CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT.

CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: a, ab + ba M 11 b, ab − ba M9 (a > b) c, abcabcM7,11,13 a, Ta có : ab + ba = 10a + b + 10b + = 11b + 11b M 11 b, Ta có : ab − ba = (10a + b) − (10b + a ) = 9a − 9b M9 c, Ta có : abcabc = abc.1001 = abc.7.11.13M7,11,13 Bài 1: Chứng minh rằng: (n + 10)(n + 15) M2 e, f, n(n + 1)(n + 2)M2,3 g, n2 + n + M không 4,2,5 a, Ta có : Nếu n số lẻ n + 15M2 Nếu n số chẵn b, Ta có : Vì c, Ta có : n ( n + 1) ( n + ) n( n + 1) + n + 10M2 , Như với n số tự nhiên : ( n + 10 ) ( n + 15) M2 số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho M số lẻ nên không cho 4,2 có chữ số tận khác Bài 1: Chứng minh rằng: (n + 3)(n + 6) M2 n2 + n + M i, j, không k, aaabbbM37 a, Ta có : Nếu n số chẵn n lẻ b, Ta có : n + 3M2 n + 6M2 , Như với n số tự nhiên ( n + 3) ( n + ) M2 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 n + n + = n ( n + 1) + : 0, 2, 6, Do : c, ta có : n ( n + 1) + , Vì n ( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận M có tận 6, 8, nên không aaabbb = aaa 000 + bbb = a.11100 + b.111 = a.300.37 + b.3.37 Bài 1: Chứng minh rằng: ab(a + b)M2 aaa Ma d, ,37 h, m, chia hết cho 37 abc − cba M99 a, ta có : aaa = a.111 = a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, ta có: Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ=> (a+b) số chẵn nhưu a+b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho c, Ta có: abc − cba = 100a + 10b + c − ( 100c + 10b + a ) = 99a − 99c = 99 ( a − c ) M99 Bài 2: Chứng minh rằng: a, Nếu ab + cd M 11 abcd M 11 abc − deg M7 b, Cho cmr abc deg M7 a, Ta có: Ta có : Khi ab + cd = a.10 + b + 10c + d = (a + c)10 + b + d = (a + c )(b + d ) M 11 abcd M 11 có (a+c) - ( b+d) M hay (a+c) – (b+d) 11 M 11 b, Ta có: Ta có abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg) mà abc − deg M7 nên abc deg M7 Bài 2: Chứng minh rằng: c, Cmr ab = 2.cd → abcd M67 d, Cho abcM27 cmr bcaM27 a, ta có: Ta có b, ta có : Ta có abcd = 100ab + cd = 200cd + cd = 201cd M67 abc M27 => abc0M27 => 1000a + bc0 M27 => 999 a + a + bc0 M27 => 27.37 a + bca M27 bcaM27 Nên Bài 2: Chứng minh rằng: abc deg M23, 29 abc = 2.deg GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 e, f, Cmr (ab + cd + eg )M 11 abc deg M 11 a, ta có : abc deg = 1000abc + deg = 1000.2deg + deg = 2001deg = deg.23.29.3 b, ta có : abc deg = 10000.ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + (ab + cd + eg ) M 11 Bài 2: Chứng minh rằng: g, Cho abc + deg M37 cmr abc deg M37 h, Nếu abcd M99 ab + cd M99 a, ta có : abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg) M37 b, Ta có : ( ) ¶ = 99.ab + ab + cd M99 => ab + cd M9 abcd = 100.ab + cd abcd M 101 Bài 2: Chứng minh rằng:m, Nếu ab − cd M 101 Ta có : ( ) abcd M 101 => 100.ab + cd = 101.ab − ab + cd = 101.ab − ab − cd M 101 Bài 3: Chứng minh rằng: M M ∈ a, 2a - 5b+6c 17 a-11b+3c 17 (a,b,c Z) => ab − cd M 101 M ↔ M ∈ b, 3a+2b 17 10a+b 17 (a,b Z) a, Ta có : a-11b+3c M 17 17a-34b +51c M 17 nên 18a-45b+54c M M 17 => 9(2a-5b+6c) 17 b, ta có : 3a+2b M 17 17a - 34b 10a+b M M 17 nên 20a – 32b 17 10a – 16b M M 17 10a +17b – 16b 17 M 17 Bài 3: Chứng minh rằng: c, abcd M29 ↔ a + 3b + 9c + 27d M29 d, abc M21 ↔ a − 2b + 4c M21 a, Ta có : GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 abcd = 1000a + 100b + 10c + d M29 => 2000a+200b+20c+2d M 29 M => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d 29 M M => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29 b, ta có: abc = 100a + 10b + c M M 21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c 21 M M => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21 Bài 3: Chứng minh rằng: e, abcd M4 ↔ d + 2c M4 f, abcd M 16 → d + 2c + 4b + 8a M 16 (c chẵn) a, Ta có: Vì e, b, Ta có: Vì abcd M4 → cd M4 → 10c + d M4 → 2c + d M4 abcd M 16 => 1000a + 100b + 10c + d M 16 => 992a + 8a + 96b + 4b + 8c + 2c + d M 16 M => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c Bài 3: Chứng minh rằng: M M ∈ g, Cho a - b cmr 4a+3b (a,b Z) M M 16 => (8a+4b+2c+d) 16 M ↔ M h, Cmr m +4n 13 10m+n 13 a, Ta có: M M M a – b nên 4(a –b) => 4a – 4b +7b => 4a +3b M b, Ta có : m+4n M M M M 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n 13 =>10m+ n 13 Bài 4: Cho a,b số nguyên, CMR 6a+11b không? M M 31 a+7b 31, điều ngược lại có Ta có : M M M 6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31 Bài 5: Cho a,b số nguyên, CMR 5a+2b M M 17 9a+7b 17 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Ta có : M M M M 5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b M 17 M M Bài 6: Cho a,b số nguyên, CMR 2a+3b 8a + 5b Ta có: M M M M M 2a+3b => 4(2a+3b) =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b Bài 7: Cho a,b số nguyên, CMR a - 2b khơng? M M a-9b 7, điều ngược lại có Ta có: M M M a – 2b => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại Bài 8: Cho a,b số nguyên 5a+8b M M a, - a +2b b, 10a +b (-3) M cmr M c, a +16b a, Ta có: M M M 5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b 3=> -a+2b b, ta có: M M M M 5a +8b => 2(5a+8b) 3=>10a+16b 3=>10a+16b-15b c, ta có: M M M 5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b =>a+16b M Bài 9: Cho biết a-b 6, CMR biểu thức sau chia hết cho a, a +5b b, a +17b c, a - 13b a, Ta có: M M M a-b => a-b+6b 6=> a+5b b, ta có: M M M M M a-b => a-b +18b 6=> a+17b c, Ta có: M a - b => a-b-12b 6=> a-13b Bài 10: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư, M Tuấn.SĐT:01675418290 GV:Nguyễn Văn cmr (ab-1) Ta có: a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r ∈ Z, r=1,2) ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1  r = => r − = 0M3   r = => r − = 3M3 Bài 11: Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 Ta có : Gọi số tự nhiên có chữ số abbaM 11 ab theo ta có abba = 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b Bài 12: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho Ta có : Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta : /4 a + ( a + 1) + ( a + ) + ( a + 3) = 4a + M Bài 13: Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẻ liên tiếp khơng chia hết cho 10 Ta có : Gọi số chẵn liên tiếp a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: a + ( a + ) + ( a + ) + ( a + ) + ( a + ) = 5a + 20M 10 Tương tự với số lẻ liên tiếp : Vì a số chẵn 2a − 1, 2a + 1, 2a + 3, 2a + 5, 2a + 7, xét tổng ta : / 10 ( 2a − 1) + ( 2a + 1) + ( 2a + 3) + ( 2a + ) + ( 2a + ) = 10a + 15 M Bài 14: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Ta có : Gọi số cần tìm n= ab a, n chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên ab M ab dư chia 12 dư Nếu phép chia thứ ab chia dư 4=> ab M ab M => 12 => n chia 12 dư Bài 15: Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 27, biết hai số 97 Ta có: Gọi số cần tìm a97b a97b M nên b = b = => trường hợp b = => a970M27 => a + + + = a + 16M9 => a = TH1: Với , Khi số cần tìm 2970 thỏa mãn chia hết cho 27 b = => a975M27 => a + + + = a + 21M => a = TH2: Với , Khi số cần tìm 6975 khơng chia hết cho 27 Bài 16: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số nó, cmr b M a Ta có: ab M M =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>b a Bài 17: Tìm a, b, c biết: 2009abcM315 Ta có: 315 = 5.7.9 ta có: ( , Mà (5;7;9) = => 2009abc MBCNN ( 5;7;9 ) 2009abc = 2009000 + abc = 315.6377 + 245 + abc ) ( => 245 + abc M315 => 315 ∈ U 245 + abc mà ) 100 ≤ abc ≤ 999 => 345 ≤ 245 + abc ≤ 1244 => 245 + abc ∈ { 630;945} => abc ∈ { 385;700} GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Bài 17: Tìm a,b biết: (14a3 + 35b2) M d, a-b=3 Ta có: Để : 14a3 + 35b2M => + + a + + + + b + = a + b + 18M => a + b M mà a b số chó chữ số nên kết hợp với a - b =3 để tìm a b 5a 6b 2M3 Bài 17: Tìm a,b biết:c, a + b = 0, a + b = 9, a + b = 18 a - b=4 Ta có: 5a 6b2M => + a + + b + = a + b + 13M => a + b + 1M Để Do a, b hai số tự nhiên có chữu số nên: a + b = 2, a + b = 5, a + b = 8, a + b = 11, a + b = 14, a + b = 17, Bài 18: Cho 22x − y a/ , Kết hợp với a −b = để tìm a,b x − y = ( x, y ∈ Z ) , CMR biểu thức sau chia hết cho x + 20 y 11x + 10 y b/ c/ a, Ta có: x − y = => x − y M7 => x − y + 21x M7 => 22 x − y M7 b, ta có: x − y = => ( x − y ) + ( x + 21y ) M7 => x + 20 y M7 c, ta có: x − y M7 => 11x − 11 y M7 => 11x − 11y + 21 y M7 => 11x + 10 y M7 Bài 19: Cho A = 111 Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 khơng? Ta có: 111 = 3.37 , nên để 111 1M 111 => 111 1M3 chia hết cho 37 Ta có: 111 ( 20 số ) có tổng chữ số 1+1+1+ +1=20 không chia hết M M Bài 20: CMR: 7x+4y 29 9x+y 29 Ta có: / 111 111 1M x + y M9 => 36 x − 29 x + y M9 => 36 x + y M9 => ( x + y ) M9 => x + y M9 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Bài 21: CMR abcd M29 a+3b+9c+27d chia hết cho 29 Ta có: abcd M29 1000a + 100b + 10c + d M29 200a + 200b + 20c + 2d M29 ( 2001a − 1) + ( 203b − 3b ) + ( 29c − 9c ) + ( 29d − 2d ) M29 ( 2001a + 203b + 29c + 29d ) − ( a + 3b + 9c + 27 d ) M29 ( 69.29a + 7.29b + 29c + 29d ) − ( a + 3b + 9c + 27d ) M29 Khi đó: a + 3b + 9c + 27d M29 Bài 22: Chứng minh x,y số nguyên cho chia hết cho 13 ngược lại Ta có: ( x + y ) M13 ( 5x + y ) 5x + yM 13 => ( x + y ) M 13 => 20 x + 16 y M 13 => x + y M 13 Từ ta ngược lại Bài 23: Cho ta có : A = n2 + n + , CMR A không chia hết cho 15 với số tự nhiên n n + n + = n ( n + 1) + : 0, 2, 6, Do : n ( n + 1) + , Vì n ( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận có tận 2, 4, nên không M 5, A không chia hết cho 35 Bài 24: Chứng minh 2x+3y chia hết cho 17 9x+5y chia hết cho 17 Ta có : 2x + yM 17 => ( x + y ) M 17 => 18 x + 27 y M 17 => 18 x + 10 y M 17 => ( x + y ) M 17 Khi : 8x + yM 17 1+ , Chứng minh tương tự điều ngược lại 1 1 a + + + + = 18 b bM2431 Bài 25: Cho , CMR: Ta có : Tách 2431=17.13.11 a b = 1.2.3.4 18 b Ta quy đồng Ta b có chứa thừa số 17.13.11 Nên b chia hết cho 2431 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Bài 26: CMR: số nguyên Ta có : M = ( a − b) ( a − c) ( a − d ) ( b − c) ( b − d ) ( c − d ) chia hết cho 12, Với a, b, c, d M = ( a − b) ( a − c) ( a − d ) ( b − c) ( b − d ) ( c − d ) Trong số a,b,c,d chắn có hai số chia cho có số dư, Nên hiệu chúng chia hết cho 3, Như M chia hết cho Lại có số nguyên a,b,c,d có số chẵn có số lẻ, Giả sử a,b số chẵn, c,d ( a − b ) , ( c − d ) M2 => ( a − b ) ( c − d ) M4 => M M4 số lẻ Hoặc khơng phải số tồn số chia có số dư nên hiệu M chúng chia hết cho 4, Khi M Như M chia hết cho nên M chia hết cho 12 Bài 27: Một số chia cho dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? Ta có: Gọi số cho A, theo ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) a+39 đồng thời chia hết cho 7,17,23 mà 7,17,23 đôi nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, A chia 27737 dư 2698 Bài 28: CMR: Ta có: A= A = 88 + 20 , chia hết cho 17 88 + 220 = 224 + 220 = 20 ( 24 + 1) = 220.17M 17 Bài 29: Khi chia số tự nhiên gồm chữ số giống cho số tự nhiên gồm chữ số giống ta thương cịn dư, Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số bị chia thương phép chia số dư giảm trước 100, Tìm số chia số bị chi lúc đầu? Ta có: Gọi số bị chia lúc đầu aaa số chia lúc đầu bbb , số dư lúc đầu r 10 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Ta có: aaa = 2.bbb + r ( aa = 2.bb + r − 100 nên ) aaa − aa = bbb − bb + 100 => a 00 = 2.b00 + 100 => a = 2b + Do a, b chữ số nên ta có bảng: Bài 30: Cho D=1-2+3-4+ +99-100 a, D có chia hết cho khơng, cho 3, cho khơng? sao? b, D có ước số tự nhiên, ước số nguyên? Ta có : a,ta tính D= - 50, nên D có chia hết cho 2, khơng chia hết cho = 2.52 b, D = -50 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, có 12 ước nguyên Bài 31: CMR : 10 2011 + chia hết cho 72 Ta có : 102011 + = 1000 008 43 2010 Có tổng chữ số nên chia hết cho 9, có chữ số tận 008 nên chia hết cho 8, Như chia hết cho 8.9 = 72 Bài 32: Cho A = 9999931999 − 5555571997 , CMR A chia hết cho Ta có : A = ( 999993 ) 1996 + − ( 555557 ) 1996 +1 = 9999931996.9999933 − 5555571996.555557 A = .1 .7 − = 0M => AM Bài 34: CMR : ab + 8.ba M Ta có: ab + 8.ba = 10a + b + ( 10b + a ) = 18a + 18b = 18 ( a + b ) M9 Bài 35: Cho a,b hai số phương lẻ liên tiếp, CMR : ( a − 1) ( b − 1) M192 Ta có: 11 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Vì a, b số lẻ nên ( a − 1) ( b − 1) M4 a = ( 2k − 1) , b = ( 2k + 1) => ( a − 1) = 4k ( k − 1) , ( b − 1) = 4k ( k + 1) Đặt Khi : Và ( a − 1) ( b − 1) = 16k ( k − 1) ( k + 1) k ( k − 1) , k ( k + 1) , Mà k ( k + 1) ( k + ) M3 chia hết cho k ( k − 1) ( k + 1) M 12 => ( a − 1) ( b − 1) = 16k ( k − 1) ( k + 1) M 192 Nên Khi a, b số phương lẻ liên tiếp , Bài 36: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 12n+1 Ta có : 2n + 7Mn + => x + + 5Mn + => ( n + 1) + 5Mn + => n + 1∈ U ( ) Tương tự : 2n + M 12n + => ( 2n + ) M 12n + => 12 n + 42M 12n + => 12 n + + 41M 12 n + => 12 n + ∈ U ( 41) M M Bài 37: CMR : 2x+y 5x+7y Ta có : x + y M9 => ( x + y ) M9 => 14 x + y M9 => x + x + y M9 => x + y M9 Bài 38: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y (y+1) chia hết cho x ta có : x≤ y Vì vai trị x, y bình đẳng nên giả sử : y =1 x = => x + = 2My =>  => ( x; y ) = ( 1;1) , ( 1; ) y = Nếu  x + 1My x ≥ => ≤ x ≤ y =>  => ( x + 1) ( y + 1) = ( xy + x + y + 1) Mxy => ( x + y + 1) Mxy  y + 1Mx Nếu x + y +1 1 => = + + xy x y xy số nguyên dương 1 1 1 1 ≤ x ≤ y => + + ≤ + + = => + + =1 x y xy 2 4 x y xy mà (1) 12 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 => = 1 1 1 + + ≤ + + = => x ≤ => x = x y xy x x x x , Thay vào (1) ta có : 1 + + = => y = y 2y Vậy cặp số (x ; y) phải tìm : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2) Bài 39: Tìm số có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số ta có : Gọi số cần tìm => ab ab Ma.b => 10a + b Mab => 10a + bMa => b Ma => b = k a ( k ∈ N ) ab = 10a + b Mà 10a + b Mb => 10a Mb 10a = b.q => 10a = z.k q => 10 = k q Và , mà b chia hết cho a=> Do k số có chữ số nên k= 1;2;5 Với k=1=> a=b, ta có số 11,22,33, 99, có số 11 thỏa mãn Với k=2=>b=2a, ta có số 12, 24, 36, 48, có số 12, 24, 36 thỏa mãn Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn số cần tìm 11, 12, 24, 36, 15 Bài 40: Tìm số có ba chữ số biết số chia cho 11 thương tổng chữ số số Ta có : Gọi số cần tìm : abc abc = 11( a + b + c ) => 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c theo ta có : => 89a = b + 10c => 89a = cb => a = 1, Khi ta có : , Vì cb số có hai chữ số nên < a< 89 = cb => bc = 98 => abc = 198 DẠNG : CHỮ SỐ TẬN CÙNG Bài 1: Tìm chữ số tận số sau: ∈ ∈ 1, A= 24n - (n > 0, n N) 2, B= 24n+2 + (n N) ∈ 3, C= 74n – (n N ) a, Ta có : n A= ( ) 24 n − = ( 24 ) − = 16 − = − = .1 n 13 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 b, Ta có : B = 24 n + + = 24 n.4 + = 6.4 + = .5 c, Ta có : C = n − = − = Bài 1: Tìm chữ số tận số sau: n 4, D= n 22 + 5, E= 24 + a, Ta có : n 2n =22+n-2 =22.2n-2 =4.2n-2 => 22 = 24.2 n−2 = (24 ) n −2 = b, Ta có : n −1 n n −1 4n = 41+ n −1 = 4.4n −1 => = 4.4 = (2 ) = Bài 2: Chứng minh rằng: 1, A = 22 − 1M5 n 2, B= n + 4M 10 3, C= 92 − 1M 10 a, Ta có : 2 − = − = 15M b, Ta có : n Ta có 24 có tận c, Ta có : n −1 n n −1 2n = 21+ n−1 = 2.2n −1 => − = 92.2 − = (92 ) − = − = M 10 Bài 2: Chứng minh rằng: 24 n+1 + 3M5 n+1 + 1M 10 5, E= 6, F= 7, H= n − 1M a, Ta có : 24 n +1 + = 24 n.2 + = 6.2 + = b, Ta có : 92 n +1 + = 92 n.9 + = 1.9 + = c, Ta có : n − = − = Bài 2: Chứng minh rằng: 9, I= 24 n+ + 1M5 n 10, K= 32 + 4M5( n ≥ 2) n 11, M= 34 − 1M 10( n ≥ 1) 14 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 a, Ta có : 24 n + + = 24 n.22 + = 6.4 + = b, Ta có : n 2n = 22+ n − = 22.2n −2 = 4.2n− => 32 + = 34.2 n −2 + = + = c, Ta có : n −1 n 4n = 41+ n−1 = 4.4 n −1 => 34 − = 34.4 − = − = Bài 2: Chứng minh rằng: 34 n+1 + 2M5 4, D= 92 n − 1M 8, G= a, ta có : 34 n +1 + = 34 n.3 + = 1.3 + = 5M b, ta có : 92 n − = − = Bài 3: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 34 n +1 + 1(n ∈ N ) 24 n +1 − 2(n ∈ N ) 1, 2, a, Ta có : 34 n +1 + = 34 n.3 + = 1.3 + = b, Ta có : 24 n +1 − = 24 n.2 − = 6.2 − = Bài 3: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 n 3, 22 + 4(n ∈ N, n ≥ 2) n 4, 94 − 6(n ∈ N , n ≥ 1) a, Ta có : n 2n = 22+ n − = 22.2n −2 = 4.2n− => 22 + = 4.2 n −2 + = + = b, Ta có : n n −1 4n = 41+ n−1 = 4.4n −1 => 94 − = 94.4 − = − = Bài 4: Chứng minh rằng: M 1, 94260 - 35137 M 2, 995 – 984 +973 – 962 a, Ta có : 15 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 ( 942 ) 15 − ( 351) 37 = − .1 = .5M5 b, Ta có : 995 − 984 + 973 − 962 = 994.99 − 984 + 973 − 96 = 1.99 − + − = .0 Hiển nhiên chia hết cho Bài 4: Chứng minh rằng: 17 25 + 244 − 1321 M 10 3, 4, 8102 − 2102 M 10 a, Ta có: 17 25 + 244 − 1321 = 17 24.17 + 244 − 1320.13 = 1.17 + − 1.13 = chia hết cho 10 b, ta có: 8102 − 2102 = 8100.82 − 2100.22 = 6.64 − 6.4 = .4 − = Bài 4: Chứng minh rằng: 3636 − 910 M45 5, 6, nên chia hết cho 10 10 28 + 8M72 a, ta có: 3636 − 910 = − 98.92 = − .1.81 = − = 36M9 => 3636 M9,910 M9 => Chia hết cho 5, ta thấy đpcm b, Ta có : 1028 + = 10 00 + = 1000 008M có tổng chữ số nên chia hết cho Khi chia hết cho 72 Bài 4: Chứng minh rằng: 88 + 220 M 17 7, 8, 165 + 215 M 33 a, Ta có: 88 + 220 = ( 23 ) + 20 = 24 + 220 = 20 ( 24 + 1) = 20.17 M 17 b, ta có: 165 + 215 = ( 24 ) + 215 = 220 + 215 = 215 ( 25 + 1) = 215.33M33 Bài 4: Chứng minh rằng: 106 − 57 M 59 10, 11, 817 − 27 − 913 M45 a, Ta có: 16 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 106 − 57 = ( 2.5) − 57 = 26.56 − 57 = 56 ( 26 − ) = 56.59M59 b, Ta có: 817 − 279 − 913 = ( 34 ) − ( 33 ) − ( 32 ) = 328 − 327 − 326 = 326 ( 32 − − 1) = 326.5 = 324.45M45 Bài 5: CMR: 2008100 + 200899 M2009 1/ 13 2/ 12345678 − 12345677 M 12344 a, ta có: 2008100 + 200899 = 200899 ( 2008 + 1) = 200899.2009M2009 b, Ta có : 12345678 − 12345677 = 12345677 ( 12345 − 1) = 12345677.12344M 12344 M Bài 6: Cho n số tự nhiên, CMR : A=17n+111 (n chữ số 1) Ta có : A = 18n − n + 111 Số 1111 có tổng chữ số 1+1+1+1+ +1 có n số nên n A = 18n − n + 1111 18nM9 Khi có nên cần 1111 1-n chia hết cho mà 1111 - n có tổng chữ số nên chia hết cho A chia hết cho 17 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 DẠN : NHÓM HỢP LÝ Bài 1: Chứng minh rằng: 3n + − 2n+ + 3n − 2n M 10 1, 2, 3n+ − 2n +4 + 3n + 2n M 30 a, Ta có: VT = 3n.9 − 2n.4 + 3n − n = 3n ( + 1) − n −1.8 − 2n −1.2 = 3n.10 − 2n−1.10M 10 b, Ta có: VT = 3n.9 − 2n.16 + 3n + 2n = 3n ( + 1) − n ( 16 − 1) = 3n.10 − 2n.15M30 Bài 1: Chứng minh rằng: 8.2n + 2n+1 M 10 3, 4, 3n +3 + 2n +3 + 3n +1 + 2n+ M6 a, Ta có: 8.2n + 2n+1 = 8.2n + n.2 = 2n ( + ) = 10.2 n M 10 b, Ta có: VT = 3n.27 + 3n.3 + 2n.8 + n.4 = 3n.30 + 2n.12M Bài 1: Chứng minh rằng: 10n + 18n − 1M27 5, 6, D = 10n + 72n − 1M 81 a, Ta có: VT = ( 10n − 1) + 18n = 999 + 18n ( có n chữ số 9) VT = 9.1111 + 9.2n = ( 111 + 2n ) M9 mặt khác: 111 + 2n ( có n chữ số 1) = ( 1111 − n ) + 3n 111 − n Xét: có tổng chữ số 1+1+1+ +1-n=0 nên chia hết cho 111 1+2n chia hết cho 3=> VT chia hết cho 27 b, ta có: D = 10n − + 72n = 9.111 − n + 81n = 9(111 − n) + 81n Xét 111 - n chia hết cho => D chia hết cho 81 Bài 2: CMR : 3n +1 + 3n+ + 3n+ chia hết cho 13 với n ta có: 18 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 3n +1 + 3n + + 3n +3 = 3n.3 + 3n.9 + 3n.27 = 3n.3 ( + + ) = 3n +1.13M 13 Bài 3: Chứng minh rằng: + + 32 + 33 + + 311 M4 1, a, ta có: + 52 + 53 + + 58 M 30 2, A = + + 32 + 33 + + 310 + 311 = ( + 3) + 32 ( + 3) + + 310 ( + 1) A = + 32.4 + 34.4 + + 310.4M4 b, Ta có: B = + 52 + 53 + 54 + + 58 = ( + 52 ) + ( 53 + 54 ) + + ( 57 + 58 ) B = 30 + 52.30 + + 56.30 Bài 3: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + + 260 M 15 3, 4, + + 32 + 33 + + 3119 M 13 a, ta có: C = + 22 + 23 + + 260 = ( + 2 + 23 + 24 ) + ( 25 + + 28 ) + + ( 257 + + 60 ) C = ( + + + ) + 25 ( + + + ) + + 257 ( + + + ) C = 15 ( + 25 + + 257 ) b, Ta có: D = ( + + 32 ) + ( 33 + 34 + 35 ) + + ( 317 + 318 + 319 ) D = 13 + 33.13 + + 317.13 = 13 ( + 33 + + 317 ) M 13 Bài 3: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + + 260 M3, 7,15 5, a, ta có: 6, + + 32 + 33 + + 31991 M 13, 41 A = ( + 22 ) + ( 23 + ) + + ( 259 + 260 ) A = ( + ) + 23 ( + ) + + 259 ( + ) => AM3 lại có: A = ( + 22 + 23 ) + ( 24 + 25 + 26 ) + + ( 258 + 259 + 260 ) A = ( + + 22 ) + ( + + 22 ) + + 258 ( + + 2 ) M7 19 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Lại có: A = ( + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 ) + + ( 257 + 258 + 259 + 260 ) A = 2.15 + 25.15 + + 257.15M 15 b, ta có: B = ( + + 32 ) + ( 33 + 34 + 35 ) + + ( 31989 + 31990 + 31991 ) B = 13 + 33.13 + + 31989.13M 13 Lại có: B = ( + 32 + 34 + 36 ) + ( + 33 + 35 + 37 ) + + ( 31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + ( 31985 + 31987 + 31989 + 31991 ) = 820 ( + + + 31984 + 31095 ) M41 Bài 3: Chứng minh rằng: 7, + 22 + 23 + + 2100 M31 a, ta có: 8, + 32 + 33 + + 31998 M 12,39 A = ( + 22 + 23 + 24 + 25 ) + ( 26 + + 28 + 29 + 210 ) + + ( 296 + 297 + 298 + 299 + 2100 ) A = 2.31 + 26.31 + + 296.31M 31 b, ta có: S = ( + 32 ) + ( 33 + 34 ) + + ( 31997 + 31998 ) S = 12 + 32.12 + + 31996.12M 12 mặt khác: S = ( + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 ) + + ( 31996 + 31997 + 31998 ) S = 39 + 33.39 + + 31995.39M 39 Bài 3: Chứng minh rằng: + 32 + 33 + + 31000 M 120 9, 10, 11 + 112 + 113 + + 118 M 12 a, Ta có: ta thấy tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40 B = ( + 32 + 33 + 34 ) + + ( 3997 + 3998 + 3999 + 31000 ) = ( + + 32 + 33 ) + + 31997 ( + + 32 + 33 ) M40 M Như A 120 b, Ta có: 20 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 C = ( 11 + 112 ) + ( 113 + 114 ) + + ( 117 + 118 ) C = 11( + 11) + 113 ( + 11) + + 117 ( 11 + 11) C = 11.12 + 113.12 + + 117.12M 12 Bài 3: Chứng minh rằng: + 42 + 43 + + 4210 M210 11, 12, + + 52 + 53 + + 5404 M 31 a, ta có : Tổng A hiển nhiên chia hết cho (1) nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21 A = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 4209 + 4210 ) A = ( + ) + 43 ( + ) + + 209 ( + ) = 4.5 + 43.5 + 209.5 M (2) A = ( + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) + + ( 208 + 209 + 4210 ) A = ( + + 16 ) + 44 ( + + 16 ) + + 4208 ( + + 16 ) M21 (3) M từ (1), (2) (3) ta thấy: A 210 b, Ta có : B = ( + + 52 ) + ( 53 + 54 + 55 ) + + ( 5402 + 5403 + 5404 ) B = 31 + 53 ( + + 52 ) + + 5402 ( + + 52 ) M31 Bài 3: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + 24 + + 2100 M 13, 14, 321 + 322 + 323 + + 329 M 13 a, Ta có : A = ( + 22 ) + ( 23 + ) + + ( 299 + 2100 ) A = ( + ) + 23 ( + ) + + 299 ( + ) = 2.3 + 23.3 + + 299.3 M b, ta có : B = ( 321 + 322 + 323 ) + ( 324 + 325 + 326 ) + ( 327 + 328 + 329 ) B = 321 ( + + 32 ) + 324 ( + + 32 ) + 327 ( + + 32 ) B = 321.13 + 324.13 + 327.13M 13 21 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 Bài 4: CMR ta có : Đặt A = 75.(42004 + 42003 + + + + 1) + 25M 100 B = 42004 + 42003 + + 42 + + A = 75 ( 2005 Bài 33: CMR: Ta có : − 1) : + 25 = 25 ( 2005 , Tính B thay vào A ta : − 1) + 25 = 25 ( 2005 − + 1) = 25.4 2005 M 100 M = 2012 + 2012 + 20123 + + 2012 2010 M2013 M = ( 2012 + 20122 ) + ( 20123 + 2012 ) + + ( 2012 2009 + 20121010 ) M = 2012 ( + 2012 ) + 20123 ( + 2012 ) + + 20122009 ( + 2012 ) M = 2012.2013 + 20123.2013 + + 2012 2009.2013M2013 Bài 5: Cho Ta có: A = + + 2 + + 2008 , Tìm dư A chia cho A = + + ( 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 ) + + ( 22006 + 2007 + 2008 ) A = + 22 ( + + 22 ) + 25 ( + + 2 ) + + 2006 ( + + 2 ) A = + 22.7 + 25.7 + 22006.7 Bài 7: CMR : dương Ta có: , Nhận thấy A chia dư A = 20 + 21 + 22 + + 25n −3 + 25 n −2 + 25 n −1 chia hết cho 31 n số nguyên A = ( + + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) + + ( 25 n −5 + 25 n − + 25 n −3 + 25 n −2 + 25 n −1 ) A = 31 + 25 ( + + 2 + 23 + 24 ) + + 25n −5 ( + + 2 + 23 + ) A = 31 + 25.31 + + 25 n −5.31M 31 Bài 8: Cho n số nguyên dương, CMR : 3n + , bội 10 3n+ + bội 10 Ta có: Nếu 3n + , Là bội 10 3n + có tận số 0=> 3n có tận 22 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 mà 3n + + = 3n.34 + = .9.81 + = + = M 10 Bài 11: CMR : ta có: N = + 52 + 53 + + 52012 (đpcm) bội 30 N = ( + 52 ) + ( 53 + 54 ) + + ( 52011 + 52012 ) N = 30 + 52 ( + 52 ) + + 52010 ( + 52 ) = 30 + 52.30 + + 52010.30M30 Bài 12: Cho ta có: S = + 42 + 43 + + 42004 , CMR S chia hết cho 10 3S+4 chia hết cho 42004 S = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 42003 + 42004 ) S = ( + ) + 43 ( + ) + + 2003 ( + ) = 4.5 + 43.5 + + 2003.5 => S M5, S M2 => S M 10 mặt khác: S = 42 + 43 + 4 + + 42005 => S − S = 3S = 42005 − => 3S + = 42005 M4 2004 Bài 13: Cho N = 0, ( 2007 2009 − 20131999 ) , CMR: N số nguyên ta có: N= ( 2007 2009 − 20131999 ) 10 , Để Chứng minh N alf số nguyên N chia hết cho 10 hay: 2007 2009 − 20131999 = 2007 2008.2007 − 20131996.20133 = 1.2007 − = − = 0M 10 N chia hết cho 10, Khi N số nguyên 23 GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290 ... phải số tồn số chia có số dư nên hiệu M chúng chia hết cho 4, Khi M Như M chia hết cho nên M chia hết cho 12 Bài 27: Một số chia cho dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số chia cho 2737... chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn b, Vì a+b=14 nên ab M ab dư chia 12 dư Nếu phép chia thứ ab chia dư 4=> ab M ab M => 12 => n chia 12 dư Bài 15: Tìm số tự nhiên có chữ số chia. .. chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? GV:Nguyễn Văn Tuấn.SĐT:01675418290