TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC * i 2 = -1 số phức Z= a + b.i (a; b ∈ R) a: là phần thực; b: là phần ảo * M(a; b) biểu diễn số phức Z OM= (a; b) biểu diễn số phức Z * Phép toán số phức ibaz . += và ibaz '.'' += ∈ ∈ Rba Rba ';' ; Ta có: * Số phức đối nhau:cho Z= a + b.i ( ) Rba ∈ , .số -Z= - a – b.i là số phức đối với: Z * Số phức liên hợp: ibaZ . −= Chú ý iiiiZZ nn =−−== ;;)()( • Z là số thực ⇔ ZZ = • Z là số ảo ⇔ ZZ −= * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b ∈ R) môđun số phức Z là: 22 baZ += zzbaOMZ . 22 =+== Chú ý: ZZ = z ∀ ∈ C * Số phức nghịch đảo: 2 1 Z Z Z = 0 ≠ Z * Thương 2 số phức 2 '. . '.' Z ZZ ZZ ZZ Z Z == 0 ≠ Z * Căn bậc hai số phức: W= a + b.i );( Rba ∈ • W= a ∈ R + Số 0 có duy nhất 1 căn bậc hai là 0 + a>0: W có 2 căn bậc hai là a và a − + a<0 : W có 2 căn bậc hai là ia. − và ia. −− • W= a + b.i (b ≠ 0) Z= x + y.i (x; y ∈ R) là căn bậc hai của W trong đó x; y là nghiệm hệ pt: = =− bxy ayx 2 22 * Phương trình bậc hai: Az 2 + Bz + C= 0 (1) ≠ ∈ 0 ,, A CCBA Lập ACB 4 2 −=∆ • ∆ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm kép A B ZZ 2 21 − == • 0≠∆ thì phương trình có 2 nghiệm +− = −− = A B Z A B Z 2 2 2 1 δ δ * Định lý Viet: phương trình (1) có 2 nghiệm 1 Z và 2 Z ta có: A B ZZ −=+ 21 ; A C ZZ = 21 . * Dạng lượng giác số phức: Số phức: ibaZ . += );( Rba ∈ có dạng lượng giác là )sin.(cos ϕϕ irz += Trong đó = = >= r b r a Zr ϕ ϕ sin cos 0|| ),( OMOX = ϕ acgumen của Z • Cho Z có một acgumen là ϕ thì: Z có 1 acgumen là ϕ − - Z có 1 acgumen là ϕπ + Z 1 có 1acgumen là ϕ − * Cho )sin.(cos ϕϕ irZ += )'sin.'(cos'' ϕϕ irZ += Ta có: • ( ) ( ) [ ] 'sin.'cos'.'. ϕϕϕϕ +++= irrZZ • ( ) ( ) [ ] ϕϕϕϕ −+−= 'sin.'cos '' i r r Z Z • [ ] cos .sin n n Z r n i n ϕ ϕ = + • Z có hai căn bậc hai: (cos .sin ) 2 2 (cos .sin ) cos .sin 2 2 2 2 r i r i r i φ φ φ φ φ φ π π + − + = + + + ÷ ÷ GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên Trang1 * = = ⇔= ' ' ' bb aa zz * ibbaazz ).'('' ±+±=± * ibababbaazz ).'.'.('.'.'. ++−= ( δ là một căn bậc hai của ∆ ) TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC BÀI TẬP 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a. ;)1()1( 22 ii −−+ b. i i i i + − + − 2 1 3 c. ; 1 .2 1 7 7 − i i i d. ( ) ( )( ) i iii i i 1 32321 1 1 10 2 +−++−+ − + 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a. ; 2 31 1 2 i i z i i + +− = − + b. ( ) ( ) ;0 2 1 .32 = +++− i izizi c. ;0|| 2 =+ zz d. 0 2 2 =+ zz ; 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i) 2 +(1+i) 3 +…….+(1+i) 20 b. 1+i+i 2 +i 3 ++……+i 2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau: a. ;4|3| =++ zz b. ;2|1| =−+− izz c. ( ) ( ) ziz +−2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz +−=− 5. Các vectơ >−>− ',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a. Chứng minh rằng tích vô hướng ( ) '.'. 2 1 '. zzzzuu += >−>− ; b. Chứng minh rằng >−>− ',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz −=+ 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ,k iz z = − (k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1 1 = − − iz z và .1 3 = + − iz iz 8. Tìm số phức z thỏa mãn 1 4 = − + iz iz 9. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a. i341+− b. i564 + c. i621−− 10. Giải các phương trình sau trên C : a. ( ) ( )( ) 01 32 =++− izziz b. ( ) ( ) .0124 2 2 2 =−+++ zzzz 11. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun : 1 tan 1 tan i i α α + − 12. Giải các phương trình sau trên C : a. 01 2 2 34 =+++− z z zz bằng cách đặt ẩn số phụ z zw 1 −= ; b. ( ) ( ) 0363263 22 2 2 =−+++++ zzzzzz c. (z 2 +1) 2 +(z+3) 2 =0 13. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21 , zz sau : −=+ +=+ izz izz 25 4 2 2 2 1 21 GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên Trang2 GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC 14. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21 , zz sau : +−=+ −−= izz izz 25 55 2 2 2 1 21 15. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a 1-i 3 ; b. 4 sin 4 cos ππ i− ; c. ; 8 cos 8 sin ππ i−− d. ϕϕ cossin1 i+− ; 2 0 << π ϕ 16. Cho PT : z 2 + kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị 17. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau : 2 1 3z z i z− + − = + 18. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a. ( ) ;31 3 sin 3 cos 7 5 iii + − ππ b. ( ) ( ) 9 10 3 1 i i + + ; c. 2000 2000 1 z z + biết rằng .1 1 =+ z z 19. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: a. 2 sin2sin 2 ϕ ϕ i+ b. )sin1(cos ϕϕ ++i 20. CMR:3(1+i) 2011 = 4i(1+i) 2009 - 4(1+i) 2007 21. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a. 2 2z ; b. ; 2 1 z − c. ; z z d. zz 2 − ; e. zz + ; f. zz + 2 ; g. zz − 2 ; h. zz + 2 . 22. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức n i i − − 33 33 là số thực, là số ảo? 23. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a. 2-2 3 I b 2(cos α -isin α ) c.1+ cos sin 8 8 i π π + 24. a. Cho ϕϕ sincos iz += ( R∈ ϕ ). Chứng minh rằng với mọi số nguyên 1 ≥ n , ta có ϕ n z z n n cos2 1 =+ ; ϕ ni z z n n sin2 1 =− . b. Từ câu a. chứng minh rằng ( ) ( ) .sin103sin55sin 16 1 sin ,32cos44cos 8 1 cos 5 4 ϕϕϕϕ ϕϕϕ +−= ++= 25. Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau: a. ;sincos ϕϕ i− b. ϕϕ cossin i+ ; c. .cossin ϕϕ i− với R∈ ϕ cho trước. 26.Viết dạng lượng giác số z= 1 3 2 2 i− .Suy ra căn bậc hai số phức z GV Biên Soạn Hoa Hoàng Tuyên Trang3 GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên . TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU SỐ PHỨC * i 2 = -1 số phức Z= a + b.i (a; b ∈ R) a: là phần thực; b: là phần ảo * M(a; b) biểu diễn số phức Z OM= (a; b) biểu diễn số phức Z * Phép toán số phức ibaz . += và. có: * Số phức đối nhau:cho Z= a + b.i ( ) Rba ∈ , .số -Z= - a – b.i là số phức đối với: Z * Số phức liên hợp: ibaZ . −= Chú ý iiiiZZ nn =−−== ;;)()( • Z là số thực ⇔ ZZ = • Z là số ảo. ZZ −= * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b ∈ R) môđun số phức Z là: 22 baZ += zzbaOMZ . 22 =+== Chú ý: ZZ = z ∀ ∈ C * Số phức nghịch đảo: 2 1 Z Z Z = 0 ≠ Z * Thương 2 số phức 2 '. . '.' Z ZZ ZZ ZZ Z Z ==