tối ưu hóa điều độ phát điện sử dụng phương pháp nhân tử lagrange

MỞ ĐẦUCần phải xác định sự phân bố tối ưu công suất phát giữa các nhà máy điện trong hệ thống điện giữa các tổ máy phát trong cùng một nhà máy nhiệt điện, giữa các nhà máy nhiệt điện hoặ

CHUYÊN ĐỀ TỐI ƯU HÓA ĐIỀU ĐỘ PHÁT ĐIỆN

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE

1. MỞ ĐẦU

Cần phải xác định sự phân bố tối ưu công suất phát giữa các nhà máy điện trong

hệ thống điện (giữa các tổ máy phát trong cùng một nhà máy nhiệt điện, giữa các nhà máy nhiệt điện hoặc giữa các nhà máy nhiệt điện và các nhà máy thủy điện) đủ đáp ứng một giá trị phụ tải cho trước (bao gồm cả tổn thất) nhằm nâng cao tính vận hành kinh tế của hệ thống điện

Phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp được sử dụng rộng rãi trong các bài toán tìm nghiệm tối ưu, bởi vì:

+ Đơn giản

+ Dễ thực hiện, đặc biệt là với các bài toán có các biến giống nhau, có thể hoán đổi cho nhau

+ Có ưu điểm đối với những bài toán có số biến lớn

2. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE

Bài toán:

Cần phải xác định các ẩn số sao cho đạt cực trị hàm mục tiêu

(2.1)

Và thỏa mãn m điều kiện ràng buộc

(2.2)

Trong đó

Thành lập hàm Lagrange:

(2.3)

Trong đó: là những hằng số

Nghiệm tối ưu của hàm mục tiêu F cũng chính là nghiệm tối ưu của hàm Lagrange L(X) và ngược lại

Vì vậy, cần tìm nghiệm tối ưu cho hàm

Giải thích hình học của phương pháp nhân tử Lagrange

Định nghĩa Gradient

Hàm có các đạo hàm riêng thì vec tơ

gọi là Gradient của tại Kí hiệu:

Xét ví dụ với hàm với điều kiện ràng buộc

Ràng buộc xác định một đường cong như hình vẽ

Lấy vi phân của phương trình với ẩn x, ta có:

(*) Tiếp tuyến của đường cong là

Và gradient của đường cong là

Vì vậy, phương trình (*) có nghĩa là Nói cách khác, tiếp tuyến của

đường cong phải vuông góc với gradient tại mọi điểm

Ta chồng lên đường cong họ các đường mức của hàm , đó là tập

hợp các đường cong , trong đó c là số thực bất kì trong khoảng biến thiên của

Trong hình vẽ trên, ta có , nếu di chuyển dọc theo đường cong

sẽ cho kết quả tăng hoặc giảm giá trị của hàm

Hàm sẽ đạt cực tiểu địa phương tại , tại đó chuyển động trực giao với cả

gradient , điều đó có nghĩa là phải song song với nhau Do đó tồn tại sao cho

Điểm cực trị của hàm thỏa mãn hệ phương trình

Đặt hàm gọi là hàm Lagrange, gọi là nhân tử Lagrange

Suy ra cũng là cực trị của hàm

Giải bài toán

Hãy xác định và sao cho

với (2.4)

Và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc:

Từ (2.4) ta có n phương trình và từ (2.5) ta có m phương trình nên sẽ giải được

(n+m) ẩn số và

Để xác định hàm đạt cực đại hay cực tiểu ta cần phải xét thêm đạo hàm cấp

hai của tại các điểm dừng đã giải ra được ở trên

+ Nếu thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực tiểu

+ Nếu thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực đại

Ví dụ áp dụng

Tìm các nghiệm sao cho:

Với ràng buộc:

Giải:

Thành lập hàm Lagrange:

Xác định các điểm dừng bằng cách giải các phương trình:

Giải hệ 3 phương trình trên ta được

và

Và khi đó giá trị hàm mục tiêu là

3. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN

Phương pháp nhân tử Lagrange được ứng dụng trong việc tính toán phân bố tối ưu công suất trong hệ thống điện

Xét bài toán:

Một nhà máy nhiệt điện có n tổ máy phát cung cấp cho phụ tải Ppt cố định Biết những số liệu về đặc tính tiêu hao nhiên liệu của từng tổ máy Cần phải xác định công suất phát tối ưu của mỗi tổ máy Pj với j = [1…n], sao cho chi phí nhiên liệu tổng trong nhà máy đạt cực tiểu với ràng buộc về điều kiện cân bằng công suất

Mô tả dạng toán học

Cần xác định bộ nghiệm tối ưu sao cho hàm mục tiêu về chi phí nhiên liệu tổng đạt cực tiểu:

(2.6)

Thỏa mãn điều kiện ràng buộc về cân bằng công suất:

(2.7)

Với

Do các tổ máy trong cùng một nhà máy cách nhau không xa nên ta có thể bỏ qua tổn thất

Khi đó ta có điều kiện ràng buộc:

(2.8)

Ta giải bằng phương pháp Lagrange

Thành lập hàm Lagrange:

Điều kiện để hàm số đạt cực trị:

(2.9) Cùng với điều kiện ràng buộc

Giải hệ (n+1) phương trình ta được công suất phát tối ưu của các tổ máy trong nhà

máy nhiệt điện là và

4. VÍ DỤ ỨNG DỤNG.

Hãy phân bố tối ưu công suất cho các tổ máy của nhà máy nhiệt điện gồm hai tổ máy với hàm chi phí sản xuất tương ứng là:

(10 3 đ/h)

(10 3 đ/h) Phụ tải của hệ thống điện là

Không xét đến tổn thất

Giải:

Áp dụng phương pháp Lagrange

Hàm mục tiêu:

Hàm ràng buộc:

Hàm Lagrange:

Lấy đạo hàm của L(P) ta được:

Kết hợp với điều kiện ràng buộc:

Từ đó

Biết dễ dàng tính được công suất phát của các tổ máy:

Thay các giá trị tìm các giá trị của hàm chi phí săn xuất:

đ/h

đ/h

đ/h

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1].PGS TS Trần Bách, Tối ưu hóa chế độ của hệ thống điện, Hà Nội, 1999

[2].TS Trần Quang Khánh, Vận hành hệ thống điện, NXB KH & KT, Hà Nội, 2006 [3].PGS TS Nguyễn Lân Tráng, Quy hoạch phát triển hệ thống điện, NXB KH & KT,

Hà Nội, 2007

[4].Phạm Phúc Long, Về nguyên lý nhân tử Lagrange, Luận văn thạc sỹ toán học, Người hướng dẫn khoa học – PGS TS Trương Xuân Đức Hà, Trường đại học sư phạm Thái Nguyên, Thái Nguyên, 2010