Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc Ham bool

Lớp MAT04.C15 - Chiều thứ Giảng viên: TS Cao Thanh Tình HÀM BOOL Nội Dung Chính       HÀM BOOL Hàm Bool Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Hàm Bool Của Mạch Điện Bài Tập Nội Dung Chính (tt) I II HÀM BOOL Hàm Bool Đại số Bool nhị phân Hàm Bool Đại số Bool hàm Bool Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool Từ đơn Đơn thức Đơn thức tối tiểu Fn Đa thức Fn Dạng nối rời tắc hàm Bool Cách tìm dạng nối rời tắc hàm Bool Mệnh đề So sánh dạng đa thức hàm Bool Công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool Nội Dung Chính (tt) III IV V VI HÀM BOOL Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool Bảng mã Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool Nhận xét Tính chất Biểu đồ đơn thức Biểu đồ đa thức Tế bào tế bào lớn Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Họ phủ họ phủ tối tiểu Thuật toán Đại Số Các Mạch Điện Hàm Bool mạch điện Các loại cổng cớ Thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool Tối ưu hóa việc thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool Bài Tập I Hàm Bool George Boole (1815-1864) HÀM BOOL I Hàm Bool Đại số Bool nhị phân: Cho B ={0,1}    HÀM BOOL ta đặt phép toán sau: ∀x, y ∈ B x y = xy x V y = (x + y) – (xy) ¬x=1–x I Hàm Bool Đại số Bool nhị phân: Đại số bool số nhị phân thỏa trường hợp (luật) mệnh đề Luât phủ định kép ¬ ¬E E Luật lũy đẳng E E E E V E E Luật giao hoán F E E F F V E E V F Luật kết hợp (E F) G E (F G) (E V F) V G E V (F V G) Luật phân phối E (G V F) (E G) V (E F) E V (G F) (E V G) (E V F) Luật phủ định De-Morgan ¬ (E F) ¬E V ¬F ¬ (E V F) ¬E ¬F Luật hấp thụ E (E V F) E ; E V (E F) E Luật trung hòa E E E V E Luật thống trị E E V Luật bù E ¬E E V¬E HÀM BOOL Luật kéo theo E → F ¬E V F Phủ định kéo theo ¬( E → F) E ¬F I Hàm Bool Hàm Bool: a Định nghĩa Cho n ≥ n ∈ N Hàm Bool n biến ánh xạ f : Bn → B, B = {0, 1} Một hàm Bool n biến hàm số có dạng f = f(x ,x ,…,x ), n {0, 1} biến x , x ,…, x f nhận giá trị B = n Ký hiệu F để tập hàm Bool n biến n Ví dụ: Biểu thức logic E = E(p ,p ,…,p ) theo n biến p , p ,…, p n n HÀM BOOL hàm Bool n biến I Hàm Bool Hàm Bool: b Bảng chân trị Xét hàm Bool n biến f(x ,x ,…,x ) n  Vì biến x nhận hai giá trị 0, nên có 2n trường hợp biến (x ,x ,…,x ) i n  Do đó, để mô tả f ta lập bảng gồm 2n hàng ghi tất giá trị f tùy theo 2n trường hợp biến Ta gọi bảng chân trị f HÀM BOOL I Hàm Bool Hàm Bool: b Bảng chân trị Ví dụ: cho mạch điện hình vẽ A M N B Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta có dòng điện qua MN C Bảng giá trị HÀM BOOL 10 IV Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Thuật toán: a Ý tưởng chung    HÀM BOOL Tìm tất tế bào lớn S = Kar(f) Tìm số phép phủ S (phủ tế bào lớn) chọn phép phủ tối tiểu cho S Viết công thức đa thức cho f (từ phép phủ tối tiểu S) chọn công thức đa thức tối tiểu 32 IV Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Thuật toán: b Thuật toán cụ thể  Tìm tất tế bào lớn S = Kar(f)  Chọn Ô P1 tùy ý ∈ S tế bào lớn T1 tùy ý mà P1 ∈ T1  Chọn Ô P2 tùy ý ∈ S\T1 tế bào lớn T2 tùy ý mà P2 ∈ T2  Chọn Ô P3 tùy ý ∈ S\(T1 V T2) tế bào lớn T3 tùy ý mà P3 ∈ T3  Chọn Ô P4 tùy ý ∈ S\(T1 V T2 V T3) tế bào lớn T4 tùy ý mà P4 ∈ T4  Tiếp tục S\(T1 V T2 V T3 V Tk) = 0, nghĩa S = T1 V T2 V T3 V Tk (1 phép phủ S, phủ tế bào lơn) HÀM BOOL  Việc chọn Ô P1, P2, P3… tùy ý, nhiên ta ưu tiên chọn trước cácÔ thuộc tế bào lớn, tiếp đến Ô thuộc tế bào lớn,…   Ta thu nhiều phép phủ cho S (phủ tế bào lớn)  Nếu có nhiều phép phủ cho S ta chọn phép phủ tối tiểu Viết công thức đa thức f tương ứng với phép phủ tối tiểu đó, ta chọn công thức đơn giản Và công thức đa thức tối tiểu S Nếu có phép phủ cho S phép phủ tối tiểu Viết công thức đa thức cùa f tương ứng với phép phủ tối tiểu Và công thức đa thức tối tiểu S 33 IV Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Ví dụ: a Ví dụ 1: Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool f có biến với S = Kar(f) sau: S = {(1,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,1),(3,3),(4,3),(4,1),(3,4),(4,4)} Các tế báo lớn T1 = ¬z, T2 = ¬x¬t, T3 = ¬y¬t, T4 = xyt Chọn Ô (3,1) ∈ S (3,1) ∈ T1 Chọn Ô (1,1) ∈ S\ T1 (1,1) ∈ T3 Chọn Ô (1,3) ∈ S\ (T1 V T3) (1,3) ∈ T2 Chọn Ô (2,2) ∈ S\ (T1 V T3 V T2) (1,3) ∈ T4 S\(T1 V T3 V T2 V T4) = => S = T1 V T2 V T3 V T4(phép phủ tối tiểu) T1 → T3 → T2 → T4 f(x,y,z,t) = ¬z V ¬x¬t V ¬y¬t V xyt công thức đa thức tối tiểu f HÀM BOOL 34 IV Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Ví dụ: b Ví dụ 2: Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool g có biến với S = Kar(f) sau: S = {(3,1),(4,1),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(2,4),(3,4)} Các tế báo lớn S T1 = xz ¬t, T2 = yz ¬t, T3 = ¬xyz T4 = ¬xyt, T5 = y ¬zt, T6 = ¬x ¬y ¬z ¬t Chọn Ô (1,1) ∈ S (1,1) ∈ T1 Chọn Ô (3,2) ∈ S\ T1 (3,2) ∈ T5 Chọn Ô (4,4) ∈ S\ (T1 V T5) (4,4) ∈ T6 Chọn Ô (1,3) ∈ S\ (T1 V T5 V T6) (1,3) ∈ T3, T2 Chọn Ô (2,3) ∈ S\ (T1 V T5 V T6 V T2) (2,3) ∈ T3, T4 S\(T1 V T5 V T6 V T2 V T3) = => S = T1 V T5 V T6 V T2 V T3(1) S\(T1 V T5 V T6 V T2 V T4) = => S = T1 V T5 V T6 V T2 V T4(2) S\(T1 V T5 V T6 V T3) = => S = T1 V T5 V T6 V T3(3) Công thức đa thức cho (2) (3) g(x,y,z,t) = xz ¬t V y ¬zt V ¬x ¬y ¬z ¬t V yz ¬t V ¬xyt = xz ¬t V y ¬zt V ¬x ¬y ¬z ¬t V ¬xyz g(x,y,z,t) = xz ¬t V y ¬zt V ¬x ¬y ¬z ¬t V ¬xyz (công thức đa thức tối tiểu) HÀM BOOL 35 IV Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Ví dụ: c Ví dụ 3: Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool g có biến với S = Kar(f) sau: S = {(1,1),(1,2),(3,2),(1,3),(2,3),(3,3),(4,4)} Các tế báo lớn S T1 = xy, T2 = x ¬z, T3 = yzt T4 = ¬xzt, T5 = ¬ x ¬ yt, T6 = ¬y ¬z t Chọn Ô (1,2) ∈ S (1,2) ∈ T1 Chọn Ô (4,1) ∈ S\ T1 (4,1) ∈ T2 Chọn Ô (2,4) ∈ S\ (T1 V T2) (2,4) ∈ T4, T5 Chọn Ô (3,4) ∈ S\ (T1 V T2 V T4) (3,4) ∈ T5 , T6 S\(T1 V T2 V T4 V T5) = => S = T1 V T2 V T4 V T5 (1) S\(T1 V T2 V T4 V T6) = => S = T1 V T2 V T4 V T6 (2) Chọn Ô (2,3) ∈ S\ (T1 V T2 V T5) (2,3) ∈ T3, T4 S\(T1 V T2 V T5 V T3) = => S = T1 V T2 V T5 V T3 (3) Công thức đa thức cho (1), (2) (3) h(x,y,z,t) = xy V x ¬z V ¬xzt V ¬x ¬yt = xy Vx ¬z V ¬xzt V ¬y ¬zt = xy V x ¬z V ¬ x¬yt V yzt HÀM BOOL 36 V Đại số mạch điện Hàm Bool mạch điện: a Mạch điện: dây dẫn công tắc điện  Công tắc điện tương đương biến bool (0,1)  Trên dây dẫn công tắc: mắc nối tiếp mắc song song A a B t(a,b) = a b = a.b b t(a,b) có điện qua dây t(a,b) = điện qua dây A a t(a,b) B b t(a,b) = aVb HÀM BOOL 37 V Đại số mạch điện Hàm bool mạch điện: b Mạch điện có n công tắc điện A1, A2,…An(n biến bool a1, a2,…,an)  Hàm Bool cho mạch điện: f: Bn B (không có điện) (a1, a2,…,an) f (a1, a2,…,an) = (có điện)  Từ cấu trúc mắc nối tiếp mắc song song mạch ta biểu diễn f thành công thức đa thức theo a1, a2,…,an Ví dụ: B D A f(a,b,c,d) C ¬C ¬A f(a,b,c,d) = {[a.(bVc)] V (¬c ¬a)}.d = (a.b V a.c V ¬a ¬c).d = abc V acd V ¬a¬cd HÀM BOOL 38 V Đại số mạch điện Các loại cổng bản: a Bộ đảo (cổng NOT) x ¬x Bảng chân trị Ví dụ: Cho đầu vào A= 01001 Khi sau qua đảo, đầu ¬A = 10110 HÀM BOOL 39 V Đại số mạch điện Các loại cổng bản: b Cổng OR x x1 xn x1 + x2 +…+ xn Bảng chân trị Ví dụ: Cho đầu vào A = 011101, B = 100110 đầu cổng OR = 111111 HÀM BOOL X=A+B 40 V Đại số mạch điện Các loại cổng bản: c Cổng AND x1.x2…xn Bảng chân trị Ví dụ: Cho đầu vào A = 110001, B = 011100 Khi đầu cổng AND X = A.B = 010000 HÀM BOOL 41 V Đại số mạch điện Thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool:  f ∈ Fn f có dạng đa thức: f = U V u2 V V Uk (u1, u2,uk đơn thức)  f ∈ F3 dùng cổng AND, OR, NOT để thiết kế mạng tổng hợp f Ví dụ: Có f(x,y,z) = xyz V x¬y¬z V x¬y¬z V xy¬z V ¬xy¬z (dạng đa thức) f Mạng cổng tổng hợp f:  cổng AND loại dây  cổng NOT  cổng loại dây HÀM BOOL 42 V Đại số mạch điện Tối ưu hóa việc thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm bool:  Việc thiết kế mạng cho f dựa vào công thức đa thức F F có nhiều dạng đa thức khác nhau, ta chọn công thức đa thức tối tiểu f để thiết kế mạng cho Như ta tiết kiệm chi phí mua cổng dây dẫn Ví dụ: f ∈ F3 có f(x,y,z) = xyz V x¬y¬z V x¬y¬z V xy¬z V ¬xy¬z (dạng đa thức) Kar(f) = Kar(xyz) V Kar(x¬y¬z) V Kar(x¬y¬z) V Kar(¬xy¬z) Biểu đồ Karnaugh f Các tế bào lởn S: T1 = x.y T2 = x.¬z T3 = y.¬z Chọn Ô (1,2) ∈ S (1,2) ∈ T1 Chọn Ô (2,1) ∈ S\ T1 (2,1) ∈ T2 Chọn Ô (2,3) ∈ S\(T1 V T2) (2,3) ∈ T3 Chọn Ô S\(T1 V T2 V T3) = => S = T1 V T2 V T3 f(x,y,z,t) = x.y V x¬z V y¬z (công thức tối tiểu f) HÀM BOOL 43 V Đại số mạch điện Tối ưu hóa việc thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool: f( x,y,z)=x.y V x¬z V y¬z Mạng cổng tổng hợp f: HÀM BOOL  cổng AND loại dây  cổng NOT  cổng OR loại dây 44 VI Bài Tập Tìm dạng nối rời tắc cho hàm Bool sau đây: a b c f(x,y,z) = ¬x V ¬y V x(y V z) f(x,y,z,t) = (xy V zt)(x V z) (xz V yt)(xt V yz) f(x,y,z) = (¬x V yz)(¬y V xz)(¬z V xy) Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool f có biến với S = Kar(f) sau a b c S = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)} S chứa hết Ô trừ Ô (2,3) (3,2) S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,1),(4,2),(4,3),(4,4)} Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool f có biến có dạng đa thức sau: a b c d HÀM BOOL f(x,y,z,t) = ¬x¬y V x¬zt V x¬y¬t f(x,y,z,t) = xyzt V ¬x¬y V x¬zt V y¬z¬t f(x,y,z,t) = x¬y¬z V y¬zt V xy¬z V ¬xyz f(x,y,z,t) = y¬t V xy¬z V ¬xyz V x¬yz¬t V ¬x¬y¬z¬t 45 HÀM BOOL 46 ... Hàm Bool Đại số Bool nhị phân Hàm Bool Đại số Bool hàm Bool Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool Từ đơn Đơn thức Đơn thức tối tiểu Fn Đa thức Fn Dạng nối rời tắc hàm Bool Cách tìm dạng nối rời tắc hàm Bool. .. HÀM BOOL Hàm Bool Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Hàm Bool Của Mạch Điện Bài Tập Nội Dung Chính (tt) I II HÀM BOOL. .. thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool Bài Tập I Hàm Bool George Boole (1815-1864) HÀM BOOL I Hàm Bool Đại số Bool nhị phân: Cho B ={0,1}    HÀM BOOL ta đặt phép toán sau: ∀x, y ∈ B x y = xy x