Bài tập số phức

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Dạng 1: Các phép toán số phức Bài Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Bài Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực Bài Cho hai số phức: z1   5i ; z   4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 Bài Tìm phần thực, phần ảo mô đun số phức: a) z  (2  3i )(1  i)  4i b) z  (2  2i )(3  2i )(5  4i )  (2  3i )3 Bài Tìm số phức: 2z  z 25i , biết z   4i z Bài Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức w z i iz  Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z    i   10 z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn z  1  2i   26 z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z  z số ảo b) z  phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn z  z2 số ảo Bài Giải phương trình: a) z  z  b) z  z  z Bài Tìm số phức z biết ( z  1)(1  i)  z 1  | z |2 1 i Bài Tìm số phức z biết: z   (1  i )( z  1) có phần ảo Dạng 3: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z   i =2 b)  z   i c) z  4i  z  4i  10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y  R) biểu diễn điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z   i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1)  ( x  1)  ( y  1)2   (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = y b) Xét hệ thức  z  z  i  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2  4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = A -2 Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z  4i  z  4i  10 B x O -1 -1 -2 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z  4i  z  4i  10  MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 =  Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y  1 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Ta có: TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i 2  x   y  1   x  y    x  y  2  x  y  xy    x   y  1  2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình x   y  1  1  3i  Ví dụ 3: Cho số phức z  (1  i )5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn A  z  2iz , biết x  y   Giải t   t  4t    t  t   B  0;  1 , C  4;  1 t   B  4;  1 , C  0;  1 Giả sử z2  x  yi x , y  R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có:  nP   a , b , c  , a  b  c  Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) biểu diễn điểm M(x;y) Ta có x   ( y  4)i  x  ( y  2)i (1)  ( x  2)2  ( y  4)2  x  ( y  2)2  y   x  Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z  x  y  x  x  x  16  x  x  16 Hay z   x     2 Do z  x   y  Vậy z   2i   Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn u   z   i  z   3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ) ta có u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x  y  x  y    x   y   i Ta có: u  R  x  y   TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mô đun z nhỏ độ dài OM nhỏ  OM  d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện Z 1  i    2i  13 Giải Gọi z  x  yi ( x, y  R )  z  x  yi 13 39  x2  y  x  y  0 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy  M  (C ) đường tròn có tâm z (1  i )   2i  26 I ( ; ) bán kính R  2 Gọi d đường thẳng qua O I  d : y  x 15 Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C)  M ( ; ) M ( ; ) 4 4 OM  OM Ta thấy  OM  OI  R  OM ( M  (C ))  số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z  15  i 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  z   3i số ảo z i Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ), đó: u  x  2   y  3 i   x     y  3 i   x   y  1 i  x   y  1 i x   y  1 x   y  x  y  3   x  y  1 i x   y  1  x  1   y  12   x  y  x  y   u số ảo    x   y  1   x; y    0;1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  Bài tập yêu cầu Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z  (1  3i )  z   2i b) z  i  z  z  2i c) z    4i   Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều Bài Trong số phức thỏa mãn z   3i  kiện: z  i  z  3i  Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i  z   i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z   i  52 , tìm số phức z mà z   2i nhỏ Dạng Phương trình bậc hai tập số phức Bài 1: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Tính z  z i Bài 3: Cho z1 , z nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính giá trị biểu 2 z  z2 thức A = ( z1  z2 ) Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = ... trên, tìm số phức có môdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i  z   i Tìm số phức z có...   Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều Bài Trong số phức thỏa mãn z   3i  kiện: z  i  z  3i  Trong số phức thỏa... Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z   i  52 , tìm số phức z mà z   2i nhỏ Dạng Phương trình bậc hai tập số phức Bài 1: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  z 