17 elip p2

Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 17 BÀI TOÁN VỀ ELIP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm điểm M (E) thỏa mãn: a) ( E ) : x2 y + = Tìm M (E) cho MF1 = 2MF2 b) (E): 16x2 + 25y2 – 400 = Tìm M (E) cho M nhìn F1, F2 góc 600, 900, 1200 x2 y c) Tìm M nằm ( E ) : + = nhìn tiêu điểm cuả (E) góc vuông 25 d) Viết phương trình tắc (E) biết điểm M có hoành độ xM = nằm (E) thỏa mãn MF1 = 13 ; MF2 = 3 Lời giải:  a b2  MF + MF2 = 2a =  + =1 a) Ta có:  ⇒ MF1 = F1 ( −2; ) Gọi M ( a; b ) ta có:   MF1 = 2MF2 ( a + )2 + b = 16   a2 b2  15  + =1 a= ⇒b=±   2 ⇔ ⇔ 21  ( a + )2 + 1 − a  = 16 a = − ⇒ b < ( loai )        3 15  Vậy M  ; ±  2   x2 y2 b) Ta có: ( E ) : + = ⇒ F1 ( −3;0 ) ; F2 ( 3;0 ) 25 16  MF12 + MF22 − MF1MF2 = 36 +) Gọi M ( x; y ) ta có: MF + MF − 2MF1MF2 cos 60 = F1 F2 ⇒   MF1 + MF2 = 2a = 10 2 2 64  ( MF1 + MF2 ) − 3MF1MF2 = 36  MF1MF2 = ⇔ ⇔  MF1 + MF2 = 10  MF1 + MF2 = 10 c c   Với MF1.MF2 =  a + xM  a − xM a a   64 ±5 11 16  64 ⇔ 25 − xM2 = ⇒ xM = ⇒ yM = ± = 25 3 3   ±5 11 ±16  Vậy M  ;  điểm cần tìm (các trường hợp góc 90 120 tương tự cách làm )  3 3 c) Ta có: F1 ( −4; ) ; F2 ( 4;0 ) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  MF12 + MF22 = 64 Gọi M ( x; y ) ta có: MF + MF = F1 F2 ⇒   MF1 + MF2 = 2a = 10 2 2  MF1MF2 = 18 ( MF1 + MF2 ) − MF1MF2 = 64 ⇔ ⇔  MF1 + MF2 = 10  MF1 + MF2 = 10 c c   Với MF1.MF2 =  a + xM  a − xM a a   16 ±5  ⇒ y M = ±3  = 18 ⇔ 25 − xM = 18 ⇒ xM = 25   ±5  Vậy M  ; ±3  điểm cần tìm   c 2c 13   MF1 = a + a x = a + a = a = d) Ta có  ⇒ ⇒ b2 = c c c =   MF = a − x = a − = M  a a Vậy ( E ) : x2 y + =1 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho (E): 4x2 + 9y2 = 36 Tìm M (E) cho: a) M có toạ độ số nguyên b) M có tổng toạ độ đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Lời giải:  a2  ≤ −3 ≤ a ≤ a2 b2 a) Gọi M ( a; b ) ta có: + =1⇒  ⇔  b ≤  −2 ≤ b ≤  +) Xét b = ±2 ⇒ a = ⇒ M ( 0; ±2 ) +) Xét b = ±1 ⇒ a = 27 ( loai ) +) Xét b = ⇒ a = ±3 ⇒ M ( ±3; ) Vậy có điểm M thoã mãn yêu cầu toán: M ( ±2;0 ) ; M ( ±3; ) 4a + 9b = 36 b) Ta xét:  Lại có: ( 4a + 9b ) ( + ) ≥ ( 6a + 6b ) ( theo BĐT Bunhiascopky) F = a + b ⇒ 36.13 ≥ 36 ( a + b ) ⇔ ( a + b ) ≤ 13 ⇔ − 13 ≤ a + b ≤ 13 2  a=  2a 3b  4a = 9b  = Dấu xảy  ⇔ ⇔ 2  4a + 9b = 36 4a + 9b = 36  a =  ;b = 13 −9 ;b = 13  → Max 13 −4  → 13    −9 −4  ; ; Vậy M  ; M2    13 13   13 13  Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 3: [ĐVH] ( E ) : Facebook: LyHung95 x2 y + = đường thẳng (d): 2x + 15y – 10 = 25 a) CMR (d) cắt (E) điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm C (E) cho ∆ABC cân A biết xA > c) Tìm C (E) cho S∆ABC lớn Lời giải:  x = + 15t a) Phương trình tam số d là:  Gọi M (15t + 5; −2t ) ta có:  y = −2t M ∈(E) (15t + 5) ⇒ 25 ( −2t ) + t = ⇒ A ( 5;0 ) 2061  =1⇔   ⇒ AB =  t = − ⇒ B  −4;   5  b) Do A ∈ Ox trục đối xứng (E) để tam giác ABC cân A C đối xứng với B qua Ox 6  C  −4; −  điểm cần tìm 5  c) Gọi C ( a; b ) ta có: S ABC lớn ⇔ d ( C ; AB ) lớn Lại có : d ( C ; AB ) = 2a + 15b − 10 229 Xét ( 4a + 25b ) (1 + ) ≥ ( 2a + 15b ) ⇒ −10 10 ≤ 2a + 15b ≤ 10 10 2a + 15b = −10 10  Vậy d ( C ; AB ) lớn ⇔ 2a + 15b = −10 10 dấu xảy ⇔  2a 5b  = 1  − 10 a =  − 10 −3 10   Vậy C  ⇔ ;  điểm cần tìm − 10   b =  Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ( E ) : x2 y + = đường thẳng (d): 3x + 4y + 24 = a) CMR (d) không cắt (E) b) Tim điểm M (E) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ Lời giải:  x = 4t a) Phương trình tham số d là:  Gọi M ( 4t ; −6 − 3t ) ∈ d để M thuộc (E) ta xét PT:  y = −6 − 3t 16t ( 3t + ) M ∈(E) ⇒ + = ( ) d không cắt ( E ) b) Gọi M ( a; b ) ∈ ( E ) ta có: 3a + 4b + 24 t + 24 a b2 + = d ( M ; d ) = = ( với t = 3a + 4b ) 5  16  Lại có : ( 4a + 9b )  +  ≥ ( 3a + 4b ) = t ⇒ − 145 ≤ t ≤ 145 4  Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do d ( M ; d ) = Facebook: LyHung95 t + 24 nhỏ ⇔ t = 3a + 4b = − 145  a=  4a 9b b2 = nên Elip cắt điểm phân biệt A,B,C,D điểm thoã  x2 y = 4 x + y = 36  + ()  mãn hệ PT elip:  ⇔ 2  x + 16 y = 16 ( )  x + y2 = 16 “ Lấy a (1) + b ( ) ⇒ ( 4a + b ) x + ( 9a + 16b ) y = 36a + 16b Cân hệ số ta có: 4a + b = ⇔ 5a + 15b = ⇔ a + 3b = ” ( phần nháp ) 9a + 16b Chọn a = 3; b = −1 Lấy (1) − ( ) ta được: 11x + 11 y = 92 ⇔ x + y = 92 phương trình đường tròn 11 cần tìm qua điểm A,B,C,D Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 7: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : x2 y + = Viết phương trình đường 25 thẳng song song với Oy cắt (E) hai điểm A, B cho AB = Lời giải: Gọi phương trình đường thẳng song song với Oy (d): x = a (với a ≠ ) Tung độ giao điểm (d) (E) là: a2 y2 25 − a + = ⇔ y = ⇔ y=± 25 − a ( a ≤ ) 25 25     V ậ y A  a; 25 − a  , B  a; − 25 − a  ⇒ AB = 25 − a 5     Do AB = ⇔ 100 5 25 − a = ⇔ 25 − a = ⇔a=± (thỏa mãn đk) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x = 5 5 ,x = − 3 Ví dụ 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) elip (E): x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác Lời giải: Bài A, B đối xứng với qua trục hoành ⇒ A ( a; b ) , B ( a; −b ) ⇒ AB = ( 0; 2b ) ⇒ AB = 2b Khi gọi H giao điểm AB với trục hoành ⇒ H ( a;0 ) ⇒ CH = ( a − 2;0 ) ⇒ CH = a − a−2 ( a − 2) 3 AB ⇒ a − = ⇒ b2 = Ta có ∆ABC nên CH = 2b ⇒ b = 2 3 2 a = a2 b2 a2 ( a − 2) Do A ∈ ( E ) ⇒ + =1⇒ + = ⇔ a − 16a + = ⇔  a = 4  Với a = ⇒ CH = − = ⇒ Loại Với a = 2 4 ⇒b= −2 = ⇔b=± 7 7 2 3 2 3 2 3 2 3 Đ/s: A  ;  , B  ; −  A  ; − , B ;     7  7  7 7 Ví dụ 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : x2 y + = điểm A(0; 2) Tìm B, C 16 thuộc (E) đối xứng với qua Oy cho tam giác ABC tam giác Lời giải: Bài B, C đối xứng với qua Oy ⇒ B ( a; b ) , C ( − a; b ) ⇒ BC = ( −2a; ) ⇒ BC = −2a = 2a Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Khi gọi H giao điểm BC với Oy ⇒ H ( 0; b ) ⇒ AH = ( 0; b − ) ⇒ AH = b − b−2 (b − 2) 3 Ta có ∆ABC nên AH = BC ⇒ b − = 2a ⇔ a = ⇒ a2 = 2 3 2 b = a2 b2 (b − ) b2 Do B ∈ ( E ) ⇒ + =1⇒ + = ⇔ 13b − 4b − 44 = ⇔  22 b = − 16 16 13  Với b = ⇒ AH = − = ⇒ Loại Với b = − 22 22 16 16 ⇒a = − −2 = ⇔a=± 13 13 13 13  16 −22   16 −22   16 −22   16 −22  Đ/s: B  ; ; ; ;  , C  −  B  −  , C   13  13  13  13      Ví dụ 10: [ĐVH] Cho elip ( E1 ) : x2 y x2 y + = ( E2 ) : + =1 1 a) CMR elip cắt điểm phân biệt A, B, C, D ABCD hình chữ nhật b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hcn ABCD Lời giải:   x2 y  20 x = ±  + =  x = 23  ⇔ ⇔ a) Bài ta có  2  x + y =  y = 18 y = ±   23  20 23 (1) 18 23 HPT (1) có bốn nghiệm phân biệt nên ( E1 ) cắt ( E2 ) bốn điểm phân biệt A, B, C, D  20 18   20  20  20 18  18  18  Giả sử A  ; ;− ;− ;  , B   , C  −  , D  −  23  23   23 23   23  23  23 23    20  18  ⇒ AB =  0; − ;  ⇒ AB.BC = + = ⇒ AB ⊥ BC  , BC =  − 23 23     Tương tự BC ⊥ CD, CD ⊥ DA ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật Vậy ( E1 ) cắt ( E2 ) bốn điểm phân biệt A, B, C, D tứ giác ABCD hình chữ nhật b) Gọi (T ) đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD I = AC ∩ CD  20 18  20 18 ⇒ I trung điểm AC ⇒ I ( 0; ) ⇒ IA =  ; + =  ⇒ IA = 23 23 23 23 23   Như (T ) có tâm I ( 0;0 ) bán kính R = IA = Đ/s: (T ) : x + y = 36 ⇒ (T ) : x + y = 23 23 36 23 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 11: [ĐVH] Cho ( E ) : Facebook: LyHung95 x2 y2 + = 1; d : x − y + = a) CMR: (d) cắt (E) điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm điểm C (E) cho diện tích tam giác ABC lớn Lời giải: a) Ta có d : y = x + Hoành độ giao điểm d ( E ) nghiệm phương trình 2 x 1  +  x +  = ⇔ x2 + ( x + 2) 4   1+  x = −1 + ⇒ y = = ⇔ 2x2 + 4x − = ⇔   1−  x = −1 − ⇒ y =    1+   1−   A  −1 + 3;  , B  −1 − 3;      AB = −2 3; −   ⇒ ⇒ ⇒ AB =  BA = −2 3; −     + −  B −1 + 3;  , A  −1 − 3;     2      ( ( ) ) ( −2 ) + ( − ) 2 = Vậy d cắt ( E ) hai điểm phân biệt A, B AB = ( ) ( ) b) Ta có AB nhận u = −2 3; − làm VTCP nên nhận n = 1; − làm VTPT   1+  1+  Kết hợp với AB qua điểm  −1 + 3;  ⇒ AB :1 x + − −  y −  = 2     ( ) ⇔ x − y + + + − = Gọi C ( a; b ) ta có S ABC = ⇒ S ABC ≤ a − 2b + + + − 1 AB.d ( C ; AB ) = 2 ( a − 2b + + + − ( ) (1) )( ) Dấu " = " xảy ⇔ + + − a − 2b ≥ ⇔ a ≥ b Do C ∈ ( E ) ⇒ a b2 + = Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có  a   b   ( + )  2  +  −   ≥ a − 2b    ( Dấu " = " xảy ⇔ ) ( ⇒ a − 2b ) ≤ 32.1 = 32 ⇒ a − 2b ≤ 32 −b a = ⇔ a = −b 2 2 Kết hợp với (1) ⇒ S ABC ≤ ( ) 32 + + + − Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a ≥ b 2; a = −b  a = Dấu " = " xảy ⇔  a b ⇔ ⇒ C 2; − b = −  + =1 8 ( ( ) ) Đ/s: C 2; − Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! ...   25  Ví dụ 6: [ĐVH] Cho elip (E1 ) : x2 y x2 y + = 1; (E2 ) : + = Viết phương trình đường tròn qua 16 giao điểm elip Lời giải: Do a1 = < a2 = b1 = > b2 = nên Elip cắt điểm phân biệt A,B,C,D...  B  −  , C   13  13  13  13      Ví dụ 10: [ĐVH] Cho elip ( E1 ) : x2 y x2 y + = ( E2 ) : + =1 1 a) CMR elip cắt điểm phân biệt A, B, C, D ABCD hình chữ nhật b) Viết phương trình... – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 7: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : x2 y + = Viết phương trình đường 25 thẳng song song với Oy cắt (E) hai điểm A, B cho