Một số phương pháp giải hệ phương trình

NGUYỄN VĂN THIÊM THPT n Thành – Nghệ an HỆ PHƯƠNG TRÌNH THPT n Thành – Nghệ An Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Phần MỘT SỐ LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP § HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHÉP THẾ Cách giải hệ phương trình phép đưa nhiều ràng buộc ràng buộc, đưa hệ nhiều phương trình hệ phương trình đưa hệ phương trình phương trình Bởi vậy, cách làm tự nhiên nhất, theo quan điểm đưa phức tạp đơn giản Dấu hiệu nhận dạng hệ phương trình giải phép phương trình rút ẩn qua ẩn lại; việc vào những phương trình cho ta phương trình hay hệ phương trình giải Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y   x  y   3 x  y  ( Trích đề thi dự bị số 2, đề thi TS ĐH khối A năm 2005) Giải Hệ phương trình cho tương đương với  2x  y   x  y   x    x      3x 3x y   y    2   x    x   2x x   2x 6  x     3x 3x     x     x  y    y   2    3x y   6  x   6  x      x   x   x  4   x2  2x    x   x     x  2x 3x 3x   y  3  y  3  y    y   2     6  x  0  x  0  x      Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Nhận xét Dấu hiệu nhận phương pháp toán loại dễ thấy Tuy nhiên, ví dụ trên, khơng phải lựa chọn Chẳng hạn, viết phương trình thứ hai thành  x  y  1   x  y   đặt u  x  y  1; v  x  y Khi dạy tốn này, chúng tơi khơng qn nhắc nhở học sinh điều kiện phương trình, điều kiện phép biến đổi tương đương Ngồi ra, khuyến khích em tìm thêm cách giải khác Ví dụ Biết hệ phương trình  a  x  y   x  y  b   y  x  b có nghiệm với b Chứng minh a ( Đề thi ĐH Luật Hà nội năm 1999) Giải Phương trình thứ hai hệ tương đương với y  xb Thế vào phương trình thứ nhất, ta a  x  b   x   x     2ax   2ab   x  ab  (*) +) Nếu a  , phương trình (*) có  '   ab  1  2a 2b    ab  1  '    7  , phương trình (*) vơ nghiệm Điều trái với giả thiết hệ có a nghiệm với giá trị b x  y  b +) Với a  , hệ phương trình tương đương với  ,  x  y  b Lấy b  ln có nghiệm  0;b  với giá trị b Vậy a  Nhận xét Nhờ phép thế, ta đưa điều kiện có nghiệm hệ phương trình điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Khi dạy này, ý rèn luyện cho em học sinh kỹ lập luận logic Chúng ta phủ định mệnh đề chứa lượng từ với cách khơng với giá trị b Ví dụ Cho hệ phương trình  x  y   3  x  y  m  x  y  m tham số Giải hệ phương trình m  Với giá trị m, hệ cho có ba nghiệm phân biệt Giải Hệ phương trình tương đương với Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  x  y   2  x  y   x  xy  y  m    x  y  (I )  x  y     x  y   ( II )   x  xy  y  m  1 Hệ (I) cho nghiệm x  , y  2  y  1 x x  Với m  1, ( II )    y 1 x  x  1 1 Vậy hệ ban đầu có ba nghiệm  ;  ,  0;1 , 1;0  2 2 2 Xét f  x   x  x   m x   y  Hệ ban đầu có ba nghiệm phân biệt phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt khác Nghĩa    1  m     1 f 2 m     m Vậy m  Ví dụ Giải hệ phương trình  x log8 y  y log8 x   log x  log y  ( Trích đề thi ĐH Tài kế toán Hà nội năm 2000) Giải Với điều kiện x  0, y  , phương trình thứ hai tương đương với log x   x  y y Thế vào phương trình thứ ta log y  y   y log8 y   4log8 y y log8 y  y log8 y log8 y  Để ý: log8 y 2 log y 3 y , y log8  y nên phương trình tương đương với y y log8 y  4 y  log8 y 2      log8 y  log8 y  log8 3  2   log8 y   log8 y   3 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ log8 y  1   y   log8 y    y  1 1 Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm  8;2  ,  ;   8 Nhận xét Ở ví dụ 4, ta rút x  y khơng phải từ phương trình bậc hai ẩn mà từ phương trình logarit Ở ví dụ sau, để thực phép ta không rút ẩn mà biểu thức chứa ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình  x  x3 y  x y  x    x  xy  x  Giải Hệ phương trình cho tương đương với  x  xy 2  x  1   x2  xy  x    2  Thế xy (2) vào (1) ta phương trình  x2   x  3x     x  2   x  12 x3  48 x  64 x   x  x    x    x  4 Thay x  vào phương trình (2) ta thấy không thoả mãn 17 Thay x  4 vào (2) ta y   17  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  4;  4  Nhận xét Ví dụ sau đây, học rút ẩn sau thực bước phân tích biểu thức thành tích Ví dụ Giải hệ phương trình  xy  x  y  x  y   x y  y x   x  y Giải Điều kiện x  1, y  Hệ phương trình cho tương đương với Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  x  y  x  y  1    x y  y x   x  y Do x  y  nên (1) tương đương với x  y  1  2 Thế vào phương trình (2) ta  y  1 y   y  1  y  ( y   ) Từ suy y  , x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  4;2  Ví dụ Cho hệ phương trình  x  ay  a   2 x  y  x  a) Tìm tất giá trị a để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi  x1; y1  ,  x2 ; y2  hai nghiệm phân biệt hệ phương trình trên, tìm giá trị lớn 2 (GTLN) biểu thức P   x2  x1    y2  y1  Giải a Viết lại hệ phương trình cho dạng 1  x  a  y  1    1  2  x    y  2  (1) Phương trình phương trình đường thẳng    qua A  0;1 , phương trình (2) phương 1  trình đường tròn tâm I  ;0  , bán kính R  2  Hệ phương trình có hai nghiệm khoảng cách từ I đến    nhỏ bán kính R, tức a  a2   3a  4a    a  b Nghiệm hệ toạ độ giao điểm đường thẳng đường tròn Giả sử M  x1; y1  , Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  a  N  x2 ; y2  M , N thuộc đường tròn nên MN  R  Từ ta có P  MN  Dấu xảy MN đường kính đường tròn, tức I      a  Khi đó, hệ phương trình cho thành 2 x  y   2 x  y      2 x  y  x  5 x  x   Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/   5 5 x  x     5   y   y    5 Nhận xét Đây loại hệ phương trình có phương trình bậc hai ẩn, thông thường sử dụng phương pháp Nhưng riêng này, phép làm cho toán trở nên phức tạp ý b), sử dụng phương pháp đồ thị Dạy giải toán này, cho học sinh học sinh động tính linh hoạt sáng tạo giải tốn Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ § HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU 1 Định nghĩa cách giải Hệ phương trình hai ẩn đối xứng kiểu hệ phương trình hai ẩn mà ta hốn đổi vị trí hai ẩn, hệ khơng đổi Dạng  f ( x, y )    g  x, y   Trong đó, f  x, y   f  y, x  ; g  x, y   g  y, x  Cách giải: đặt x  y  s, xy  p với điều kiện s  p Tất nhiên, tốn đơn giản vậy, có tình huống, s, p khơng phải tổng, tích hai ẩn mà hai biểu thức đối xứng chứa ẩn Ở đây, đối xứng hiểu bình đẳng quan hệ đại số Một số ví dụ Ví dụ Giải hệ phương trình 2  x  y  xy   4 2  x  y  x y  21 ( Đề thi ĐHSP Hà nội khối B năm 2000) Giải Hệ phương trình tương đương với  x  y   xy   x  y   xy      2 2 2   x  y  x y  21 x  y  xy  x y  21        2  x  y   xy   x  y    xy  x  y      2  xy   xy   x y  21   xy   x  y    xy     x  y  3    xy  Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm 1;  ,  2;1 ,  1;   ,  2; 1 Ví dụ Giải hệ phương trình Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  x y   1  y x xy    x  0; y    x xy  y yx  78 ( Đề thi ĐH Hàng hải TP HCM năm 1999) Giải Với x  0, y  , hệ phương trình cho tương đương với  x  y   xy   x  y  xy  78   x  y    xy    x  y   xy  78  Từ suy  x  y  ,  xy hai nghiệm phương trình bậc hai t  7t  78    Suy    x  y  13   xy  6    xy  36  x  y  13 Hệ có hai nghiệm  4;9  ,  9,  Ví dụ Cho hệ phương trình    x  y   k x  y     x  y  xy  1 Giải hệ phương trình k=0 Tìm tất giá trị k để hệ có nghiệm Giải Với k  , hệ trở thành  x  y     x  y  xy  Với điều kiện x  y  , hệ tương đương với  x2  y   x  y    xy    x  y  xy   x  y  xy  Đặt x  y  u , xy  v , hệ trở thành  u   u  2u  v     u  u  v    v  1 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm 1; 1 ,  1;1 , 1;1 Tìm k để hệ có nghiệm Điều kiện hệ phương trình x  y   2 x  y  Do vai trò x, y hai phương trình nên hệ có nghiệm  x; y  có nghiệm  y; x  Do đó, để hệ có nghiệm phải có x  y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta  x   k x     x  x   x 1 Thay x  trở lại cho ta k  Nhưng với k  , theo câu phương trình có đến ba nghiệm Vậy khơng tồn k để hệ phương trình có nghiệm   Nhận xét Trong lời giải ý ta sử dụng điều kiện cần đủ để giải biện luận hệ phương trình có chứa tham số Tuy nhiên, học sinh hay gặp thiếu sót khơng kiểm tra điều kiện đủ Bài tốn giải dựa vào phân tích x  y  xy    x  1 y  1  , đồng thức hay gặp Ví dụ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x  y  a   x  y  xy  a Giải Điều kiện x  0, y  I   X  x  Đặt  Y  y  Hệ (I) thành X  Y  a  X  Y  a X Y  a     2 2  X  Y   XY  a  XY   a  a   X  Y  XY  a  a  a   (1)  Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có hai nghiệm khơng âm Điều có nghĩa Suy X , Y hai nghiệm phương trình t  at  10 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  u  v   u  v   Hệ phương trình  * trở thành  uv  uv   u  v   u  v  3 (I)  (II)  uv   uv   u  u   Ta có:  I    v  v   u  1  u  2    II   v  2 v  1 Vì u  x   u  nên có x u   u  2  thỏa mãn  v   v  1  x 2 x   u  x   ta có     (thỏa mãn ĐKXĐ) y  v  y     y   x   2  x  1  u  2 x    ta có   1  (thỏa mãn ĐKXĐ) v   y    y   1   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  1   1   1    1   1;  , 1;  ,  1;  ,  1;  2 2         Ví dụ Giải hệ phương trình 6 x   x3  x  y   y  12  x  6   5 x   x  1 y  11x  5 Giải Xét x  khơng thoả mãn hệ phương trình Với x  , chia hai vế phương trình cho x ta 1 1       6 x   x  x  y  y  12  x 6  x  x    x  x  y  y  12             2 5 x   x   y  11   5  x     x   y  11          x x2 x2   x  1 Đặt t   x  x   t  x x 41 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Hệ phương trình cho trở thành 6  t    ty  y  12  6t  t y  y    2  2 5t  t y   5  t    t y  11  Xét t  thấy không thoả mãn hệ Với t  , chia hai vế hệ cho t , ta y 1   y2 y y2 y y 6         t t t  t  t t2     5  y    y2    y    y    t2 t2   t t  y Đặt a  y  , b  t t Hệ phương trình trở thành  a2  a   ab    2  a  2b  b  a   2  a  3  a  3a     a  5a  12  a        a2  a 5 b  b  b    Khi  t   1    y  t   2t  3t    2t        t     t  y  2t y 2  y  2t   t  y  2t 1   x2  x    x  x 1 1  17 +) Với t  , ta có y  x    x  x    x  x 2         17    17  ;2, ;2, ;1 ,  ;1 Vậy hệ cho có nghiệm :  2 2         +) Với t  , ta có y  x  Nhận xét Trong ví dụ 3, ẩn phụ tương đối khó phát Tuy nhiên, ta dựa vào nét đặc biệt hoi bố trí hệ số x ,  6; x , 5 biểu thức chứa x: x3  x, x ;  x  1 , x để nhận bước chia hai vế cho x để đưa hệ đơn giản với ẩn y t 42 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Cách biến đổi tương đương đặt ẩn phụ hay gặp với hệ phương trình chứa biểu thức mũ lơgarit Khi phát biểu thức lơgarit có mối liên hệ “khả nghi”, ta thực đại số hố đặt ẩn phụ Ví dụ Giải hệ phương trình   log x  y  5log 32 x  y     x  y   x  y  Giải Điều kiện: x  y  0, x  y  Hệ phương trình tương đương với  x  y   x  y  2 2  x  y   x  y  a  b2 x2  b2 ,y  Đặt a  x  y , b  x  y , a  0, b  ta suy x  2 Hệ phương trình cho trở thành a   b a   b   2  1   a  b2   a  b2  4    2a  2b   2ab       ab         a  b  2ab  a  b       2 2  a  b 2  2a 2b    2ab  2 ab   a b   ab            a  b  2ab   a  b  2ab     2 2 2  2 ab   a b   ab      4a b  32ab  36  2ab   2 a  b  2ab   a  b  2ab    2 2 2  a b  8ab   ab   a b  8ab   a b  6ab   a  b  2ab  a  b   a  b   2ab       ab ab    ab  a  b  a     ab  b  ( a  0, b  0) Khi x  y  x   x  y     x  y   y  2  x  y  43 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Vậy hệ có nghiệm  2; 2  Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  17  x y x y log17     log     Giải Hệ phương trình cho tương đương với   3x  y  3x  y   17 (1)   x y x y log17     log     (2)     Logarit hóa vế (1): log17 3x  y  log17 3x  y  Biến đổi (2) số 17: log17   x  Đặt u  log17 3x  y   log   ; v  log  y x 17 2 y log17  3x  y     log     log  Khi đó, hệ phương trình trở thành: x y 17 1 17 x  2y u 1 v   u  v 1 u       v   v  u  log    log  v  17  17   log17  3x  y    3x  y   3x   x        x  y y x y   17   y    log17     Vậy hệ có nghiệm  2;3 Nhận xét Điểm đáng ý hệ cấu trúc biểu thức lôgarit : 3x  y ,3x  y Hai biểu thức lại có mặt cách thuận lợi phương trình lại Việc biến đổi đưa hai lôgarit số tất yếu không khó khăn ẩn phụ chọn giống nhận xét nói trên: đặt biểu thức chứa lôgarit làm ẩn phụ Dưới đây, xét vài ví dụ đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác hóa Một phương pháp thú vị, tạo đột phá dùng nhiều toán học Ví dụ Giải hệ phương trình   4x  x  log 23 y    log y  x 1  log y  1    Giải Điều kiện 0  y   x 2  | log x |  44 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Đặt x  cos  , log y  cos ,  ,   0;   Hệ phương trình cho trở thành   cos 2 cos   cos  cos   1  cos 1  cos   sin  cos  sin  cos  sin        1  cos 1  cos   1  cos  1  cos          cos  cos  cos cos    (*) 1 t2 Khi phương trình (*) Đặt t  cos  cos  , t    2;   cos cos  thành t   t  ( t  3   2;  ) t  2t     t       t   sin            4  2 x  x  Không thoả mãn điều kiện ban đầu, hệ phương trình vơ Khi   y  log  y   nghiệm Nhận xét Ban đầu, dễ nghĩ ẩn phụ x  u , log y  v , phương trình thứ chứa  u ,  v Rõ ràng hai thức chứa dấu hiệu lượng giác hoá cách đặt ẩn phụ lời giải xuất Ngoài ra, dấu hiệu đặt sin, cosin thấy điều kiện xác định hệ Chúng ta nghĩ đến khả lượng giác hố biểu thức hệ có dạng ( hoặccó thể đưa dạng ) vế đẳng thức lượng giác  u ,  u , uv ,  uv Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  1   y  z   2   z  x   3 Giải Khơng tính tổng qt giả sử x số lớn ba số x, y, z Khi  3  x   z  x    x    2   Đặt x  cos t ,  t  0;  3  z  cos t   2cos t ,         y  2cos2  2t    cos 4t , 1  2cos2  4t    cos8t 45 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  2k t  Từ ta có cos t  cos8t   t  2k  2 4 2 2 4  2  , , , , } Do điều kiện t   0; nên ta có t {0,  9 7   Vậy, hệ có nghiệm 1;1;1 ,  cos  2 4 8   1   2 4 8  ; cos ; cos  ,   ;  ;   ,  cos ; cos ; cos  hoán 9   2 2  7  vị chúng Nhận xét Bài dấu hiệu lượng giác ta nhận nhờ cấu trúc x  tương ứng với công thức cos 2a  2cos a  46 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ §3 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Cơ sở lý thuyết Chúng ta dựa vào kết luận sau Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến ln ln nghịch biến khoảng K ta có: a f  u   f  v   u  v , u , v K b Phương trình f  x   m có nhiều nghiệm K Nếu f  x  hàm số đồng biến g  x  hàm số nghịch biến tập D phương trình f  x   g  x  có nhiều nghiệm D Nếu f  x  hàm số có đạo hàm đến cấp n f f k 1  x   có nhiều m  nghiệm k   x  có m nghiệm phương trình Ở đây, k  n II Một số phương pháp giải thường dùng Biến đổi phương trình dạng f  u   f  v  Có thể khẳng định, với loại hệ phương trình giải phương pháp xét chiều biến thiên hàm số tần suất xuất loại hệ đề đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học cao Phương pháp: - Biến đổi phương trình dạng f  u   f  v  - Chứng minh f  t  hàm số đồng biến nghịch biến miền xác định của nó, từ đến kết luận u  v - Thế u  v vào phương trình lại Tuy nhiên, cần lưu ý cho học sinh hàm số f  t  bào lựa chọn nhất, phải chọn hàm số để việc xét chiều biến thiên đơn giản bước giải sau phép thực Ngồi ra, việc chọn hàm số f  t  nói khơng phải lúc thuận lợi mà trước phải thực bước biến đổi Ví dụ Giải hệ phương trình  y  y  x3  x  x     x  y   y  ( Đề thi HSG tỉnh Nghệ an 2010-2011) Giải Điều kiện  1  x   0  y  Phương trình thứ hệ tương đương với y  y   x  1   x  1 (*) 47 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Xét hàm số f  t   t  t , t  R, ta có Do f  t  ln ln đồng biến Phương trình (*) tương đương với f  y   f  x  1  y  x  Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta  x  x    x    x  x    x (**) Đặt t   x   x   t    x   x  **  t2  2 t2   t   t  2t   t  2 x  1  x   x     x2    x2     x  1 Với x  ta có y  , x  1 , ta có y  Vậy hệ có nghiệm 1;  ,  1;0  Khi đó, Ví dụ Giải hệ phương trình     x   x2 y   y2     x x  xy   xy  x  Giải Điều kiện x  xy   * 1  x  1  x2   y   y2 Xét hàm số f  t   t   t , f '  t  1  t 1 t2  2 (3)  1 t2  t 1 t2  | t | t 1 t2 0 Hàm số f  t  ln ln đồng biến Khi  3  f  x   f   y   x   y , vào phương trình (2) ta x 25 x  x x  x   4 x  x    x  x     2  2  x  x   3x   x  x   2 x 2 x  x   x 2  x   y  1 +) x  x   x   x  2 x  x   x 3  11  11 +) x  x   2 x   x y 2 x    11 3  11  Đối chiếu (*) ta có nghiệm hệ 1; 1 ,  ;  2   48 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Nhận xét Hai ví dụ hai hệ phương trình đại số mẫu mực với phương pháp giải xét, từ việc chọn hàm số f  t  đến biến đổi sau thực phép đưa phương trình ẩn Ví dụ sau đây, hàm số việc xây dựng hàm số f  t  phức tạp Ví dụ Giải hệ phương trình  3x    x  1  y   y   x  y  x  y    6 x  y 1  2     x  y  x  y    4  x  y    x  y    x  y  1 x  y    Giải Điều kiện : x  , y  * x  y 1   2 x  y    y  x  ( x  y    0) Thay vào phương trình (1) ta x   x   x   x    3x  1  x    x  3 (3) Xét hàm số f  t   2t  t , t  f '  t   4t   Hàm số luôn đồng biến  0;  Phương trình (3) viết thành f   3x   f  2x    x   x   x   y  12 Vậy hệ có nghiệm  4;12  Nhận xét Thoạt tiên, nhiều người nhiều người nghĩ đến việc xây dựng hàm số f  t  từ phương trình thứ hình thức Thực tế chưa thể lầm Chúng ta thực biến đổi thành tích phương trình thứ hai, vào phương trình thứ nhất, cuối hàm số f  t  xây dựng để giải phương trình ẩn số Tiếp theo, ta xét cách sử dụng phương pháp để giải hệ phương trình chứa mũ logarit Ví dụ Giải hệ phương trình  22 x  y  x  y   x  y  x  y   x  y  x  y   y   x  1   1  2 ( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá 2011-2012) Giải Điều kiện: x  y  0, x  y  * 1  22 x y   x  y  x  y  x  y   x  y  x  y (3) 12 Xét hàm số f  t    t t , t  f '  t   ln  t   t  Hàm số f  t  đồng biến  0;  t t Phương trình (3)  f  x  y   f  x  y   x  y Thế vào phương trình (2) ta y    y  1  4 49 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Đặt y  2t  , (4) trở thành hệ t   y  13   y   2t  1 Trừ vế hai phương trình hệ ta  t  y    y  1 2   y  1 2t  1   2t  1  1   2  t  y  y  1   y  1 2t  1   2t  1    t , y Thế trở lại hệ ta y   y  1  y  12 y  y     y  1  y  y  1   y  Với y   x  , thoả mãn (*) Vậy hệ có nghiệm  2;1 Ví dụ Giải hệ phương trình  y  x2 x   e y 1  3log  x  y    2log  x  y    2  1  2 Giải Điều kiện x  2y    *  x  y   2 1  e x  x  1  e y  y  1 (3) Xét hàm số f  t   et  t  1 , t  f '  t   et  t  1  et  et  t    Hàm số f  t  đồng biến  0;  Phương trình (3) tương đương với t  x  y f  x2   f  y   x2  y   x   y 3    log  x  y    log   x  y      x  y     x  y   (4) +) x  y thay vào (4)  x     x   Theo điều kiện ban đầu ta có x    x   x   2 Ta có  x     x     x    27 x  46     3x     x    Phương trình vơ nghiệm +) x   y thay vào phương trình (4) ta   x  6 3  2.22    x     x   x   y  4 , thoả mãn (*) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  4; 4  Ví dụ Giải hệ phương trình 50 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  x  x  x  log    y  y   y    y  xy     x  0, y    1  2 ( Đề HSG tỉnh An giang 2008-2009 ) Giải 1  x3  x  log x  y  y  log y Xét hàm số f  t   t  t  log t , t  (3)  t  t ln  f  t  đồng biến  0;   f '  t   3t   Phương trình (3)  f  x   f  y   x  y Thế vào phương trình (2) ta 1 y x 1 y2   y    1  2 Vậy hệ có nghiệm 1;  Nhận xét Qua ví dụ nêu, thấy khả nhận biết hàm số đơn điệu đặc trưng f  t  quan trọng Ngồi ra, phải có kỹ biến đổi đồng để biến đổi phương trình đến xây dựng hàm số đặc trương để giải phương trình ẩn sau thực phép Chúng ta kết thúc mục hệ chứa tham số Ví dụ Tìm tất giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm  x3  12 x  y  y  16   2  x   x  y  y  m  1  2 Giải Điều kiện  2  x   0  y   * 1  x3  12 x   y    12  y   (3) Xét hàm số f  t   t  12t , t  1; 2 Ta có f '  t   3t  12   t     t  2;2  Hàm số f  t  nghịch biến  2; 2 Từ (*) ta thấy y  2 2; 2 Phương trình (3)  f  x   f  y    x  y  Thay vào phương trình (2) ta 51 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  x2  x2  m  4 Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (4) có nghiệm  2; 2 Xét hàm số g  x    x  x , x   2; 2 g '  x      8x   x   8  x2  4x  3 x g '  x    x  g    6, g  2   g    16  g  x   16, max g  x    2;2  2;2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 16  m  Dự đốn tập nghiệm, chứng minh khơng nghiệm khác Đưa hệ phương trình ẩn dạng f  x   Phương pháp: - Chỉ phương trình f '  x   có k nghiệm, chứng tỏ f  x   có nhiều nhât k  nghiệm - Liệt kê k  nghiệm f  x   khẳng định tập nghiệm phương trình Từ suy tập nghiệm hệ Đúng ra, phương pháp giải phương trình ẩn số, chúng tơi trình bày sử dụng nhiều việc giải hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình  y  x    x    x  3 2  x  y  x y  xy  3x  y 1  2 ( Đề thi chọn HSG tỉnh Quảng Ngãi ) Giải Điều kiện 1  x  (*)  2  x  x2  y   y  x2  y   3 x2  y     x  y  3 x  y    x  y   y  x ( điều kiện (*) suy x  y   ) Thay vào (1) có x  x  x    x     3 2, x  1; 2 f  x   x2  x  x    x   1 f ' x  2x 1   x 1 2  x 1 f ''  x       x   1;   x  1  x   x   x 52 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Do f '  x  đồng biến  1;2  phương trình f '  x   có khơng q nghiệm 1 2 Mặt khác f '    nên f '  x   có nghiệm Từ phương trình f  x   có nhiều hai nghiệm x  x  Mặt khác, ta có f    f 1  nên phương trình (3) có hai nghiệm  x  1 y  1; x   y  Vậy hệ có nghiệm  0;0  , 1;1 Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y   x  y  log x  y   x  y    x  y ( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá 2009-2010) Giải Điều kiện x  y   x  y  x  y   Hệ phương trình cho tương đương với  x  y   x y 3 x y           x  y  log x  y   x  y    x  y  log x  y   x  y    x  y     x  y   x  y   x  y   x  y   3   (1)  x  y   x y (2) 4  x  y   Đặt x  y  t  , phương trình (3) thành 4t  4t    Xét hàm số f  t   4t  4t , t  , f '  t    4t ln f '  t     4t ln   t  log 4 0 ln Vậy phương trình f '  t   có nghiệm suy phương trình f  x   có nhiều hai nghiệm, tức (4) không hai nghiệm t  1 Lại thấy f 1  f    nên (4) có hai nghiệm  1  2  53 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/  x   x  y   +) t  kết hợp (1) ta có     x y  y    x x  y     +) t  ta có    x  y   y   5 3 9 3 Vậy hệ có nghiệm  ;  ,  ;  2 2 4 4 Ví dụ Chứng minh hệ phương trình  x e    e y   ln có hai nghiệm phân biệt x, y thoả mãn x  1, y  y y2 1 x  2013  2013 x 1 Giải Hệ phương trình cho tương đương với y  x 2013 e    y2 1   y e x  x  ey   x2 1 y2 1  t , t  f  t   et  t2 1 Xét hàm số f '  t   et   t   t  1 1  2 Do f  t  đồng biến 1;    2  f  x   f  y   x  y x Phương trình (1) thành e x  Xét hàm số g  x   e x  g ' x  ex  x2  x x2  1 x  2013 (3)  2013, x 1;    1 ; g ''  x   e x  3x x  1   x  54 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Ta có lim g '  x   , lim g '  x    , g '  x  liên tục 1;  nên có x  x 1 nghiệm x0 khoảng Từ ta kết luận phương trình g  x   có nhiều hai nghiệm 1;   Rõ ràng g  x  liên tục 1;  , lim g  x   , g    e  2011  0, lim g '  x    x 1 x  Nên phương trình (3) có nghiệm thuộc 1;2  có nghiệm thuộc  2;  Nghĩa (3) có hai nghiệm 1;  Từ ta kết luận phương trình có (3) có hai nghiệm hệ có hai nghiệm 55 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ ...Phần MỘT SỐ LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP § HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHÉP THẾ Cách giải hệ phương trình phép đưa nhiều ràng buộc ràng buộc, đưa hệ nhiều phương trình hệ phương trình đưa hệ phương. .. cộng đại số làm xuất phương trình đơn giản Phương pháp chung: - Giữ nguyên phương trình hệ - Cộng hay trừ vế hai phương trình, hay phương trình vào phương trình lại, để phương trình - Giải hệ bao... Vậy hệ phương trình cho ln có nghiệm nên đường thẳng y  23 Nguyễn Văn Thiêm – https://toanmath.com/ Phần MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH § PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Kỹ biến đổi đại số