Bài tập số phức

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Dạng 1: Các phép toán số phức a b Tìm số thực x, y biết: (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực z1 = + 5i ; z = − 4i z1.z2 Cho hai số phức: Xác định phần thực, phần ảo số phức Tìm phần thực, phần ảo mô đun số phức: z = (2 + 3i)(1 − i ) − 4i z = (2 − 2i )(3 + 2i )(5 − 4i ) − (2 + 3i) a) b) 25i z = − 4i z 2z + z Tìm số phức: , biết w= Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức z +i iz − Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức z −2+i = Bài Tìm số phức z thỏa mãn: Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i z − ( + i ) = 10 Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z.z = 25 z − ( + 2i ) = 26 z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: z =2 z =5 a) z số ảo b) phần thực z hai lần phần ảo z = z2 số ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn Bài Giải phương trình: a) z2 + z = z2 + z = z b) 11 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( z + 1)(1 + i) + Bài Tìm số phức z biết z −1 = Bài Tìm số phức z biết: z −1 = | z |2 1− i (1 + i)( z − 1) có phần ảo Dạng 3: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: z −1+ i a) =2 b) + z = 1− i c) z − 4i + z + 4i = 10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) biểu diễn bởi điểm M(x;y) z −1+ i a) Xét hệ thức: =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i 2 Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = y B A -2 x O -1 -1 -2 2+ z = z −i b) Xét hệ thức ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| 2 2 ⇔ (x+2) + y = x + (1-y) ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 22 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z − 4i + z + 4i = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = ⇒ Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F F2 có độ dài trục lớn 10 x2 y + =1 Phương trình (E) là: 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − i = (1+ i) z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y Ta có: ∈R ) z − i = ( + i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i ⇔ x + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) 2 ⇔ x + y + xy − = ⇔ x + ( y + 1) = 2 x + ( y + 1) = 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình z1 = Ví dụ 3: Cho số phức Giải t = ⇔ t − 4t = ⇔  t = ( + 3i (1 + i) ) A = z + 2iz Tìm tập hợp điểm biểu diễn t = ⇒ B ( 0; − 1) , C ( 4; − 1) t = ⇒ B ( 4; − 1) , C ( 0; − 1) z2 = x + yi x, y ∈ R Giả sử biểu diễn bởi điểm M(x;y) Khi ta có: 33 x − y −1 = , biết TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn uur nP = ( a, b, c ) , a + b + c ≠ z2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức đường tròn tâm O, bán kính z − − 4i = z − 2i Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ .Tìm số phức z có môđun Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) biểu diễn bởi điểm M(x;y) x − + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i Ta có ⇔ y = −x + ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x + ( y − 2) (1) Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường z = x + y = x + x − x + 16 = x − x + 16 thẳng x + y = Mặt khác z = ( x − 2) + ≥ 2 Hay Do z ⇔ x = ⇒ y = Vậy z = + 2i ( u = ( z + − i ) z + + 3i Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn ) số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải ∈R Đặt z= x+ yi (x, y ) ta có u = ( x + 3) + ( y − 1) i  ( x + 1) − ( y − 3) i  = x + y + x − y + + ( x − − y − ) i u∈R ⇔ x − y −4 = Ta có: Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z ⇔ OM ⊥ d mô đun z nhỏ độ dài OM nhỏ Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i 44 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Z ( + i ) − + 2i = Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện 13 Giải Gọi z = x + yi( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − yi z (1 + i) − + 2i = 13 39 ⇔ x2 + y2 − x − y + =0 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy I( ; ) 2 R= bán kính ⇒ d : y = 5x Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C) OM > OM  OM = OI + R ≥ OM ( M ∈ (C )) Ta thấy 15 ⇒ M1 ( ; ) 4 z= số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay M2( ; ) 4 15 + i 4 u= Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho Giải ∈R Đặt z= x+ yi (x, y ), đó: u= đường tròn có tâm 26 Gọi d đường thẳng qua O I ⇒ ⇒ M ∈ (C ) ( x + ) + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y + 3) i   x − ( y − 1) i  x + ( y − 1) i x + ( y − 1) 55 z + + 3i z −i số ảo  TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (x = + y + x + y − 3) + ( x − y + 1) i x + ( y − 1) u số ảo 2  x + y + x + y − = ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔  2 x + y − > ( )  ( x; y ) ≠ ( 0;1) Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) Bài tập yêu cầu Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau z + (1 − 3i) = z + − 2i a) z − ( − 4i ) = 2 z − i = z − z + 2i b) c) z − + 3i = Bài Trong số phức thỏa mãn Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều z − i = z − 3i − kiện: nhỏ Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun z − − 4i = z − 2i Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ .Tìm số phức z có môđun z + − 5i = z + − i Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ Tìm số phức z có z − + 2i z − − i = 52 Bài Trong số phức z thỏa mãn , tìm số phức z mà Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 66 nhỏ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Bài 1: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình A = z1 + z2 z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức z+ z +i z − z + 13 = Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn Tính z1 z2 z − z + 11 = Bài 3: Cho , nghiệm phức phương trình Tính giá trị biểu 2 z1 + z2 ( z1 + z2 ) thức A = Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 77 ... trên, tìm số phức có môdun z − − 4i = z − 2i Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ .Tìm số phức z có môđun z + − 5i = z + − i Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ Tìm số phức z... 3i = Bài Trong số phức thỏa mãn Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều z − i = z − 3i − kiện: nhỏ Trong số phức thỏa mãn điều... phần ảo Dạng 3: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau