Sổ tay tra cứu nhanh kiến thức môn toán 11 học kì 2 – nguyễn mạnh cường

LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan SỔ TAY TRA CỨU NHANH KIẾN THỨC MƠN TỐN LỚP 11 – HỌC KÌ II Học tên: …………………………………… Trường: ……………… Lớp: ………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ (Dùng cho năm học 2018 – 2019) Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II Mục lục I DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN .3 Dãy số a Khái quát dãy số: .3 b Dãy số tăng – Dãy số giảm: c Dãy số bị chặn – Dãy số bị chặn – Dãy số bị chặn: .3 Cấp số cộng (CSC) .4 Cấp số nhân (CSN) II GIỚI HẠN Giới hạn dãy số a Dãy số có giới hạn hữu hạn: b Dãy số có giới hạn vơ cực: Giới hạn hàm số a Giới hạn hữu hạn hàm số điểm: .5 b Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực: c Giới hạn vô cực hàm số: d Các dạng vô định: Hàm số liên tục III ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm .9 Quy tắc tính đạo hàm 10 Công thức tính đạo hàm 10 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 10 Vi phân 11 Đạo hàm cấp cao 11 Ý nghĩa đạo hàm vật lí 11 IV QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 11 Đường thẳng song song với mặt phẳng 11 Hai mặt phẳng song song 12 Xác định thiết diện 12 V VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN 12 Các phép toán véctơ 12 Các quy tắc 12 Chứng minh véctơ đồng thẳng 12 VI QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 13 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 13 Góc đường thẳng mặt phẳng 13 Hai mặt phẳng vng góc 13 Góc hai mặt phẳng 14 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 14 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 15 Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan TỔNG ÔN HỌC KÌ II MƠN TỐN LỚP 11 I DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Dãy số a Khái quát dãy số: • Dãy số hữu hạn dãy số mà ta biết số hạng đầu số cuối Ví dụ: Dãy số ( un ) : 1,2,3,4,5 dãy số hữu hạn có số hạng có số hạng đầu u1 = 1, số hạng cuối ứng với số hạng thứ năm u5 = • Dãy số vơ hạn dãy số mà ta biết số hạng đầu số hạng tổng quát biểu diễn qua cơng thức Ví dụ: Dãy số ( un ) : un = n2 , ∀n ∈  * hay ta viết dạng khai khai triển ( un ) : 1,4,9,16, , n2 , Đây dãy số vơ hạn có số hạng đầu u1 = số hạng tổng quát un = n2 • Dãy số thường biểu diễn dạng sau: Dạng 1: Biểu diễn dạng khai triển, ví dụ: ( un ) : 1,4,9,16, , n2 , Dạng 2: Biểu diễn dạng công thức số hạng tổng quát, ví dụ: ( un ) : un = n2 , ∀n ∈  * u= u= Dạng 3: Biểu diễn dạng công thức truy hồi, ví dụ: Dãy Phi-bơ-na-xi ( un ) :  un= un−1 + un−2 , ∀n ≥ Nói cách khác, cho dãy số công thức truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu cho hệ thức truy hồi hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước b Dãy số tăng – Dãy số giảm: • Dãy số tăng dãy số mà số hạng sau lớn số hạng trước, tức là: ( un ) dãy số tăng un+1 > un , ∀n ∈  * Ví dụ: Dãy số ( un ) : 1,4,9,16, hay ( un ) : un = n2 , ∀n ∈  * dãy số tăng • • Dãy số giảm dãy số mà số hạng sau nhỏ số hạng trước, tức là: ( un ) dãy số giảm un+1 < un , ∀n ∈  * 1 1 Ví dụ: Dãy số ( un ) : 1, , , , hay ( un ) : un= , ∀n ∈  * dãy số giảm n 16 Có cách chứng minh dãy số tăng – dãy số giảm sau: H un+1 − un Cách 1: Xét hiệu biểu thức = Nếu H > dãy số ( un ) dãy số tăng Cách 2: Xét thương biểu thức T = un+1 un Nếu T > dãy số ( un ) dãy số tăng Nếu H < dãy số ( un ) dãy số giảm Nếu T < dãy số ( un ) dãy số giảm Chú ý Nếu biết un tính un+1 cách thay n n + vào un Ví dụ: Nếu u= n2 + 2n un+1 = ( n + 1) + ( n + 1) = n2 + 4n + n c Dãy số bị chặn – Dãy số bị chặn – Dãy số bị chặn: • Dãy số bị chặn dãy số có số hạng tổng quát nhỏ số, tức là: Nếu un ≤ M , ∀n dãy số ( un ) bị chặn số M • Dãy số bị chặn dãy số có số hạng tổng quát lớn số, tức là: Nếu un ≥ m, ∀n dãy số ( un ) bị chặn số m Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II • Dãy số bị chặn dãy số vừa bị chặn bị chặn dưới, tức là: Nếu m ≤ un ≤ M , ∀n dãy số ( un ) bị chặn Chú ý Nếu a ≥ b > c > c c ≤ a b Cấp số cộng (CSC) • CSC dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tổng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d (d gọi công sai), tức là: ( un ) CSC ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈  * • Nếu ( un ) CSC số hạng tổng quát un = u1 + ( n − 1) d , ∀n ∈  * • Nếu ( un ) CSC tổng n số hạng Sn = u1 + u2 + + un = • Nếu ( un ) n ( u1 + un ) = n 2u1 + ( n − 1) d  2 CSC kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng trung bình cộng số hạng đứng trước số hạng đứng sau nó, tức là: uk −1 + uk +1 , ∀ k ≥ 2 uk ( un ) CSC= • Nếu dãy số a, b, c CSC a + c = 2b Cấp số nhân (CSN) • CSN dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tích số hạng đứng trước nhân với số không đổi q (q gọi công bội), tức là: un q, ∀n ∈  * ( un ) CSN ⇔ un= +1 • un u1 qn−1 , ∀n ∈  * Nếu ( un ) CSN số hạng tổng quát= ( u1 − qn ) • Nếu ( un ) CSN tổng n số hạng Sn = u1 + u2 + + un = • Nếu ( un ) CSN kể từ số hạng thứ hai trở đi, bình phương số hạng tích số hạng 1− q đứng trước số hạng đứng sau nó, tức là: uk uk −1 uk +1 , ∀ k ≥ ( un ) CSN thì= • Nếu dãy số a, b, c CSN a.c = b2 II GIỚI HẠN Giới hạn dãy số a Dãy số có giới hạn hữu hạn: • Các kết thừa nhận dãy số có giới hạn 0: 1 1 [2] lim = ⇒ lim k = ( k ∈  *) [1] lim = ⇒ lim k = ( k ∈  *) n →+∞ n →+∞ n →+∞ n n →+∞ n n n [4] lim = c 0= [3] lim qn ( q ≤ 1) = ( c const ) n →+∞ n →+∞  ⇒ lim u = Chú ý sin ≤ cos ≤ lim =  n→+∞ n n →+∞  Định lý giới hạn hữu hạn: Nếu lim un = L lim = M thì: [5] • un ≤ [1] lim ( un + ) =L + M n →+∞ n →+∞ n →+∞ [2] lim ( un − ) =L − M n →+∞ Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan [3] lim ( un ) = L M [4] lim (= c.un ) c= L ( c const ) n →+∞ n →+∞  un  L [5] lim=   n →+∞ v  n M ( M ≠ 0) [6] lim un = L n →+∞ un [8] lim= [7] lim un = L n →+∞ n →+∞ • L ( un ≥ 0, ∀n ⇒ L ≥ ) Tổng cấp số nhận lùi vô hạn u1 , u1q, , u1qn , có cơng bội q ( q < 1) là: S = u1 + u1q + u1q + = u1 1− q b Dãy số có giới hạn vơ cực: • Các kết thừa nhận dãy số có giới hạn vơ cực: [1] lim n = +∞ ⇒ lim nk = +∞ ( k ∈  * ) [2] lim n = +∞ ⇒ lim k n = +∞ ( k ∈  * ) [3] lim qn = +∞ ( q > 1) [4] lim un = +∞ ⇒ lim n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ • n →+∞ n →+∞ n →+∞ = un Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Quy tắc 1: Nếu lim un = ±∞ lim = ±∞ lim ( un ) cho bảng sau: n →+∞ n →+∞ n →+∞ lim ( un ) lim lim un n →+∞ n →+∞ +∞ +∞ −∞ −∞ Quy tắc 2: Nếu lim un = ±∞ lim vn= L ≠ n →+∞ n →+∞ n →+∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ lim ( un ) cho bảng sau: n →+∞ lim un Dấu L +∞ +∞ −∞ −∞ + – + – n →+∞ lim ( un ) n →+∞ +∞ −∞ −∞ +∞ un cho bảng sau: n →+∞ v n Quy tắc 3: Nếu lim un= L ≠ lim = ( ≠ ) lim n →+∞ n →+∞ Dấu L n →+∞ + + + – – + – – Giới hạn hàm số a Giới hạn hữu hạn hàm số điểm: • Các kết thừa nhận giới hạn hữu hạn hàm số điểm: [1] lim x = x0 [2] lim = c c= ( c const ) x → x0 • un +∞ −∞ −∞ +∞ lim Dấu x → x0 Định lý giới hạn hữu hạn hàm số điểm: Nếu lim f (x ) = L lim g (x ) = M thì: x → x0 x → x0 Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II [1] lim  f (x ) + g (x ) = [2] lim  f (x ) − g (x ) = L + M L − M x → x0 x → x0 [3] lim  f (x ) g (x ) = L M x → x0 [4] lim c = f (x ) c= L ( c const ) x → x0 f (x ) L [5] lim= x → x0 g ( x ) M [6] lim f (x ) = L ( M ≠ 0) x → x0 [8] lim = f (x ) [7] lim f (x ) = L x → X0 x → x0 • Giới hạn bên hàm số: [1] Ta ln có x0− < x0 < x0+ L ( f (x ) ≥ ⇒ L ≥ ) [2] Điều kiện có lim f (x ) = L lim = f (x ) lim = f (x ) L − + x → x0 x → x0 x → x0 b Giới hạn hữu hạn hàm số vơ cực: • Các kết thừa nhận giới hạn hữu hạn hàm số vô cực: 1 [1] lim c c; lim c c= = = ( c const ) [2] lim = 0; lim = ( k ∈  *) x →+∞ x →−∞ x →+∞ x k x →−∞ x k • Định lý giới hạn hữu hạn hàm số điểm cho giới hạn hữu hạn hàm số vô cực, tức ta thay x → x0 thành x → +∞ x → −∞ c Giới hạn vơ cực hàm số: • Các kết thừa nhận giới hạn vô cực hàm số: [1] lim x k = +∞ với k số nguyên dương [2] lim x k = +∞ k số chẵn x →−∞ x →+∞ [3] lim x k = −∞ k số lẻ [4] lim f (x ) = +∞ ⇒ lim x →−∞ • x → x0 x → x0 Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực hàm số: Quy tắc 1: Nếu lim f (x ) = ±∞ lim g (x )= L ≠ lim  f (x ) g (x ) cho bảng sau: x → x0 x → x0 x → x0 lim f (x ) Dấu L +∞ +∞ −∞ −∞ + – + – x → x0 lim  f (x ) g (x ) x → x0 +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2: Nếu lim f (x )= L ≠ lim = g (x ) ( g (x ) ≠ ) lim x → x0 Dấu L x → x0 x → x0 Dấu g (x ) + + – – d Các dạng vơ định: • = f (x ) Phương pháp khử dạng vô định + – + – f (x ) cho bảng sau: g (x ) f (x ) x → x0 g ( x ) +∞ −∞ −∞ +∞ lim x → x0 : [1] Đối với hàm phân thức: Ta phân tích tử thức mẫu thức thành biểu thức chứa nhân tử chung x − x0 rút gọn Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan ( ) ( x − 1) x − 2x − x − 3x + x − 2x − lim lim = = = − Ví dụ: lim x →1 x →1 x →1 x −1 x +1 ( x − 1)( x + 1) [2] Đối với biểu thức chứa thức: Ta nhân chia lượng liên hợp để khử thành biểu thức chứa nhân tử chung x − x0 rút gọn Chú ý Các biểu thức liên hợp: A − B2 A−B = A −B A− B = ;= ; A −B A+B A+ B Ví dụ: x +7 − x +3 lim = lim x →1 x →1 x − 3x + x →1 ) ( x +7 −2 − x +3 −2 x − 3x + ( x + 7) − A2 + A B + B ) = lim A−3 B ; 3= A−B A2 + AB + B x +7 −2 x + − −1 −1 − lim = − = , với: x →1 x − x + x →1 x − x + 12 2 f (x) ( x − 1)( x − ) ( x + 3) − = lim x →1 1 x −1 = lim = − x → ( x − 1)( x − ) f (x ) ( x − ) f (x ) 12 1 x +3 −2 x −1 x + + = lim = lim = lim = − x →1 x − x + x →1 ( x − 1)( x − ) x →1 ( x − 1)( x − )  x + + 2 x →1 ( x − )  x + + 2 ∞ Phương pháp khử dạng vô định x → +∞ x → −∞ : ∞ [1] Đối với hàm phân thức: TH1 Bậc tử nhỏ bậc mẫu: Ta chia tử thức mẫu thức cho lũy thừa cao x mẫu   2 − 3+ 4 − + xlim  2 →+∞ x − 2x + x x  x x x= Ví dụ: lim = lim x = = x →+∞ x − x + x →+∞ 5   1− + lim  − +  x →+∞ x x x   x TH2 Bậc tử bậc mẫu: Ta chia tử thức mẫu thức cho lũy thừa cao x mẫu   1− +  − + xlim  x − 2x + x  x x = →+∞  x Ví dụ: lim = lim = = x →+∞ x − x + x →+∞ 5   1− + lim  − +  x →+∞ x x x   x TH3 Bậc tử lớn bậc mẫu: Ta chia tử thức mẫu thức cho lũy thừa cao x mẫu  2  x − + 2 x − + xlim  →+∞ x − 2x + x x  +∞  x x Ví dụ: lim = lim = = = −∞ x →+∞ − x − x + x →+∞ 5  −1  −1 − + lim  −1 − +  x →+∞ x x x x   [2] Đối với biểu thức chứa thức: Ta làm tương tự giống hàm phân thức x x → −∞ x < ⇒ x =− x Chú ý Khi x → +∞ x > ⇒ x = lim • x +7 −2 = lim x − 3x + x →1 3 x + 7) + x + + (    lim ( A − B3 Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II  A, A ≥ 3 Đặc biệt: A= =  A ; A= A − A, A < Ví dụ:   3 3 x 1 −  x 1− −x − −x − x − 3x  x  x x x lim lim lim lim lim = = = = 2 x →−∞ x + x →−∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2x + 2x + 2x + 2+ x     lim  − x −  lim ( − x ) lim  −     x →−∞ x →−∞ x  x →−∞ x  +∞.1   = = = +∞     lim  +  lim  +  x →−∞ x →−∞ x  x    • Phương pháp khử dạng vô định ∞ − ∞ : ∞ Ta đưa dạng cách nhân liên hợp ∞ Ví dụ: ( ) lim= 2x + + x • ( 2x + 1) − x lim= 2 x2 + x2 + lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 1  x + − x x →−∞  x 2+ −x x 2 +  − x x x   1  lim  x +  x+ x →−∞ x +1 −∞ x  x = lim = lim = = = +∞ x →−∞ x →−∞   − −1 1 −x + − x − + − lim  − + −   x →−∞  x x x   Phương pháp khử dạng vô định 0.∞ : ∞ cách nhân liên hợp Ta đưa dạng ∞ Ví dụ: 3 2+ x2 x x 2x + x 2x + x 2x + x = = lim lim x lim = lim x →−∞ →−∞ →−∞ x →−∞ x x x 3  −x x −x +3 x  1− + x3 − + x2  x3 − +  x x x x x x   =lim − x →−∞ 2+ 1− x2 + x x =− lim + x2 =− =−2 1 lim − + x →−∞ x x x →−∞ Hàm số liên tục • Hàm số liên tục điểm có hai dạng sau: F (x ), x ≠ x0 Dạng 1: Hàm số f (x ) =  liên tục điểm x = x0 lim f (x ) = f (x0 ) x → x0 G(x ), x = x0 Do ta phải có lim F (x ) = k G(x0 ) = k ⇒ lim f (x ) = f (x0 ) ⇒ f (x ) liên tục điểm x = x0 x → x0 x → x0 Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan  x − 2x − , x ≠  Ví dụ: Xét tính liên tục hàm số f (x ) =  x − điểm x = 5, x =  ( x + 1)( x − 3=) lim x += x − 2x − = lim ( 1) f (3) = x →3 x →3 x →3 x →3 x −3 x −3 Do lim f (x ) ≠ f (3) hay f (x ) không liên tục (hay gian đoạn) điểm x = Ta có lim f (= x ) lim x →3 F (x ), x ≥ x0 Dạng 2: Hàm số f (x ) =  liên tục điểm x = x0 lim = f (x ) lim = f (x ) f (x0 ) x → x0+ x → x0− G ( x ), x < x  Do ta phải có lim+ F (x ) = k , lim− G(x ) = k F (x0 ) = k ⇒ lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x0 ) ⇒ f (x ) liên tục x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 điểm x = x0  x −1 , x <  Ví dụ: Xét tính liên tục hàm số f (x ) =  − x − điểm x = −2 x , x ≥  Ta có lim+ f (x ) = −2 lim+ ( −2 x ) = x →1 x →1 Và lim− f (x ) =lim− x →1 x →1 x −1 − x −1 =lim− x →1 ( ) ( x − 1) − x + x −1 =lim− =lim− − x →1 − ( x − 1) ( − x ) − x →1 ( ) − x + =−2 − x +1 (x ) lim− f = (x ) f= (1) hay f (x ) liên tục điểm x = Mà f (1) = −2 Do lim+ f = x →1 • x →1 Hàm số y = f (x ) liên tục khoảng ( a; b ) y = f (x ) liên tục điểm khoảng ( a; b ) • Hàm số y = f (x ) liên tục đoạn a; b  y = f (x ) liên tục điểm khoảng ( a; b ) lim+ f (x ) = lim− f (x ) • Hàm số đa thức liên tục tồn tập số thực  Ví dụ: Hàm số y = x − 3x + liên tục tồn tập thực tức liên tục điểm Hàm số phân thức hữu tỉ (tử thức mẫu thức hai đa thức) hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng x +1 Ví dụ: Hàm số y = lên tục khoảng ( −∞;1) (1;+∞ ) có TXĐ D = ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) x −1 Nếu hàm số f (x ) liên tục khoảng a; b  f (a) f (b) < phương trình f (x ) = có • • x →a x →b nghiệm khoảng ( a; b ) Ví dụ: Hàm số f (x ) = x + x − liên tục  (vì làm hàm số đa thức) nên hàm số liên tục có nghiệm khoảng đoạn 0;2 có f (0) f (2) < nên phương trình x + x − = ( 0;2 ) III ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm • • f (x ) − f (x0 ) ∆y x0 f '(x0 ) lim Đạo hàm hàm số y = f (x ) điểm = = lim x → x0 ∆ x → x − x0 ∆x ∆x = x − x0 gọi số gia đối số x0 Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II ∆y f (x ) − f (= x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f (x0 ) gọi số gia tương ứng hàm số • = Quy trình để tính đạo hàm định nghĩa: ∆y f ( x0 + ∆x ) − f (x0 ) với ∆x số gia đối số x0 Bước 1: Tính= • ∆y ∆x →0 ∆x Bước 2: Tìm lim điểm x0 = x Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có: Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số f (x ) = ∆y = f ( + ∆x ) − f (2) = ∆x ∆y −1 1 1 − =− ⇒ lim = lim = − ⇒ f '(2) = − ∆ → ∆ → x x 0 ∆x + ∆x 2 ( + ∆x ) ( + ∆x ) 4 Quy tắc tính đạo hàm Cho hàm số u = u(x ) v = v(x ) Khi đó: • Quy tắc tính đạo hàm tổng: ( u + v ) ' =u '+ v ' Quy tắc tính đạo hàm hiệu: ( u − v ) ' =u '− v ' • v ) ' u '.v + u.v ' Quy tắc tính đạo hàm tích: ( u.= •  u  u '.v − u.v ' Quy tắc tính đạo hàm thương: = (v ≠ 0)  v ' v2   u ' ( c const ) Quy tắc tính đạo hàm tích với số: = ( c.u ) ' c= • • y u= (v ) u v(x ) : ( u(v ) ) ' = v '(x ).u '(v ) Quy tắc tính đạo hàm hợp= Cơng thức tính đạo hàm • STT Hàm sơ cấp (chỉ chứa biến x) ( c )=' 0, ( x )=' 1, ( c.x )=' c, ( cx + k )=' c với c, k = const ( x ) ' = α x α ( u ) ' = u '.α u α α −1 α −1 u' 1  u  ' = − u2   u' u '= u u' α u '= α α uα −1 ( sin u ) ' = u '.cos u 1  x  ' = − x2   x '= x α x '= α α x α −1 ( sin x ) ' = cos x ( ) ( ) ( ) ( cos x ) ' = Hàm hợp ( u = u(x ) ) ( ) ( cos u ) ' = − sin x −u '.sin u u' = + tan2 x u)' = u ' + tan2 u ( tan= 2 cos x cos u u' − = −u ' + cot u ( cot x ) ' =− =− + cot x ( cot u ) ' = sin u sin x Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số • Phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số y = f (x ) điểm điểm M ( x0 ; y0 ) (với y0 = f (x0 ) ) ( ( tan x ) ' = ( ) ) ( ) điểm có hồnh độ x0 là: 10 Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan ∆= : y f '(x0 ) ( x − x0 ) += y0 f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) Chú ý f '(x0 ) hệ số góc đường thẳng ∆ đạo hàm hàm số y = f (x ) điểm x0 • Có dạng viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số y = f (x ) sau: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ điểm M ( x0 ; y0 ) Phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số y = f (x ) điểm M ( x0 ; y0 ) ∆= : y f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) với f '(x0 ) hệ số góc đường thẳng ∆ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ biết ∆ qua điểm A ( a; b ) Giả phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số y = f (x ) điểm M ( x0 ; y0 ) ∆= : y f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) với f '(x0 ) hệ số góc đường thẳng ∆ Khi đó, tiếp tuyến ∆ qua điểm A ( a; b ) nên b =f '(x0 ) ( a − x0 ) + f (x0 ) ⇒ x0 =⇒ ? ∆ : y =f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 )? Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ biết vị trí tương đối ∆ với đường thẳng Giả phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị hàm số y = f (x ) điểm M ( x0 ; y0 ) ∆= : y f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) với f '(x0 ) hệ số góc đường thẳng ∆ Khi đó, ta biết vị trí tương đối đường thẳng ∆ đường thẳng d : = y ax + b ta làm sau: TH1 ∆  d ⇔ f '(x0 ) = a ⇒ x0 = ? ⇒ ∆ : y = f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 )? Chú ý Nếu ta tìm phương trình ∆ : y = ax + c c ≠ b (nếu c = b ∆ ≡ d ) TH2 ∆ ⊥ d ⇔ f '(x0 ).a = −1 ⇒ x0 = ? ⇒ ∆ : y = f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 )? TH3 ( ∆, d ) = α ⇔ tan α = f '(x0 ) − a ⇒ x0 = ? ⇒ ∆ : y = f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 )? + f '(x0 ).a Vi phân • Vi phân hàm số y = f (x ) tính viết= dy d=  f (x ) f '(x )dx dy dy • Ta biến đổi cơng thức thành = f '(x ) hiểu = y=' f '(x ) nên ta dx dx nói vi phân cách viết khác đạo hàm Đạo hàm cấp cao • Đạo hàm cấp n hàm số y = f (x ) tính viết f (n) (x ) =  f (n−1) (x ) ' Ví dụ: Cho hàm số f (x ) =x + 3x − Tính đạo hàm cấp hàm số Ta có f '(x )= x + x ⇒ f ''(x )=  f '(x )=' 12 x + ⇒ f '''(x )=  f ''(x )=' 24 x ⇒ f (4) (x )=  f '''(x )=' 24 Vậy= f (5) (x ) = f (4) (x ) ' Ý nghĩa đạo hàm vật lí • Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t ) thời điểm t v ( t ) = s ' ( t ) • Cường độ dòng điện tức thời điện lượng xác định phương trình Q = Q(t ) thời điểm t I (t0 ) = Q ' (t0 ) IV QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chọn cách sau để chứng minh: Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội 11 Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II Cách Cách (Thường dùng) ab   ⇒ a  (P ) b ⊂ ( P )  Hệ quả: a  ( P )  ⇒ab b ⊂ ( P )  Cách a ( P ) ∩ (Q ) =  b (Q ) ∩ ( R ) =  ⇒ a  (R) c (R) ∩ (P ) = ( P )  (Q )  ⇒ a  (P ) a ⊂ ( Q )  bc a  (P )   a  (P )   a  (Q ) ⇒ab b  ( P ) ∩ (Q ) =   a ⊂ (Q ) ⇒ab b  ( P ) ∩ (Q ) = Hai mặt phẳng song song a ⊂ ( P ) a  ( Q )   b ⊂ ( P ) b  ( Q )  ⇒ ( P )  ( Q )  a ∩b = {O}  Xác định thiết diện Hệ quả: ( P )  (Q ) b  ( R ) ∩ ( Q ) = ⇒  a  a  b (R) ∩ (P ) = a  (P )   Với toán thiết diện a  ( P ) ta thường dùng định lí sau: a ⊂ ( Q ) ⇒ab b  ( P ) ∩ (Q ) = V VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các phép tốn véctơ    • Tổng véctơ: AM + MB = AB    • Hiệu véctơ: MB − MA = AB     • Hai véctơ phương: a b phương ⇔ giá chúng song song trùng ⇔ b = k.a        • Tích vơ hướng véctơ: Tích vơ hướng véctơ a b số, xác định: a.b = a b cos a , b     AB AB = AB = AB • Liên quan tới độ dài véctơ AB.= ( ) Các quy tắc     MA + MB = • Quy tắc trung điểm: Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB     OA + OB = OM , ∀O bâ ′t kì      GA + GB + GC = • Quy tắc trọng tâm: Nếu G trọng tâm ∆ABC      OA + OB + OC = OG , ∀O bâ′t kì     • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD Là hình bình hành AC = AB + AD      GA + GB + GC + GD = • Quy tắc trọng tâm tứ diện: Nếu G trọng tâm tứ diện ABCD       OA + OB + OC + OD= 4OG, ∀O bâ′t kì     • Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A’B’C’D’ hình hộp AC = AB + AD + AA ' Chứng minh véctơ đồng thẳng      véctơ a , b , c đồng phẳng ⇔ a= m.b + n.c ⇔ tồn cắp số (m; n) 12 Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan VI QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta chọn cách chứng minh sau: Cách (Thường dùng) Cách Cách    ⇒ a ⊥ (P ) b, c ⊂ ( P )  Cách a ⊥b a⊥c ( P ) ⊥ (Q )   b ( P ) ∩ (Q ) =  ⇒ a ⊥ (P ) a ⊥ (Q )    Góc đường thẳng mặt phẳng a ⊥b ab   ⇒ a ⊥ (P ) b ⊥ ( P )  ( P )  (Q )  ⇒ a ⊥ (P ) a ⊥ ( Q )  Cách a (Q ) ∩ ( R ) =  ( P ) ⊥ (Q )  ⇒ a ⊥ ( P ) ( P ) ⊥ ( R )  Bước Xác định giao tuyến đường thẳng d mặt phẳng (P) điểm O, tức là: d ∩ (P ) = {O} Bước Xác định hình chiếu vng góc điểm A (là điểm nằm đường thẳng d khác điểm O) mặt phẳng (P) H, tức chứng minh: AH ⊥ ( P ) Bước Xác định hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng (P) đường thẳng ∆ với ∆ đường thẳng qua H O, tức là: AH ⊥ ∆ ={H }  ⇒ ∆AOH vuông H d ∩ ∆ ={O}  Bước Khi đó, góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc  , tức là: hai đường thẳng d đường thẳng ∆ góc AOH d , ( P ) )= ( d , ∆ )= (  AOH Chú ý Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AOH  AH  OH  AH  OH = sin AOH = ;cos AOH = ; tan AOH = ;cot AOH AO AO OH AH Hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chọn cách sau để làm: Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội 13 Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II Cách (Thường dùng) Cách a ⊥ (P )   b ⊥ (Q )  ⇔ ( P ) ⊥ (Q )  a, b= ( ) 90° a ⊥ ( P )   ⇔ ( P ) ⊥ (Q ) a ⊂ ( Q )  Hệ quả: ( P ) ⊥ (Q )   a ⊂ (Q )   ⇒ a ⊥ (P ) b ( P ) ∩ (Q ) =   Góc hai mặt phẳng a ⊥b ( P ) ⊥ (Q )  A ∈ ( P )  ⇒ AB ⊂ ( P ) AB ⊥ ( Q )  a (Q ) ∩ ( R ) =  (Q ) ⊥ ( P )  ⇒ a ⊥ ( P ) ( R ) ⊥ ( P )  Bước Xác định giao tuyến mặt phẳng ( P ) ( Q ) , tức là: a ( P ) ∩ (Q ) = Bước Xác định đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) đồng thời vng góc với giao tuyến a xác định đường thẳng c nằm mặt phẳng (Q) đồng thời vng góc với giao tuyến a, tức là: b ⊂ ( P ) b ⊥ a  c ⊂ ( Q ) c ⊥ a Bước Khi góc mặt phẳng ( P ) ( Q ) góc đường thẳng b c, tức là: b ⊂ ( P ) b ⊥ a    (b, c )  ⇐ ( (P ),(Q) ) = c ⊂ ( Q ) c ⊥ a  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chọn cách sau để làm: Cách (Trực tiếp) Tìm hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P) điểm H, tức chứng minh MH ⊥ ( P ) với H ∈ ( P ) Do d ( M ,(P ) ) = MH Cách (Gián tiếp) Nếu AB  (P ) d ( A,(P ) ) = d ( B,(P) ) 14 Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan Cách (Gián tiếp) Nếu AB cắt (P) I d ( A,(P ) ) d ( B,(P ) ) = IA IB Khoảng cách hai đường thẳng chéo Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b chọn cách sau để làm: Cách 1: Chọn mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a song song với b Khi d ( a, b ) = d ( b, ( P ) ) Cách 2: Dựng mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng a b Cách 3: Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn Ta xét trường hợp sau: TH1: a b vừa chéo vừa vng góc với + Bước Chọn mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a H + Bước Trong mặt phẳng (P) kẻ HK ⊥ b + Bước Khi HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng a b nên d ( a, b ) = HK TH2: a b chéo mà khơng vng góc với + Bước Chọn mặt phẳng (P) chứa b song song với a + Bước Dựng d hình chiếu vng góc a lên (P) cách lấy điểm M ∈ a , kẻ MN ⊥ ( P ) , lúc d đường thẳng qua N song song với a + Bước Gọi H= a ∩ d , dựng HK  MN + Bước Khi HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng a b nên d ( a= , b ) HK = MN Một cách giải khác TH2: + Bước Chọn mặt phẳng ( P ) ⊥ a P + Bước Tìm hình chiếu vng góc b lên (P) d + Bước Trong mặt phẳng (P), dựng PQ ⊥ d , từ Q dựng đường thẳng song song với a cắt b H, từ H dựng HK  PQ + Bước Khi HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng , b ) HK = PQ a b nên d ( a= Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội 15 Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Mơn Tốn Lớp 11 – Học kì II Phải có thời gian để nhìn nhận lại thân Xem ngã chỗ phải đứng dạy chỗ Đặc biệt khơng tự ti, tự phụ mà phải tự tin vào thân Bởi lẽ người thành cơng khơng nói “khơng” với khó khăn Có thành cơng đến với bạn tương lai gần Thầy Nguyễn Mạnh Cường 16 Tài liệu lưu hành nội dùng cho năm học 2018 – 2019 ... x → x0 Địa chỉ: Số nhà 24 , ngõ 26 6/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Tốn Lớp 11 – Học kì II [1] lim  f (x ) + g (x ) = [2] lim  f (x ) − g (x... hành nội dùng cho năm học 20 18 – 20 19 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.6 02 – Facebook: ThayCuongToan TỔNG ƠN HỌC KÌ II MƠN TỐN LỚP 11 I DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Dãy số...    lim ( A − B3 Địa chỉ: Số nhà 24 , ngõ 26 6/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Tốn Lớp 11 – Học kì II  A, A ≥ 3 Đặc biệt: A= =  A ; A= A