nhi thuc niu ton nhi thuc niuton toán 11

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton (Niu-tơn) a  b  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n  2b   Cnk a n  k b k   Cnn 1ab n 1  Cnnb n n  Cn0b n  Cn1b n 1a  Cn2b n  a   Cnk b n k a k   Cnn 1ba n 1  Cnn a n n   Cnk a n k b k (coi a  b  1) k 0 Kí hiệu  Leonhard Euler (1707– 1783) đề xuất Công thức nhị thức Newton (còn gọi Định lí nhị thức Newton) độc lập chứng minh bởi: - Nhà toán học học Sir Isaac Newton (1643-1727) vào năm 1665; - Nhà toán học James Gregory (1638 - 1675) vào năm 1670 Trong khai triển trên, số hạng tổng quát có dạng Tk 1  Cnk a nk bk (k  0,n) Các hệ số khai triển xác định theo tam giác Pascal sau 1 1 1 1 1 3 1 1 10 10 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 15 20 15 Phương pháp làm trội n Để tính tổng có dạng Sn   uk , ta phân tích uk  vk  vk 1, k  1, 2, , n, k 1 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Sn  n  uk  k 1 n  (vk  vk 1)  v1  1 k 1 n Để tính tích có dạng Sn   uk  0, ta phân tích uk  k 1 n vk v v , k  1, 2, , n, Sn   k  v 1 vk 1 k 1 k 1 Tổng hệ số đa thức Ta xét đa thức bậc n ( n  * ) với hệ số thực f ( x)  an x n   a1 x  a0 ( a0 , a1 , , an  ; an  ) Số hạng tự (số hạng không chứa x ) f ( x) a0  f (0) Tổng tất hệ số f ( x) S  n  ak  an  an1   a1  a0  f (1) k 0 Tổng tất hệ số bậc chẵn f ( x) S1  a0  a2  a4   a n 2  2 Tổng tất hệ số bậc lẻ f ( x) S2  a1  a3  a5   a Hệ công thức nhị thức Newton   n1 2 1    f (1)  f (1)    f (1)  f (1)  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1)  a  b   Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b   (1) k Cnk a n k b k   (1) n 1 Cnn 1ab n 1  ( 1) n Cnnb n n n   Cnk (1) k a n k b k (coi a  b  1) k 0 2) (1  x)  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnk x k   Cnn x n n 3) (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) k Cnk x k   (1) n Cnn x n 4) (1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnk x k ; n, k  , n  k , x  5) Cn0  Cn1  Cn2   Cnk   Cnn  2n 6) Cn0  Cn1  Cn2   (1) k Cnk   (1) n Cnn  7) C  C  C   C n n n n 2  2 n  C  C  C   C n n n  n 1  2  1   n  2n 1 8) C02 n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn11  C2nn 1  4n (do C22nn11 k  C2kn 1 , k  0,1, , n) Một số tập 5.1 Viết dạng khai triển đa thức Bài Viết dạng khai triển đa thức a)  a  3b  b) (  x )5 , x  x c) (2 x  1)8 Bài a) Tìm số hạng thứ khai triển (1  x)12 viết theo thứ tự lũy thừa tăng dần x x  b) Tìm hệ số số hạng thứ khai triển   1 3  20 viết theo thứ tự lũy thừa giảm dần x 5.2 Xác định hệ số, xác định số hạng khai triển đa thức Bài a) Tìm hế số số hạng chứa x9 khai triển ( x  2)15 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2  b) Tìm số hạng tự khai triển  x3   x  c) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển (2 x  1)3  (2 x  1)4   (2 x  1)10 d) Tìm số hạng chứa x3 khai triển (1  x)( x  3)13 e) Tìm hệ số số hạng chứa x5 y z khai triển ( x  y  z )10 f) Xác định hệ số có giá trị lớn nhỏ khai triển (1  x) n  a0  a1x   an x n , biết a0  a a1   nn  4096 2 Bài a) Biết hệ số x khai triển (1  3x)n 90 Tìm số nguyên dương n   b) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển   x5  x  n biết Cnn41  Cnn3  7(n  3) c) Tìm số hạng chứa x10 khai triển (2  x)n biết 3n Cn0  3n1Cnn1  3n2 Cnn2   (1) n Cnn  2048 d) Tìm số nguyên dương n biết hệ số số hạng chứa x3n3 khai triển ( x2  1)n ( x  2)n 26n n n x   x1  x1   x1  0  1    e) Cho khai triển   Cn  Cn             n1  x   x1    x      Cnn1  2              n1 Tìm số thực x số nguyên dương n biết khai triển số hạng thứ 20n Cn3  5Cn1 n  x  n   Cn     Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn n    x2  , x  0, thành đa thức, biết tổng tất hệ só f ( x) Bài Khai triển f ( x)    x  486 784 401 Hãy xác định a) Số hạng tự (số hạng không phụ thuộc vào x ) f ( x) b) Số hạng chứa x10 f ( x) c) Hệ số có giá trị lớn nhất, nhỏ f ( x) Bài a) Tìm số hạng chứa x29 y8 khai triển ( x3  xy)15 b) Tìm số hạng có hệ số lớn nhỏ khai triển (2x  1)19 c) Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1 3x)n biết An2  Cn2  315 d) Tìm hệ số số hạng chứa x 3  f ( x)  x  2x   x  5n2   x  x  3n3 , x  0, biết An2Cnn1  48 n e) Tìm hệ số số hạng chứa x 26   khai triển   x7  , x  0, biết x  C21n1  C22n1   C2nn1  220  f) Tìm hệ số số hạng chứa x10y7z3 khai triển  x  2y  3z 20 g) Tìm hệ số x5 khai khai triển f ( x)  (2x  1)4  ( x  1)( x  2)5  (2x2  1)( x  3)6 Tính tổng tất hệ số tương ứng với x bậc lẻ f ( x) h) Tìm số hạng có hệ số lớn số hạng có hệ số nhỏ khai triển f ( x)  (3  x)n , biết tổng tất hệ số số hạng bậc chẵn (gồm số hạng tự do) f ( x) 4882813 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   i) Tìm số hạng chứa x8 khai triển  x (1  x) Bài Tính giá trị biểu thức 2015 T1  C2015  C2015  C2015  C2015 ; 2014 T2  C2015  C2015  C2015   C2015 ; 1006 1007 T3  C2015  C2015  C2015   C2015  C2015 ; T4  1 2 3 n An  An  An   Ann , n  *; 0! 2! ( n  1)! (1) k 2k k T5   Cn , n  * k 1 k 0 n Bài Rút gọn biểu thức 4n2 4n S1  C4n  C24n  C4n  C64n   C4n  C4n , 4n3 4n1 S2  C14n  C34n  C54n  C74n   C4n  C4n , 2014 S3  C2015  C22015  C2015  C62015   C2012 2015  C2015 , 2015 S4  C12015  C32015  C52015  C72015   C2013 2015  C2015, 2012 S5  C20 15  C2015  C2015   C2015 ; 48 S6  C50  3C50  32 C50   324 C50  325 C50 50 Bài Cho T  Cn0  2Cn1  4Cn2   2n Cnn , n  * a) Rút gọn T b) Tìm số nguyên dương n cho T  243 c) Tìm số nguyên dương n cho T  252 Bài 10 Chứng minh bất đẳng thức 2n  3n  4n  7n2  n  3, n  Bài 11 Giải phương trình tập số nguyên dương Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) Cn0  2Cn1  3Cn2   (n  1)Cnn  6144 b) 2.1.Cn2  3.2.Cn3   n(n  1).Cnn  1344 c) C20n  C22n.32   C22nn2.32n2  C22nn.32n  2147516416 ... C n n n  n 1  2  1   n  2n 1 8) C02 n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn 11  C2nn 1  4n (do C22nn 11 k  C2kn 1 , k  0,1, , n) Một số tập 5.1 Viết dạng khai triển đa thức Bài...  a n 2  2 Tổng tất hệ số bậc lẻ f ( x) S2  a1  a3  a5   a Hệ công thức nhị thức Newton   n1 2 1    f (1)  f (1)    f (1)  f (1)  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn... nguyên dương n cho T  252 Bài 10 Chứng minh bất đẳng thức 2n  3n  4n  7n2  n  3, n  Bài 11 Giải phương trình tập số nguyên dương Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) Cn0  2Cn1  3Cn2