Phương pháp giải hệ phương trình

Bài : Một số dạng hệ phương trình đặc biệt 1) Hệ bậc hai ẩn, ba ẩn 2 x  y   x  y   2 x  y   x  y   a)  b)  x  y  z 1   c) 2 x  y  z    x  y  3z     x  y  z    d)  x  y  z    x  y  3z    2) Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc cao  PP chung : Sử dụng phương pháp - Hệ phương trình - Hệ phương trình 3) Hệ đối xứng loại  PP chung : Đặt ẩn phụ a  ( x  y ); b  xy 4) Hệ đối xứng loại  PP chung : Trừ vế hai phương trình cho ta : ( x  y ) f ( x; y )  5) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai PP chung : Có cách giải - Đặt ẩn phụ y  t.x - Chia hai vế cho y , đặt t  x y Bài : Một số phương pháp giải hệ phương trình I Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại * Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn 2 x  y  Bài Giải hệ phương trình  (1) 2 3x  y  y  (2) Lời giải  3y Từ (1) ta có x  vào (2) ta   3y  3   y  2y      3(25  30 y  y )  y  y  16  23 y  82 y  59   y  1, y   59 23  31 59   ;   23 23   Vậy tập nghiệm hệ phương trình 1;1 ;    2 x  y   Bài Giải hệ phương trình sau :  2  x  y  3x  y    3x  (6  y ) x  xy  Bài Giải hệ :    x  x  y  3 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y  3  x  x thay vào PT (1) Nghiệm (0; 3); ( 2;9)  3x  (5  y ) x  xy  x  Bài a) Giải hệ :    x  x  y  4 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y  4  x2  x thay vào PT (1) 3x3  (6  y ) x  xy  b) Giải hệ :  2  x  x  y  3  x2  y  xy   y  Bài (Thử ĐT2012) Giải hệ :   x2  y   y ( x  y )  - Từ (1) x   y  y  xy thay vào (2) Nghiệm (1;2); ( 2;5) 2  x  x y  x y  x  (1) Bài Giải hệ phương trình  (2)  x  xy  x  Phân tích Phương trình (2) bậc y nên ta dùng phép Lời giải TH : x = không thỏa mãn (2) x   x2 TH : x  0, (2)  y  vào (1) ta 2x 2  6x   x   6x   x  x  2x   x    2x  x x     2 x  (6 x   x )  x  x (6 x   x )   x   x( x  4)3     x  4   Do x  nên hệ phương trình có nghiệm  4; 17   4 Chú ý.: Hệ phương trình theo phương pháp sau: -  x  x  2  x  xy   x     2x      Hệ   x  x   x  xy   x2  6x    x  xy  - Phương pháp thường công đoạn cuối ta sử dụng phương pháp khác 2  x( x  y  1)    Bài (D – 2009 ) Giải hệ :  Từ (1) x  y   thay vào PT (2) x ( x  y )  x    x  y  2( x  y )  Bài Giải hệ :   y ( y  x)  x  10 HD : Thế (1) vào PT (2) rút gọn ta : x2  xy  x  y    ( x  1)( x  y  3)  Phương pháp cộng đại số * Cơ sở phương pháp Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau * Nhận dạng Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k  x  y   Bài Giải hệ phương trình   y  x    y 2 3 y   x Bài Giải hệ phương trình  3 x  x  2  y  Lời giải - ĐK: xy  - 3x y  y  Hệ   2 3 y x  x  - - (1) Trừ vế hai phương trình ta (2) x  y  3x y  3xy  y  x  3xy ( x  y )  ( x  y )( x  y )    3xy  x  y  TH x  y   y  x vào (1) ta 3x  x    x  x2  y2  x0  y  , 3x  TH 3xy  x  y  Từ y  y2 x2  3xy  x  y  Do TH không xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1)    Bài Giải hệ phương trình      2 2 (1) 2 (2) y x 1  2 x y Lời giải 1 ,y 2 - ĐK: x  - Trừ vế hai pt ta x  y  2 y  2 0 x  y x 2   y  - - 1  x 0  yx   yx 0  1 xy x  y 2  2 xy      y x y x  1 TH y  x   y  x vào (1) ta  2 2 x x Đặt t  , t  ta x 2  t  t  2  t2   t     t   x  y  2 2  t   t  t t  t     xy -  2  TH xy  x y    1 xy      y x   TH vô nghiệm ĐK Vậy hệ có nghiệm (1; 1)  x  xy  y  Bài Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  3x  xy  y  38 Bài Giải hệ phương trình  2 5 x  xy  y  15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x  75 xy  60 y  570 2  145 x  417 xy  54 y  - Hệ   190 x  342 xy  114 y  570 - Giải phương trình ta y  145 x, y   x vào hai phương trình hệ ta thu 18 kết (3;1); (3; 1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hoàn toàn giải cách đặt y  tx, x  đặt x  ty, y  3x  xy  y  11 Bài Tìm giá trị m để hệ  có nghiệm 2  x  xy  y  17  m - Phân tích Để có kết nhanh ta đặt y  tx, x  Lời giải  y  11  y  11  TH x      m  17 3 y  m  17 y   - m  17  11  m  16 2 2 3x  2tx  t x  11 TH x  , Đặt y  tx Hệ   2 2  x  2tx  3t x  17  m 11  x  2  (3  2t  t ) x  11   2t  t    2 11 (1  2t  3t ) x  17  m (1  2t  3t )  17  m   2t  t 11  x    2t  t (m  16)t  2(m  6)t  3m  40  (*)  11  0, t nên hệ có nghiệm  pt (*) có nghiệm Điều xảy Ta có  2t  t m  16 m  16,  '  (m  6)2  (m  16)(3m  40)  Vậy hệ có nghiệm x   - -   363  m   363 - Kết luận  363  m   363 5 x  xy  y   Bài Tìm giá trị m để hệ  m (I) có nghiệm 2 x  xy  y   m 1  Lời giải - - 5 x  xy  y   Nhân vế bpt thứ hai với -3 ta  2 6 x  xy  y  3  m 1  1 2  ( x  y)2  Cộng vế hai bpt chiều ta  x  xy  y   m 1 m 1   m 1 Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm m 1 5 x  xy  y  Điều kiện đủ Với m  Xét hệ pt  (II) 2 2 x  xy  y  Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ (II) Khi  5 x02  x0 y0  y02  5 x0  x0 y0  y0    m 2 2 x0  x0 y0  y0  2 x0  x0 y0  y0  m 1  - Vậy nghiệm hệ (II) nghiệm hệ (I) 5 x  xy  y    x  xy  y   x  y   x  2 y (II)   2 6 x  xy  y  3 - Thay x  2 y vào pt thứ hệ (II) ta x 5 - Hệ (II) có nghiệm, hệ (I) có nghiệm Vậy m      x 1  2 x y   Bài Giải hệ phương trình   y 1     x y    y2  y2  y2   y2   y   - Phân tích Các biểu thức ngoặc có dạng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ cho 3x 7y chia hai vế pt thứ hai cho Lời giải - ĐK: x  0, y  0, x  y  Dễ thấy x  y  không thỏa mãn hệ pt Vậy x  0, y    2   1 (1) 2   3x 7y 7y 3x   3x   2   2 2   x  y  3x 7y 3x 7y 7y x  y    2  2   - Nhân theo vế hai pt hệ ta    y  x 7y  x  y  3x  y  6x 2     y  38 xy  24 x    y   x 3x y x  y  11  22  - TH y  x vào pt (1) ta  1 x  y 21 3x 21x - TH y   x không xảy x  0, y   11  22   - Vậy hệ pt có nghiệm  x; y    ;   21   a  b  m  m  n  2a - Chú ý Hệ phương trình có dạng  Trong trường hợp này, dạng thứ có  a  b  n m  n  b     1    x  y  - Hệ   1     x  y   - vế phải chứa thức nên ta chuyển dạng thứ hai sau nhân vế để thức n  a  bx  m  px  qy  Tổng quát ta có hệ sau:   c m n  dy px  qy  x ( y  z )  (3 x  x  1) y z  2 2 Bài Giải hệ phương trình  y ( z  x )  (4 y  y  1) z x  z ( x  y )2  (5 z  z  1) x y  2 - Phân tích Nếu chia hai vế phương trình cho x y z ta hệ đơn giản z  y  2 - TH xyz  Nếu x  hệ  y z      y  t, t   z  t, t  - Tương tự với y  z  ta thu nghiệm (0;0; t ), (0; t ;0), (t ;0;0), t  2 - TH xyz  Chia hai vế pt hệ cho x y z ta  1 2       x  z y    1        y  x z   1     5     y x  z  1 z   - 1 2 x (1) y (2) Cộng vế phương trình hệ ta : z (3) 2 1 1 1 1 1 1 1          12        y x y z x2 y z x z  y x 1 1  x  y  z  (4) 1 1 1 1            12    1 1 x y z x y z (5)  x  y  z  3 1 1 9  Từ (4) (1) ta có         13  x  x x x x 13  Tứ (4) (2) ta có y  Từ (4) (3) ta có z  11 5 Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có x   , y  1, z   Vậy hệ có tập nghiệm  5  9 9  ; ;  ;   ; 1;   , t   4  13 11    S = (t ;0;0); (0; t;0); (0;0; t );   - Nhận xét Qua ví dụ ta thấy: từ hệ phương trình đơn giản, cách đổi biến số (ở phép thay nghịch đảo) ta thu hệ phức tạp Vậy hệ phức tạp ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản II Phương pháp biến đổi thành tích * Cơ sở phương pháp Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đôi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ đưa dạng tích  xy  x   (1) 2 2 x  x y  x  y  xy  y  (2) Bài (Khối D – 2012) Giải hệ  - Biến đổi phương trình (2) thành tích Hoặc coi phương trình (2) bậc hai với ẩn x y - Hệ cho    xy  x   (2 x  y  1)( x  y )  Hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 1); ( 1  ;  5) (1)  xy  x  y  x  y Bài (D – 2008) Giải hệ phương trình   x y  y x   x  y (2) - Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu kết khả quan nên tập trung để giải (1) Lời giải ĐK: x  1, y  (1)  y ( x  y )  ( x  y )  x  y  ( x  y )( y   x  y )  TH x  y  (loại x  1, y  ) TH 2 y   x   x  y  vào pt (2) ta 2 (2 y  1) y  y y  y   y  ( y  1) y  2( y  1)  y 1   y  1   Do y   y  Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  (5;2) y   y   - Chú ý Do phân tích thành tích hai nhân tử bậc đối y (hay x) nên giải pt (1) cách coi (1) pt bậc hai ẩn y (hoặc x) 1  x   y  x y Bài (A – 2003) Giải hệ phương trình  2 y  x   - (1) (2) Phân tích Từ cấu trúc pt (1) ta thấy đưa (1) dạng tích Lời giải  1 x y   0 x y   ( x  y ) 1    x y xy xy   1  TH x  y vào (2) ta x  x    x  x  (t/m) 1 1   y   vào (2) ta x  x    ( x  )  ( x  )   TH  2 xy x ĐK: xy  (1)  x  y  PT vô nghiệm   1  1    1  1    ; ; ;   2   2    Vậy tập nghiệm hệ S = (1;1);   1  x   y  Bài (Thi thử GL) Giải hệ phương trình  x y ( x  y )(2 x  y  4)  36  (1) (2) Lời giải x y  1 ( y  x)( y  xy  x ) x   y   ( x  y)    y  xy  x 3   1 x y xy x3 y   x  6 TH x  y vào pt thứ hai ta x  x  12     x2 2 y  xy  x TH  1  xy  x3 y 2 2 (2)  x  y  xy  x  16 y  36  2( x  1)  4( y  2)  xy  18 Trường hợp không xảy xy   2( x  1)  4( y  2)  xy  2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình S = (2;2); (6; 6) xy  2  x  y  x  y  16 Bài Giải hệ phương trình   x  y  x2  y  - (1) (2) Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu kết khả quan nên tập trung để giải (1) Lời giải 2 ĐK: x  y  (1)  ( x  y )( x  y )  xy  16( x  y )  ( x  y)2  xy  ( x  y)  xy  16( x  y)  ( x  y) ( x  y)2  16  xy( x  y  4)   ( x  y  4) ( x  y)( x  y  4)  xy    x  3  y  x   y  TH x  y   vào (2) ta x  x     TH ( x  y )( x  y  4)  xy   x  y  4( x  y )  vô nghiệm ĐK 2 Vậy tập nghiệm hệ S = (3;7); (2;2)  xy  ( x  y )( xy  2)  x  y  y  Bài (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình   ( x  1)( y  xy  x  x )   x; y  - Điều kiện :   xy  ( x  y )( xy  2)  - PT (1)  0,25 xy  ( x  y )( xy  2)  y  ( x  y )   - xy  ( x  y )( xy  2)  y  x y x y 0   y  xy    (3)  ( x  y)    xy  ( x  y )( xy  2)  y x y   4   Từ PT (2) ta có y  xy  x  x   ( x  1)2   x   2 x 1 x 1    - ( x  y )( y  xy  2) y  xy   0 x y xy  ( x  y )( xy  2)  y 0,25 PT (3)  x  y , thay vào PT (2) ta : x3  x  3x    x  x   17 0,25  17 - Kết hợp với điều kiện ta có x  , x  -   17  17  ; KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) : (1; 1);   2   2  5 x y  xy  y  2( x  y )  2   xy ( x  y )   ( x  y ) Bài (A – 2011 ) Giải hệ PT :   xy  HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có  2 x  y  0,25 (1) (2) thay vào PT (1) x - TH 2: PT(1)  y( x2  y )  x2 y  xy  2( x  y)  ( xy  1)(2 x  y )   x3  y3  4(4 x  y ) Bài (Thử GL 2012) Giải hệ :  1  y  5(1  x ) HD : Từ (2)  y  5x2 thay vào (1) ta có : x3  y3  ( y  5x2 )(4 x  y) - TH1: y  10 III Phương pháp đặt ẩn phụ  x  y  xy  1 Bài Giải hệ phương trình  2  x  y  xy  Lời giải Đây hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến ( x  y )  xy  1 Hệ   ( x  y )  xy   S  P  1 x  y  S  S  1, P  2 Đặt  ta   x , y  S  P     xy  P  S  4, P   S  3P  S   x  y   x  1, y  TH     P  2  xy  2  x  2, y  1  S  4  x  y  4  x  1, y  3 Vậy tập nghiệm hệ   P   xy   x  3, y  1 TH  S = (1;2); (2; 1); (1; 3); (3; 1) Chú ý - Nếu hệ pt có nghiệm ( x; y) tính đối xứng, hệ có nghiệm ( y; x) Do vậy, để hệ có nghiệm điều kiện cần x  y - Không phải lúc hệ đối xứng loại I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt  x  xy  y  Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình:   x  y  xy   x  y  Bài (D – 2004 )Tìm m để hệ có nghiệm :   x x  y y   3m  x  y  x  y  18 Bài Giải hệ phương trình   xy ( x  1)( y  1)  72 Phân tích Đây hệ đối xứng loại I - Hướng Biểu diễn pt theo tổng x  y tích xy - Hướng Biểu diễn pt theo x  x y  y Rõ ràng hướng tốt Lời giải 2  x  x  a , a    ( x  x)  ( y  y )  18  ta Hệ   Đặt  2 ( x  x)( y  y )  72  y  y  b, b    a  b  18  a  6, b  12   ab  72   a  12, b  2 11  x  x  a   x  2, x  3   TH  b  12  y  y  12  y  3, y  4  x  3, x  4 Vậy tập nghiệm hệ y  2, y    TH Đổi vai trò a b ta  S = (2;3); (2; 4); (3;3); (3; 4); (3;2); (4;2); (3; 3); (4; 3)  Nhận xét Bài toán hình thành theo cách sau - a  b  18 (I) ab  72 Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản  1) Thay a  x  x, b  y  y vào hệ (I) ta hệ 2  x  y  x  y  18 (1)  ví dụ  xy ( x  1)( y  1)  72 2) Thay a  x  xy, b  y  xy vào hệ (I) ta hệ 2  x  y  18 (2)  2  xy ( x  y )  72 3) Thay a  x  x, b  x  y vào hệ (I) ta hệ  x  x  y  18 (3)   x( x  2)(2 x  y )  72 1 4) Thay a  x  , b  y  vào hệ (I) ta hệ x y ( x  y ) xy  x  y  18 xy (4)  2 ( x  1)( y  1)  72 xy 2 5) Thay a  x  xy, b  y  xy vào hệ (I) ta hệ  x  y  xy  18 (5)  … xy ( x  y )( y  x )  72  a Như vậy, với hệ xuất (I), cách thay biến ta thu nhiều hệ pt a  b  b Thay hệ xuất phát (I) hệ xuất phát (II)  2 a  b  21 làm tương tự ta lại thu hệ khác Chẳng hạn : 2 6) Thay a  x  y , b  xy vào hệ (II) ta hệ  x  y  xy  (6)  4 2  x  y  x y  21 1 7) Thay a  x  , b  y  vào hệ (II) ta hệ x y 12 1  x  y   7  x y  (7)   x  y    21  x2 y x 8) Thay a  x  , b  vào hệ (II) ta hệ y y  xy  x   y (8)  2 ( xy  1)  x  21y 9) Thay a  x  y, b  vào hệ (II) ta hệ y ( x  y ) y   y (9)  2 ( x  y  2) y  21y  10) Thay a  x  x, b  y  x vào hệ (II) ta hệ 2  x2  y  4x  (10)  2 x  y  x ( x  y )  21  1  x  x  y  y   Bài (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm :   x3   y   15m  10  x3 y3  a  x  x Đặt ẩn phụ  b  y  y  Điều kiện a ; b  a  b  Ta có hệ  3 a  3a  b  3b  15m  10 Bài Giải hệ phương trình : 2 x  y   x  y a) (CĐ – 2010 )  2  x  xy  y   x  y   x  y 3  x  y   c)   x  y  x  y b) (B – 2002)   x  y  x  y  d) Bài (Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ :  3x  (6  y ) x  xy  18  a)    x  x  y  3   x  (6  y) x  3xy  18  b)    x  x  y  7  x( x  2)(3 x  y )  18   a  x( x  2) Nghiệm x  1;   Đặt   x( x  2)  (3x  y )  b  x  y  x( x  3)(2 x  y )  18   a  x( x  3) b) Hệ    Đặt   Nghiệm  x( x  3)  (2 x  y )  b  x  y a) Hệ   13  x( x  y  1)    Bài (D – 2009 ) Giải hệ phương trình :  ( x  y )  x    x  y   0  x  - ĐK x  Hệ   Đặt x  y  a,  b ta hệ : x ( x  y )  5.        x  a  2, b  x  y 1 a   3b  a  3b     1 2   x  2, y   a ,b a  5b   (3b  1)  5b    2   x  y  x y  xy  xy    Bài (A – 2008) Giải hệ phương trình :   x  y  xy (1  x)     2 ( x  y )  xy ( x  y  1)     x2  y  a - Hệ   Đặt  ta : xy  b 2  ( x  y )  xy    5   a  a  ab  a  0, b   a  b(a  1)        a   , b   a  b   b    a    2  3  25   - Vậy tập nghiệm hệ pt S = 1;   ;  ;   2  16     x  y  2( x  y )  Bài 10 Giải hệ phương trình :   y ( y  x)  x  10 - ( x  1)  ( y  1)   x  y  2( x  y )  Hệ   2  y ( y  x)  x  10 ( y  x)  ( x  1)  - a  b  Đặt a  x  1, b  y   b  a  y  x ta hệ  2 (b  a)  a   a  b  (b  a)2  a  a  2ab  a  a  2b - Với a   b  3  x  1, y  x  1, y  4 - Với a  2b  5b   b   a 14  x  1  6 , y  1  , y  1  x  1  5 5 Cách : Thế (1) vào PT (2) rút gọn ta : x2  xy  x  y    ( x  1)( x  y  3)   x  y  xy  Bài 11 (A – 2006) Giải hệ phương trình :   x   y   - ĐK: x  1, y  1, xy  -  x  y  xy   x  y  xy    x  y   ( x  1)( y  1)  16  x  y  x  y  xy   14 2 Đặt x  y  a, xy  b a  2, b  0, a  4b ta hệ pt Hệ   a  b  a   b a   b      2 a  a  b   14 2 b  b   11  b 3b  26b  105  b   x  (thỏa mãn đk)   a  y    x y 8   Bài 12 (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình:    x 9  y   10 Bình phương PT  1  x   y  2 x y  Bài 13 (Thử GL 2012) Giải hệ :     1  x  y xy 1 - PT (1)  ( x  )   ( y  )   x y - PT (2)   x y 1  ( x  y )  ( x  )  ( y  )  6 Ta có xy x y  a  b  6  2   a 2  b 2   y ( x  7)  x   Bài 14 (ĐT 2011) Giải hệ :  Lần lượt chia cho y; y đặt ẩn phụ 2  21 y  x  ( xy  1)  xy  x   y Bài 15 (B – 2009 ) Giải hệ :  Lần lượt chia cho y; y đặt ẩn phụ  x y  xy   13 y  x2  y  xy   y 2  Bài 16 (Thử ĐT2012) Giải hệ :  Chia vế PT cho y đặt ẩn phụ  x2  y   y ( x  y )  (2 x  y )  5(4 x  y )  6(2 x  y )   Bài 17 Giải hệ phương trình:  x   3 y  x  y  15 IV.Phương pháp hàm số * Cơ sở phương pháp Nếu f ( x) đơn điệu khoảng (a; b) x, y  (a; b) : f ( x)  f ( y )  x  y Bài Giải HPT sau :  x5  x  y  y 2  x  y   x3  x  y  y 2  x  y  b)  a)   x5  x  y  y Bài Giải hệ phương trình :   x  y   x3  x  y  y Bài Giải hệ phương trình   x  y  (1) (2) (1) (2) Phân tích Ta giải hệ phương pháp đưa dạng tích Tuy nhiên ta muốn giải hệ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Hàm số f (t )  t  3t không đơn điệu toàn trục số, nhờ có (2) ta giới hạn x y đoạn  1;1 Lời giải 2 Từ (2) ta có x  1, y   x, y   1;1 Hàm số f (t )  t  3t có f '(t )  3t   0, t  (1;1)  f (t ) nghịch biến đoạn  1;1 x, y  1;1 nên (1)  f ( x)  f ( y)  x  y vào pt (2) ta x  y    2 2  2   ;  ;       2    Nhận xét Trong TH ta hạn chế miền biến thiên biến để hàm số đơn điệu đoạn Vậy tập nghiệm hệ S =  ;  x3  3 x  y ( y  3) (1)  Bài Giải hệ phương trình:   y ( y  1)  x  y  x    (2) PT (1)  x3  3x  y3  y Xét hàm f (t )  t  3t HS đồng biến Từ (1)  f ( x)  f ( y )  x  y Thay (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số CM PT (2) có nghiệm x   y  1  (1) x  x  y  y Bài (A – 2003) Giải hệ :  2 y  x3  (2)  1 - Xét hàm số f (t )  t  (t  0)  f '(t )    nên hàm số đồng biến t t - Từ (1)  f ( x)  f ( y )  x  y - Thay vào (2) có nghiệm x  1; 1  16 1  x   y   Bài (Thử GL) Giải hệ phương trình  x3 y3 ( x  y )(2 x  y  4)  36  - (1) (2) (t  0)  f '(t )    nên hàm số đồng biến t t Từ (1)  f ( x)  f ( y )  x  y Thay vào (2) có nghiệm x  2; 6 hệ có nghiệm (2;2); ( 6; 6) Xét hàm số f (t )  t   x3  3x  ( y  1)3  9( y  1) Bài (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012)  1  x   y  - Từ điều kiện từ phương trình (2) có x  1; y   (1) (2) - (1)  x3  3x  ( y  1)3  y  , xét hàm số f (t )  t  3t [1;  ) - Hàm số đồng biến [1;  ) , ta có f ( x)  f ( y  1)  x  - x  x  , Với x  y  thay vào (2) giải x  1; x    y  y  y 1  x3  3x  x  22  y  y  y  Bài (A – 2012) Giải hệ phương trình  2 x  y  x  y   3 1 1 - Từ phương trình (2)  ( x  )  ( y  )  nên  x   ;  y 1  2 2 2 3 - (1)  ( x  1)3  12( x  1)  ( y  1)3  12( y  1) nên xét f (t )  t  12t [ ; ] 2 - Chỉ f(t) nghịch biến Có f ( x  1)  f ( y  1)  x   y  1 3 1 - Nghiệm ( x; y)  ( ; ); ( ; ) 2 2 (4 x  1) x  ( y  3)  y  Bài (A – 2010) Giải hệ phương trình  4 x  y   x  (1) (2) Lời giải - (1)  (4 x  1)2 x  (2 y  6)  y     (2 x)  1 (2 x)    y  1  y  (2 x)  x         2y   (2 x)  f (  y ) với f (t )  t  t f '(t )  3t   0, t  f (2 x)  f (  y )  x   y  y   4x    2y  (t ) ĐB Vậy ,x  2 -   x2    x    g ( x)  Thế vào pt (2) ta x       17 -  3   4x  Với g ( x )  x     x  7, x  0; CM hàm g(x) nghịch biến        - Ta có nghiệm x   y2 Bài 10.(Thi thử ĐT 2011) Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm  x  y  y  3x    2  x   x  y  y  m  Lời giải - Điều kiện 1  x  1,  y  (1)  x  3x  ( y  1)  3( y  1) 3 - Hàm số f (t )  t  3t nghịch biến đoạn [ 1;1] x, y  1 1;1 nên f ( x)  f ( y  1)  x  y   y  x  Thế vào pt (2) ta x   x  m (3) 2 Hệ có nghiệm  Pt (3) có nghiệm x   1;1  Xét g ( x)  x   x , x   1;1, g '( x)  x 1  2     x2  g '( x)   x  g (0)  2, g (1)  Pt (3) có nghiệm x  1;1  2   m   1  m   x5  xy  y10  y (1)  Bài 11 (Thử ĐT 2012) Giải hệ :   x   y    2 TH1 : Xét y  thay vào hệ thây không thỏa mãn x x TH2 : Xét y  , chia vế (1) cho y5 ta ( )5   y  y (3) y y - Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  5t   nên hàm số đồng biến x x - Từ (3)  f ( )  f ( y )   y  x  y y y - x   x    x  Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  (1;1) Thay vào (2) ta có PT 2   ( y  x)( xy  2) x y Bài 15 Giải hệ phương trình  2 x  y  2 Phân tích Nếu thay  x  y vào phương trình thứ ta hđt Lời giải Thay  x  y vào phương trình thứ ta 2 x  y  ( y  x)( xy  x  y )  x  y  y  x3  x  x  y  y (1) t t Xét hàm số f (t )   t , t  có f '(t )  ln  3t  0, t  suy f (t ) đồng biến  f ( x)  f ( y)  x  y vào pt thứ hai ta (1) 18 x  y  1 Vậy tập nghiệm hệ S = (1;1); (1; 1)  x  x   y Bài 16 Giải hệ phương trình  x  y  y   Trừ vế hai pt ta x   Lời giải  x   y  y   y  3x  x  x   3x  y  y   y 2 f ( x)  f ( y) với f (t )  t  t   3t f (t )    f (t ) đồng biến x    3t ln  0,  t2 1 Bởi f ( x)  f ( y )  x  y vào pt thứ ta x  x   3x   3x Với g ( x)  t    x   x  g (0)  g ( x) x   x g '( x)  3x ln    x  x   x  3x   1  x 1     x   x  ln    0, x  x   x  x 1   Suy g ( x) đồng biến Bởi g ( x)  g (0)  x   3x x2   Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = y  x e  2007   y 1  Bài 17 Chứng minh hệ  có nghiệm x  0, y  x e y  2007   x 1  Lời giải x 1  x  x   x  (; 1)  (1; ) Do  nên   y  y 1  y    y  (; 1)  (1; ) x y x y x y x y Trừ vế hai pt ta e  e    e   e  x2  y2 1 x2  y2 1 t t , t  (1; ) Hay f ( x)  f ( y ) với f (t )  e  t 1 f '(t )  et   0, t  (1; )  f (t ) đồng biến (1; )  t  1 t  Bởi f ( x)  f ( y )  x  y vào pt thứ ta x x e x  2007   ex   2007   g ( x)  x 1 x2  x x  2007, x  (1; ) Ta có Với g ( x)  e  x2  ĐK:  19 g '( x)  e  3x( x  1) ; g ''( x)  e   0, x  (1; ) ( x  1) x  ( x  1)3 x  Suy g '( x) đồng biến (1; ) g '( x) liên tục (1; ) có lim g '( x)  , lim g '( x)   nên g '( x)  có nghiệm x0  (1; ) x x 1 x x  g '( x)   g '( x)  g '( x0 )  x  x0 g '( x)    x  x0 Từ BBT g ( x) ta suy pt g ( x)  có nghiệm x  (1; ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm dương (1) ln(1  x)  ln(1  y )  x  y Bài 18 Giải hệ phương trình  2 (2)  x  12 xy  20 y  Lời giải ĐK: x  1, y  1 (1)  ln(1  x)  x  ln(1  y )  y  f ( x)  f ( y ) với f (t )  ln(1  t )  t , t  (1; ) t 1    t   (1; )  f (t ) ĐB (1;0) NB (0; ) 1 t 1 t TH x, y  (1;0) x, y  (0; ) f ( x)  f ( y )  x  y Thế vào pt (2) ta x  y  (không thỏa mãn) 2 TH x  (1;0), y  (0; ) ngược lại xy   x  12 xy  20 y  TH xy  hệ có nghiệm x  y  Vậy hệ có nghiệm x  y  f '(t )  20 V Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 1) Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh VT  VP ngược lại, dấu xảy x  y 2) Một số BĐT quen thuộc  x2  y x  xy  y   x y  Bài Giải hệ :   3  x  y   x  x  y  14  y  (1) (2) HD : Từ (1) VT  VP, dầu x  y thay vào PT (2) ta có : - x  x   x3  14  x  2   x  2x 1  x  2x 1  Ta có :    x2  2x    x     x  2x 1   x  14  x  2  (2x  3x  4)(2y  3y  4)  18 ( x, y  ) Bài (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :  2   x  y  xy  7x  6y  14  - (2)  x  ( y  7) x  y2  y  14  x   x    y  0,25 - (2)  y2  ( x  6) y  x  x  14  y   y    x  10 0,25 - Xét hàm số f (t )  2t  3t  4, t  R  f '(t )  4t - 3, f '(t )   t  - 1 3  Vì  ;   hàm số f(t) đồng biến 4  TH x   f ( x )  f (2)  Kết hợp với y  0,25  f ( y )  f (1)   f (x ).f ( y )  (2x  3x  4)(2 y  3y  4)  18 -  2 y  y    y  1, y  TH x  hệ trở thành   vô nghiệm  y  y    y  - Vậy hệ cho vô nghiệm 0,25 21 ... Bài Giải hệ phương trình :   x  y   x3  x  y  y Bài Giải hệ phương trình   x  y  (1) (2) (1) (2) Phân tích Ta giải hệ phương pháp đưa dạng tích Tuy nhiên ta muốn giải hệ phương pháp. .. phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau * Nhận dạng Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k  x  y   Bài Giải. .. nghiệm ĐK Vậy hệ có nghiệm (1; 1)  x  xy  y  Bài Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  3x  xy  y  38 Bài Giải hệ phương trình  2 5 x  xy  y  15 Phân tích Đây hệ phương trình có