17 elip p1

Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 17 BÀI TOÁN VỀ ELIP – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Một số kiến thức quan trọng Elipse: +) Phương trình tắc x2 y2 + = a > b > 0; a = b + c a2 b2 Với elip tắc tiêu điểm thuộc trục lớn, trục lớn nằm Ox +) Một điểm M thuộc elip MF1 + MF2 = 2a +) Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b, tiêu cự 2c +) Các đỉnh elip có tọa độ : (a;0), (− a;0), (0; b), (0; −b) hai tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) c +) Tâm sai elip: e = ; ( e < 1) a +) Phương trình cạnh hình chữ nhật sở: x = ± a; y = ±b Suy ra, chu vi diện tích hình chữ nhật C = ( a + b ) ; S = 4ab a a2 a a2 → khoảng cách hai đường chuẩn d = = +) Phương trình đường chuẩn x = ± = ±  e c e c +) Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM = a + c c xM ; MF2 = a − exM = a − xM a a +) Phương trình elip liên hợp với elip tắc x2 y + = a > b > 0; a = b + c b a Với elip liên hợp trục lớn thuộc Oy Ví dụ 1: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự b) Tiêu cự tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 10 tâm sai 12 13 Lời giải: x2 y2 a) Ta có: 2a = 10; 2c = ⇒ a = 5; c = 4; b = a − c = ⇒ ( E ) : + = 25 2 c x2 y2 b) Ta có: 2c = 8; e = = ⇒ c = 4; a = ⇒ b = ⇒ ( E ) : + =1 a 25 c) Ta có: 2b = 10; e = c 12 c 12 = ⇒ b = a − c = 25; = a 13 a 13 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a − c = 25   12  Giải HPT  12 ⇒ a −  a  = 25 ⇒ a = 13; c = 12; b =  13  c = a  13 Khi phương trình ( E ) : x2 y + = 169 25 Ví dụ 2: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 6; tiêu cự b) Một tiêu điểm F1(–2; 0) độ dài trục lớn 10 c) Trục nhỏ 4; tâm sai e = Lời giải: x2 y a) Ta có: 2a = 6; 2c = ⇒ a = 9; b = a − c = ⇒ ( E ) : + =1 2 2 x2 y2 a = 25 b) Ta có: c = 2; 2a = 10 ⇒  ⇒ E : + = ( ) 2 25 21 b = a − c = 21 b = a − c = a = c x2 y c) Ta có: 2b = 4; e = = ⇒ ⇒ ⇒ E : + =1 ( )  2 a 2c = a b = Ví dụ 3: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: a) khoảng cách hai đường chuẩn 16; trục lớn b) khoảng cách hai đường chuẩn 32; tâm sai 0,5 c) tâm sai chu vi hinh chữ nhật sở 20 Lời giải: a a2 a) Ta có khoảng cách đường chuẩn: d = = = 16 ⇒ a = 8c; 2a = ⇒ a = 4; c = ⇒ b = 12 e c x2 y Khi ( E ) : + = 16 12 a a2 c b) Ta có khoảng cách đường chuẩn: d = = = 32 ⇒ a = 16c; e = = e c a a = 16c x2 y ⇒ ⇒ a = 8; c = ⇒ b = 48 ⇒ ( E ) : + =1 64 48 a = 2c Ví dụ 4: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: ( a) Một tiêu điểm F1 − 3; )  3 qua điểm M 1;      b) Đi qua điểm A(2; 1) B  5;  2  Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG c) Tiêu cự 8, (E) qua M ( Facebook: LyHung95 ) 15; −1 ( d) Trục lớn 12; qua điểm M −2 5; ) Lời giải: a) Ta có c = phương trình ( E ) :  x2 y2 3 + = ⇒ a − b = Lại có M 1;  ∈ ( E ) a b   2 2 a − b = a = b +  a = nên + = ⇒  ⇔ ⇒   2 2 2 a 4b 3a + 4b = 4a b b = 3 ( b + 3) + 4b = ( b + 3) b Vậy ( E ) : x2 y + = 4 1 + =1   a = x y x2 y a b b) Gọi ( E ) : + = Khi ta có:  ⇔ ⇒ (E): + =1 a b  + =1  =  a 2b  b 2 c) Ta có: c = , lại có: 15 15 15 + =1 ⇔ + 2 =1⇒ + =1 a b a a −c a a − 16  a = 20 ⇒ b = ⇔ 15 ( a − 16 ) + a = a ⇔   a = 12 < 16 ( loai ) Vậy ( E ) : x2 y2 + =1 20 a = 36 x2 y 20 x2 y2  d) Gọi ( E ) : + = ta có: a = 6; + = ⇒  36 ⇒ ( E ) : + =1 a b a b 36 36 b = 31  31 Ví dụ 5: [ĐVH] Lập phương trình elip trường hợp sau: a) (E) qua điểm M(4; 0) N(0; 3) ( ) ( ) b) (E) qua điểm M 3; , N 3; Lời giải: 16  a = x y x2 y2 a) Gọi ( E ) : + = ta có:  ⇒ (E): + =1 a b 16  =1  b 2  27  a + b = a = 36 x y x2 y2 b) ( E ) : + = ta có:  ⇒ ⇒ (E): + =1 a b 16  + 12 = b = 16  b b 2 Ví dụ 6: [ĐVH] Lập phương trình elip trường hợp sau: Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) Hai tiêu điểm F1(–6; 0) F2(6; 0) tâm sai e = Facebook: LyHung95 b) Trục lớn thuộc Ox, độ dài trục lớn 8; trục nhỏ thuộc Oy có độ dài c) Trục lớn thuộc Oy có độ dài 10, tiêu cự d) Hai tiêu điểm thuộc Ox; trục lớn có độ dài 26, tâm sai e = 12 13 Lời giải: a) Phương trình tắc Elip có dạng ( E ) : ( E ) có hai tiêu điểm Tâm sai e = x2 y + = ( a > b > 0) a2 b2 (1) F1 ( −6; ) , F2 ( 6;0 ) ⇒ F1 F2 = (12;0 ) ⇒ F1 F2 = 12 = 12 = 2c ⇒ c = c 3c 3.6 ⇒ = ⇒a= = = ⇒ a = 81 a 2 Lại có a = b + c ⇒ b = a − c = − 62 = 45 x2 y2 x2 y2 Kết hợp với (1) ta có ( E ) : + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 81 45 81 45 x2 y b) Phương trình tắc Elip có dạng ( E ) : + = ( a > b > ) a b (1)  2a = a = a = 16 Bài độ dài trục lớn trục nhỏ ⇒  ⇔ ⇒ 2b = b = b = Kết hợp với (1) ta có ( E ) : x2 y2 x2 y2 + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 16 16 c) Phương trình tắc Elip có dạng (E): x2 y2 + = (b > a > 0) b2 a2 (1) Bài độ dài trục lớn 10 ⇒ 2b = 10 ⇔ b = ⇒ b = 25 Tiêu cực ⇒ 2c = ⇒ c = ⇒ b = a + c = a + 32 ⇒ a = b − 32 = 52 − 32 = 16 x2 y x2 y2 Kết hợp với (1) ta có ( E ) : + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 25 16 25 16 x2 y d) Phương trình tắc Elip có dạng ( E ) : + = ( a > b > ) a b (1) Bài trục lớn có độ dài 26 ⇒ 2a = 26 ⇔ a = 13 ⇒ a = 169 Tâm sai e = 12 c 12 12a 12.13 ⇒ = ⇒c= = = 12 13 a 13 13 13 Mà a = b + c ⇒ b = a − c = 132 − 12 = 25 x2 y x2 y2 + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = Kết hợp với (1) ta có ( E ) : 169 25 169 25 1  Ví dụ 7: [ĐVH] Cho elip có hai tiêu điểm F1 (− 3;0), F2 ( 3;0) qua điểm A  3;  2  Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) Lập phương trình tắc elip b) Với điểm M thuộc elip, tính giá trị biểu thức P = MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 Lời giải: a) Phương trình tắc Elip có dạng ( ( E ) có hai tiêu điểm ) ( F1 − 3; , F2 Mà a = b + c ⇒ a − b = c = ( E ) qua điểm 1  A  3;  ⇒ 2  Kết hợp với (2) ta có ( 3) ( 3) (E): x2 y + = ( a > b > 0) a2 b2 ) ( (1) ) 3; ⇒ F1 F2 = 3;0 ⇒ F1 F2 = = = 2c ⇒ c = = ⇔ a2 = b2 + (2) 2 a2 1   +  2 = ⇔ + = b a 4b + = ⇔ 12b + b + = 4b ( b + ) ⇔ 4b − b − = b + 4b b = ⇔ ⇔ b = ⇒ a = + = ⇒ a = ( Do a > ) b = −  Kết hợp với (1) ta có ( E ) : x2 y2 x2 y2 + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 4 b) Cách Sử dụng công thức đường trung tuyến Elip Vì O trung điểm F1 F2 nên theo công thức đường trung tuyến ta có OM = ( MF12 + MF22 ) − F1 F22 = ( ( MF12 + MF22 ) − ⇒ MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = MF12 + MF22 − =9− ) = MF12 + MF22 − MF12 + MF22 − ) − MF1.MF2 ( MF12 + MF22 + MF1.MF2 1 2 = − ( MF1 + MF2 ) = − ( 2a ) = − 2a = − 2.4 = 2 Vậy MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = Cách Sử dụng công thức Elip Đặt P = MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 Ta có P = ( a + exM ) + ( a − exM ) − ( xM2 + yM2 ) − ( a + exM )( a − exM ) 2 = 2a + 2e2 xM2 − ( xM2 + yM2 ) − a + e2 xM2 = a + 3e2 xM2 − ( xM2 + yM2 ) Lại có e = c x2 y = M ∈ ( E ) ⇒ M + M = ⇒ xM2 = − yM2 a  3 2 2 Do P = +   ( − yM ) − ( − yM + yM ) = + (1 − yM ) − ( − yM ) =   Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Vậy MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = Ví dụ 8: [ĐVH] Cho elip x + y = 36, M (1;1) Viết pt đường d qua M, cắt elip hai điểm phân biệt A, B cho M trung diểm AB Lời giải: Cách Viết phương trình cách gián tiếp Gọi A ( a; b ) Do A ∈ ( E ) ⇒ 4a + 9b = 36 (1) Vì M (1;1) trung diểm AB ⇒ B ( − a; − b ) Do B ∈ ( E ) ⇒ ( − a ) + ( − b ) = 36 ⇔ 4a + 9b − 16a − 36b + 16 = 2 Kết hợp với (1) ta có 36 − 16a − 36b + 16 = ⇔ 13 − 4a − 9b = ⇔ 4a + 9b − 13 = (2) Tọa độ A, B thỏa mãn (2) ⇒ phương trình AB : x + y − 13 = ⇒ d : x + y − 13 = Đ/s: x + y − 13 = Cách Quy toán tương giao Điểm M (1;1) ∉ Ox ⇒ đường thẳng x = không cắt Elip hai điểm thỏa mãn toán Khi đường thẳng qua M (1;1) có dạng d : y = k ( x − 1) + 4 x + y = 36 Tọa độ A, B nghiệm hệ  ⇒ x + ( kx + − k ) = 36  y = k ( x − 1) + ⇔ ( 9k + ) x − 18k ( k − 1) x + ( k − 1) − 36 = (3) PT (3) có nghiệm với ∀k Theo Viet ta có xA + xB = Ta có M trung điểm AB xA + xB = xM ⇒ Do d : y = − 18k ( k − 1) 9k + 18k ( k − 1) = 2.1 ⇔ 18k − 18k = 18k + ⇔ k = − 9k + ( x − 1) + ⇔ x + y − 13 = Đ/s: x + y − 13 = Ví dụ 9: [ĐVH] Cho elip x2 y2 + = 1, M (1;1) 25 Viết pt đường d qua M, cắt elip hai điểm phân biệt A, B cho M trung diểm AB Lời giải: Cách Viết phương trình cách gián tiếp Ta có ( E ) : x + 25 y = 225 Gọi A ( a; b ) A ∈ ( E ) ⇒ 9a + 25b = 225 (1) Vì M (1;1) trung điểm AB ⇒ B ( − a; − b ) Do B ∈ ( E ) ⇒ ( − a ) + 25 ( − b ) = 225 ⇔ 9a + 25b − 36a − 100b = 89 2 Kết hợp với (1) ta có 225 − 36a − 100b = 89 ⇔ 34 − 9a − 25b = ⇔ 9a + 25b − 34 = (2) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! Khóa học Toán học Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tọa độ A, B thỏa mãn (2) ⇒ phương trình AB : x + 25 y − 34 = ⇒ d : x + 25 y − 34 = Đ/s: d : x + 25 y − 34 = Cách Quy toán tương giao Điểm M (1;1) ∉ Ox ⇒ đường thẳng x = không cắt Elip hai điểm thỏa mãn toán Khi đường thẳng qua M (1;1) có dạng d : y = k ( x − 1) +  x2 y =1 x  k ( x − 1) + 1  + Tọa độ A, B nghiệm hệ  25 ⇒ + =1  y = k ( x − 1) + 25  ⇒ ( 25k + ) x − 50k ( k − 1) x + 25 ( k − 2k − ) = (1) PT (1) có nghiệm với ∀k Theo Viet ta có xA + xB = Ta có M trung điểm AB xA + xB = xM ⇒ Do d : y = − 50k ( k − 1) 25k + 50k ( k − 1) 25k + = 2.1 ⇔ 25k + = 25k ( k − 1) ⇔ k = − 25 ( x − 1) + ⇔ x + 25 y − 34 = 25 Đ/s: d : x + 25 y − 34 = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia! ... Facebook: LyHung95 a) Lập phương trình tắc elip b) Với điểm M thuộc elip, tính giá trị biểu thức P = MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 Lời giải: a) Phương trình tắc Elip có dạng ( ( E ) có hai tiêu điểm... Facebook: LyHung95 Vậy MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = Ví dụ 8: [ĐVH] Cho elip x + y = 36, M (1;1) Viết pt đường d qua M, cắt elip hai điểm phân biệt A, B cho M trung diểm AB Lời giải: Cách Viết phương... 9k + ( x − 1) + ⇔ x + y − 13 = Đ/s: x + y − 13 = Ví dụ 9: [ĐVH] Cho elip x2 y2 + = 1, M (1;1) 25 Viết pt đường d qua M, cắt elip hai điểm phân biệt A, B cho M trung diểm AB Lời giải: Cách Viết