Giáo án dạy thêm toán lớp 11

Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) Chương IV: GIỚI HẠN (GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC) A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Tóm tắt lý thuyết: Giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực: a) Giới hạn hữu hạn ⇔  un = a(un – a) = lim n → +∞ b) Giới hạn vô cực: ∞  un = + lim n → +∞ ∞ ⇔  un = –(–un ) = + lim n → +∞ ( Chú ý: Thay nlim viết: un = a; → +∞ ∞ = a; un = , ta viết tắt: un ±llim im n → +∞ ±lim ∞ un = Các giới hạn đặc biệt: k ∞ a) lim; lim; limn =+ ==00 dương) k ( với k nguyên nn  0; neu : q < lim q n =  + ∞;.neu : q > b) c) limc = c ( với c số ) Định lí giới hạn hữu hạn: a) Nếu limun = a limvn = b, thì:  lim(un + vn) = a + b  lim(un – vn) = a – b q 0, lim = > n c) Nếu limun = + limvn = a > lim(un.vn) = + Cấp số nhân lùi vô hạn: a) Định nghĩa: CSN lùi vô hạn cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn b) Công thức tính tổng CSNLVH: II Các dạng tập áp dụng: Bài 1: Tìm giới hạn sau: a) lim(2n2 + 3n – 1) b) lim(– n2 – n + 3) c) lim(3n3 – n2 + n + 5) bu≠ a Bài Tìm giới hạn sau: lim n = ulim n ∈ N * a) b) c) d) e) f) v; ∀ n ≥ 0u n = ba g) h) i) j) k) l) m) n) 1n32+2n+3n3n3 32− ++ −3n42n+−2521+ lim lim lim o) 2n3 + n−n3 + n 222n+ 6− nn+3+ n+31+n93− lim 727 ±lim ∞ 3n − 3n + Bài 3: un limu ∀ = Tìm giới hạn sau: lim n = +∞ a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Bài 4: Tìm giới hạn sau: ∞ a) b) c) lim( lim(n32nn+++225n−− n−n+n−11+))1) lim( d) e) f) g) n − 2nn−22−++32nnn2− −+nnn2+−n31+ lim lim lim lim 3 3 2 3 h) i) j) lim( lim( 8n27n+nn23n2−n22−++n+n2−1n1−−−+−+12nnnn1−−2n2)n) lim Trêng THPT Nam Giang n2 + n − n Trang : 5n4253nn+−2 +3n72−nn2+5+11 lim lim lim lim 212 n + 2) ((n2752nnn22+ 22n− n32nn+−)(n+ 636−2nn+ 3nnn−1−131) limlim lim 2nnnn ++−23n3)( (25 nn+n−+31−11) n 73(.−5322nn) − + −23.n5736nn lim lim n2+1nn+nn1n+1nn n +n1n+n+n1n1+n2 (52−524(353− 75+−5.7−73.5624+ 33)+3+)− +3+ −+ lim lim lim lim n +n1 nn++ 11nn++11 nn+n1 n +1 n 32(−32++ ).357 +++5+57+43+.21 Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) k) 2n + 3n − n + lim Bài 5: Tìm giới hạn sau: a) b) 1 1n −1 − n lim(lim( + + + ++ + ) ) c) 1.3 11.−33.15 2(ĐS 14 − : 11(2)) ( n n−(11n−)(+212n)) + 1) lim( )( 22 322 n2 Bài 6: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: a) 1 1 S = − + − + − + ; b) 16 32 S = −1 + − + ; c) +1 12 S= + + + ; Bài 7: Tìm giới hạn sau: −1 − 2 a) b) ; c) − + 31−(+n42++1 )( n+ + (23+n) n− 1) − 2n lim lim lim ; ; n d) + a + a (+n +2+2n)( na+n1+ 4) lim , ( a < 1, b < 1); Bài 8*: Tìm giới hạn sau: + b + b + + bnn n n n8 a) ; b) ; c) d) log 2( a 2> 02) ) lim( lim a ; a2 lim lim ; (;a > 0) e) f)  11 3n n1! 2n −   lim1lim −   1.−  1 −; ;  2 4 2n  n  B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Tóm tắt lý thuyết: 1) Giới hạn hữu hạn: Xem SGK 2) Giới hạn vô cực: 3) Các giới hạn đặc biệt: ):Định lí 1: a) b) c) lim lim xc == xc0 xxx→ d) e) với k lim→→x±x0x0∞kc = +∞ =0 +∞ nguyên dương x →xlim →± ∞ x + ∞; neu k chan lim x k =  x → −∞ − ∞; neu k le f) 4) Định lí giới hạn hữu hạn: a) Nếu , lim lim gf((xx))== M L xx→ →xx00 thì: lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M ; thì: f ( x) L = ; ( M ≠ 0) lim g ( x) f ( xM) = L x→− ∞ +∞ ( Chú ý: Định lí ) ):Định lí 2: lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L lim x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 5) Quy tắc giới hạn vô cực: ; lim limgf( x( x) )==±L∞ x →x0x0 a) Quy tắc tìm x → giới hạn tích f(x).g(x): lim f ( x) x→ x0 lim g ( x) x→ x0 lim f ( x).g ( x) x→ x0 x → x0  lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M ; x → x0  lim [ f ( x).g ( x)] = L.M ; x → x0  ; b) Nếu , 0L limf (Lfx(≥)x≥0) = x → x0 Trêng THPT Nam Giang Trang : L>0 L0 ±∞ Trêng THPT Nam Giang Trang : L x− ≤22 f (x) =  lim ff (x) Tìm ; ; ( có ) (x) − + ( 4xxx−→→232 ) neu x > C HÀM SỐ LIÊN TỤC I Tóm tắt lý thuyết: 1) Hàm số liên tục: Trêng THPT Nam Giang Trang : Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) thực  Cho hàm số xác yx=0 ∈f (x K) định khoảng K y =f f( x(x) )= f ( x0 ) liên tục x0 ⇔ lim x → x0 y = f (x)  liên tục b Hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác khoảng liên tục điểm liên tục khoảng tập xác định thuộc khoảng chúng  liên tục lim+− yf =( x)f (x = )f (ba) x → ab ) Định lí 2: đoạn [a;b] Giả sử hai hàm số liên tục điểm x0 liên tục khoảng (a;b) và: ; đó: ) Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục a) Các hàm số ; liên tục x0 đoạn biểu diễn thị “ đường b) Hàm số liên tục điểm x0 liền nét” khoảng y ) Định lí 3: Nếu hàm số liên tục đoạn [a;b] tồn cho a x Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] 2) Các định lí: O b phương trình có nghiệm nằm ) Định lí 1: khoảng (a;b) a Hàm số đa thức liên tục toàn tập số II Các dạng tập áp dụng: Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm ( đoạn ) cho trước a) điểm x = –1 b) điểm x  xx22 ++11 khix x≠ ≤0  ff(x) = =1 (x) =  x 1− x > c) điểm x = d) điểm x  x2x−3 3x − 1+khi x = −1 khikhix x≠ ≠1   =1 f (x) f (x) = =  xx2 2−−12 e) điểm x = –2 f) xx −+44 x ≤ khikhi 12 x x≠x=−= f (x)=−1 điểm x = f (x) =  x2x+ + x >  y = gf (x) g) 4x−2 3x khixx≤≥−02 1 −x x x=0 h) điểm x = –1 f f( (xx) ).+ −gg( (xx)) i).tại điểm x =  x − 5x + x ≠  Bài 2: Chứng minh rằng: f (x) =  x − g ( xf 0()x)≠ 5 x =  a) Hàm số liên tục đoạn [-1;1] g ( x) f (x) = − x f (cayf ∈ ).(=cf()af(= b;(x b)0)< b) Hàm số liên tục khoảng f (x)[−=1;+∞x)+ c) Hàm số liên tục khoảng (-1;1) f (x) = [− ; ] d) Hàm số liên tục khoảng f (x) = − 2x 1− x2 e) Hàm số f (x)[ = ;+∞ 2x) + f (af ).( xf)(b=)0< liên tục khoảng f) Hàm số gián đoạn điểm x = (x + 1) x ≤ Bài 3: Tìm số thực a cho hàm số: f (x) =  xx< >1 xx + a) liên tục R f (x) =  2 b) liên tục R a x − khix x≥ ≤ 02 f (x) = 2ax c) liên tục R  x + a x ≥ Bài 4: Chứng minh phương f (x) =(1 −x a)x x > x < 2 trình: a) có nghiệm khoảng x cos x +(0; π) x + = x sin b) có nghiệm âm lớn x + x +1 = Trêng THPT Nam Giang Trang : Tài liệu phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) -1 Trêng THPT Nam Giang Trang : ... phụ đạo Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) k) 2n + 3n − n + lim Bài 5: Tìm giới hạn sau: a) b) 1 1n −1 − n lim(lim( + + + ++ + ) ) c) 1.3 11. −33.15 2(ĐS 14 − : 11( 2)) ( n n−(11n−)(+212n))... Môn Toán 11 _ (Phần Đại số & Giải tích) L f ( x) lim f ( x) lim g ( x) x→ x0 x→ x0 lim Dấu x→ x0 g ( x ) f(x) L>0 ±∞ Trêng THPT Nam Giang Trang : L