Phương pháp giải hệ trục tọa độ Oxy

Đ2 hệ trục toạ độ Dạng toán 1: Toạ độ vectơ Toạ độ điểm Ph-ơng pháp áp dụng Ta cần nhớ kết sau: Với hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB), ta có: AB = (xBxA, yByA), AB = | AB | = (x B x A )2 (yB yA )2 Với hai vectơ a (x1, y1) b (x2, y2) , ta có: a = x1 i + y1 j , x1 x , a = b y1 y a + b = (x1 + x2, y1 + y2) Thí dụ Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2) a Tìm toạ độ trọng tâm ABC b Tìm toạ độ điểm D cho C trọng tâm ABD c Tìm toạ độ điểm E cho ABCE hình bình hành Giải a Gọi G trọng tâm ABC, ta có G(0, 1) b Giả sử D(xD, yD), với điều kiện C trọng tâm ABD, ta đ-ợc: x D x D D(8; 11) y 11 y D D c Giả sử E(xE; 0), với điều kiện ABCE hình bình hành, ta đ-ợc: x E AE BC y E x E E(4; 5) y E Thí dụ Cho điểm M(12t; + t) Tìm điểm M cho x 2M y 2M nhỏ Giải Ta có: x 2M y 2M = (12t)2 + (1 + t)2 = 5t2 2t + = 5(t 9 ) + 5 đạt đ-ợc : 1 t = t = M0( ; ) 5 5 Vậy, điểm M0( ; ) thoả mãn điều kiện đầu 5 suy ( x 2M y 2M )Min = Thí dụ Cho ba điểm A(1; 1); B(3; 3); C(2; 0) a Tính diện tích ABC b Hãy tìm tất điểm M trục Ox cho góc AMB nhỏ Giải a Ta có: AB2 = + = 8, BC2 = + = 10, CA2 = + = AB2 + AC2 = BC2 ABC vuông A Vậy diện tích ABC đ-ợc cho bởi: SABC = 1 AB.AC = 2 22 22 12 (1)2 = (đvdt) b Góc AMB nhỏ AMB = 00 A, M, B thẳng hàng AM // AB x xM xA y y = M A M = xM = M O 3 xB xA yB yA Vậy, điểm M(0; 0) thoả mãn điều kiện đầu Dạng toán 2: Biểu diễn vectơ c (c1; c2) theo vectơ a (a1; a2), b (b1; b2) Ph-ơng pháp áp dụng Ta thực theo b-ớc: B-ớc 1: Giả sử c = a + b (1) B-ớc 2: Ta có: a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) Vậy (1) xảy khi: c1 a1 b1 c a b B-ớc 3: (I) Giả hệ (I), ta nhận đ-ợc giá trị cặp (, ) Kết luận Thí dụ Hãy biểu diễn vectơ c theo vectơ a , b , biết: a (2; 1), b (3; 4) c (4; 7) Giải Giả sử c = a + b Ta có: a + b = (2; 1) + (3; 4) = (23; + 4) Khi (1) xảy khi: (1) Vậy, ta đ-ợc c = a + b Thí dụ Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; 1), C(4; 3) D(16; 3) Hãy biểu diễn vectơ AD theo vectơ AB , AC Giải Giả sử AD = AB + AC (1) Ta có: AD (15; 2), AB (1; 2), AC (3; 2) AB + AC = (1; 2) + (3; 2) = ( + 3; + 2) Khi (1) xảy khi: 15 Vậy, ta đ-ợc AD = AB + AC Dạng toán 3: Xác định toạ độ điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ, độ dài Ph-ơng pháp áp dụng Thực theo b-ớc: B-ớc 1: Giả sử M(x; y) B-ớc 2: Toạ độ hoá vectơ có đẳng thức sử dụng công thức khoảng cách hai điểm, để chuyển đẳng thức biểu thức đại số B-ớc 3: Giải ph-ơng trình hệ trên, ta nhận đ-ợc toạ độ M Chú ý: Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k (tức MM1 = k MM ) đ-ợc xác định công thức: x y x1 kx k y1 ky k Đặc biệt k = 1, M trung điểm đoạn thẳng M1M2, toạ độ M đ-ợc xác định bởi: x1 x x y y1 y Thí dụ Cho hai điểm A(0; 2) B(4; 3) Tìm toạ độ: a Trung điểm I AB b Điểm M cho MA + MB = Giải a Ta có I(2; ) b Từ giả thiết MA + MB = MA MB điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k =2 Do đó: x A kx B x k M: M( ; ) 3 y y A ky B k Chú ý: Ta trình bày theo cách: Giả sử M(x; y), ta có: MA ( x, y) MA + MB = (83x;43y) MB (4 x, y) Vì MA + MB = , nên: x 3x M( ; ) 3 3y y Thí dụ Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3) a Xác định toạ độ điểm E cho AE = BC b Xác định toạ độ điểm F cho AF = CF = c Tìm tập hợp điểm M cho: |2( MA + MB )3 MC | = | MB MC | (1) Giải a Giả sử E(x; y), AE (x1; y), BC (3; 8) Từ đó: x x 2.3 AE = BC E(7; 16) y 16 y 2.8 b Giả sử F(x; y), đó: 2 AF2 25 (x 1) y 25 (x 1) y 25 AF = CF = CF 25 x 3y x (y 3) 25 y 10y 30y F ( 4,0) x 4& y y F (5,3) x 5& y x 3y x 3y Vậy tồn hai điểm F1(4; 0) F2(5; 3) thoả mãn điều kiện đầu c Giả sử M(x; y), đó: MA (1x; y), MB (3x; 5y), MC (x; 3y) 2( MA + MB )3 MC = (x4; y19) MB MC = (3; 8) Khi đó: (1) (x4)2 + (y19)2 = (3)2 + (8)2 (x + 4)2 + (y + 19)2 = 73 Đặt I(4; 19), ta đ-ợc: IM2 = 73 M thuộc đ-ờng tròn tâm I(4, 19), bán kính R = 73 Nhận xét: Nh- vậy, ví dụ thực việc xác định điểm dựa đẳng thức vectơ, độ dài cho tr-ớc Tuy nhiên, nhiều tr-ờng hợp cần thiết lập đẳng thức dựa tính chất điểm cần xác định Thí dụ Cho ABC cân A, biết A(a; 3a ), B(1; 0), C(2a1; 0) A thuộc góc phần tthứ a Xác định toạ độ đỉnh ABC, biết p = (p nửa chu vi) b Tìm toạ độ điểm MAB NBC cho đ-ờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi chia đôi diện tích ABC Giải a Ta có toạ độ điểm: A(a; 3a ), B(1; 0), C(2a1; 0), Từ giả thiết: y AM a a 3a AP(I) p=9 AB BC AC =9 O I B C N x 2.8|a1| + 2|a1| = 18 a = a = (loại) Từ đó: A(2; ), B(1; 0), C(3; 0) AB = AC = 8, BC = b Ta cần tìm điểm M AB (tức phải tìm x = BM, x 8) cho cạnh BC tồn điểm N thoả mãn: BN = px = 9x, 9x x 9, SBMN = SABC (1) Từ (1) ta đ-ợc: BM.BN x(9 x) 1 = = x29x + = AB.BC 2 8.2 x x 1(l) Với x = M A(2; ) N(2; 0) trung điểm BC Chú ý: Bài toán có dạng tổng quát nh- sau "Cho ABC có cạnh a, b, c (t-ơng ứng với đỉnh A, B, C chu vi 2p), giả sử c b a Tìm điểm M AB, N BC cho đ-ờng thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi chia đôi diện tích ABC " Ph-ơng pháp giải Ta thực theo b-ớc sau: B-ớc 1: Điểm M AB (tức phải tìm x = BM, x c) cho cạnh BC tồn điểm N thoả mãn: BN = px, px B-ớc 2: SBMN = SABC (1) Từ (1) ta đ-ợc: BM.BN x(p x) 1 = = 2x22px + ac = (2) AB.BC c.a 2 B-ớc 3: Giải (2) ta xác định đ-ợc x, từ suy toạ độ điểm M, N Dạng toán 4: Vectơ ph-ơng Ba điểm thẳng hàng Định lý Menelaus Ph-ơng pháp áp dụng Cần nhớ kết sau: a Với hai vectơ v1 (x1, y1) v2 (x2, y2) ta có v1 // v2 x1 y1 x y2 b Cho ba điểm A(x1, y1) , B(x2, y2) C(x3, y3), ta có: A, B, C thẳng hàng AC // AB x x1 y y = x x1 y y1 c Định lý Menelaus: Lấy ba điểm M, N, P theo thứ tự cạnh BC, CA, AB ABC Điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng là: MB NC PA = MC NA PB Thí dụ Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5) a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b Tìm toạ độ điểm D cho A trung điểm BD c Tìm toạ độ điểm E trục Ox cho A, B, E thẳng hàng Giải a Nhận xét rằng: AB (4; 3) AC (12; 9) AC = AB A, B, C thẳng hàng b Giả sử D(xD, yD), với điều kiện A trung điểm BD, ta đ-ợc: xD x D D(7; 7) yD y D c Giả sử E(xE, 0) Ox, AE (xE + 3; 4) Từ đó, để ba điểm A, B, E thẳng hàng điều kiện là: x E 7 xE = E( ; 0) 3 Thí dụ Tìm trục hoành điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới điểm A B nhỏ tr-ờng hợp sau: a A(1; 2) B(3; 4) b A(1; 1) B(2; ) Giải a Nhận xét A, B phía với Ox Gọi A1 điểm đối xứng với A qua Ox, suy A1(1; 2) Gọi P0 = (A1B) Ox y B A1, B, P0(x; 0) thẳng hàng A1B // A1P0 A 5 2 = x = P0( ; 0) x 3 Ta có O PA + PB = PA1 + PB A1B Vậy PA + PB nhỏ A1, B, P thẳng hàng P P2 y b Nhận xét A, B khác phía với Ox Gọi P0 = (AB)Ox A, B, P0(x, 0) thẳng hàng AB // AP0 O P 6 = x = P0( ; 0) x 1 P M3 x A1 A P0 x B Ta có PA + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A, B, P thẳng hàng P P0 Chú ý: Thí dụ trên, minh hoạ ph-ơng pháp giải cho lớp toán cực trị quen thuộc kỳ thi tuyển sinh vào tr-ờng đại học cao đẳng, em học sinh cần nắm đ-ợc ph-ơng pháp giải cho toán tổng quát nh- sau: Bài toán: Tìm đ-ờng thẳng (d): Ax + By + C = điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A(xA, yA) B(xB, yB) không thuộc (d) nhỏ " Ph-ơng pháp Ta xác định tA.tB = ( AxA + ByA + C)( AxB + ByB + C) Xét hai tr-ờng hợp Tr-ờng hợp 1: Nếu tA.tB < A, B ng-ợc phía với (d) Ta thực theo b-ớc sau: B-ớc 1: Gọi P0 = (AB)(d), suy toạ độ P0 B-ớc 2: Ta có PA + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A, P, B thẳng hàng P P0 Tr-ờng hợp 2: Nếu tA.tB > A, B phía với (d) Ta thực theo b-ớc sau: B-ớc 1: Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (d) , suy toạ độ A1 B-ớc 2: Gọi P0 = (A1B)(d), suy toạ độ P0 B-ớc 3: Ta có PA + PB = PA1 + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A1,P, B thẳng hàng P P0 Ngoài ph-ơng pháp nhận đ-ợc ph-ơng pháp giải khác đ-ợc minh hoạ toán Ph-ơng pháp toạ độ hoá Dạng toán 5: Ph-ơng pháp toạ độ hoá Ph-ơng pháp áp dụng Ph-ơng pháp toạ độ hoá th-ờng đ-ợc sử dụng phổ biến hai dạng: Dạng 1: Ta thực phép toạ độ hoá điểm hình đ-a toán hình học dạng giải tích Dạng 2: Lựa chọn điểm thích hợp để biến đổi biểu thức đại số dạng độ dài hình học Ph-ơng pháp tỏ hiệu để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đại số Thí dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số y = Giải Viết lại hàm số d-ới dạng: x2 x + x2 x 3 (x ) + (x )2 4 3 1 Xét điểm A( ; ), B( ; ) M(x; 0), đó: 2 2 y= x2 x + x2 x = AM = x x , BM = x x , suy S = AM + BM AB = Vậy, ta đ-ợc SMin = 1, đạt đ-ợc khi: A, B, M thẳng hàng AM // AB toạ độ M Chú ý: Với em học sinh ch-a có kinh nghiệm giải dạng toán thông th-ờng chọn 2 A( ; 2 ), B( ; ) M(x; 0) nhận đ-ợc SMin = 1, nhiên điều kiện cho A, B, M thẳng hàng vô nghiệm Đôi dạng toán đ-ợc minh hoạ d-ới dạng trị tuyệt đối Thí dụ Cho ba điểm A(1; 2), B(0;1) M(t; 2t + 1) Tìm điểm M thuộc (d) cho: a (MA + MB) nhỏ b |MAMB| lớn Giải a Ta có: MA + MB = (t 1)2 (2t 1)2 + t (2t 2)2 = 5t 6t + 5t 8t 2 = [ t + t ] 25 25 5 5 Xét điểm A1( ; ); B1( ; ) M1(t; 0) Khi đó: MA + MB = ( M1A1 + M1B1) Vì M1 chạy trục hoành A1, B1 nằm hai phía Ox nên (MA + MB)min (M1A1 + M1B1)min M1 = (A1B1)Ox M1 ( 2 19 ; 0) M( ; ) 15 15 15 b T-ơng tự câu a) ta có: |MAMB| = 5 Xét điểm A2( ; t t 25 25 ); B2( ; ) M2(t; 0) 5 Khi đó: |MAMB| = |M2A2M2B2| Vì M2 chạy trục hoành A2, B2 nằm phía Ox nên |MAMB|max |M2A2M2B2|max M2 = (A2B2)Ox M2(2; 0) M(2; 5) C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Có điểm O cho: OA + OB + OC + OD = Điểm O đ-ợc gọi trọng tâm bốn điểm A, B, C, D Tuy nhiên, ng-ời ta gọi quen O trọng tâm tứ giác ABCD b Trọng tâm O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối tứ giác, trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đ-ờng chéo tứ giác c Trọng tâm O nằm đoạn thảng nối đỉnh tứ giác trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại a Giải a Giả sử có điểm O1 thoả mãn: = O1A + O1B + O1C + O1D = O1O + OA + OB + OC + OD = O1O O1O = O1 O Vậy, tồn điểm O thoả mãn hệ thức vectơ cho b Gọi M, N, P, Q, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD, ta có lần l-ợt chứng minh: O trung điểm MP (đoạn nối trung điểm hai cạnh AB CD), thật vậy: = OA + OB + OC + OD = OM + OP OM + OP = O trung điểm MP O trung điểm NQ (đoạn nối trung điểm hai cạnh BC DA), thật vậy: = OA + OB + OC + OD = ON + OQ ON + OQ = O trung điểm NQ O trung điểm EF (đoạn nối trung điểm hai đ-ờng chéo AC BD), thật vậy: = OA + OB + OC + OD = OA + OC + OB + OD = OE + OF OE + OF = O trung điểm EF c Gọi G trọng tâm ABC, ta có: = OA + OB + OC + OD = OG + OD = GO + ( GD GO ) GD = GO G, O, D thẳng hàng Vậy, trọng tâm O nằm đoạn thảng nối đỉnh tứ giác trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại Ví dụ 2: Cho đa giác n cạnh A1A2 An, tâm O Chứng minh rằng: n OA i i = Giải Ta lựa chọn hai cách trình bày: n Cách 1: Gọi OA = OA i i Nhận xét quay đa giác góc Đa giác không đổi, nên thì: n n OA i i = OA Vectơ OA bị quay theo chiều góc n Suy vectơ OA có h-ớng tuỳ ý OA = , đpcm Cách 2: Xét hai tr-ờng hợp: Tr-ờng hợp 1: Nếu n = 2k Khi đó, với đỉnh đa giác có đỉnh đối xứng với qua O đpcm Tr-ờng hợp 2: Nếu n = 2k1 Khi đỉnh A2, ,An chia thành hai phần đối xứng qua trục OA1, cách lập tổng cặp vectơ đối xứng đpcm Nhận xét: Nh- vậy, để chứng minh OA = ta sử dụng tính chất "Vectơ không vectơ có ph-ơng h-ớng tuỳ ý" Ví dụ 3: Cho ABC Gọi I tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh a IA + b IB + c IC = Giải Dựng hình bình hành AB2IC2 có AB2//CC1 AC2//BB1, ta đ-ợc: IA = IB + IC , (1) A IB2 C1A b b IB C B a IB2 = IB a IB IB IC B1A c c IC B C a IC = IC a IC ICB (2) B2 C2 B1 C1 I (3) C B Thay (2), (3) vào (1), ta đ-ợc: IA = b c IB IC a IA + b IB + c IC = , đpcm a a Ví dụ 4: Cho điểm A, B, C, D, E a Tìm O cho OA + OB + OC = b Tìm I cho IA + IB + IC + ID = c Tìm K cho KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = Giải a Gọi M, N, F trung điểm AB, BC AC, ta có: = OA + OB + OC = ( OA + OC ) + 2( OB + OC ) = OF + ON = FO + 4( FN FO ) FO = FN , suy điểm O đ-ợc hoàn toàn xác định b Ta lựa chọn hai cách trình bày: Cách 1: Gọi P, Q trung điểm CD, MP, ta có: = IA + IB + IC + ID = IM + IP = IQ IQ = I Q, suy điểm I đ-ợc hoàn toàn xác định 10 Cách 2: Gọi G trọng tâm ABC, ta có: = IA + IB + IC + ID = IG + ID = GI + ( GD GI ) GI = GD , suy điểm I đ-ợc hoàn toàn xác định c Ta có: = KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = KG + 3( KD + KE ) KG + KD + KE = K trọng tâm DEG Cho ABC, M điểm tuỳ ý mặt phẳng Ví dụ 5: a Chứng minh vectơ v = MA MB + MC không đổi b Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: |3 MA + MB MC | = | MB MC | Giải a Ta có: v = MA MB + MC = 3( MA MB ) + 2( MC MB ) = BA + BC , không đổi b Gọi I điểm thoả mãn hệ thức IA + IB IC = tồn điểm I Ta đ-ợc: MA + MB MC = (3 + 22) MI = MI Mặt khác, ta có: MB MC = CB Thay (1), (2) vào hệ thức câu b), ta đ-ợc: 3| MI | = | CB | MI = (1) (2) BC M thuộc đ-ờng tròn tâm I, bán kính BC Ví dụ 6: Cho ABC Lấy điểm A1 BC, B1 AC, C1 AB cho AA1 + BB1 + CC1 = Chứng minh hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm Giải Gọi G, G1 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, ta có: GA + GB + GC = G1A1 + G1B1 + G1C1 = Mặt khác từ giả thiết, ta có: = AA1 + BB1 + CC1 = ( AG + GG1 + G1A1 ) + ( BG + GG1 + G1B1 ) + ( CG + GG1 + G1C1 ) = ( GA + GB + GC ) + ( G1A1 + G1B1 + G1C1 ) + GG1 = GG1 GG1 = G G1 11 Ví dụ 7: Cho ABC, điểm M mặt phẳng thoả mãn: MN = MA + MB + MC a Chứng minh MN qua trọng tâm G ABC M thay đổi b Gọi P trung điểm CN Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Giải a Với G trọng tâm ABC ta có: GA + GB + GC = Từ giả thiết ta nhận đ-ợc: MN = MA + MB + MC = MG Vậy MN qua trọng tâm G ABC M thay đổi b Vì P trung điểm CN nên: 1 ( MC + MN ) = ( MC + MA + MB + MC ) 2 = ( MA + MB + MC ) MP = Gọi J điểm thoả mãn: JA + JB + JC = JA + ( JA + AB ) + 2( JA + AC ) = AJ = AB + AC AJ = 1 AB + AC tồn điểm J cố định Từ đó: MP = 1 ( MA + MB + MC ) = (1 + + 2) MJ = MJ 2 Vậy MP qua điểm cố định J M thay đổi Ví dụ 8: Cho ABC Lấy điểm A1BC, B1AC, C1AB cho: AA1 + BB1 + CC1 = a Chứng minh CB1 BA1 AC1 = = CA AB BC b Xác định vị trí A1, B1, C1 để AA1, BB1 CC1 đồng quy Giải a Đặt: BA1 = BC , CB1 = CA , AC1 = AB A Khi đó: C1 G B1 = AA1 + BB1 + CC1 = ( AB + BA1 ) + ( BC + CB1 ) + ( CA + AC1 ) B C A1 = ( AB + BC + CA ) + ( BA1 + CB1 + AC1 ) = BC + CA + AB (*) Vì AB + BC + CA = nên (*) khi: 12 == CB1 BA1 AC1 = = , đpcm CA AB BC b Bạn đọc tự giải Ví dụ 9: Cho ABC Lấy điểm M, N, P cho: MB MC = , AN = NC , PA + PB = Tính MP , MN theo AB AC Suy M, N, P thẳng hàng Giải Ta có: MP AP AM , MN AN AP , Ta tính AP, AM, AN theo AB AC , cụ thể từ giả thiết: MB MC = (AB AM) (AC AM) = AM = AB AC (1) (2) (3) AC PA + PB = AP AB AN = NC AN = (4) (5) Thay (3), (4), (5) vào (1) (2) ta đ-ợc: 3 AB AC AB AC 2 AB Từ (6) (7) ta nhận thấy MP = MN M, N, P thẳng hàng MP AB + MN AC (7) Ví dụ 10: Cho ABC, có cạnh a, b, c Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự chân đ-ờng phân giác kẻ từ A, B, C a Tính AA1 theo AB AC b Chứng minh ABC tam giác AA1 + BB1 + CC1 = Giải a Ta có: BA1 BA1 c c AA1 AB BA1 = = = = b b c BA1 A1C A1C AC AB BC c b c AB + AA1 AB = ( AC AB ) AA1 = AC bc bc bc b T-ơng tự câu a), ta đ-ợc: a a c c BA = AB , BC + BC ca ca ca ca c b c b CC1 = CA + CB = AC BC ab ab ab ab BB1 = Từ đó: = AA1 + BB1 + CC1 =( b a c c c b ) AB + ( ) AC + ( ) BC bc ca bc ab ca ab 13 a b c c b c )( AC BC ) + ( ) AC + ( ) BC ca ca bc bc ab ab a a b b c c b c =( + ) AC ( + ) BC ca ca bc ca bc bc ab ab Vì AC BC hai vectơ không ph-ơng, nên đẳng thức khi: a c c b b c c a b c a b a = b = c ABC b a c b b c c a c a a b =( Ví dụ 11: Cho ABC, biết A(1; 1), B(2; 4), C(6; 1) Lấy điểm M, N, P đ-ờng thẳng AB, CA, BC cho điểm lần l-ợt chia đoạn thẳng theo tỉ số 1, , a Xác định toạ độ M, N, P b Chứng tỏ M, N, P thẳng hàng Giải a Ta có: M(x; y) chia đoạn AB theo tỉ số M trung điểm AB M( ; N(x; y) chia đoạn CA theo tỉ số ) 2 NA 2(6x; 1y) = (1x; 1y) 2(6 x) x x 11/ 11 N( ; ) 3 2(1 y) y y 1/ NC = P(x; y) chia đoạn BC theo tỉ số C trung điểm BP P(10; 2) b Ta có: MP ( 19 19 7 ; ) & NP ( ; ) MP // NP M, N, P thẳng hàng 3 Ví dụ 12: Cho ABC, biết A(1; 3), B(3;5), C(2; 2) Tìm toạ độ: a Giao điểm E BC với phân giác góc A b Giao điểm F BC với phân giác góc A Giải Ta có: AB2 = + = AC2 = + = k = AC = AB a Giả sử E(x; y), theo tính chất phân giác trong, ta đ-ợc: EC = EC (2x; 2y) = EB (3x; 5y) EB F x 2(3 x) x / E( ; 4) y 2(5 y) y b Giả sử F(x; y), theo tính chất phân giác ngoài, ta đ-ợc: A B E C 14 FC = FC (2x; 2y) = FB (3x; 5y) FB x 2(3 x) x F(4; 8) y 2(5 y) y Ví dụ 13: Cho ABC vuông A, biết A(a; 0), B(1; 0), C(a; a ) Xác định toạ độ trọng tâm G ABC, biết bán kính đ-ờng tròn nội tiếp ABC Giải 2a a ; ) Với nhận xét: 3 SABC = AB.AC = p.r AB.AC = 2(AB + AC + BC) |a1|.|a1| = 2(|a1| + |a1| + 2|a1|) Ta có G( a |a1| = + a Ta lần l-ợt: Với a = + , ta đ-ợc: G( 74 22 ; ) 3 Với a = 12 , ta đ-ợc: G( ; ) 3 Vậy tồn hai điểm G thoả mãn điều kiện đầu Ví dụ 14: Cho điểm M(4; 1), hai điểm A(a; 0), B(0; b) với a, b > cho A, B, M thẳng hàng Xác định toạ độ A, B cho: a Diện tích OAB nhỏ b OA + OB nhỏ 1 + nhỏ OA OB2 Giải Vì A, B, M thẳng hàng AM // AB 4a 1 = + = a b b a (1) a Ta có, diện tích OAB đ-ợc cho bởi: ab S = OA.OB = 2 Từ (1) suy 1= 4 + = a b a b ab ab 16 S Vậy SMin = 8, đạt đ-ợc khi: a A(8;0) 1 = = a b b B(0;2) 15 b Từ (1), ta đ-ợc : 4b a= điều kiện b > b Khi đó: OA + OB = 4b 4 +b= +b+4= + b1 + (b 1) + = b b b b Vậy (OA + OB)Min = 9, đạt đ-ợc khi: = b1 = b A(6;0) a B(0;3) b c Ta có: 1 1 + = + 2 OA OB a b Nhận xét rằng: 1 1 + ) ( + )2 = + a b 17 a2 a b b 1 Vậy, ta đ-ợc ( + ) = , đạt đ-ợc khi: 2 Min OA 17 OB 17 17 A( ;0) a a b 4a b B(0;17) b 17 (42 + 12)( Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= x y2 2x 4y + x y2 6x 4y 13 Giải Viết lại biểu thức d-ới dạng: S = (x 1)2 (y 2)2 + (x 3)2 (y 2)2 Xét điểm A(1; 2), B(3; 2) M(x; y), đó: AM = (x 1)2 (y 2)2 , BM = (x 3)2 (y 2)2 , suy ra: S = AM + BM AB = Vậy, ta đ-ợc SMin = 4, đạt đ-ợc khi: A, B, M thẳng hàng AM // AB x y2 = y = 2, đó: S = |x + 1| + |x3| = |x + 1| + |3x| |x + + 3x| = 4, dấu = xảy (x + 1)(3x) x Vậy, ta đ-ợc SMin = 4, đạt đ-ợc x y 16 ... hoạ toán Ph-ơng pháp toạ độ hoá Dạng toán 5: Ph-ơng pháp toạ độ hoá Ph-ơng pháp áp dụng Ph-ơng pháp toạ độ hoá th-ờng đ-ợc sử dụng phổ biến hai dạng: Dạng 1: Ta thực phép toạ độ hoá điểm hình... (d) , suy toạ độ A1 B-ớc 2: Gọi P0 = (A1B)(d), suy toạ độ P0 B-ớc 3: Ta có PA + PB = PA1 + PB AB Vậy PA + PB nhỏ A1,P, B thẳng hàng P P0 Ngoài ph-ơng pháp nhận đ-ợc ph-ơng pháp giải khác đ-ợc... phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5) a Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b Tìm toạ độ điểm D cho A trung điểm BD c Tìm toạ độ điểm E trục Ox cho A, B, E thẳng hàng Giải a