Chủ đề 04 phương trình, bất phương trình mũ và logarit

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ Các định nghĩa:   an  a.a a (n  Z , n  1, a  R) n thừa số  a1  a a  a0  a   a n   m an  a n (n  Z , n  1, a  R /  0) n  am ( a  0;m, n  N ) m n 1  m  n m a an  a  am an  amn Các tính chất:  am a n  am n  (am )n  (an )m  am.n  (a.b)n  an b n  a an ( )n  n b b Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang Hàm số mũ: Dạng: y  ax ( a > , a  )  Tập xác định: D  R  Tập giá trị: T  R ( ax   Tính đơn điệu: x  R ) * a > 1: y  ax đồng biến R * < a < 1: y  ax nghịch biến R  Đồ thị hàm số mũ: y y y=ax y=ax 1 x 0 , a  N > log a N  M dn  aM  N a   Điều kiện có nghĩa: log a N có nghĩa a  N   Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 2 Các tính chất:  loga   loga a   log a aM  M  alog a N  N  loga (N1 N2 )  loga N1  loga N2  log a (  log a N    log a N Đặc biệt: N1 )  log a N1  log a N N2 log a N  log a N Công thức đổi số:  loga N  loga b logb N  log b N  log a N log a b  log a b  1 log k N  log a N a k log b a * Hệ quả: Hàm số logarít: Dạng y  loga x ( a > , a  )  Tập xác định: D  R  Tập giá trị T  R  Tính đơn điệu: * a > 1: y  loga x đồng biến R * < a < 1: y  loga x nghịch biến R  Đồ thị hàm số lơgarít: y y y=logax y=logax x O x a>1 Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng O 0 0;N > thì: loga M = loga N  M = N Định lý 5: Với < a N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > thì: loga M < loga N  M < N (đồng biến) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Dạng bản: ax  m (1)  m  : phương trình (1) vơ nghiệm  m  : ax  m  x  loga m Dạng bản: loga x  m  m  : loga x  m  x  am Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng: aM = aN ; log a M  log a N (Phương pháp đưa số) Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.4  2       2x 3 x (1) Bài giải ♥ Đưa hai vế số 2, ta được: 2 4x 24 x 22 x x 4x x x ♥ Vậy nghiệm phương trình x x 6 Ví dụ 2: Giải phương trình log x log x 2 (1) Bài giải x x ♥ Điều kiện: 3x ♥ Khi đó: log x log x x 3x x 3x 4x 3x 2 x (*) log x 2 x [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 3: Giải phương trình log2 x  log3 x  log6 x  log36 x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x ♥ Áp du ̣ng công thức log a c  log a b  log b c ,   a, b, c; a  1; b  1 , ta có  log2 x  log3  log2 x  log6  log x  log36  log x  log x  log  log   log 36   * Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang Do log3  log6   log36  nên  *  log x   x  ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 4: Giải phương trình: log3 (x  1)2  log (2x  1)  (1) Bài giải x x ♥ Điều kiện: 2x ♥ Khi đó: Với x log x log x 1 (*) 2 log x log x log x x 1 x 2x (2) x Với x 2 1 x 2x x 2x x2 2x 3x 3x 0 : phương trình vơ nghiệm x ♥ Vậy nghiệm phương trình x x loaïi [thỏa (*)] 2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ 5: Giải phương trình 9x 4.3x 45 (1) Bài giải ♥ Đặt t 3x với t t t Với t , phương trình (1) trở thành t 4t 45 (2) loại 9 3x x ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 6: Giải phương trình 3x 18.3 x 29 (1) Bài giải ♥ Biến đổi phương trình (1) ta Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang ♥ Đặt t 18 3x 3.3x 3x với t , phương trình (1) trở thành 3t 29t 18 (3) t 29 (2) t Với t 3x Với t 3x 3 x x log ♥ Vậy nghiệm phương trình x 2; x log 3 Ví dụ 7: Giải phương trình 6.9x  13.6x + 6.4x = (1) Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho x ta ♥ Đặt t x 13 x (2) x với t , phương trình (1) trở thành 6t 13t (3) 3 t t Với t 3 2 Với t x x x x 1 ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 8: Giải phương trình log 22 x 1; x 3log 2 x 1 (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x ♥ Khi đó: log 22 x Đặt t 3log x log x , phương trình (1) trở thành t t t 3t (3) Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang Với t log x x [thỏa (*)] Với t log x x [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 9: Giải phương trình log x ;x 2 log x (1) Bài giải x ♥ Điều kiện: log x (*) log x ♥ Đặt t log x t t , phương trình (1) trở thành 5, t t t2 t t 5t Với t log x x 100 [thỏa (*)] Với t log x x 1000 [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 10: Giải phương trình 2log x 100; x 1000 2log x (1) x t t t t (3) Bài giải ♥ Điều kiện: x ♥ Đặt t 2.2 log3 x t Với t 3t phương trình (1) trở thành x t t t x t 3 t t (thỏa điều kiện) ♥ Vậy nghiệm phương trình x 5.2 x Ví dụ 11: Giải phương trình log 2x x (1) Bài giải ♥ Điều kiện 5.2x ♥ Ta có: (*) 5.2 x 2x 23 x Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang x 5.2 x 2x 5.22 x 16.2x 16 ♥ Đặt t 2x với t t (2) , phương trình (2) trở thành 5t 16t 16 (3) 4 t Với t 2x [thỏa (*)] x ♥ Vậy nghiệm phương trình x Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A B=0, Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x 25.2x 100 10x (1) Bài giải ♥ Ta có: 4.5x x.5x 5x x 25 x x 5x 5x 25 x 25.2 x 25 x 100 0 ♥ Vậy nghiệm phương trình x Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo số thích hợp (Phương pháp lơgarít hóa) Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2x (1) Bài giải ♥ Lấy lôgarit hai vế với số 3, ta có log 3x.2 x log 3x x x1 log log x x log x x log 2 0 Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang x log x log ♥ Vậy nghiệm phương trình x 0, x log2 Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) ♥ Ta thường sử dụng tính chất sau:  Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khoảng (a;b) ( tồn x0  (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)  Tính chất 2: Nếu hàm f tăng khoảng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) (do tồn x0  (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ 14: Giải phương trình 3x 4x 5x (1) Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho x x x x f' x x (2) ( Dạng f x ♥ Xét hàm số f x 3 ln 5 ♥ Mặt khác f 0, x , ta có x C ) x , ta có x 4 ln 5 f x nghịch biến 0, x (2) có nghiệm x (**) Từ (*) (**) ta suy phương trình (2) có nghiệm x ♥ Vậy nghiệm phương trình (1) x Ví dụ 15: Giải phương trình (*) 2 x x (1) (Dạng f x g x ) Bài giải ♥ Xét hàm số f x x g x x Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng , ta có THPT 2018 | Trang 10 f x nghịch biến ♥ Mặt khác f g x đồng biến (1) có nghiệm x g (*) (**) Từ (*) (**) ta suy phương trình (1) có nghiệm x ♥ Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 16: Giải phương trình 2log x 0 x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x Khi đó: ♥ Đặt t log x log2 x log t t t f' t 2 ♥ Xét hàm số f t 2 ln 5 ♥ Mặt khác f 1 log x (2) 2t phương trình (2) trở thành x 3 t t t t t (3) t , ta có t 1 ln 5 f t nghịch biến 0, t (3) có nghiệm t (**) Từ (*) (**) ta suy phương trình (3) có nghiệm t ♥ Vậy nghiệm phương trình (1) x (*) ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC Quý Thầy/Cô cần file word chia sẻ tài liệu đến học sinh Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu Kys Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 11 IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LƠGARÍT CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng bản: aM < aN ( , ,  ) loga M  log a N ( , ,  ) Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x x (1) Bài giải ♥ Ta có: 3x x 32 x2 x x2 x 2 x ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1; Tự luyện: Giải bất phương trình 1) x 3 x  27 2) 2 x 1 x 15 x 13 23 x Ví dụ 2: Giải bất phương trình log  4x    log 2x    (1) Bài giải x  4x    x  ♥ Điều kiện:  (*) 2x   x    ♥ Khi đó: 1  log3  4x  2   log 2x    log  4x    log 9 2x     4x    2x    16x  42x  18   x3 ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) x3 Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 12 Ví dụ 3: Giải bất phương trình log x2  3x   (1) x Bài giải ♥ Điều kiện: 0  x  x2  3x  (*) 0 x  x  ♥ Khi đó: 1  log x2  3x   log 1 x x  3x  1 x x  4x   0 x x   2   x    2   x  ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1)  2  x    x2  x    (1) Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log0,7  log6 x    Bài giải  x2  x  x2  x   x   x    4  x  2 x2  x x2        ♥ Điều kiện:  (*)   2 x4 x4  x  log x  x  x  x   x   x  ♥ Khi đó: x2  x  x2  x   log0,7  log6 1 1  log0,7  log6 x   x4  x2  x x2  x  log6  log6  6 x4 x4  4  x  3 x2  5x  24  0 x4  x   4  x  3 ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1)   x  Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 13 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9x1  36.3x3   (1) Bài giải ♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta ♥ Đặt t 3x 3x 1 (2) , bất phương trình (2) trở thành t t 4.3x t 4t (3) Suy ra: 3x x 1 ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S x 1; Ví dụ 6: Giải bất phương trình log22 x  log2 x   (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x ♥ Đặt t log x , bất phương trình (1) trở thành t Suy ra: t t (2) log x 1 x ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S ;2 ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC Quý Thầy/Cô cần file word chia sẻ tài liệu đến học sinh Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu Kys Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser Tài Liệu Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 14 ... Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 11 IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng bản: aM... liệu & đề thi chất lượng THPT 2018 | Trang 13 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9x1  36.3x3   (1) Bài giải ♥ Biến đổi bất phương trình. .. a N ( , ,  ) Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x x (1) Bài giải ♥ Ta có: 3x x 32 x2 x x2 x 2 x ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1; Tự luyện: Giải bất phương trình 1) x 3 x  27 2) 2 x 1