Phương pháp giải hệ trục tọa độ Oxy

Đ2 hệ trục toạ độ Dạng toán 1: Toạ độ vectơ Toạ độ điểm Phơng pháp áp dụng Ta cần nhớ kết sau: Với hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB), ta có: uuur AB = (xB xA, yB yA), r a Với hai vectơ r a r a = x1 = r a r b r i + r j AB = | |= (x B x A ) + (y B y A ) (x2, y2) , ta có: + y1 , x1 = x y1 = y r b (x1, y1) r b uuur AB , = (x1 + x2, y1 + y2) Thí dụ Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2) a Tìm toạ độ trọng tâm ABC b Tìm toạ độ điểm D cho C trọng tâm ABD c Tìm toạ độ điểm E cho ABCE hình bình hành Giải a Gọi G trọng tâm ABC, ta có G(0, 1) b Giả sử D(xD, yD), với điều kiện C trọng tâm ABD, ta đợc: + + x D 2= = + + y D x D = y D = 11 D(8; 11) c Giả sử E(xE; 0), với điều kiện ABCE hình bình hành, ta đợc: uuur uuur AE = BC x E + = y E = x E = y E = E(4; 5) Thí dụ Cho điểm M(1 2t; + t) Tìm điểm M cho Giải Ta có: x 2M + y 2M = (1 2t)2 + (1 + t)2 = 5t2 2t + = 5(t )2 + x 2M + y 2M nhỏ suy ( x 2M + y M t )Min = đạt đợc : =0t= Vậy, điểm M0( ; 5 M0( ; ) ) thoả mãn điều kiện đầu Thí dụ Cho ba điểm A(1; 1); B(3; 3); C(2; 0) a Tính diện tích ABC b Hãy tìm tất điểm M trục Ox cho góc Giải a Ta có: AB2 = + = 8, BC2 = + = 10, AB2 + AC2 = BC2 ABC vuông A Vậy diện tích ABC đợc cho bởi: SABC = b Góc ã AMB AB.AC = 22 + 22 12 + (1) = 00 A, M, B thẳng hàng xM xA xB xA yM yA yB yA xM nhỏ CA2 = + = = (đvdt) nhỏ ã AMB ã AMB uuuu r uuur AM // AB = = xM = M O Vậy, điểm M(0; 0) thoả mãn điều kiện đầu Dạng toán 2: Biểu diễn vectơ (b1; b2) Phơng pháp áp dụng Ta thực theo bớc: Bớc 1: Bớc 2: Giả sử Ta có: r a r c = r a r c (c1; c2) theo vectơ r b + r a (a1; a2), r b (1) r b + = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) Vậy (1) xảy khi: c1 = a1 + b1 c = a + b Giả hệ (I), ta nhận đợc giá trị cặp (, ) (I) Kết luận Bớc 3: Thí dụ Hãy biểu diễn vectơ r a Giải Giả sử Ta có: r c = r a r a (2; 1), r b r c theo vectơ (3; 4) r c r a , r b , biết: (4; 7) r b + (1) r b + = (2; 1) + ( 3; 4) = (2 3; + 4) Khi (1) xảy khi: = = + Vậy, ta đợc r c = r a = = r b +2 Thí dụ Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; 1), C(4; 3) D(16; 3) Hãy biểu diễn vectơ Giải Giả sử Ta có: uuur AD uuur AD = (15; 2), uuur AB uuur AB uuur AB uuur AC uuur AD theo vectơ + uuur AC (1; 2), uuur AB , uuur AC (1) uuur AC (3; 2) + = (1; 2) + (3; 2) = ( + 3; + 2) Khi (1) xảy khi: + = 15 + = Vậy, ta đợc uuur AD = = =3 uuur AB +4 uuur AC Dạng toán 3: Xác định toạ độ điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ, độ dài Phơng pháp áp dụng Thực theo bớc: Bớc 1: Giả sử M(x; y) Bớc 2: Toạ độ hoá vectơ có đẳng thức sử dụng công thức khoảng cách hai điểm, để chuyển đẳng thức biểu thức đại số Giải phơng trình hệ trên, ta nhận đợc toạ độ M Bớc 3: Chú ý: Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k (tức ) đợc xác định công thức: x = y = uuuuur MM1 =k uuuuur MM x1 kx k y1 ky k Đặc biệt k = 1, M trung điểm đoạn thẳng M 1M2, toạ độ M đợc xác định bởi: x1 + x x = y = y1 + y Thí dụ Cho hai điểm A(0; 2) B(4; 3) Tìm toạ độ: a Trung điểm I AB b Điểm M cho uuuu r MA +2 uuur MB = r Giải a Ta có I(2; ) b Từ giả thiết MA +2 MB = r MA MB điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = Do đó: M: x kx B x= A = k y = y A ky B = k M( ; ) Chú ý: Ta trình bày theo cách: Giả sử M(x; y), ta có: uuuu r MA = ( x, y) uuur MB = (4 x, y) Vì uuuu r MA +2 uuur MB = r uuuu r MA +2 uuur MB = (8 3x; 3y) , nên: 3x = 3y = x = y = M( ; ) Thí dụ Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3) uuur AE uuur BC a Xác định toạ độ điểm E cho =2 b Xác định toạ độ điểm F cho AF = CF = c Tìm tập hợp điểm M cho: |2( uuuu r MA + Giải uuur MB uuur AE a Giả sử E(x; y), )3 uuuu r MC (x 1; y), |=| uuur BC uuur MB uuuu r MC | (1) (3; 8) Từ đó: x = 2.3 y = 2.8 uuur BC uuur AE =2 b Giả sử F(x; y), đó: AF = CF = AF = 25 CF = 25 y = y = x = 3y 10y 30y = x = 3y x = y = 16 E(7; 16) 2 (x 1) + y = 25 2 x + (y 3) = 25 x = 4& y = x = 5& y = (x 1) + y = 25 x = 3y F1 ( 4,0) F (5,3) Vậy tồn hai điểm F1( 4; 0) F2(5; 3) thoả mãn điều kiện đầu c Giả sử M(x; y), đó: uuuu r MA (1 x; y), uuuu r MA uuur MB uuur MB (3 x; y), uuuu r MC uuuu r MC (x; y) uuur MB uuuu r MC 2( + )3 = (x 4; y 19) = (3; 8) Khi đó: (1) (x 4)2 + (y 19)2 = (3)2 + (8)2 (x + 4)2 + (y + 19)2 = 73 Đặt I(4; 19), ta đợc: IM2 = 73 M thuộc đờng tròn tâm I(4, 19), bán kính R = 73 Nhận xét: Nh vậy, ví dụ thực việc xác định điểm dựa đẳng thức vectơ, độ dài cho trớc Tuy nhiên, nhiều trờng hợp cần thiết lập đẳng thức dựa tính chất điểm cần xác định 3a 7 Thí dụ Cho ABC cân A, biết A(a; ), B(1; 0), C(2a 1; 0) A thuộc góc phần t thứ a Xác định toạ độ đỉnh ABC, biết p = (p nửa chu vi) b Tìm toạ độ điểm MAB NBC cho đờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi chia đôi diện tích ABC Giải a Ta có toạ độ điểm: 3a A(a; Từ giả thiết: AP(I) y ), B(1; 0), C(2a 1; 0), a 3a AB + BC + AC a AM I B C O N x p=9 =9 2.8|a 1| + 2|a 1| = 18 a = a = (loại) Từ đó: A(2; ), B(1; 0), C(3; 0) AB = AC = 8, BC = b Ta cần tìm điểm M AB (tức phải tìm x = BM, x 8) cho cạnh BC tồn điểm N thoả mãn: BN = p x = x, x x 9, SBMN SABC = Từ (1) ta đợc: BM.BN AB.BC = (1) x(9 x) 8.2 Với x = M A(2; = x2 9x + = x = x = 1(l) ) N(2; 0) trung điểm BC Chú ý: Bài toán có dạng tổng quát nh sau "Cho ABC có cạnh a, b, c (tơng ứng với đỉnh A, B, C chu vi 2p), giả sử c b a Tìm điểm M AB, N BC cho đờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi chia đôi diện tích ABC " Phơng pháp giải Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Bớc 2: Điểm M AB (tức phải tìm x = BM, x c) cho cạnh BC tồn điểm N thoả mãn: BN = p x, p x Từ (1) ta đợc: BM.BN AB.BC Bớc 3: x(p x) c.a SBMN SABC = (1) = = 2x2 2px + ac = (2) Giải (2) ta xác định đợc x, từ suy toạ độ điểm M, N Dạng toán 4: Vectơ phơng Ba điểm thẳng hàng Định lý Menelaus Phơng pháp áp dụng Cần nhớ kết sau: r v1 r v2 r v1 r v2 x1 y1 = x y2 a Với hai vectơ (x1, y1) (x2, y2) ta có // b Cho ba điểm A(x1, y1) , B(x2, y2) C(x3, y3), ta có: x x1 y3 y1 uuur uuur x x1 y y1 AC AB A, B, C thẳng hàng // = c Định lý Menelaus: Lấy ba điểm M, N, P theo thứ tự cạnh BC, CA, AB ABC Điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng là: MB NC PA MC NA PB = Thí dụ Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5) a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b Tìm toạ độ điểm D cho A trung điểm BD c Tìm toạ độ điểm E trục Ox cho A, B, E thẳng hàng Giải a Nhận xét rằng: uuur AB uuur AC + xD = = + y D x D = yD = uuur AC uuur AB (4; 3) (12; 9) =3 A, B, C thẳng hàng b Giả sử D(xD, yD), với điều kiện A trung điểm BD, ta đợc: D(7; 7) c Giả sử E(xE, 0) Ox, uuur AE (xE + 3; 4) Từ đó, để ba điểm A, B, E thẳng hàng điều kiện là: x E + = xE = 7 E( ; 0) Thí dụ Tìm trục hoành điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới điểm A B nhỏ trờng hợp sau: a A(1; 2) B(3; 4) b A(1; 1) B(2; 4) Giải a Nhận xét A, B phía với Ox Gọi A1 điểm đối xứng với A qua Ox, suy A1(1; 2) Gọi P0 = (A1B) Ox y A1, B, P0(x; 0) thẳng hàng x uuuu r uuuur A1B A1P4 // B A O P M3 x = x= P0( ; 0) A1 Ta có PA + PB = PA1 + PB A1B Vậy PA + PB nhỏ A1, B, P thẳng hàng P P0 y b Nhận xét A, B khác phía với Ox A Gọi P0 = (AB)Ox A, B, P0(x, 0) thẳng hàng x 6 uuur AB uuuu r AP0 // O P P0 x B = x= P0( ; 0) Ta có PA + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A, B, P thẳng hàng P P0 Chú ý: Thí dụ trên, minh hoạ phơng pháp giải cho lớp toán cực trị quen thuộc kỳ thi tuyển sinh vào trờng đại học cao đẳng, em học sinh cần nắm đợc phơng pháp giải cho toán tổng quát nh sau: Bài toán: Tìm đờng thẳng (d): Ax + By + C = điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A(x A, yA) B(xB, yB) không thuộc (d) nhỏ " Phơng pháp Ta xác định tA.tB = ( AxA + ByA + C)( AxB + ByB + C) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: Nếu tA.tB < A, B ngợc phía với (d) Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Gọi P0 = (AB)(d), suy toạ độ P0 Bớc 2: Ta có PA + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A, P, B thẳng hàng P P0 Trờng hợp 2: Nếu tA.tB > A, B phía với (d) Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (d) , suy toạ độ A1 Bớc 2: Gọi P0 = (A1B)(d), suy toạ độ P0 Bớc 3: Ta có PA + PB = PA1 + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A1,P, B thẳng hàng P P0 Ngoài phơng pháp nhận đợc phơng pháp giải khác đợc minh hoạ toán Phơng pháp toạ độ hoá Dạng toán 5: Phơng pháp toạ độ hoá Phơng pháp áp dụng Phơng pháp toạ độ hoá thờng đợc sử dụng phổ biến hai dạng: Dạng 1: Ta thực phép toạ độ hoá điểm hình đa toán hình học dạng giải tích Dạng 2: Lựa chọn điểm thích hợp để biến đổi biểu thức đại số dạng độ dài hình học Phơng pháp tỏ hiệu để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đại số Thí dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số y = Giải Viết lại hàm số dới dạng: x + x +1 x x +1 y= + Xét điểm A( ; = (x + ) + ), B( ; x + x +1 + x2 + x + + x2 x + (x ) + ) M(x; 0), đó: x x +1 AM = , BM = , suy S = AM + BM AB = Vậy, ta đợc SMin = 1, đạt đợc khi: A, B, M thẳng hàng uuuu r AM // uuur AB toạ độ M Chú ý: Với em học sinh cha có kinh nghiệm giải dạng toán thông th1 2 3 ờng chọn A( ; ), B( ; ) M(x; 0) nhận đợc SMin = 1, nhiên điều kiện cho A, B, M thẳng hàng vô nghiệm Đôi dạng toán đợc minh hoạ dới dạng trị tuyệt đối Thí dụ Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 1) M(t; 2t + 1) Tìm điểm M thuộc (d) cho: a (MA + MB) nhỏ b |MA MB| lớn Giải a Ta có: (t 1)2 + (2t 1)2 MA + MB = = 5t 6t + + t + (2t + 2) + 5t + 8t + = t ữ + 25 [ 5 t + ữ + 25 + ] 5 Xét điểm A1( ; ); B1( ; ) M1(t; 0) Khi đó: MA + MB = ( M1A1 + M1B1) Vì M1 chạy trục hoành A1, B1 nằm hai phía Ox nên (MA + MB)min (M1A1 + M1B1)min M1 = (A1B1)Ox M1( 15 ; 0) M( 19 15 15 ; ) b Tơng tự câu a) ta có: |MA MB| = Xét điểm A2( ; Khi đó: t ữ + 25 t + ữ + 25 ); B2( ; ) M2(t; 0) |MA MB| = |M2A2 M2B2| Vì M2 chạy trục hoành A2, B2 nằm phía Ox nên |MA MB|max |M2A2 M2B2|max M2 = (A2B2)Ox M2(2; 0) M(2; 5) 10 C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: a Có điểm O cho: uuur uuur uuur uuur r OA OB OC OD + + + = Điểm O đợc gọi trọng tâm bốn điểm A, B, C, D Tuy nhiên, ngời ta gọi quen O trọng tâm tứ giác ABCD b Trọng tâm O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối tứ giác, trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo tứ giác c Trọng tâm O nằm đoạn thảng nối đỉnh tứ giác trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại Giải a Giả sử có điểm O1 thoả mãn: r = uuuur O1A =4 + uuuur O1O uuuur O1O uuuu r O1B + uuur OA r uuuu r O1C + + uuur OB + + uuuur O1D uuur OC + uuur OD =4 uuuur O1O = O1 O Vậy, tồn điểm O thoả mãn hệ thức vectơ cho b Gọi M, N, P, Q, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD, ta có lần lợt chứng minh: O trung điểm MP (đoạn nối trung điểm hai cạnh AB CD), thật vậy: r = uuur OA uuuu r OM uuu r OP + uuur OC r + uuur OD =2 uuuu r OM +2 uuu r OP + = O trung điểm MP O trung điểm NQ (đoạn nối trung điểm hai cạnh BC DA), thật vậy: uuur r = uuur OA uuur ON + uuur OB uuur OB +uuur OQ + uuur OC r + uuur OD =2 uuur ON +2 OQ + = O trung điểm NQ O trung điểm EF (đoạn nối trung điểm hai đờng chéo AC BD), thật vậy: r = uuur OA uuur OE + uuur OB uuu r OF + r uuur OC + uuur OD = uuur OA + uuur OC + uuur OB + uuur OD =2 uuur OE +2 uuu r OF + = O trung điểm EF c Gọi G trọng tâm ABC, ta có: 11 r = uuur OA uuur GD + uuur OB + uuur GO uuur OC + uuur OD =3 uuur OG + uuur OD = uuur GO +( uuur GD uuur GO ) =4 G, O, D thẳng hàng Vậy, trọng tâm O nằm đoạn thảng nối đỉnh tứ giác trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại Ví dụ 2: Cho đa giác n cạnh A1A2 An, tâm O Chứng minh rằng: n uuuur OA i =1 r i = Giải Ta lựa chọn hai cách trình bày: Cách 1: Gọi uuur OA n uuuur OA = i =1 i Nhận xét quay đa giác góc uuuur OAi n Đa giác không đổi, nên Vectơ uuur OA i =1 = uuur OA n bị quay theo chiều góc uuur OA uuur OA thì: r n Suy vectơ có hớng tuỳ ý = , đpcm Cách 2: Xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu n = 2k Khi đó, với đỉnh đa giác có đỉnh đối xứng với qua O đpcm Trờng hợp 2: Nếu n = 2k Khi đỉnh A2, ,An chia thành hai phần đối xứng qua trục OA 1, cách lập tổng cặp vectơ đối xứng đpcm uuur OA r Nhận xét: Nh vậy, để chứng minh = ta sử dụng tính chất "Vectơ không vectơ có phơng hớng tuỳ ý" Ví dụ 3: Cho ABC Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh a uur IA + b uur IB + c uur IC = r Giải Dựng hình bình hành AB2IC2 có AB2//CC1 AC2//BB1, ta đợc: 12 uur IA = uuur IB2 + uuur IC IB2 C1A b IB = C B = a uuur uur IB IB , (1) B2 IC B1A c IC = B C = a uuur uuuu r IC ICB uuur IB2 = b uur a IB c uur a IC uuur IC2 = Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: b uur a IB uur IA A c uur a IC (2) b Tìm I cho uur IB uur IC uuur OA uuur OB uuur OC +2 + uur IB uuur KA +3 uur IC + + = uur ID uuur KC uuur KB r = uuur OA =2 uuu r FO +2 uuu r OF = uuur OB +4 uuu r FN +3 uuur ON uuur OC = =( uuu r FO B = = , đpcm r r uuur OA + + 4( uuur OC uuu r FN ) + 2( uuu r FO uuur KD c Tìm K cho + + + 3( Giải a Gọi M, N, F trung điểm AB, BC AC, ta có: r I C2 (3) uur IA uur IA C1 C = a + b + c Ví dụ 4: Cho điểm A, B, C, D, E a Tìm O cho B1 uuur OB + uuur KE uuur OC + )= r ) ) , suy điểm O đợc hoàn toàn xác định b Ta lựa chọn hai cách trình bày: Cách 1: Gọi P, Q trung điểm CD, MP, ta có: r = uur IA + uur IB + uur IC + uur ID =2 uuu r IM +2 uu r IP =4 uur IQ uur IQ = r I Q, suy điểm I đợc hoàn toàn xác định Cách 2: Gọi G trọng tâm ABC, ta có: r = uur IA uur GI = + uur IB + uuur GD uur IC + uur ID =3 uur IG + uur ID = uur GI +( uuur GD uur GI ) , suy điểm I đợc hoàn toàn xác định c Ta có: 13 r uuur KA = uuur KG uuur KB + + uuur KD uuur KC + + uuur KE + 3( = r uuur KD + uuur KE )=3 uuur KG + 3( uuur KD + ) K trọng tâm DEG Cho ABC, M điểm tuỳ ý mặt phẳng Ví dụ 5: r v uuuu r MA uuur MB a Chứng minh vectơ =3 b Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur MC MC MA MB MB |3 +2 |=| | Giải a Ta có: r v uuur KE =3 uuuu r MA uuur BA uuur MB uuur BC +2 uuuu r MC = 3( uuuu r MA uuur MB ) + 2( uuuu r MC +2 uuur MB uuuu r MC không đổi ) =3 +2 , không đổi b Gọi I điểm thoả mãn hệ thức uur IA +2 Ta đợc: uur IB uuuu r MA uur IC = r tồn điểm I uuuu r MC uuur MB +2 = (3 + 2) Mặt khác, ta có: uuuu r MC uuur MB uuu r MI =3 uuu r MI (1) uuu r CB = Thay (1), (2) vào hệ thức câu b), ta đợc: 3| uuu r MI |=| uuu r CB | MI = (2) BC M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính BC Cho ABC Lấy điểm A1 BC, B1 AC, C1 AB cho Ví dụ 6: uuuur AA1 uuuu r BB1 uuur GB uuur GC uuuu r CC1 r + + = Chứng minh hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm Giải Gọi G, G1 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, ta có: uuur GA + uuuuur G1A1 + + uuuuu r G1B1 + = r uuuuu r G1C1 = r 14 Mặt khác từ giả thiết, ta có: r = uuuur AA1 =( uuur AG =( uuuur GG1 + + uuur GA = r uuuu r BB1 uuuur GG1 + uuuu r CC1 + uuuuur G1A1 + uuur GB uuur GC + )+( )+( uuur BG + uuuuur G1A1 uuuur GG1 + + uuuuu r G1B1 uuuuu r G1B1 + )+( uuuuu r G1C1 uuur CG )+3 + uuuur GG1 uuuur GG1 =3 + uuuuu r G1C1 uuuur GG1 ) G G1 Cho ABC, điểm M mặt phẳng thoả mãn: Ví dụ 7: uuuu r MN uuuu r MA uuur GA uuur GB uuur GC uuuu r MN uuuu r MA uuur MP uuuu r MC uuuu r MC uuur MB = + + a Chứng minh MN qua trọng tâm G ABC M thay đổi b Gọi P trung điểm CN Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Giải a Với G trọng tâm ABC ta có: r + + = Từ giả thiết ta nhận đợc: uuuu r MC uuur MB uuuu r MG = + + =3 Vậy MN qua trọng tâm G ABC M thay đổi b Vì P trung điểm CN nên: = ( + uuuu r MA uuuu r MN )= uuur MB uuuu r MC ( = ( + +2 Gọi J điểm thoả mãn: uur JA + uur JB uur AJ +2 uuur AB uur JC = r uuur AC uuuu r MC uur JA + uuuu r MA + uuuu r MA uuur MB + uuuu r MC ) ) +( uur JA + uur AJ uuur AB uuuu r MC uuur AB = +2 = + tồn điểm J cố định Từ đó: uuur MP uuur MB ) + 2( uur JA + uuur AC )= r uuur AC uuu r MJ uuu r MJ = ( + +2 ) = (1 + + 2) =2 Vậy MP qua điểm cố định J M thay đổi 15 Cho ABC Lấy điểm A1BC, B1AC, C1AB cho: Ví dụ 8: uuuur AA1 + uuuu r BB1 + uuuu r CC1 r = BA1 BC CB1 CA uuuur AC1 uuur AB AC1 AB a Chứng minh = = b Xác định vị trí A1, B1, C1 để AA1, BB1 CC1 đồng quy Giải a Đặt: uuuur BA1 = Khi đó: uuuur r = r uuur uuuu BC CB1 , AA1 =( + uuur AB + uuuu r BB1 uuuur BA1 = + uuur CA , = A )+( uuur BC + uuuu r CB1 )+( uuur CA B + uuuur AC1 uuuur uuuu r uuuur uuur uuur uuur BA1 CB1 AC1 BC CA AB =( + + )+( + + ) uuur uuur uuur BC CA AB + = Vì uuur AB uuur BC + + uuur CA BA1 BC == b Bạn đọc tự giải Ví dụ 9: + = = C ) (*) nên (*) khi: CB1 CA = AC1 AB , đpcm uuuu r uuur uuu r uuur r uuur r uuu r MC AN NC PA MB PB , + = r3 uuur uuuu uu= ur , uuur = AC MP MN AB theo MP AP AM = uuuu r uuur uuu r, MN AN AP = ,ur uuur uuu r uuu AP, AM, AN Ta tínhuuuur uuur A1 Cho ABC Lấy điểm M, N, P cho: Tính , Giải Ta có: uuur uuu r uuuu r MB r G B1 C1 uuuu r CC1 uuuu r AM MC = = r Suy M, N, P thẳng hàng (1) (2) uuur uuur AC AB theo uuur uuuu r uuur , cụ uuuu rthể từ r giả thiết: (AB AM) (AC AM) uuur uuur AB + AC 2 = (3) 16 uuur AN =3 uuur NC uuur AN uuu r PB uuur MP uuur AB = (4) uuu r uuur AP = AB r uuu r PA uuur AC + = Thay (3), (4), (5) vào (1) (2) ta đợc: = uuuu r MN = uuur AC + uuur uuur AB AC 2 uuur AB = uuur uuur AB AC uuur MP (5) (6) uuuu r MN (7) Từ (6) (7) ta nhận thấy = M, N, P thẳng hàng Ví dụ 10: Cho ABC, có cạnh a, b, c Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự chân đờng phân giác kẻ từ A, B, C a Tính uuuur AA1 theo uuur AB uuur AC b Chứng minh ABC tam giác Giải a Ta có: uuuur uuuur BA1 uuuu r A1C = uuuur AA1 c b uuur AB c b+c = BA uuuur 1uuuu r BA1 + A1C c uuur b + c AC uuur AB = uuuur BA1 uuur BC uuuur AA1 = uuuur AA1 + uuuu r BB1 + uuuu r CC1 = r uuuur uuur AA1 AB uuur uuur AC AB b uuur b + c AB c uuur b + c AC = ( ) = + b Tơng tự câu a), ta đợc: c uuur a c uuur a uuuu r uuur uuur BB1 c + a BC c + a BA c + a BC c + a AB = + = , c b c b uuuu r uuur uuu r uuur uuur CC1 a + b CA a + b CB a + b AC a + b BC = + = Từ đó: uuuur u u u u r u u u u r r AA1 BB1 CC1 = + + b a c c c b uuur uuur uuur b + c c + a AB b + c a + b AC c + a a + b BC =( ) +( ) +( ) b a c c c b uuur uuur uuur uuur BC b+c c + a AC b+c a + b AC c+a a + b BC =( )( )+( ) +( ) b a c c b a c b uuur uuur b+c c+a b+c a + b AC b+c c+a c+a a + b BC =( + ) ( + ) 17 uuur AC uuur BC Vì và khi: hai vectơ không phơng, nên đẳng thức a c c b b + c c + a + b + c a + b = b a c + b =0 b + c c + a c + a a + b a = b = c ABC Ví dụ 11: Cho ABC, biết A(1; 1), B(2; 4), C(6; 1) Lấy điểm M, N, P đờng thẳng AB, CA, BC cho điểm lần lợt chia đoạn thẳng theo tỉ số 1, , a Xác định toạ độ M, N, P b Chứng tỏ M, N, P thẳng hàng Giải a Ta có: M(x; y) chia đoạn AB theo tỉ số M trung điểm AB M( ; = uuur NA 2(6 x; y) = (1 x; y) 2(6 x) = + x 2(1 y) = + y ) N(x; y) chia đoạn CA theo tỉ số uuur NC x = 11/ y = 1/ 11 3 N( ; ) P(x; y) chia đoạn BC theo tỉ số C trung điểm BP P(10; 2) b Ta có: uuur MP ( 19 ; )& uuur 19 NP ( ; ) uuur MP // uuur NP M, N, P thẳng hàng Ví dụ 12: Cho ABC, biết A(1; 3), B(3; 5), C(2; 2) Tìm toạ độ: a Giao điểm E BC với phân giác góc A b Giao điểm F BC với phân giác góc A Giải Ta có: AC AB A AB = + = AC = + = k = = a Giả sử E(x; y), theo tính chất phân giác trong, ta đợc: 2 F B E C 18 uuu r EC uuu r EB = uuu r EC (2 x; y) = uuu r EB x = / y = x = 2(3 x) y = 2(5 y) (3 x; y) E( ; 4) b Giả sử F(x; y), theo tính chất phân giác ngoài, ta đợc: uuu r FC uuu r FB =2 uuu r FC (2 x; y) = 2 x = 2(3 x) y = 2(5 y) x = y = uuu r FB (3 x; y) F(4; 8) 3 Ví dụ 13: Cho ABC vuông A, biết A(a; 0), B(1; 0), C(a; a ) Xác định toạ độ trọng tâm G ABC, biết bán kính đờng tròn nội tiếp ABC Giải Ta có G( 2a + a 3 ; SABC = ) Với nhận xét: AB.AC = p.r AB.AC = 2(AB + AC + BC) |a 1|.|a 1| = 2(|a 1| + |a 1| = + Ta lần lợt: Với a = + , ta đợc: G( a = + a = 7+4 3 |a 1| + 2|a 1|) ; 3 2+2 3 ) 3 Với a = , ta đợc: G( ; ) Vậy tồn hai điểm G thoả mãn điều kiện đầu Ví dụ 14: Cho điểm M(4; 1), hai điểm A(a; 0), B(0; b) với a, b > cho A, B, M thẳng hàng Xác định toạ độ A, B cho: a Diện tích OAB nhỏ b OA + OB nhỏ 19 OA OB2 + nhỏ Giải Vì A, B, M thẳng hàng 4a a uuuu r uuur AM // AB b a b = + = a Ta có, diện tích OAB đợc cho bởi: ab S = OA.OB = Từ (1) suy a b a b a = b = A(8;0) B(0;2) ab 1= + = Vậy SMin = 8, đạt đợc khi: a b = = b Từ (1), ta đợc : a= Khi đó: 4b b (1) ab 16 S điều kiện b > OA + OB = 4b b +b= b +b+4= b + b1 + (b 1) b +5= Vậy (OA + OB)Min = 9, đạt đợc khi: b c Ta có: OA =b1=2 OB2 + = Nhận xét rằng: (42 + 12)( Vậy, ta đợc ( a2 a2 + OA + b2 + a = b = b2 )( OB2 A(6;0) B(0;3) a + )Min = b )2 = 17 a2 + b2 17 , đạt đợc khi: 20 + =1 a b 4a = b 17 a = b = 17 17 A( ;0) B(0;17) Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= x + y + 2x 4y + x + y 6x 4y + 13 + Giải Viết lại biểu thức dới dạng: (x + 1) + (y 2) (x 3) + (y 2) S= + Xét điểm A( 1; 2), B(3; 2) M(x; y), đó: (x + 1)2 + (y 2)2 (x 3) + (y 2) AM = , BM = suy ra: S = AM + BM AB = Vậy, ta đợc SMin = 4, đạt đợc khi: uuuu r AM uuur AB x +1 , y2 A, B, M thẳng hàng // = y = 2, đó: S = |x + 1| + |x 3| = |x + 1| + |3 x| |x + + x| = 4, dấu = xảy (x + 1)(3 x) x Vậy, ta đợc SMin = 4, đạt đợc x y = 21 ... minh hoạ toán Phơng pháp toạ độ hoá Dạng toán 5: Phơng pháp toạ độ hoá Phơng pháp áp dụng Phơng pháp toạ độ hoá thờng đợc sử dụng phổ biến hai dạng: Dạng 1: Ta thực phép toạ độ hoá điểm hình đa... (d) , suy toạ độ A1 Bớc 2: Gọi P0 = (A1B)(d), suy toạ độ P0 Bớc 3: Ta có PA + PB = PA1 + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A1,P, B thẳng hàng P P0 Ngoài phơng pháp nhận đợc phơng pháp giải khác đợc minh... phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5) a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b Tìm toạ độ điểm D cho A trung điểm BD c Tìm toạ độ điểm E trục Ox cho A, B, E thẳng hàng Giải a