x + l Giải a) Điều kiện x ^ - x > « x < X > Ta có f'(x) = 2vx^ - x Vx^ -2 x b) Vì x^ - 2x + > với X nên điều kiện: X^ x -2 VÃ r(2x + l)-V x^ -2X + 3.2 ■2x + (2x + l)^ ^ (x -ĩ)(2 x + l) - (x ^ - x + 3) (2x + l ) V x '- x + 3 x -7 (2x + l ) V x '- x + ’ Bài toán 1.10: Tính đạo hàm hàm số sau: fa) y = —X -V x , b)y x’ Vx ^ Giải a) D = R 10 \Với r ' • X f\0, ta có:' y = * - vx ^ I nêny I =_ — ^ -}== ^ = —V— VX ĩ 3ìJ b) Tập xác định D = (-oo; - Vó ) u ( Vó ; +oo) x \x ^ -9 ) Ta có; y - 11WÌ1 nên Jy'= — Ị - x '- ( x '- ) V x '- Bài toán 1.11: Tính đạo hàm mồi hàm số sau: b ) y = ỉ | í í i ± ^ ( a * b + k K ;k Z ) sin(x + b) Giải a) y = cos2x - 2x + a) Tập xác định D = R Ta có y = cos2x - 2x + nên y ' = -2(sin2x + 1) b) Hàm số gián đoạn điểm X = -b + kn (k e Z) T’ _ sin(x + a) Ta có y = nên sin(x + b) sin(x + b)cos(x + a)-sin(x + a)cos(x + b) _ sin(b-a) ^ sin^(x + b) sin^(x + b) Bài toán 1.12: Tính đạo hàm hàm số sau: b) y = 7x - sinx tan ^ a) y = sin^x + 4x + Giải a) Tập xác định D = R Ta có y = sin X + 4x f nên y ' = 2sinxcosx + = sin2x + b) Ta có y = 7x - sinx tan sin X _ X X — —= - cosx.tan — - tan — 2X 2 2cos Nên y ' = - cosxtan_ X, , , ^ - X X _ = - ta n ^ (l + cosx) = - 2tan^.cos ^ = - sinx 2 Bài toán 1.13: Tim đạo hàm hàm số sau: 5x + l ,b)Xy _= cot V/X2 +1 a) y = tan2 Giải a)y’ = cos 5jc+ l 5x +1 2cos 5jc+ 11 Giải b l'a có hàm số f(x) liên tục đoạn [a ;b] nên J f(x)dx diện tích hình a thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng X = a, x = h Do f(x) > [a; b] j f (x)dx > a Cách khác: Xét F(x) = j f{x)dx F liên tục [a; b] Ta có F’(x) = f(x) , mà theo giả thiết f(x) > [a; b] nên F đồng biến [a; b] Vì a < b nên F(a) < F(b) => F(b) -F(a) > ^ đpcm Đặt h(x) = f(x) - g(x).Ta có h(x) > [a; b] nên b b b Jh(x)dx > => | f (x)dx - 1g(x)dx > => đpcm a a a , ^ ^ _] p2x —1 Bài toán 18.2: Chứng minh răng; - dx < -dx •Ị X ị x + Giải X - Ta có Vx X Do •Ị [1; 2]: - < G x — x - X + , - X + > 0; Đúng —^dx < c o s\ < < + c o s\ < => ^ < + 3cos^x ít/2 Ị nỉ nl2 _ 7t/2 _ —dx—_— Jdy 0 Giả sử BĐT đứig n= k x" , n! Vx > e’' - > X 185 Ta chứng minh BĐT n = k + c ^ 1 ^+ A +1- Ì -Vìe’‘> X +^ — — ,, V x > nên 2! k! ịeMy >ỊÍl + y + ^ + + > 1+ y +— + 2! — , Vy e (0; x) k! dy / 0V k+l X , , e - 1> X , X^ x"' + — + : đpcm 2! 3! (k + 1)! Bài toán 18.9: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục đoạn [a ;b] f b V * * Chứng minh: ị f{x)g{x)dx \ < ị f^{x)dx.ịg^{x)dx + — \a J a Giải Ta có (yf(x) + g(x))^ > 0, Vy y l f^(x) + 2y.f(x)g(x) + g^(x) > 0, Vy nên h h b y '\ f '{ x ) d x + y ị f\x)g{x)dx + ịg^{x).dx > , Vy a a u íh V ’’ Do A' = I f{x)g{x)dx - j f'{x)dx.ị g^{x)dx < \a V í h =í> J Ịf \a ) * a a * ^ {x)dx.ị g^ {x)dx : đpcm a a \ Bài toán 18.10: Chứng minh ràng: lim jx" sinTixdx = 0 Giải Với X e [0; 1] < x" sinnx < x" ' ‘ Do đó: < í x" sinKxdx < í x"dx = —^— J ^ n+1 11 ^ l ^ Vì lim—-— = =i> lim [ x" sinnxdx = : đpcm n+1 ị Ị b Bài toán 18.11: Cho hàm số f liên tuc [a; b] Tỉ số — — íf(x)dx đươc goi b-a-*a giá trị trung bình hàm số í' [a; b] kí hiệu m(í) ChÚTig minli tồn điểm c e [a; b] cho m(f) = f(c) 186 Giái Giả sừ m M tương ứng giá trị bé lớn hàm số f [a; b] Ta có m < f(x) < M Vx e [a; b] nên: b b b b j mdx < Jf (x)dx m(b - a) < j f (x)dx < M(b - a) a a a a Vì f hàm liên tục nên tồn c e [a; b] để f(c)= íf(x)dx =m(0b - a •'a Bài toán 18.12: Chửng minh hệ thức: r/ĩ+ l 5-1 /T /1 + 11 Giải /í+l on+1 n +\ Tacó: ( l +x) " = c°„+C'„x + C^,x'+ + C > " Suy ra: |(1 + x)"tìíx: = I (C° +c'„x + I + + C"x")íừ I í (1 + x) n+l c “x + c — + c — + + C” " n +\ " V -1 6""'-2""' ^,o5-l - - K , ' - l C" =cr -—+ c: +-— c t + +■5""' Hay n +1 «+i 5"-^' - ^ _ '" ‘ -2""' Vậy; n +1 ~ n +1 1 3"^ —1 CT2" =Bài toán 18.13: Chứng minh: -C„.2 +—c„.2 + „„ 2(n + l) n+1 n +1 Giải ,k+ \ Ta có - c “.2“ + -c ,;.2 ' + + - ^ C : '.2 " = ỷ ^ c ^ * " 2 " n+\ " tí,k + \ ih (1 + x)” = ỉ - ỵ Ị c : x ‘d x ^ ị - Ị ỵ c : x ‘d x = ự Ị ( i+ x r d x = «+l ^ k=0 ^0 ^0 Bài toán 18.14: Chứng minh; 2^" -1 - c ' +-C -' + - c ị „ + + — C^r' = 2n 2n + l -|2 k +1 J o 3"^' -1 2(n + l) 187 Giải T a c ó ( l + x ) ' " = C « +c' x + + C^"x^" X2n Và(l - x ) 2n , c" _ c x+ + c 2n 2n^ \2n 3 , r^5 ,5 (l+x)2"-(l-x)2"=2(C L x + c L x ' + c L x ' + + C ^ rV " -') Do ^ I dx = {Clx + cịy + í + + Clr'x^- ')dx Ta tính riêng vế: (1 + x y - (1 - XÝ” ^ (1 + xỴ ”*' + (1 ^ x) 2«4l -M A= -< ix 1Ì ■2 2(2«+ 1) Và |(C ',.x + C Ỉ,x’ + C ị„x'+ + C Ỉ;-'x“ -')dx f 2"" - \ 2« + l 2n A = c'^2n' — + c ' — +^2n+CỈ , +-" + '-2n •^ - +'-2n1 2n = |c ; , + i c ỉ „ + i c L + + : ^ c r 2n Suy ra: - C ‘ + - C ' + - C ' + + 1‘ C2„-1 ^ "■' ■" 2n Bài toán 18.15: Tính tổng: ^ "-l 2n + l 2""' -1 c : « +1 ơ/ổi Tacó: (l+x)"= c ^ c l x + c^x"+ + C > “ T= c ^ - c +- c„ + + Suy ra: J(l + x)"dx = J(C“ + c l x + c^x' + + C >")dx I ( ,n + l \ n+1 c “x + c ' — + c ' — + + C" ,(l + x) n+1 " "n+1 V ìW+l ow+l 2^-1 2^ —V Vậy: T = c : + -c: = c t + +2 " «+l «+i Bài toán 18.16: Tính tổng: 7^ 7’ t w +1 T = - C “ + ~ C ' + — C ' + +c: « +1 188 Giải Ta có: (1+ x)" = c l +c;,x + c ' x ' + + C;;x" Suy ra; j (1 + x)"cbc = ị (C„" + c> + C;jc' + + c>" )dx 0 - ^ ( + X)""' v’ r'"^M = c ° x + C -— + c l — + + c : ^ n+\ „ I " " 7" " '7^+1 Vây: T = ~ c “ + ™ c ' + - ^ c ' + + ^ C ; " " n +l Bài toán 18.17: Tính tổng: " ọyn+\ «+l f7 + l 2020 T= ^ c ‘ ^+ -—-C^ ^2020 ^2020 + 2020 2019 c 2020 ■ Giải , 2020 v''-ù 4-r ’2020 V ' - ' 2 2 Tn n 4- a ; ia L ,( J = '^2020 r ”® -i-r" '-'2020''- V n ^“ 2020 20"’0 - r^' '^020r - r ’-20'^0v - T- ", T rv^.'’-ỉm n^ 2020' VCI^Ẳ“ A^ Do (1 + x r^ " - (1 - = 2( C'o,„x + + + ) 2^-1 2'* —1 -1 Nên: ^ C ỉ „ + ì : ^ C Ỉ „ + + ^ ^ C S - i |( ( l + x )» " -(l-.n )» » V v = i ^ [ ( | + ;,)» ' + ( l - ^ ) » ^ ' ĩ ^2021 Ị _ 2^'’“' 4042 ^2021 Ị _ 2^°^' Vậy T = 4042 Bài toán 18.18: Tính In = | x( l - x^) "dx , n nguyên dương Suy tổng: ^ ^ s =-C ;; ^c;, + -C ^ C '„ + -f-^-^-^— c ;; " 2(n + l) " Giải Đặt t = - x^ =2 dt = -2x.dx Khi x = 0=>t = l , x = l=>t = In= ^ ' " - t n+l 2(n + l) • 2(n + l) 189 Khai triển nhị thức dấu tích phân: I „ = \ x { \ - x y d x ^ \ x Ỳ c í { - x ^ Ỷ dx 0 *’=0 = j Ẻ (-1)* = ấ (-!>* < j í-=0 2k + „ Ả-=o ■c:= - C “ - - C ' + - + Ả jy L _ c : Ỉ k + 2' " ''" ■’ 2(n + l) " 1 ('-ít" Từ ta cỏ: s = - c ° - - C ' + I - C" = — " " 2(n + l) '■ 2(n + l) Bài toán 18.19:Đặt In = |(1 - x “)"tìh: , n e N Tính In suy hệ thức: - c “- - c ; ,+ - c ^ - - c ; ,+ + - t - ^ c ; : " " " " 2n + l " 3.5 (2n + l) Giải Với n > l,Đặt u = (1-x^)" dv = dx thì: I In= j ( l - x ' ) ' ' d x = x (l-x ^ )’’Ị + j n x '( l - x “)'’“'dx 0 = - + n j ( x ^ - l + l)(l-x ^ )" -'d x = - n l n + 2nln- _ Do đó: In = 2n _ 2n n - - I„_, 2n + l 2n + l n - l 2n n - 2 T 2n + r n - l '"s T = ' có: ' IIn == Mà lo = nên X/Í' 2.4 (2n) 3.5 (2n + l) Khai triển nhị thức dấu tích phân: l , = j É c ‘ Ắ -x ’ Ydx = ỵ ( - l ) ‘ c : ] k=0 = i(-l)‘ cí k=0 2k + l k=o2k + l V -lo So sánh ta có điều phải chứng minh: 190 A 2.4 (2n) 2n + l 3.5 (2n + l) Bài toán 18.20: Tìm số nguyên dương n cho: 73 «+l Q«+l 7«+l -1 c: + +z zic:=°1 ” " «+i " 10 0 Giải Ta có: (l+x)"= c" + c|,x + c ^ x '+ + C > " Suy ra: J(1 + x)"íừ = |(C ° + c > + c > ^ + + C > ”)íừ I 1 (1 + x) n+1 « +1 >/7+1 '-)«+! 7_J H a y - — = c„ — «+l ^ r’ r"+' ^ C„“x + C '^ +■c „ — + + C; — "3 " n+ ỉ V _1 7^-1^,3 7""' -1 c +— c + + C" n + 1\ w+l ■1 g r t + i ” ^^ +c: + + c: = -c +1 n +1 lOOO g/?+i_2^^^* 8^*^' 2”^^ - — = -— n = 9 lOOO n +\ Vậy giá trị cần tìm: n = 999 Bài toán 18.21: Tìm số nguyên dương n cho: J2«ư _ ”+' 11-1 c IH -1 c ‘ + 11’ - , ir" ‘- c: = c t + + n +1 5ÕÕ Giải Ta có: ( l +x)"= c “ +c|,x + c^x' + + C>" * Suy ra: J(1 + x)"íừ = (C° + c'„x + c„'x' + + c > ")dx 1 n +1 Do (1 + x) /J+l 11-1 c ỉ' „3 c !x + c :^ + c ,^ ^ + + c :^ V + «+l A 1 '- ! ,, 11'-1 i r ‘-1 -C' +c l + + «+i ” c: n + \ n+\ 12”^‘ - 2-%/7+l «+ 12"+' -2"+' 12”^* 2”^^ /7 +1 = 500 « = 499 «+l 500 Vậy giá trị cần tìm; n = 499 nên 191 Bài toán 18.22:Đăt Sn = - + — Tìm số nguyên dương n cho; n -1 s„-c:s„-,+cx-2 + -^ -ir”'cr'.s,= Ta có (X - 1)" = X 2020 Giải - C‘x"-‘ + C„x"-^ + + ( - i ) " c ; ; và(i-ir=i-ci+c^+ +(-irc: Do đó; (x- l ) "-0 = (x"- 1)- C ;,(x"-'-l) + C^(x"“' - l ) + + (-1)"-’ cr‘(x-l) x"“' - l nên(x-l)"- = - - + x -1 x -1 x -1 x+1 Lấy tích phân từ đến hai vế được: |(x - i ) - d x = s„ - c;,s._, + c ; s ,,,.+ + n i v n m a il: n h a s a c h h o n g a n @ h o t m a i l c o m N g u y ễ n T h ị M i n h K h a i - Q - T P H C M 38246706 - 39107371 - 39107095 ♦ F a x : 39107053 ca * M / / i ca Quý khách xa liên hệ: www.hongantructuyen.vn đ ể ph ụ c vụ ^ c i/ĩtỵ Ố iỹnty < £ọo: Bộ sách biên soạn với mục đích giúp em học sinh lớp 12 củng cố kiến thức phương pháp giải toán từ càn đến nâng cao, kết hợp ôn tập Toán lớp 10 11, luyện tập thêm Toán khó, Toán tổng hợp, em rèn luyện kĩ làm bước giải đúng, giải gọn tập, toán kiểm tra đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia - 245 Trần Nguyên Hãn - HP * ĐT: 3858699 - 29&31 Phan Bội Châu - Hải Phòng *ĐT: 3839599 - L ý T h i TỔ - T P Đ N ấ n g *Đ T : - L ê D u ẩ n - T P V in h - Đ T : 5 7 - 39-41 Võ Thị Sáu - cần Thơ * ĐT: 3818891 - 158 Tỉnh lộ - T T C ủ Chi - T P H C M *Đ T: - 76 H àn T h u yê n - T P H u ế - 78 Bạch Đằng - Đà Nắng - ĐT: 3834328 ISBN: 978-604-62-2905-6 935092 768335 Giá: 55.000đ ... NHÀ GIÁO ƯU TÚ LẺ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐẾ THI THPT QUỐC GIA NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q UỐ C G IA H À N Ộ I LỜI NÓI ĐẦU Các Em học sinh thân mô"n! Nhằm... chướng trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA... Vi phân hàm số Vi phân hàm sổ y = f(x) lại điểm Xo ứng với sổ gia Ax kí hiệu df(xo) là: df(xo) =f'(xo)àx Nếu f có đạo hàm f ' vi phân hàm so flà d y = y'dx Chú ỷ: 1) Đê linh đạo hàm hay vi phân