NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM. ① Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K F’(x)= f(x), . ▪ ▪ . ▪ ② Bảng các nguyên hàm: Cho k, b là các số thực ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ③ Một số phương pháp tìm nguyên hàm: ⓐ Phương pháp phân tích và sử dụng bảng nguyên hàm: Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm số mà ta đã biết nguyên hàm. Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: ⓑ Phương pháp đổi biến số: Nếu mà dễ tìm thì ta thực hiện các bước sau: + Đặt . + Tìm . + . + Tìm . Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: . ⓒ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau: ④ Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: Ⓐ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ: ▪ Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x). ▪ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta phân tích Q(x) thành nhân tử sau đó ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức bẳng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp giá trị riêng. Ví dụ như: Đối với ta chia ba trường hợp: i) Nếu tam thức có hai nghiệm thì ta sử dụng công thức (1) ở trên để phân tích. ii) Nếu tam thức có nghiệm kép thì Chú ý rằng 2ax+ b là đạo hàm của ax2+bx+c iii) Nếu tam thức vô nghiệm thì chọn k > 0 thì sau đó sử dụng PP đổi biến số với Với → đặt Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Ⓑ Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: ▪ → ▪ → đặt ▪ →
Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - NGUYấN HM, TCH PHN v NG DNG I NGUYấN HM Khỏi nim nguyờn hm: Hm s F(x) c gi l nguyờn hm ca hm s f(x) trờn K F(x)= f(x), " x ẻ K ũ f ( x )dx = F ( x) + C , C ẻ R ( ũ f ( x )dx) ' = f ( x); ũ( f ( x) g ( x)) dx = ũ f ( x)dx ũ g ( x)dx ũ k f ( x)dx = k ũ f ( x)dx (k 0) Bng cỏc nguyờn hm: Cho k, b l cỏc s thc ( k 0) ũ dx = x + C x +1 + C ( - 1) ũ x dx = +1 dx ũ = ln | x | +C x +1 ũ sin xdx =- cos x + C ũ cos xdx = sin x + C ũ cos2 x dx ( = ũ (1 + tan x)dx) = tan x + C ũ dx ( = ũ (1 + cot x)dx) =- cot x + C sin x ũe x ũa dx = e x + C x x dx = ũ kdx = kx + C a + C (0 < a 1) ln a ( kx + b) ũ (kx + b)dx = k +1 + C ( - 1) dx ũ kx + b = k ln kx + b + C ũ sin(kx + b)dx =- k cos(kx + b) + C ũ cos(kx + b)dx = k sin(kx + b) + C 1 ũ cos2 (kx + b) dx = k tan(kx + b) + C 1 ũ sin (kx + b) dx =- k cot(kx + b) + C kx+b kx+b ũ e dx = k e + C a kx+b kx+b ũ a dx = k ln a + C (0 < a 1) Mt s phng phỏp tỡm nguyờn hm: Phng phỏp phõn tớch v s dng bng nguyờn hm: Ta phõn tớch hm s di du tớch phõn thnh tng hoc hiu cỏc hm s m ta ó bit nguyờn hm Vớ d: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: x + 3x - I1 = ũ dx x2 x I = ũ 2sin dx I = ũ cos xdx I5 = ũ dx sin x.cos x Phng phỏp i bin s: Nu f ( x) = g [ u ( x) ].u '( x) m I = ũ tan xdx I = ũ sin x.cos xdx ũ g (t )dt d tỡm thỡ ta thc hin cỏc bc sau: + t t = u ( x ) + Tỡm dt = u '( x)dx Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - ũ f ( x)dx = ũ g ờởu ( x)ỳỷ.u '( x)dx = ũ g (t )dt + Tỡm ũ g (t )dt = G (t ) + C = G [ u ( x) ] + C + Vớ d: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: I1 = ũ sin x cos xdx I4 = ũ x x +1dx I = ũ x x + 3dx dx I5 = ũ ( x 1+ x ) I3 = ũ I6 = ũ x dx x +1 dx cos x I = ũ cos3 xdx Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn: ũ udv = uv - ũ vdu Vớ d: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: I = ũ( x - 1) cos xdx I1 = ũ x sin xdx I = ũ x.ln xdx I = ũ e x sin xdx I = ũ sin xdx I8 = ũ x +1dx n Bi tp: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: ( ln x) B1 = ũ dx x B7 = ũ ln xdx I6 = ũ ổ e- x ữ ữ B2 = ũ e x ỗ + dx ỗ ữ ỗ ỗ ố cos x ữ ứ B5 = ũ B4 = ũ x sin xdx B8 = ũ I = ũ x.e x dx x3 1+ x2 e tan x dx cos x ổ ữ sin ỗ ữ ỗ ữ ỗx - ứ ố B10 = ũ dx sin x + 2(1 + sin x + cos x) dx ln ( ln x ) dx x B3 = ũ sin xdx B6 = ũ dx e +1 x B9 = ũ( cos3 x - 1) cos xdx B11 = ũ ln x dx x Nguyờn hm ca mt s hm s thng gp: Nguyờn hm ca hm s hu t: f ( x) = P( x) Q( x) Nu bc ca P(x) > bc ca Q(x) thỡ ta thc hin phộp chia a thc P(x) cho Q(x) Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) ta phõn tớch Q(x) thnh nhõn t sau ú ta phõn tớch f(x) thnh tng nhiu phõn thc bng phng phỏp h s bt nh hoc phng phỏp giỏ tr riờng Vớ d nh: cx + d A B = + ( x - a)( x - b) x - a x - b (1) mx + nx + k A Bx + C = + 2 ( x - d )(ax + bx + c) x - d ax + bx + c Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - a4 x + a3 x3 + a2 x + a1 x + a0 A B C D E = + + + + 2 x - a ( x - a) x - b ( x - b) ( x - a ) ( x - b) ( x - a) Bx + C dx ta chia ba trng hp: i vi ũ ax + bx + c i) Nu tam thc ax + bx + c cú hai nghim x1; x2 thỡ ax + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) ta s dng cụng thc (1) trờn phõn tớch ii) Nu tam thc ax + bx + c cú nghim kộp x = x0 thỡ ax + bx + c = a( x - x0 ) ổB Bb ữ ỗ (2ax + b) + C ữ ỗ ữ Bx + C ỗ a a ữ ỗ dx = dx ữ ũ ax + bx + c ũỗỗ ữ a ( x x ) ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Chỳ ý rng 2ax+ b l o hm ca ax2+bx+c ộổ b ử2 ự 2ỳ ữ ỗ ax + bx + c = a x + + k ax + bx + c ữ iii) Nu tam thc vụ nghim thỡ ờỗ ỳ ữ ỗ ờố 2a ứ ỳ ỷ ổ ữ ỗ ữ ỗ B Bb ữ ỗ ữ (2 ax + b ) + C ỗ ữ Bx + C ỗ ữ a a ữ dx = ũỗ dx sau ú s dng PP i chn k > thỡ ũ ỗ ữ ộ ự ữ ỗ ax + bx + c ổ b ữ ỗ ờx + ữ ữ ỗ +k2ỳ ữ ỗ ỗ a ờỗ ỳ ữ ữ ỗ ữ ố ứ a ữ ỗ ố ỳ ứ ỷ ổ b - 0) thỡ: - a Nu f ( x ) l hm s liờn tc trờn on [0;1] thỡ: 0 a ũ f ( x)dx = 2ũ f ( x)dx ũ xf (sin x)dx = ũ f (sin x)dx 0 ũ f (sin x)dx = ũ f (cos x)dx Nu f ( x ) l hm s chn v liờn tc trờn Ă thỡ f ( x) + ũ a x +1 dx = ũ f ( x)dx ( ẻ Ă , a > 0, a 1) - Ngoi ta cũn cú th dựng tớch phõn liờn kt gii cỏc bi toỏn v tớch phõn Vớ d v bi tp: Tớnh cỏc tớch phõn sau: cos n x J1 = ũ dx (n ẻ Â + ) n n cos x + sin x J = ũ x sin xdx x4 dx x + - J3 = ũ J4 = ũ x sin x dx - cos x III NG DNG CA TCH PHN Tớnh din tớch hỡnh phng: Cụng thc: Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - + Din tớch hỡnh phng (H) gii hn bi cỏc ng y = f ( x); y = g ( x); x = a; x = b b (a < b) vi cỏc hm s f ( x), g ( x) liờn tc trờn [a; b] l: S = ũ| f ( x) - g ( x ) | dx a + Din tớch hỡnh phng gi hn bi cỏc ng x = g ( y ); x = h( y ) ; y = a, y = b b (a < b) vi cỏc hm s x = g ( y ), x = h( y ) liờn tc trờn [a; b] l: S = ũ| g ( y ) - h ( y ) | dy a tớnh din tớch hỡnh (H) cn xỏc nh phng trỡnh ng ú cú ng y= v hai ng x = b S = ũ| f ( x) - g ( x ) | dx a b c S = ũ| g ( x ) - h( x ) | dx + ũ| f ( x ) - h( x ) | dx a b b S = ũ| h( y ) - g ( y ) | dy a Tớnh th tớch Cụng thc: Vt th bi hai mt phng = b; cú din tớch din ct bi mt vuụng gúc vi Ox x (a < x < b) l th tớch c tớnh theo cụng thc: vt th: gii hn x = a, x thit phng ti im S(x) cú b V = ũ S ( x)dx a Th tớch ca trũn xoay to thnh hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng y = f ( x ) , trc honh, x = a, x =b quay quanh trc Ox l: Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - b V = ũ[ f ( x)] dx a Th tớch ca trũn xoay to thnh hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng x = g ( y ) , trc honh, y = a, y =b quay quanh trc Oy l: b V = ũ[ g ( y )] dy a Vớ d v bi tp: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: 1) y = x.e x , trụchoành, x =- 1, x = 2) y = tan x, y = 0, x = , x = 3) y = sin x.cos x; y = 0; x = 0; x = 1 ; x= ; x= 4) y = ; y = sin x cos x - 3x - ; Ox; Oy 6) y = x- 8) y = x - x; y =- x + x 7) x = y ; x + y + = 0; y = 9) y = - x + x; y =- 3x x2 y = x 13) y =| x - x + |; y = x + (H k.A 2002) 10) y + x - = 0; x + y - = 12) x =- y ; x = 1- y 5) y = x + x ; Ox; x = 11) y = x ; y = 14) Tỡm din tớch hỡnh phng gii hn bi (P): y = x - x + v hai tip tuyn ca (P) ti cỏc im A(1; 2), B(4;5) 15) Cho parabol (P): y = x v hai im A, B thuc (P) cho AB = Tỡm A, B cho din tớch hỡnh phng gii hn bi (P) v ng thng AB t giỏ tr ln nht Tớnh th tớch ca phn vt th gii hn bi hai mt phng x = 0, x = 3, bit rng thit din b ct bi mt phng vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x (0 < x < 3) l mt hỡnh ch nht cú chiu rng v chiu di l x v - x Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay quanh trc Ox mi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: a) y = ln x; y = 0; x = 1; x = b) y = + sin x + cos x , y = 0; x = 0; x = 2 c) y = cos x; y =0; x = 0; x = d) y = x ; y = 0; x = e) y = sin x, y = 0, x = 0, x = f) x + y - = 0; x + y - = g) y = x ; y = x + Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay quanh trc Oy mi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: 2y , y = 0, y = 1, Oy a) x = b) y = - x , Oy , y = y +1 Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - CC BI TON TRONG THI TUYN SINH I HC Khi B 2002: Tớnh din tớch hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng: y = Khi A2003: I = ũ ũx Khi D 2003: I= e Khi B 2004: I = Khi A 2005: I = ũ x x2 + - 2sin x dx + sin x - x dx Khi A 2004: I = ũ1 + ũ (e sin x x dx x- Khi D 2004: I = ũ ln( x - x) dx /2 sin x + sin x dx + 3cos x /2 Khi D 2005: I = Khi B 2003: I = ũ + 3ln x ln x dx x ũ /2 /4 dx x2 x2 , y= 4 Khi B 2005: I = ũ sin x cos x dx + cos x + cos x) cos x dx Khi A 2006: I = /2 ũ sin x 2 cos x + 4sin x dx ln dx Khi B 2006: I = ũ x Khi D 2006: I = - x e + e ln Khi A 2007: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng y = (e +1) x, y = ( + e x ) x ũ(x - 2)e x dx Khi B 2007: Cho hỡnh phng (H) gii hn bi cỏc ng y = x ln x, y = 0, x = e Tớnh ca th tớch trũn xoay to thnh quay hỡnh (H) quanh trc Ox e Khi A 2008: I = tan x dx ũ cos x Khi D 2007: I = ũ x ln x dx ổ ữ sin ỗ x dx ữ ỗ ỗ ố 4ữ ứ Khi B 2008: I = ũ sin x + 2(1 + sin x + cos x) Khi A 2009: Tớnh tớch phõn: I = ( cos3 x - 1) cos x dx ũ Khi B 2009: Tớnh tớch phõn: I = ũ 1 C 2009: ( e x + ln x ( x +1) dx Khi D 2009: I = ũ dx e - x ) + x e x dx Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH 12A6 - e x +e x + x 2e x dx A2010 ũ x + e B2010 e D2010 ổ 3ử ữ ũỗỗỗố2 x - x ứữ ữln xdx A2011 I = x sin x + ( x +1)cos x dx x sin x + cos x ũ D2011 I = ũ 4x - dx x +1 + + ln( x +1) dx A 2012 I = ũ x ũ C2010 ũ ln x x ( +ln x ) B2011 I = + x sin x dx ũ 2 C2011 I = ũ1 A 2013 I = D 2013 I = x 1 x2 ln xdx ( x + 1) x2 x +1 dx x( x +1) x3 dx B 2012 I = ũ x + x + C 2012 I = cos x ũ x(1 + sin x )dx dx 2x- dx x +1 /4 D 2012 I = ũ x dx x +1 B 2013 I = x x dx dx A 2014 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong y = x2 x + v ng thng y = 2x + x2 + 3x + dx B 2014 I = x2 + x D 2014 I = (x + 1) sin 2xdx Trang 10 GV: TRUNG LAI ... ứữ ữln xdx A2 011 I = x sin x + ( x +1)cos x dx x sin x + cos x ũ D2 011 I = ũ 4x - dx x +1 + + ln( x +1) dx A 2012 I = ũ x ũ C2010 ũ ln x x ( +ln x ) B2 011 I = + x sin x dx ũ 2 C2 011 I = ũ1 A... Thi: GII TCH 12A6 - e e I = ũ ln ( x - x ) dx I5 = ũ 1 x2 I7 = ũ - x2 I10 = ũ dx I6 = ũ (4 x +11) I11 = ũ dx x + 5x + dx I13 = ũ sin x cos x I14 = ũ 1- x I16 = ũ dx + x I17 = ũ I12 = ũ sin x.cos... |; y = x + (H k.A 2002) 10) y + x - = 0; x + y - = 12) x =- y ; x = 1- y 5) y = x + x ; Ox; x = 11) y = x ; y = 14) Tỡm din tớch hỡnh phng gii hn bi (P): y = x - x + v hai tip tuyn ca (P) ti cỏc