tối ưu hóa điều độ phát điện sử dụng phương pháp nhân tử lagrange

CHUYÊN ĐỀ TỐI ƯU HÓA ĐIỀU ĐỘ PHÁT ĐIỆN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE MỞ ĐẦU Cần phải xác định phân bố tối ưu công suất phát nhà máy điện hệ thống điện (giữa tổ máy phát nhà máy nhiệt điện, nhà máy nhiệt điện nhà máy nhiệt điện nhà máy thủy điện) đủ đáp ứng giá trị phụ tải cho trước (bao gồm tổn thất) nhằm nâng cao tính vận hành kinh tế hệ thống điện Phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp sử dụng rộng rãi tốn tìm nghiệm tối ưu, vì:  Đơn giản  Dễ thực hiện, đặc biệt với tốn có biến giống nhau, hốn đổi cho  Có ưu điểm tốn có số biến lớn PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE Bài toán: Cần phải xác định ẩn số x1 , x2 , , xi , , xn cho đạt cực trị hàm mục tiêu f  x1 , x2 , , xi , , xn  �  max  (2.1) Và thỏa mãn m điều kiện ràng buộc g1  x1 , x2 , , xi , , xn   g  x1 , x2 , , xi , , xn   g m  x1 , x2 , , xi , , xn   (2.2) Trong m  n Thành lập hàm Lagrange: m L  x1 , x2 , , xi , , xn   f  x1 , x2 , , xi , , xn   �i g i  x1 , x2 , , xi , , xn  i 1 (2.3) Trong đó:  i i  1, m  số * Nghiệm tối ưu X opt hàm mục tiêu F nghiệm tối ưu hàm Lagrange L(X) ngược lại L x , x , , xi , , xn  Vì vậy, cần tìm nghiệm tối ưu cho hàm  Giải thích hình học phương pháp nhân tử Lagrange Định nghĩa Gradient � f X ,  i  1, , n  f X Hàm   có đạo hàm riêng �xi vec tơ �� f X � f  X � , , � � xi � xn � �� gọi Gradient f x Kí hiệu: �� f X � f  X � �f  X   � , , � xi � xn � �� Xét ví dụ với hàm f  x, y  h x, y  với điều kiện ràng buộc   Ràng buộc h  x, y   xác định đường cong hình vẽ Lấy vi phân phương trình h  x, y   với ẩn x, ta có: � h � h dy  0 � x � y dx (*) Tiếp tuyến đường cong � dy � T  x, y   � 1, � � dx � Và gradient đường cong �� h � h� �h  � , � x � y� �� Vì vậy, phương trình (*) có nghĩa T �h  Nói cách khác, tiếp tuyến h x, y  đường cong   phải vng góc với gradient điểm h x, y f x, y Ta chồng lên đường cong   họ đường mức hàm   , tập hợp đường cong thiên f f  x, y   c , c số thực khoảng biến * Trong hình vẽ trên, ta có c1  c  c3  c4  c5 , di chuyển dọc theo đường h x, y f x, y cong   cho kết tăng giảm giá trị hàm   x* , y *  Hàm f đạt cực tiểu địa phương  , chuyển động trực giao với gradient �f , �h , điều có nghĩa �f , �h phải song song với Do tồn  �� cho �f  .�h x ,y  Điểm cực trị  * * hàm f thỏa mãn hệ phương trình h  x, y   � � �f  .�h  � Đặt hàm L  X   f  X   .h  X  gọi hàm Lagrange,  gọi nhân tử Lagrange Suy  x , y  cực trị hàm L  X  * * Giải toán x , x , , xi , , xn   ,  , , m  Hãy xác định   cho � L X  � xj  � f  X � xj m � gi  X  i 1 � xj  �i 0 với j  1, n (2.4) Và thỏa mãn điều kiện ràng buộc: gi  x1 , x2 , , xn   với i  1, m (2.5) Từ (2.4) ta có n phương trình từ (2.5) ta có m phương trình nên giải (n+m) ẩn số x j i L X Để xác định hàm   đạt cực đại hay cực tiểu ta cần phải xét thêm đạo hàm L X cấp hai   điểm dừng giải d 2L 0  Nếu dxi hàm mục tiêu đạt cực tiểu d L 0  Nếu dxi hàm mục tiêu đạt cực đại Ví dụ áp dụng Tìm nghiệm x1 , x2 cho: f  x1 , x2   x12  x22 � Với ràng buộc: x1 x2  1 Giải: Thành lập hàm Lagrange: m L  x1 , x2   f  x1 , x2   �i g i  x1 , x2  i 1 �x x � L  x1 , x2   x12  x22  1 �1   1� �2 � Xác định điểm dừng cách giải phương trình: �� L X    x1   � x1 �� � L X   ��  x2   � x2 �� �x1 x2 �  1  �2 Giải hệ phương trình ta x1*  18 * 12 72 ; x2  1  13 13 13 Và giá trị hàm mục tiêu * f opt  36 13 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN Phương pháp nhân tử Lagrange ứng dụng việc tính tốn phân bố tối ưu cơng suất hệ thống điện Xét tốn: Một nhà máy nhiệt điện có n tổ máy phát cung cấp cho phụ tải P pt cố định Biết số liệu đặc tính tiêu hao nhiên liệu tổ máy Cần phải xác định công suất phát tối ưu tổ máy P j với j = [1…n], cho chi phí nhiên liệu tổng nhà máy đạt cực tiểu với ràng buộc điều kiện cân cơng suất Mơ tả dạng tốn học Cần xác định nghiệm tối ưu phí nhiên liệu tổng đạt cực tiểu: P*  P1* , P2* , , Pn*  cho hàm mục tiêu chi n Z  Z  P1 , P2 , , Pj , , Pn   �Z j  Pj  � j 1 (2.6) Thỏa mãn điều kiện ràng buộc cân công suất: g  P   P1  P2   Pj   Pn  Ppt  P  (2.7) Với Pj �0, j  1, n; Ppt  const Do tổ máy nhà máy cách khơng xa nên ta bỏ qua tổn thất P Khi ta có điều kiện ràng buộc: g  P   P1  P2   Pj   Pn  Ppt  Ta giải phương pháp Lagrange (2.8) Thành lập hàm Lagrange: L  P   Z  P    g  P  L P Điều kiện để hàm số   đạt cực trị: L  P � Z  P � g  P ��    0 � � P � P � P 1 � �� L  P � Z  P � g  P    0 � P2 � P2 � P2 �� � � �� L  P � Z  P � g  P    0 � � P � P � P n n � n (2.9) Cùng với điều kiện ràng buộc g  P   P1  P2   Pj   Pn  Ppt  Giải hệ (n+1) phương trình ta cơng suất phát tối ưu tổ máy nhà máy nhiệt điện P*  P1* , P2* , , Pn*   VÍ DỤ ỨNG DỤNG Hãy phân bố tối ưu công suất cho tổ máy nhà máy nhiệt điện gồm hai tổ máy với hàm chi phí sản xuất tương ứng là: Z1   2, 2.P12  312.P1  4050  (103 đ/h) Z   1, 7.P22  350.P2  5150  (103 đ/h) Phụ tải hệ thống điện Ppt  270  MW  Không xét đến tổn thất P Giải: Áp dụng phương pháp Lagrange Hàm mục tiêu: Z   P   Z1  Z � g P  P  P  P  P  P  270  Hàm ràng buộc:   pt Hàm Lagrange: L  P   Z   P   .g  P    2, 2.P12  312.P1  4050    1, 7.P22  350.P2  5150     P1  P2  270  Lấy đạo hàm L(P) ta được: � L   312  4, 4.P1  312   � P1   0, 227.  70,91 � P1 4, � L   350  3, 4.P2  350   � P2   0, 294.  102,94 � P2 3, Kết hợp với điều kiện ràng buộc: g  P   P1  P2  270  0,521.  173,85  270  Từ � 0,521.  443,85 �   851, 28 Biết  dễ dàng tính công suất phát tổ máy: P1  0, 227.851, 28  70,91  122,564  MW  P2  0, 294.851.28  102,94  147, 436  MW  Thay giá trị Pi tìm giá trị hàm chi phí săn xuất: Z1   2, 2.122,5642  312.122,564  4050  103  75,338.106 đ/h Z   1, 7.147, 436  350.147, 436  5150  103  93, 706.106 đ/h � Z   169, 044.106 đ/h TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS TS Trần Bách, Tối ưu hóa chế độ hệ thống điện, Hà Nội, 1999 [2] TS Trần Quang Khánh, Vận hành hệ thống điện, NXB KH & KT, Hà Nội, 2006 [3] PGS TS Nguyễn Lân Tráng, Quy hoạch phát triển hệ thống điện, NXB KH & KT, Hà Nội, 2007 [4] Phạm Phúc Long, Về nguyên lý nhân tử Lagrange, Luận văn thạc sỹ toán học, Người hướng dẫn khoa học – PGS TS Trương Xuân Đức Hà, Trường đại học sư phạm Thái Nguyên, Thái Nguyên, 2010  ... ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN Phương pháp nhân tử Lagrange ứng dụng việc tính tốn phân bố tối ưu cơng suất hệ thống điện Xét tốn: Một nhà máy nhiệt điện có n tổ máy phát. .. tế hệ thống điện Phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp sử dụng rộng rãi tốn tìm nghiệm tối ưu, vì:  Đơn giản  Dễ thực hiện, đặc biệt với tốn có biến giống nhau, hốn đổi cho  Có ưu điểm tốn... Cần phải xác định phân bố tối ưu công suất phát nhà máy điện hệ thống điện (giữa tổ máy phát nhà máy nhiệt điện, nhà máy nhiệt điện nhà máy nhiệt điện nhà máy thủy điện) đủ đáp ứng giá trị phụ