PHÒNG GD&ĐT ANHSƠN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) − : Câu (2,5 điểm): Cho biểu thức: A = x + 3 x − x −3 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn A b) Tính giá trị A biết x − = c) Tìm tất giá trị x để A > Câu (2 điểm): Cho phương trình x2 + 2x + m – = (x ẩn, m tham số) a) Giải phương trình m =1 b) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 thỏa mãn hệ thức: 1 + = x1 x Câu (2 điểm): Hai đội công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường bao lâu? Câu (3 điểm): Cho AB dây không qua tâm (O) Từ điểm M cung nhỏ AB (M khác A B), kẻ dây MN vuông góc với AB H Hạ MQ vuông góc với đường thẳng AN a) Chứng minh điểm A; M; H; Q nằm đường tròn b) Chứng minh: NQ.NA = NH.NM c) Hạ MP vuông góc với đường thẳng BN Xác định vị trí M cung nhỏ AB để MQ.AN + MP.BN đạt giá trị lớn Câu (0,5 điểm): Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng: ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ − - HẾT Họ tên thí sinh: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 3 Số báo danh: ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẦN CHẤM MÔN TOÁN − : Câu (2,5 điểm): Cho biểu thức: A = x + 3 x − x −3 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn A b) Tính giá trị A biết x − = c) Tìm tất giá trị x để A > Ý Nội dung ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ (Thiếu sót điều kiện trừ 0.25 điểm) Rút gọn x +3− x +3 x −3 A = a x +3 x −3 ( c ) x −3 = x +3 x −3 x +3 x = 4(TM ) Ta có: x − = ⇒ x = −2(L) Với x = ta có A = Với x ≥ 0; x ≠ A> ⇔ > ⇔ x + < ( x + > 0) x +3 = b )( ( )( ) ⇔ x < ⇔ ≤ x < 36 Điểm 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu (2 điểm): Cho phương trình: x + 2x + m – = (x ẩn, m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 + = hệ thức: x1 x Với m = ta x2 + 2x – = 0.5 a Giải tìm hai nghiệm 0.5 x1 = −1 + 3; x = −1 − b Ta có: ∆' = − m Điều kiện để PT có nghiệm là: m ≤ 0.25 x1 + x = −2 Theo hệ thức Viét: 0.25 x1.x = m − Đối chiều điều kiện ta ≤ x < 36 x ≠ A > http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Hệ thức: x + x2 11 −2 + = ⇒ = ⇒ = (m ≠ 3) x1 x x1 x m−3 0.25 0.25 ⇒ m − = −10 ⇒ m = −7 (T / M ) Câu (2 điểm): Hai đội công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường bao lâu? Gọi x, y ( ngày) số ngày đội làm xong công việc, x, y > 0.25 1 Mỗi ngày đội làm ; ( CV) làm chung ( CV) 0.25 x y 24 1 0.25 Ta có phương trình: + = (1) x y 24 0.25 Mà, ngày đội A làm gấp rưỡi đội B nên = (2) x y 0.25 1 1 + = x y 24 0.5 Từ (1);(2) ta có hệ: = x y 0.25 Giải hệ ta x = 40; y = 60 Vậy đội A làm 40 ngày; đội B làm 60 ngày Câu (3 điểm): Cho AB dây không qua tâm (O) Từ điểm M cung nhỏ AB (M khác A B), kẻ dây MN vuông góc với AB H Hạ MQ vuông góc với đường thẳng AN a) Chứng minh điểm A; M; H; Q nằm đường tròn b) Chứng minh: NQ.NA = NH.NM c) Hạ MP vuông góc với đường thẳng BN Xác định vị trí M cung nhỏ AB để MQ.AN + MP.BN đạt giá trị lớn H M ìn P h H A B 0.25 O Q N http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 a b c Chứng minh điểm A; M; H; Q nằm đường tròn Tứ giác AMHQ có góc AHM = AQM = 900 (gt) Hai góc nhìn đoạn AM nên tứ giác AMHQ nội tiếp hay điểm A; M; H; Q nằm đường tròn (Lưu ý : Tùy theo hình vẽ mà thứ tự đỉnh thay đổi chứng minh theo cách khác nhau) Chứng minh tam giác NQM đồng dạng với tam giác NHA Suy : NQ.NA = NH.NM ( Hoặc chứng minh theo cách khác ) Ta có : 2S∆MAN = MQ.AN 2S∆MBN = MP.BN Suy : 2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN Ta lại có : 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN) = 2SAMBN = 1.0 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 AB × MN = AB.MN Do : MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên MQ.AN + MP.BN đạt giá trị lớn ⇔ AB.MN lớn ⇔ MN lớn ⇔ MN đường kính ⇔ M điểm cung AB Câu (0,5 điểm): Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng: ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ − Dấu xảy nào? Ta có: 3 (a − 1)3 = a − 3a + 3a − = a ( a − 3a + 3) − 0.25 3 3 = a a − ÷ + a − ≥ a − (1) (do a ≥ 0) 2 4 3 (b − 1)3 ≥ b − ( ) , (c − 1)3 ≥ c − ( 3) Tương tự: 4 3 3 Từ (1); (2); (3) Ta có ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ − Dấu đẳng thức xảy 3 a a − ÷ = a = 0∨ a = a = 0, b = c = b b − ÷ = b = ∨ b = ⇔ ⇔ b = 0, a = c = 2 c c − = c = ∨ c = c = 0, a = b = ÷ 2 a + b + c = a + b + c = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 3 0.25 ... Viét: 0.25 x1.x = m − Đối chiều điều kiện ta ≤ x < 36 x ≠ A > http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Hệ thức: x + x2 1 1 −2 + = ⇒ = ⇒ = (m ≠ 3) x1 x x1 x m−3 0.25 0.25 ⇒ m − = 10 ⇒ m = −7 (T... phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 + = hệ thức: x1 x Với m = ta x2 + 2x – = 0.5 a Giải tìm hai nghiệm 0.5 x1 = 1 + 3; x = 1 − b Ta có: ∆' = − m Điều kiện để PT có nghiệm là: m ≤ 0.25 x1 + x = −2... a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ − Dấu xảy nào? Ta có: 3 (a − 1) 3 = a − 3a + 3a − = a ( a − 3a + 3) − 0.25 3 3 = a a − ÷ + a − ≥ a − (1) (do a ≥ 0) 2 4 3 (b − 1) 3 ≥ b − ( ) , (c − 1) 3