Sự hội tụ theo dung lượng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình Tác giả Dương Huyền Nhung ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Chuyên Tỉnh Cao Bằng đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức 1.3 Tính tựa liên tục hàm đa điều hòa 1.4 Nguyên lý so sánh 12 1.5 Các lớp lượng Cegrell 15 Chƣơng 2: SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG 16 2.1 Sự hội tụ hàm đa điều hoà bị chặn 16 2.2 Sự hội tụ lớp a 31 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm dung lượng Bedford Taylor giới thiệu năm 1982 [3] Nó đóng vai trò quan trọng lý thuyết đa vị, công cụ hiệu việc nghiên cứu hàm đa điều hòa toán tử Monge-Ampère phức Một hướng nghiên cứu lý thuyết đa vị nhiều người quan tâm tìm mối quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo MongeAmpère phức tương ứng Nghiên cứu kiểu hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo dung lượng Cn hàm Mối quan hệ hội tụ yếu độ đo Monge-Ampère phức với hội tụ theo C n 1  dung lượng hàm Vì theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “Sự hội tụ theo dung lượng” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng; mối quan hệ hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo Cn  dung lượng C n 1  dung lượng hàm Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Nghiên cứu mối quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng + Nghiên cứu mối quan hệ hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo Cn  dung lượng C n 1  dung lượng hàm + Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 45 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kiến thức sở lý thuyết đa vị cần thiết sử dụng chương Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết nghiên cứu gần Y Xing mối quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng, số dạng khác định lý tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Phần cuối chương trình bày lại kết Xing lớp kiểu Cegrell ( ) hàm đa điều hòa không bị chặn Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tôpô, hàm u : X gọi nửa liên tục trên X với x X : u(x ) tập mở hàm nửa liên tục không trùng với n b n u : , thành phần liên Hàm u gọi đa điều hoà với a u(a , hàm phần tập hợp u tập hợp mở X Định nghĩa 1.1.2 Cho thông , b) điều hoà trùng :a b thành Trong trường hợp này, ta viết PSH ( ) (ở kí hiệu PSH ( ) lớp hàm đa điều hoà ) Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ) , u với z u(z ) , y y n gọi đa cực với điểm E có lân cận V a hàm u E V z V : u(z ) sup lim sup u(y ) Định nghĩa 1.1.4 Tập hợp E a n PSH (V ) cho Định lý 1.1.5 Cho (i ) Họ PSH ( ) nón lồi, tức u, v PSH ( ) , (ii ) Nếu u lim u j j u v uj PSH ( ) u , số không âm PSH ( ) dãy giảm, j (iii ) Nếu u : , u j tập compact , u A Khi PSH ( ) liên thông (iv ) Giả sử u n tập mở j PSH ( ) hội tụ tới u PSH ( ) PSH ( ) cho bao u sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà Định lý 1.1.6 Cho n tập mở (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà lồi, v (u / v) đa điều hoà (ii ) Cho u PSH ( ) , v PSH ( ) , v v : 0, 0, Nếu lồi (0) , v (u / v) n hàm đa điều hoà âm, liên tục : c z : (z ) c : , v PSH ( ) , u Định nghĩa 1.1.7 Một miền bị chặn : lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii ) Cho u, v Nếu Nếu PSH ( ) gọi miền siêu lồi tồn ( , 0) cho với c 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u đa điều hoà miền dc i( dd u n C 2( ) toán tử: ) Nếu u c Ký hiệu d c dd u c u z j zk n dd u n ! det n n với dV yếu tố thể tích xem độ đo Radon dV , j ,k n gọi toán tử Monge-Ampe Toán tử , tức phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian hàm liên tục với giá compact C ( ) dd cu C0 n Bedford Taylor chứng minh u đa điều hoà bị chặn địa phương um u tồn dãy dd cum n dd cum m (dd cu)n m PSH ( ) C ( ) cho hội tụ yếu tới độ đo Radon lim Hơn um n tức là: d , C0 không phụ thuộc vào việc chọn dãy um trên, ta ký hiệu: gọi toán tử Monge-Ampe u Sau vài tính chất toán tử toán tử Monge-Ampe Mệnh đề 1.2.1 Giả sử tụ yếu tới độ đo Radon i ) Nếu G ii ) Nếu K j n dãy độ đo Radon tập mở hội Khi tập mở (G ) lim inf tập compact (K ) iii ) Nếu E compact tương đối j j (G ) lim sup j : ( E) j (K ) (E ) lim j j (E ) 31 fj ((dd cv)n (dd cvk )n ) j với j j (dãy tồn (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n u j PSH ) Theo [2] tồn C ( ) cho (dd cu j )n fj (dd cvk )n u j j Từ định lý so sánh ta suy v vk uj j Vì ta trích lấy dãy {u j } cho hội tụ yếu tới hàm đa điều hòa u đó, nên theo Định lý 2.1.19 ta nhận (dd cu)n d u Hệ chứng minh 2.2 Sự hội tụ lớp a Trong phần trình bày kết Y Xing lớp kiểu Cegrell ( ) hàm đa điều hòa không bị chặn, toán tử Monge-Ampère xác định, Đối với hàm ( ) , Cegrell chứng minh Định lý 2.2.1 [7] Giả sử u j theo C n E miền siêu lồi ( ), j (dd cu j )n 0,1, u j (dd cu)n yếu u0 Nếu u j u Với giả thiết Định lý 2.2.1 chứng minh với g PSH L ( ) cố định dòng g(dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu)n Hơn nữa, trường hợp u0 a độ đo Monge-Ampère theo nghĩa sau ( ) ta có hội tụ mạnh 32 a Định lý 2.2.2 Giả sử u0 g PSH ( ) thoả mãn uj u0 g(dd cu j )n hội tụ yếu tới u theo C n E Nếu u j g(dd cu)n ( ) u j tất hàm đa điều hòa g với Ta giả thiết hội tụ theo dung lượng Định lý 2.2.2 xác việc đưa kết đảo ngược, mà kết khái quát hoá Hệ 2.1.7 hàm a ( , ) Trước tiên chứng minh định lý xấp xỉ toán tử Mongea Ampère lớp ( ) Sau định lý đảo, tổng quát hóa Định lý a 2.1.13 Định lý 2.1.15 cho hàm lớp Trong suốt phần ta giả sử ( , ) n miền siêu lồi Định nghĩa 2.2.3 Dãy độ đo dương { j } gọi liên tục tuyệt đối C n dung lượng E với với tập Borell E1 tùy ý, tồn E với C n (E1 ) bất đẳng thức cho j (E1 ) xảy với j Ta bắt đầu với vài bổ đề sau Bổ đề 2.2.4 Với ( 0 , 1, , , ( ) g n )dd c max( 1, j ) dd c liên tục tuyệt đối C n Chứng minh Ta biểu diễn T dd c dung lượng dd c dd c n ( ) tuỳ ý độ đo với j dd cg Vì tục dd c max( 1, j ) T hội tụ yếu tới dd c j , nên ta có dd cg n 1 1,2, nửa liên T 33 lim inf ( j )dd c max( 1, j ) T ( )dd c 1 T T Mặt khác, lấy tích phân phần ta ( )dd c max( 1, j ) T ( )dd c Do ta có lim ( j Do vậy, với a )dd c max( 1, j ) T ( )dd c T ( ( )dd c max( 1, j ) T a lim j )dd c max( 1, j ) T lim ( j ( )dd c T ( T )dd c max( 1, j ) T ( a j0 )dd c T a , tồn a Do với )dd c a E 0 theo Bổ đề 2.1.12 ta có lim j a cho với j ta có ( )dd c max( 1, j ) T E ( E { ( 0 )dd c max( 1, j ) T a} )dd c max( 1, j ) T ( a )dd c T dd c k E Từ bất đẳng thức dd c k T s s ( k )dd c T s ( g )dd c dd c n , j0 34 suy độ đo dd c T liên tục tuyệt đối C n T dung lượng , với ( )dd c ta nhận đo ( E ( ( g )dd c )dd c dd c dd c n T đủ bé C n (E ) đủ bé Vì với j độ )dd c max( 1, j ) T liên tục tuyệt đối C n ta chứng minh ( C n )dd c max( dung lượng, nên , j ) T liên tục tuyệt j Bổ đề chứng minh dung lượng Bây ta chứng minh tổng quát hoá Bổ đề 2.1.11 cho hàm thuộc lớp ( ) Bổ đề 2.2.5 Nếu u, v, 1, u)dd c (v , , ( ) g n dd c ( ) , ta có dd cg n u v ( )dd c (u v) dd c dd c dd cg n u v Chứng minh Đặt u j dd c T max(u, j ), vk dd c max(v, k) , l max( 1, l ) dd cg Tương tự chứng minh Bổ đề 2.1.11 n ta có (vk u j )dd c l T u j vk Cho j l )dd cvk T ( u j vk l )dd cu j ( T u j vk theo Bổ đề Fatou ta nhận (vk u v ( u)dd c l T ( u v l )dd cvk T lim inf j u vk )dd cu j T 35 Theo Bổ đề 2.2.4 tính tựa liên tục hàm đa điều hòa dưới, ta v} mở {u giả sử mà không tính tổng quát {u đóng Do đó, cho l ,k vk } hội tụ yếu dòng, nên ta có bất đẳng thức (v u)dd c T ( u v )dd c (u v) T u v g thay cho v cho Áp dụng bất đẳng thức cuối cho v ta nhận bất đẳng thức theo yêu cầu Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.6 Các khẳng định sau xảy a a ) Nếu u0 C n g dung lượng b) Nếu ( ) với u ( u)(dd cu)n với u ( ) độ đo ( u)(dd cu)n ( ) g PSH ( ) với u ( ) với u với g cố định dd cg liên tục tuyệt đối C n PSH ( ) với u độ đo dung lượng u0 a ( ) suy u tầm thường u bị chặn Nếu không với E ( u)(dd cu)n u0 với Chứng minh Để chứng minh a), từ u0 E dd cg liên tục tuyệt đối dd cg ( u )(dd cu)n u tuỳ ý a  ta có dd cg a ( u)(dd cu )n E {u ( ) Kết a 1} Mặt khác ta có đánh giá tích phân cuối dd cg 36 ( u)(dd cu )n E {u a 1} ( max(u, a E {u dd cg 1))(dd c max(u, a 1))n dd cg (a 1) nC n (E ) a 1} Từ Bổ đề 2.2.5 suy ( u)(dd cu )n u dd cg ( u0 )(dd cu )n dd cg max(2u0, a ))(dd cu)n dd cg a u0 ( 2u0 a 2u0 max(2u0 , a ) 2u(dd cu)n 2u0 dd cu0 dd cg a Tiếp tục theo cách tương tự thêm n lần ta nhận tích phân cuối bị trội 2n ( g )(dd cu0 )n 2n u0 a u0 2n (dd cu0 )n 2n u0 a a , a ( ) Do a) chứng minh Để chứng minh b), dùng phương pháp tương tự chứng minh a) với tuỳ ý a E ( u)(dd cu)n ta nhận bất đẳng thức dd cg 2n 2n E Vì u0 Cn a ( u0 )(dd cu0 )n 1 u0 dd cg (a 1) nC n (E ) a ( ) nên suy độ đo (dd cu0 )n dung lượng 1 dd cg liên tục tuyệt đối tích phân cuối tiến dần tới b) chứng minh Bổ để chứng minh hoàn toàn Định lý 2.2.7 Cho B họ hàm đa điều hòa bị chặn địa phương Giả sử u0 a ( ) hàm u j PSH ( ) thỏa mãn 37 tới g(dd cu)n g g(dd cu j )n hội tụ yếu u theo C n E u0 Nếu u j uj với g B Hơn nữa, g j B , g j (dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu)n Chứng minh Ta giả sử B (dd cu j )n (dd cu )n ((dd cu j )n ((dd c max(u j , a))n Aj1(a ) Aj2(a ) ( ) Với a tuỳ ý ta viết ta viết (dd c max(u j , a ))n ) (dd c max(u, a))n ) ((dd c max(u, a))n (dd cu)n ) Aj3(a ) Từ Định lý 2.1.9 suy với a với g yếu tới B hội tụ yếu tới g (g xác định, dòng gAj2 (a ) hội tụ B Mặt khác, với g ) C ( ) g B g đó, theo chứng minh Định lý 2.1.9, dòng dd c ( g ) viết tổng hữu hạn số hạng f1dd c f2 f1, f2 hàm đa điều hòa bị chặn địa có dạng phương phụ thuộc vào g Do tồn họ B hàm đa điều cho dòng dd c ( g ) bị trội hòa bị chặn địa phương dd cg với g B Vì thế, lấy tích phân phần ta j gA (a ) (u j n c max(u j , a ))dd ( g ) k (dd cu j )k (dd c max(u j , a))n (u j uj a a )dd c ( g ) (dd cu j )n ( u j )dd cg u0 a (dd cu j )n k 38 a B theo Bổ đề 2.2.6 a) Tương tự, gAj3 (a ) hội tụ , với g B Do ta chứng minh g(dd cu j )n yếu với 0, với g hội tụ yếu tới g(dd cu)n với g B Khẳng định thứ suy từ khẳng định thứ nhất, Định lý chứng minh Sử dụng chứng minh Định lý 2.2.7 dùng b) thay cho a) Bổ đề 2.2.6 ta có định lý sau phiên mạnh Định lý 2.2.1, kết thuộc Cegrell [7]: Định lý 2.2.8 Giả sử u0 ( ) u j u theo C n E Nếu u j ta có g(dd cu j )n PSH ( ) thỏa mãn với g g(dd cu)n yếu PSH uj u0 L ( ) cố định Định nghĩa 2.2.9 u ( , ) C( a u a a (0, ) F ( ), h (z ) với z a a ( ) ( , ): Khi u ( , ) đối C n v, v MPSH ( ) , ( , ) : (dd cu)n triệt tiêu tập đa cực Bổ đề 2.2.10 Giả sử u0 u h z ( ) với z u ) h thoả mãn lim h( ) ( , ) Rõ ràng, PSH ( ) : h (dd cu)n dung lượng (0, ) Ta cần bổ đề sau : (dd cu0 )n ( , ) với u l i mu0 ( ) z z( ) u0 Hơn nữa, độ đo (dd cu )n liên tục tuyệt với u ( , ) với u u0 39 Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử định nghĩa u Lấy dãy {u j } u j ( ) cho h ( , ) tồn u u (dd cu j )n (dd cu )n k(dd cu0 )n u j )dd k n l h max(u, u j h ) Khi với j ( ) bất kỳ, ta có k(dd cu j )n c u Ta buộc cho u0 Nếu khẳng định với k (u0 u đặt u j ( ) cho u j u j u Theo k ((dd cu0 )n (dd cu0 )l (dd cu j )n ) (dd cu j )n Theo Định lý 2.1 [8] ta có k(dd cu j )n k(dd cu0 )n với k , (dd cu j )n Cho j (dd cu)n yếu k(dd cu)n trên, nên ta có L ( ) âm tuỳ ý với j PSH k(dd cu0 )n với k k nửa liên tục PSH L ( ) âm (dd cu)n (dd cu )n max(u / t, 1) , t Đặc biệt với k (dd cu)n u , ta có max(u / t, 1)(dd cu)n t max(u0 / t, 1)(dd cu0 )n 40 t 0, a u (dd cu0 )n triệt tiêu {u0 ( , ) với u , với u , lim(u0( ) Aa,b cho dung lượng u0 (dd cu j )n với z u j ( )) z Fb a Điều kéo theo ( , ) độ đo (dd cu )n liên tục tuyệt đối C n Vấn đề lại phải chứng minh Cho b } (dd cu0 )n với j nên tồn tập đóng {max(u0, a ) 1/b uj } Fb với sup | u j | Do theo định lý so sánh ta có (dd cu j )n Aa (dd cu j )n (dd c max(u0, a2 ))n Aa ,b Aa ,b với a2 sup | u j | Cho a2 Aa ,b (dd cu j )n u0 u j Fb b Khi đó, cho a1 Lấy g Fb ,b a1 ( ) với g cuối u j (dd c max(u 0, a2 ))n ta nhận (dd cu0 )n (dd cu0 )n , ta (dd cu j )n (dd cu0 )n Dùng u j g thay cho u j chứng minh L ( ) ta nhận (dd cu j )n (dd cu0 )n Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.11 Giả sử u0 với z , u, u j a ( , ): (dd cu0 )n ( , ) cho u j Khi khẳng định sau xảy lim u0( ) z u0 u j (z ) u yếu 41 a ) Nếu g(dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu )n g với , u j b ) Nếu (dd cu j )n u theo C n dung lượng (dd cu)n yếu , u j PSH ( ) u theo C n dung lượng a Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.10 ta có u, u j (dd cu)n Để chứng minh a ) , ta đặt fs fs , với g PSH ( ) fs (dd cu j )n 2gfs max(u0 / s, 1) với s {u0 ( , ) 1,2, Khi Do vậy, dùng đẳng thức s} fs )2 (g g2 fs2 ta nhận gfs (dd cu j )n g PSH ( ) với với g fs (dd cu j )n gfs (dd cu )n j {u0 s} (dd cu j )n {u0 Vì s} (dd c max(u j , s))n nên theo Định lý 8.1 [6] tồn v sj (dd cv sj )n fs (dd cu j )n lim v sj z PSH (dd c max(u j , s))n , L ( ) cho s max | h | h max(h, s) với s max | h | PSH L ( ) cho (z ) với z Từ định lý so sánh ta suy max(u0, s) max(u j , s) v sj Do theo Hệ 2.1.16 tồn v s 42 fs (dd cu )n v sj (dd cv s )n Vì (dd cv s )n u0 v (dd cv)n v s theo C n (dd cu)n s h nên v s a v với v (dd cv s )n Từ suy j ( , ) với (dd cv)n , (dd cu)n Theo Bổ đề [11] điều kéo theo v a Mặt khác, theo Bổ đề 5.14 [8] tồn h js (dd chjs )n u ( ) cho max(u0 / s, 1)(dd cu j )n Do (dd cv sj )n (dd cu j )n (dd cv sj )n (dd ch sj )n từ điều theo định lý so sánh ta có v sj Chọn dãy hàm { k } ( ) cho (dd c k )n Cho n PSH ( ) với (dd c )n k Cho k (dd c ( k ( 1) h js C n ({h js h sj ))n v sj h js (dd ch js )n , theo định lý so sánh ta có 1))n (dd c k )n k }) uj k lấy cận trên tất n (dd c (v sj ( (dd c k )n 1) thế, ta nhận max(u0 / s, 1)(dd cu j )n max(u0 / s, 1)(dd cu0 )n , bất đẳng thức cuối suy từ chứng minh Bổ đề 2.2.10 Điều kéo theo hàm h js tiến tới theo C n s E Cuối cùng, ta có 43 | uj u| | uj | hjs | E dần đến theo C n s v sj | | v sj vs | vs | | vs | vs u| u |, số hạng thứ tổng cuối tiến với j , với s cố định số hạng thứ tiến dần tới theo C n s E | v sj Do vậy, ta có u j u theo C n a) chứng minh Ta bỏ qua chứng minh b) tương tự với chứng minh a) Định lý chứng minh 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục hàm đa điều hoà dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor lớp lượng Cegrell + Các kết nghiên cứu gần Y Xing mối quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng + Một số dạng khác định lý tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức + Một số kết Xing lớp kiểu Cegrell điều hòa không bị chặn ( ) hàm đa 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] E Bedford and B A Taylor (1976), “ The Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator” Inventer Math 37, p 1-44 [3] E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic funtions”, Acta Math 149, p 1– 40 [4] U Cegrell (1983), “Discontinuité de l‟opérateur de Monge-Ampère complexe”, Acad Sci Paris Ser I Math 296, p.869-871 [5] U Cegrell (1988), Capacities incomplex analysis, Braunschweig/ Wiesbaden: Friedr Vieweg and Sohn [6] U Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, No2, p187 – 217 [7] U Cegrell (2001), “ Convergence in capacity”, Isaac Newton Institute for Math Science P, Series NI01046-NPD, also available at arxiv.org: math CV/0505218 [8] U Cegrell (2004), „The general definition of the complex Monge-Ampère operator”, Ann Inst Fourier 54, p.159-179 [9] U Cegrell and S Kolodziej (2006), “ The equation of complex MongeAmpère type and stability of solutions”, Mat Ann 334, p.713-729 [10] Y Xing (1996), “Continuity of the complex Monge – Ampère”, Proc of Amer Math Soc 124, p.457 – 467 [11] Y Xing (2000), plurisubharmonic “Complex Monge – Ampère measures of functions with bounded values near the boundary”, Canad J Math 52, no.5, p 1085 – 1100 [12] Y Xing (2008), “ Convergence in capacity”, Ann Inst Fuorier Grenoble 58, 5, p 1839 – 1861 [13] Y Xing (2008), “Weak Convergence of Currents”, Math Z Vol 260 issue 2, p 253-264 ... mối quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo MongeAmpère phức tương ứng Nghiên cứu kiểu hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo dung lượng Cn hàm Mối quan hệ hội tụ yếu độ... quan hệ hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng 2 + Nghiên cứu mối quan hệ hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo Cn  dung lượng C n 1  dung lượng. .. nghiên cứu hội tụ theo dung lượng hàm đa điều hoà hội tụ độ đo Monge-Ampère phức tương ứng; mối quan hệ hội tụ độ đo Monge-Ampère phức hội tụ theo Cn  dung lượng C n 1  dung lượng hàm Nghiên